江西省多校聯(lián)考2024?2025學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．已知向量，，若，則（

）A．5 B．3 C． D．4．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．5．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)且垂直于軸的直線與交于兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則的離心率等于（

）A． B． C．2 D．6．在中，角的對(duì)邊分別為，若的面積為，則的周長(zhǎng)為（

）A． B．11 C． D．7．設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如：.已知函數(shù)則的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．8．如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，，若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，則球的表面積為（

）

A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)上一點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，若，則（

）A． B．直線的斜率為C． D．點(diǎn)到軸的距離為10．下列命題為真命題的是（

）A．若隨機(jī)變量，且，則B．若隨機(jī)事件滿足，，則C．若隨機(jī)變量的分布列為，則D．若隨機(jī)變量，則當(dāng)取得最大值時(shí)，11．下面四個(gè)圖案中，能用如圖樣式的一組七巧板拼出來(lái)的有（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）13．杜老師對(duì)本班學(xué)生在一?？荚囍械臄?shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下信息：隨機(jī)取一名學(xué)生，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率為，語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的概率為，數(shù)學(xué)成績(jī)和語(yǔ)文成績(jī)均未達(dá)到優(yōu)秀的概率為，則該班學(xué)生在數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的條件下，語(yǔ)文成績(jī)也優(yōu)秀的概率為.14．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．小明為了了解不同性別的觀眾對(duì)蛇年春晚小品類節(jié)目的喜歡情況，隨機(jī)選取了200名觀看蛇年春晚的觀眾，得到如下列聯(lián)表：喜歡不喜歡合計(jì)男性454590女性110合計(jì)80200(1)求；(2)在所有喜歡蛇年春晚小品類節(jié)目的觀眾中隨機(jī)選1人，記該觀眾是男性觀眾的概率為，求出的估計(jì)值；(3)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與喜歡與否有關(guān)聯(lián)？附：，其中.0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.82816．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式；(3)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明：.17．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，且是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，的面積為.(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率不為零的直線交于兩點(diǎn)，證明：直線與直線的斜率之積為定值，并求出該定值.18．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：當(dāng)時(shí)，.19．如圖，四棱柱中，.

(1)若四邊形為菱形，.①證明：平面；②若四邊形的面積為，證明：四棱柱的體積；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.

參考答案1．【答案】B【詳解】，所以，故的虛部為.故選B.2．【答案】C【詳解】因?yàn)榛?，，?故選C.3．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，展開(kāi)得，化簡(jiǎn)得，所以，解得，所以，所以.故選C.4．【答案】D【詳解】解法一：由題意，得恒成立，即恒成立，整理，得恒成立，所以，從而，故當(dāng)，，即時(shí)，取得最大值.解法二：由題意，得，解得，所以，故當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.故選D.5．【答案】B【詳解】設(shè)的半焦距為，則直線的方程為，代入，解得，所以，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，由雙曲線的定義知，即，所以，所以的離心率.故選B.6．【答案】A【詳解】由及正弦定理，得，因?yàn)椋?，所以，所以的面積為，解得，所以，由余弦定理，得，所以，所以的周長(zhǎng)為.故選A.7．【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，或1；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)0，或1；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以的值域?yàn)?故選A.8．【答案】D【詳解】解法一（通法）：設(shè)分別為線段的中點(diǎn)，由，知為直角三角形的外接圓圓心；因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以為正方形外接圓的圓心；過(guò)分別作平面，平面的垂線交于點(diǎn)，則為三棱錐外接球的球心，即為外接球的半徑.取的中點(diǎn)，連接，則，可證點(diǎn)四點(diǎn)共面，因?yàn)?，所以，則，又，所以，則，所以球的表面積為.

解法二：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又平面，所以平面，因?yàn)?，所以，取的中點(diǎn)，則球心在平面內(nèi)的射影為，即平面，連接，則，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，則，因?yàn)椋?，又，由余弦定理，得，設(shè)，則，故，由勾股定理，得，所以，解得，所以球的半徑為，所以球的表面積為.故選D.

9．【答案】ABD【詳解】因?yàn)?，所以，故A正確；因?yàn)?，又，所以為等邊三角形，所以，如圖，若點(diǎn)在第一象限，，直線的傾斜角為；若點(diǎn)在第四象限，可得直線的傾斜角為.綜上，直線的斜率為，故B正確；的方程為，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，在中，，所以，故C錯(cuò)誤；由，得，又，所以點(diǎn)到軸的距離為，故D正確.故選ABD.10．【答案】AC【詳解】因?yàn)?，，所以，，故A正確；因?yàn)闉楸厝皇录?，所以，又與互斥，所以，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榈姆植剂袨椋?，所以，解得，所以，令，則，兩式相減，得，所以，所以，故C正確；因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以，所以當(dāng)取得最大值時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選AC.11．【答案】BCD【詳解】給一組七巧板按如圖順序標(biāo)號(hào)，其中1與2是全等三角形，4與是全等三角形，再按如圖順序排列可得選項(xiàng)BCD中圖案，而A中最上面的等腰直角三角形尺寸太小，七巧板中沒(méi)有如此尺寸的三角形，無(wú)法用一組七巧板拼出.故選BCD.12．【答案】1215【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令，得，所以展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為.13．【答案】【詳解】設(shè)“數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀”為事件，“語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀”為事件，則，且，所以，又，所以.14．【答案】【詳解】的定義域?yàn)?，由，得，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.由題意得，所以，即，即，解得.15．【答案】(1)；(2)；(3)能.【詳解】（1）由列聯(lián)表可知，.（2）由列聯(lián)表可知，喜歡蛇年春晚小品類節(jié)目的觀眾共計(jì)120人，其中男性有45人，則該觀眾是男性觀眾的概率的估計(jì)值為.（3）補(bǔ)全列聯(lián)表如下：喜歡不喜歡合計(jì)男性454590女性7535110合計(jì)12080200零假設(shè)為：性別因素與喜歡與否無(wú)關(guān)聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得，依據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可推斷不成立，即可以認(rèn)為性別因素與喜歡與否有關(guān)聯(lián).16．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)，證明見(jiàn)解析【詳解】（1）（1）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，即，所以.當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，即，所以，又，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列（2）解：由（1）知，，所以.（3）解：由（2），得，所以，因?yàn)椋?，又，所以是遞增數(shù)列，所以，所以.17．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，定值為【詳解】（1）由題意，得解得所以的方程為.（2）證明：由（1），得.因?yàn)橹本€的斜率不為0，故設(shè)直線，聯(lián)立消去并整理，得，顯然，該方程的判別式，設(shè)，則，又，所以的斜率分別為，所以所以直線與直線的斜率之積為定值.18．【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，又，所以存在唯一的，使得.又在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.（3）的定義域?yàn)椋驗(yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，意味著有兩個(gè)不同正根.設(shè)，其導(dǎo)數(shù).若，，在遞增，不會(huì)有兩個(gè)正根.當(dāng)，令，得.在，遞增；在，遞減.要使有兩個(gè)正根，需，即，解得.所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn).所以，且，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，令，即證當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立.令，則.因?yàn)?，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，恒成立.19．【答案】(1)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）①因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，因?yàn)?，所以，所?

又是的中點(diǎn)，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，在中，因?yàn)椋瑥亩?，?/p>