2000年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)(一)試卷

一、填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.把答案填在題中橫線上)

(1)]\j2x-x2dx=.

(2)曲面/+2/+3r=21在點(diǎn)。，―2,—2)的法線方程為.

(3)微分方程+3/=0的通解為.

12

(4)已知方程組23無解，則。=

a

(5)設(shè)兩個相互獨(dú)立的事件4和B都不發(fā)生的概率為A發(fā)生8不發(fā)生的概率與B發(fā)生

A不發(fā)生的概率相等，則P(A)=.

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個符合

題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))

⑴設(shè)/(x)、g(x)是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且:(x)g(x)—〃制/(月<0,則當(dāng)4Vx時,

有

(C)/(x)gQ)>(D)/a)g(x)>/(a)g(a)

(2)設(shè)S:x2+y2^v=a\z>0),5,為S在第一卦限中的部分，則有

(A)JJxdS=4jJxdS(B)jjydS=4JJxdS

SS|S3

(C)JJzdS=4JjxdS(D)^xyzdS=4JJxyzdS

$S|SS|

8

(3)設(shè)級數(shù)E%收斂，則必收斂的級數(shù)為

J1=l

數(shù)學(xué)(一)試題第I貝(共13頁)

（A）S（-1）"殳（B）6；

n=l"n=l

8oC

（C）X）（D）X（"〃+Wn+|）

/j=l/r=l

（4）設(shè)“維列向量組a1,a,“（根<〃）線性無關(guān)，則〃維列向量組瓦…,氏,線性無關(guān)的充分

必要條件為

（A）向量組a”…,<XM可由向量組I，…平，”線性表示

（B）向量組0],…,0,“可由向量組叫,…,a,”線性表示

（C）向量組%,…,4與向量組01,…,心等價(jià)

（D）矩陣A=（叫，…,a,“）與矩陣B=（等價(jià)

（5）設(shè)二維隨機(jī)變量（X/）服從二維正態(tài)分布，則隨機(jī)變量彳=X+丫與〃=X-丫不相關(guān)

的充分必要條件為

（A）E（X）=￡（/）

（B）E（x2）-[E（x）]2=￡（r2）-[￡（y）]2

（C）E（X2）^E（Y2）

（D）E（X2）+[E（X）]2=￡（y2）+[E（y）]2

三、（本題滿分6分）

1

2+e”sinx

求).

XT8

1+e*

四、（本題滿分5分）

數(shù)學(xué)（一）試題第2頁（共13頁）

xxa27

設(shè)z=/(xy,-)+g(-)，其中/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求夫.

yyoxdy

五、(本題滿分6分)

計(jì)算曲線積分/=f獨(dú)F孚，其中L是以點(diǎn)(1,0)為中心，R為半徑的圓周(R〉l),取逆

4x-+y

時針方向.

六、(本題滿分7分)

設(shè)對于半空間x>0內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面S,都有

||V(x)dydz-xyf(x)dzdx-e2xzdxdy=0,其中函數(shù)/(x)在(0,+oo)內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),

S

且lim/(x)=L求，(x).

七、(本題滿分6分)

求基級數(shù)￡1x"

的收斂區(qū)間，并討論該區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性.

3"+(-2)"7

n=l

數(shù)學(xué)(一)試題第3頁(共13頁)

八、（本題滿分7分）

設(shè)有一半徑為R的球體，與是此球的表面上的一個定點(diǎn)，球體上任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到Po

距離的平方成正比（比例常數(shù)左＞0），求球體的重心位置.

九、（本題滿分6分）

設(shè)函數(shù)/（x）在［0,萬］上連續(xù)，且「/（x）dx=0,「/（x）cosxdx=0.試證:在（0,乃）內(nèi)至少

存在兩個不同的點(diǎn)芻石2,使/?）=/02）=°?

十、（本題滿分6分）

-1000

A*-°100

設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A=1

010，且ABA-1=BA-i+3E,其中E為4階單位

0-308

矩陣,求矩陣B.

十一、（本題滿分8分）

某適應(yīng)性生產(chǎn)線每年1月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì),然后將,熟練工支援其他

6

2

生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊.新、老非熟練工經(jīng)過培訓(xùn)及實(shí)踐至年終考核有不成

數(shù)學(xué)（-）試題第4頁（共13頁）

為熟練工.設(shè)第〃年1月份統(tǒng)計(jì)的熟練工與非熟練工所占百分比分別為X“和打，記成向量

%、‘加、

⑴求的關(guān)系式并寫成矩陣形式:A

)〃+11

r-n

(2)驗(yàn)證/=,是A的兩個線性無關(guān)的特征向量，并求出相應(yīng)的特征值.

(1}

(%)2

⑶當(dāng)=；時，求

1

I2J

十二、（本題滿分8分）

某流水線上每個產(chǎn)品不合格的概率為p（0<p<1）,各產(chǎn)品合格與否相對獨(dú)立,當(dāng)出現(xiàn)1個不

合格產(chǎn)品時即停機(jī)檢修.設(shè)開機(jī)后第1次停機(jī)時已生產(chǎn)了的產(chǎn)品個數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望

E（X）和方差D（X）.

十三、（本題滿分6分）

數(shù)學(xué)（一）試題第5頁（共13頁）

2e-2（x-e）x>0

設(shè)某種元件的使用壽命X的概率密度為/（/。）=0其中?！?為未知參數(shù).

又設(shè)花,々％是x的一組樣本觀測值,求參數(shù)e的最大似然估計(jì)值.

數(shù)學(xué)（一）試題第6頁（共13頁）

2001年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)(一)試卷

一、填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.把答案填在題中橫線上)

(l^y=e'(asinx+bcosx)(a,b為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解,

則該方程為.

222

(2)r=y]x+y+z，則div(gradr)|(11.22)=.

(3)交換二次積分的積分次序:J：dyJ：y)dx=.

(4)設(shè)A2+A-4E=OJiJ(A-2E)T=.

(5)￡)(%)=2，則根據(jù)車貝曉夫不等式有估計(jì)P{|X-E(X)|>2}<.

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個符合

題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))

(1)設(shè)函數(shù)/(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo),y=/(x)的圖形如右圖所示，則y=/'(x)的圖形為

數(shù)學(xué)(一)試題第7頁(共13頁)

(C)I(D)I

(2)設(shè)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)的附近有定義，且/；(0,0)=3,/；(0,0)=1則

(A)dz\(00)=3dx+dy

(B)曲面z=/(x,y)在(0,0,7(0,0))處的法向量為｛3,1,1)

"z-f(x,y)

(C)曲線1在(0,0,/(0,0))處的切向量為｛1,0,3｝

y=0

(D)曲線['="乂))在(0,0,/(0,0))處的切向量為｛3,0,1)

[y=0

(3)設(shè)/(0)=0則/(x)在x=0處可導(dǎo)o

/(1-cos/?)J(T)

(A)lim存在(B)lim存在

/?->ohf。h

/(/Lsin/?)〃2[-存在

(C)lim存在

/IT0ATO卜

’111r’4000]

11ii000°，則A與B

⑷設(shè)A=,B=

11ii0000

oj

<11ib<000

(A)合同且相似(B)合同但不相似

(C)不合同但相似(D)不合同且不相似

⑸將?枚硬幣重復(fù)擲〃次，以x和y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則x和丫相關(guān)

系數(shù)為

(A)-l(B)o

數(shù)學(xué)(一)試題第8頁(共13頁)

(C):(D)l

2

三、(本題滿分6分)

,、_rarctaneA.

求Je?，dx-

四、(本題滿分6分)

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(1,1)可微且

=34(x)=/(xj(x,x)),求、，⑸?

五、(本題滿分8分)

匕二arctanxXHO，將/")展開成x的哥級數(shù)，并求工三，的和.

設(shè)〃x)=X

1x=0

六、(本題滿分7分)

計(jì)算/=((/-z2Mx+(2%2--冰+(3/-y2)dz，其中L是平面x+y+Z=2與柱

面N+N=1的交線，從Z軸正向看去，L為逆時針方向.

數(shù)學(xué)(一)試題第9頁供13頁)

七、(本題滿分7分)

設(shè)/(.X)在內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且/〃(x)￥0.證明：

(1)對于Vx6(-1,0)U(o,l)，存在惟一的0(x)e(0,1)，使/(x)=/(0)+xf\O(x)x)成立.

(2)lim8(x)=0.5.

XTO

八、(本題滿分8分)

設(shè)有一高度為/?(/)(/為時間)的雪堆在融化過程，其側(cè)面滿足方程z=/?⑺一2(廠+廠)(設(shè)

咐

長度單位為厘米，時間單位為小時)，己知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(系數(shù)為0.9),問高度為

130厘米的雪堆全部融化需多少時間？

九、(本題滿分6分)

設(shè)四,&2,…,見為線性方程組AX=O的一個基礎(chǔ)解系，

Pi=^?,+r2a2,p2=?!?2+f2a3,…，P.,=乙見+與%,

數(shù)學(xué)(一)試題第10頁(共13頁)

其中t],t2為實(shí)常數(shù)，試問。,t2滿足什么條件時也加2,…，人也為AX=O的一個基礎(chǔ)解系?

十、（本題滿分8分）

已知三階矩陣A和三維向量x，使得x,Ax,A2X線性無關(guān),且滿足A3X=3AX-2A2X.

（1）記P=（X,AX,A2%）,求B使A=PBPT.

（2）計(jì)算行列式|A+E|.

十一、（本題滿分7分）

設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)X服從參數(shù)為2（2>0）的泊松分布,每位乘客在中途下車的概率

為〃（o<p<i）,且中途下車與否相互獨(dú)立.y為中途下車的人數(shù)，求：

（1）在發(fā)車時有〃個乘客的條件下，中途有機(jī)人下車的概率.

（2）二維隨機(jī)變量（x,y）的概率分布.

十二、（本題滿分7分）

設(shè)X?N（〃,4）抽取簡單隨機(jī)樣本X”X?,…，X?“（〃22）,

數(shù)學(xué)（一）試題第H頁（共13頁）

樣本均值兄,y=，2(x,+x“+,.-2K)2,求E(y).

2",=i,=i

數(shù)學(xué)（一）試題第12頁（共13頁）

2002年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)(一)試卷

一、填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.把答案填在題中橫線上)

r+sdx

(i)I-7-^=-

(2)已知e￥+6xy+x2-1=0，貝ijy〃(0)=.

(3)yy〃+yf2=0滿足初始條件>(0)=1,y'(0)=|的特解是.

(4)已知實(shí)二次型.(司,巧,9)=a(x：+x；+甘)+4]|4+4/比3+4巧與經(jīng)正交變換可

化為標(biāo)準(zhǔn)型f=6>：,則。=.

(5)設(shè)隨機(jī)變量X?NJ,/)，且二次方程y2+4y+X=0無實(shí)根的概率為05則

尸?

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個符合

題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))

(1)考慮二元函數(shù)的四條性質(zhì)：

①〃工,y)在點(diǎn)(%,九)處連續(xù)，②/(x,y)在點(diǎn)(/,比)處的一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),

③f(x,y)在點(diǎn)。0，兒)處可微，④“X,y)在點(diǎn)(看,比)處的一階偏導(dǎo)數(shù)存在”

則有:

(A)②=③=①(B)③=②"①

?③n④n①①)③n①=④

⑵設(shè)〃”二0,且lim—=1,則級數(shù)￡(—1)(-----1-------)為

…%3冊+i

(A)發(fā)散(B)絕對收斂

(0條件收斂(D)收斂性不能判定.

(3)設(shè)函數(shù)/(x)在R+上有界且可導(dǎo)，則

(A)當(dāng)lim〃尤)=0時，必有l(wèi)imff(x)=0(B)當(dāng)limf\x)存在時，必有

X—>-HOJ-->-KO

數(shù)學(xué)(一)試題第13頁(共13頁)

lim/'(x)=0

XT+oo

(C)當(dāng)lim/(x)=0時，必有l(wèi)imf\x)=0(D)當(dāng)limf\x)存在時，必有

x->0+XTO+XTO+

limf\x)-0.

XTO+

（4）設(shè)有三張不同平面，其方程為%x+，y+c,z=&（，=1,2,3）它們所組成的線性方程組的

系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為2,則這三張平面可能的位置關(guān)系為

⑸設(shè)X和丫是相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的密度函數(shù)分別為fx（x）和4（y）,分布

函數(shù)分別為6（x）和耳（V），則

（A）A（x）+/y（y）必為密度函數(shù)（B）/x（x）/y（y）必為密度函數(shù)

（C）Fx（x）+Fy（y）必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)（D）Fx（x）耳“）必為某一隨機(jī)變量

的分布函數(shù).

三、（本題滿分6分）

設(shè)函數(shù)/（x）在x=0的某鄰域具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/（0）/（0）70，當(dāng)〃f0時，若

af（h）+bf（2h）-y（0）=。（〃）,試求a,h的值.

四、（本題滿分7分）

已知兩曲線y=/a）與），=「""屋-3必在點(diǎn)（0,0）處的切線相同.求此切線的方程，并求

J0

數(shù)學(xué)（一）試題第14頁（共13頁）

2

極限lim〃f(一).

,isn

五、(本題滿分7分)

計(jì)算二重積分,其中。={(兀j；)|0<x<1,0<y<1}.

六、(本題滿分8分)

設(shè)函數(shù)/*)在R上具有?階連續(xù)導(dǎo)數(shù),L是上半平面(y>0)內(nèi)的有向分段光滑曲線，起點(diǎn)

為(a,b)，終點(diǎn)為(c,d).

記/=+y2fM]dx+^-[y2f(xy)-\]dy,

(1)證明曲線積分I與路徑L無關(guān).

(2)當(dāng)a/>=cd時，求/的值.

七、(本題滿分7分)

⑴驗(yàn)證函數(shù)y(x)=Y----(-co<x<+oo)滿足微分方程)嚴(yán)+)>'+y=e'.

M(3〃)！

(2)求幕級數(shù)y(x)=y^—的和函數(shù).

“=0(3〃)！

數(shù)學(xué)(一)試題第15頁(共13頁)

八、(本題滿分7分)

設(shè)有小山，取它的底面所在的平面為x。)，面，其底部所占的區(qū)域?yàn)?/p>

D={(x,v)|x2+y2-xy＜75},小山的高度函數(shù)為/?(x,y)=15-x2-y2+xy.

(1)設(shè)M(x0,)，0)為區(qū)域D上一點(diǎn)，問h(x,y)在該點(diǎn)沿平面上何方向的方向?qū)?shù)最大?若此

方向的方向?qū)?shù)為g(x0,y0)，寫出g(x°,)，o)的表達(dá)式.

(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動，為此需要在山腳下尋找一山坡最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn).

也就是說要在。的邊界線上找出使(1)中g(shù)(x,y)達(dá)到最大值的點(diǎn).試確定攀登起點(diǎn)的位置.

九、(本題滿分6分)

已知四階方陣A=(%,0(2，＜13，%),%,&2，€(3，＜14均為四維列向量，其中012，&3，&4線性無

關(guān),%=2(/2-(13.若0=%+a2+a}+a4，求線性方程組Ax=0的通解.

十、(本題滿分8分)

設(shè)A,B為同階方陣，

⑴若A,B相似，證明A,B的特征多項(xiàng)式相等.

(2)舉一個二階方陣的例子說明⑴的逆命題不成立.

數(shù)學(xué)(一)試題第16頁(共13頁)

⑶當(dāng)A,B為實(shí)對稱矩陣時，證明（1）的逆命題成立.

十一、（本題滿分7分）

設(shè)維隨機(jī)變量X的概率密度為

0<x<x

/(?=

其它

對X獨(dú)立地看復(fù)觀察4次，用Y表示觀察值大于-的次數(shù)，求Y2的數(shù)學(xué)期望.

3

十二、（本題滿分7分）

設(shè)總體X的概率分布為

X0123

P426>(1-6>)鏟\-ie

其中夕（0＜。＜!）是未知參數(shù)，利用總體X的如下樣本值

2

3,1,3,0,3,1,23

求6的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)值.

數(shù)學(xué)（一）試題第17頁（共13頁）

2003年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)(一)試卷

一、填空題(本題共6小題,每小題4分滿分24分.把答案填在題中橫線上)

]

(l)lim(cosx)In(,+x2)=.

x->0

⑵曲面Z=%2+y2與平面2x+4)-Z=0平行的切平面的方程是.

op

2

(3)設(shè)x=￡*cosnx(-7r<x</r)，則a2=.

n=Q

門、(irn門、

(4)從R?的基叫=,?2=到基因=,p,=的過渡矩陣為.

"6x0<x<v<1

(5)設(shè)二維隨機(jī)變量(XI)的概率密度為；、，則

0其匕

P{X+Y<\}=.

(6)己知一批零件的長度X(單位:cm)服從正態(tài)分布N"』)，從中隨機(jī)地抽取16個零件，得到

長度的平均值為40(cm),則〃的置信度為0.95的置信區(qū)間是.

(注:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值①(1.96)=0.975,0(1.645)=0.95.)

二、選擇題(本題共6小題,每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個符合

題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))

(1)設(shè)函數(shù)/(x)在(-8,+00)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則/(x)有

(A)?個極小值點(diǎn)和兩個極大值點(diǎn)

(B)兩個極小值點(diǎn)和一個極大值點(diǎn)

(C)兩個極小值點(diǎn)和兩個極大值點(diǎn)

(D)三個極小值點(diǎn)和一個極大值點(diǎn)

⑵設(shè){a},,{c}均為非負(fù)數(shù)列，且lim%=0,limb=l,limc“=oo，則必有

nnn“TooM->ccnn->cc

數(shù)學(xué)(一)試題第】8頁供13頁)

(A)an<a對任意n成立(B)〃“<c“對任意〃成立

(C)極限lima11cli不存在(D)極限limbncn不存在

(3)已知函數(shù)在點(diǎn)(0,0)的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且lim=1,則

X—)(廠+y-y

(A)點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn)

(B)點(diǎn)(0,0)是/(x,)，)的極大值點(diǎn)

(C)點(diǎn)(0,0)是/(x,y)的極小值點(diǎn)

(D)根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)(0,0)是否為f(x,y)的極值點(diǎn)

(4)設(shè)向量組1：叫《2,…,%可由向量組n：p,p2,…，乩線性表示，則

(A)當(dāng)r<s時,向量組H必線性相關(guān)(B)當(dāng)r>s時,向量組II必線性相關(guān)

(C)當(dāng)r<s時,向量組I必線性相關(guān)(D)當(dāng)r>s時,向量組I必線性相關(guān)

(5)設(shè)有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0,其中A,B均為mx〃矩陣，現(xiàn)有4個命題：

①若Ar=0的解均是Bx=0的解，則秩(A)>秩(B)

②若秩(A)>秩(B)，則Ac=0的解均是Bx=0的解

③若Ax=0與Bx=0同解，則秩(A)=秩(B)

④若秩。)=秩出)，則Ax=0與Bx=0同解

以上命題中正確的是

(A)①②⑻①③

(C)②④(D)③④

(6)設(shè)隨機(jī)變量X?/(〃)(〃>1),/=—，,則

X

(A)Y~/(〃)(B)y~/2(?-1)

(C)y-F(n,l)(D)Y?尸(i,〃)

三、(本題滿分10分)

數(shù)學(xué)(一)試題第19頁(共13頁)

過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=Inx的切線，該切線與?曲線y=Inx及x軸圍成平面圖形。.

⑴求。的面積A.

（2）求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.

四、（本題滿分12分）

1-2r工

將函數(shù)/（x）=arctan-----展開成x的基級數(shù)，并求級數(shù)-的和.

1+2xM2〃+1

五、(本題滿分10分)

已知平面區(qū)域。={(x,j)|0<x<肛0Sy4兀},L為D的正向邊界.試證:

(1)￡^esinvJy-ye-sin'J.x=￡xe-sin,Jy-yesinvJx.

sinvsin,L

(2)J；xeJ>--ye-Jx>2n.

六、（本題滿分10分）

某建筑工程打地基時，需用汽錘將樁打進(jìn)土層.汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而作

功.設(shè)土層對樁的阻力的大小可樁被打進(jìn)地下的深度成正比（比例系數(shù)為R.Z〉0）.汽錘第一次擊

打?qū)洞蜻M(jìn)地下am.根據(jù)設(shè)計(jì)方案，要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功

之比為常數(shù)r（0<r<l）.問

（1）汽錘擊打樁3次后，可將樁打進(jìn)地下多深?（2）若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下

多深?（注:m表示長度單位米.）

數(shù)學(xué)（一）試題第20頁供13頁）

七、(本題滿分12分)

設(shè)函數(shù)y=丁")在(一8,+8)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且yrw0,x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù).

z7~v-z7v-

⑴試將X=x(y)所滿足的微分方程巴;+(y+sinx)(—)3=0變換為y=y(x)滿足的微

dydy

分方程.

(2)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0,y'(0)=|的解.

八、(本題滿分12分)

設(shè)函數(shù)/(x)連續(xù)且恒大于零，

川/52+y2+z2)dvJj/(x2+y2)da

F(t)=--------------.G(f)=-.............

JJ/V+y2Mbff(x2)dx

D(t)山

其中Q(z)={(x,y,z)\x2+y2+z2<t2},D(t)={(x,^)|x2+y2</2}.

(1)討論F⑴在區(qū)間(0,+oo)內(nèi)的單調(diào)性.

2

(2)證明當(dāng)￡>0時,F(t)>-G(t).

71

九、(本題滿分10分)

-322010

設(shè)矩陣A=232101、B=p-iA*P,求B+2E的特征值與特征向量，其

223001

數(shù)學(xué)(一)試題第21頁(共13頁)

中A*為A的伴隨矩陣,E為3階單位矩陣.

十、(本題滿分8分)

已知平面上三條不同直線的方程分別為小ax+2by+3c^0,12:

bx+2cy+3a=0,Z3:cx+2ay+38=0.試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為

a+b+c=0.

十一、(本題滿分10分)

已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3

件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求：

(1)乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

(2)從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.

十二、(本題滿分8分)

設(shè)總體X的概率密度為

2e于-砌x>0

/*)=

0I%<0

其中。＞0是未知參數(shù).從總體X中抽取簡單隨機(jī)樣本X”X2,…,X,,,記

0=min(X”X2,…,XJ

⑴求總體X的分布函數(shù)F(x).⑵求統(tǒng)計(jì)量社的分布函數(shù)F.(x).(3)如果用。作為。的估計(jì)

量，討論它是否具有無偏性.

數(shù)學(xué)(一)試題第22頁(共13頁)

2004年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)(一)試卷

一、填空題(本題共6小題,每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

(1)曲線y=\nx上與直線x+y=\垂直的切線方程為.

(2)已知_f(e')=xe-\,a/(l)=0，則/(x)=.

(3)設(shè)L為正向圓周+/=2在第一象限中的部分，則曲線積分[xdy-2ydx的值為

(4)歐拉方程嗎+4x立+2)-=0(%>0)的通解為__________.

dxdx

一210'

(5)設(shè)矩陣A=120，矩陣B滿足ABA*=2BA*+E,其中A*為A的伴隨矩陣,E是

001

單位矩陣，則|B卜__________.

(6)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為A的指數(shù)分布，則P[X>4DX)=.

二、選擇題(本題共8小題,每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個符合

題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))

2

(7)把x0*時的無窮小量a=fsin/力，使排在后面

的是前一個的高階無窮小,則正確的排列次序是

(C)p,a,y(D)/?,/,?

(8)設(shè)函數(shù)/(x)連續(xù)，且:(0)>0,則存在3>0,使得

(A)/(%)在(0,6)內(nèi)單調(diào)增加(B)f(x)在(一①0)內(nèi)單調(diào)減少

(C)對任意的xe(O?)有/(x)>/(0)(D)對任意的xe(-d>,0)有

數(shù)學(xué)(一)試題第23頁(共13頁)

(9)設(shè)Z%為正頂級數(shù)，下列結(jié)論中正確的是

fl=1

8

(A)若lim/%=0,則級數(shù)收斂

n—>oo*n=l

(B)若存在非零常數(shù)九使得lim/%=4,則級數(shù)發(fā)散

/Jfg

n=1

8

(C)若級數(shù)Z%收斂，則=0

n—>oo

斤二1

(D)若級數(shù)￡〃“發(fā)散，則存在非零常數(shù)4,使得lim“%=4

n=l

(10)設(shè)“X)為連續(xù)函數(shù),F(r)=[dy[f(x)dx，則F'(2)等于

(A)2/(2)(B)/(2)

(O-/(2)(D)0

(11)設(shè)A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C,

則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為

010一一010

(A)100(B)101

101__001

-010一-011

(C)100(D)100

01I001

(12)設(shè)A,B為滿足AB=O的任意兩個非零矩陣，則必有

(A)A的列向量組線性相關(guān),B的行向量組線性相關(guān)

(B)A的列向量組線性相關(guān),B的列向量組線性相關(guān)

數(shù)學(xué)(一)試題第24頁(共13頁)

(C)A的行向量組線性相關(guān),B的行向量組線性相關(guān)

(D)A的行向量組線性相關(guān),B的列向量組線性相關(guān)

(13)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(O,1),對給定的a(0<a<1),數(shù)%滿足

P{X>%}=a，若尸{|耳<6=&，則x等于

(A)??(BR巴

22

(C)&(D)唉

~r

1”

(14)設(shè)隨機(jī)變量X1,X2，???,X〃(〃>1)獨(dú)立同分布,且其方差為。2>0,令丫=—￡乂,.，

(J、

(A)Cov(X|,y)=—(B)Cov(X,,y)=o-2

n

(C)D(X1+丫)=^^授(D)￡)(X,-y)=^-cr2

nn

三、解答題(本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

(15)(本題滿分12分)

r-。、4

設(shè)e<a<e*■，證明Irrb-ln~a>方(匕一。).

(16)(本題滿分11分)

某種飛機(jī)在機(jī)場降落時，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開減速傘,以增大阻力,

使匕機(jī)迅速減速并停下.

現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)，著陸時的水平速度為700km/h經(jīng)測試，減速傘打開后,飛機(jī)所

受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比(比例系數(shù)為k=6.0x106).問從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長

距離是多少？

(注:kg表示千克,km/h表示千米/小時)

數(shù)學(xué)(?)試題第25頁(共13頁)

(17)(本題滿分12分)

計(jì)算曲面積分/=029辦收+2y3血&+33-1班力，其中Z是曲面

z=1-x2-y2(z>0)的上側(cè).

(18)(本題滿分11分)

設(shè)有方程x"+nx-\=0，其中n為正整數(shù).證明此方程存在惟一正實(shí)根x“，并證明當(dāng)a>1

時，級數(shù)收斂.

n=l

(19)(本題滿分12分)

設(shè)z=z(x,y)是由r-6移+10)，-2yz-z?+18=0確定的函數(shù)，求z=z(x,y)的極值

點(diǎn)和極值.

(20)(本題滿分9分)

數(shù)學(xué)(。試題第26頁(共13頁)

(l+a)X|+x2-i----=0,

2x1+(2++,,,+2x=0,

設(shè)有齊次線性方程組，1'n(/?>2),

+nx2+—h(〃+a)xn=0,

試問a取何值時，該方程組有非零解，并求出其通解.

（21）（本題滿分9分）

12-3

設(shè)矩陣A=-14-3的特征方程有一個二重根，求。的值，并討論A是否可相似對角

1a5

化.

（22）（本題滿分9分）

設(shè)A,3為隨機(jī)事件，且P（A）=；,P（B|A）=；,P（A|8）=；,令

vfl,A發(fā)生，v[1,8發(fā)生，

0,A不發(fā)生；8不發(fā)生.

求：（i）二維隨機(jī)變量（x,y）的概率分布.（2）x和y的相關(guān)系數(shù)Oxy

（23）（本題滿分9分）

設(shè)總體X的分布函數(shù)為

數(shù)學(xué)（一）試題第27頁（共13頁）

i——L%>i,

F(XQ=<x''

0,E，

其中未知參數(shù)n>l,X1,X2,…，x”為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本,

求:（1）￡的矩估計(jì)量.（2）￡的最大似然估計(jì)量.

數(shù)學(xué)（一）試題第28頁（共13頁）

2005年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)(一)試卷

一、填空題(本題共6小題,每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

(1)曲線y=-----的斜漸近線方程為_____________.

2x+l

(2)微分方程町，'+2y=x\nx滿足y⑴=--的解為.

(3)設(shè)函數(shù)y,z)=1+二+二+三，單?位向量元=J-{LU}，則型I=?_________.

61218J3dnI023)

(4)設(shè)Q是由錐面Z=J-+)/與半球冏工=正”一展圍成的空間區(qū)域,￡是。的

整個邊界的外側(cè)，則%+ydzdx+zdxdy-.

(5)設(shè)%,4，%均為3維列向量,記矩陣

A=(apa2,a3),B=(a,+a、+a3,a1+2a、+4?3,?(+3a,+9a3),

如果|A|=1,那么|B卜—,

⑹從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù)，記為X,再從1,2,…，X中任取一個數(shù)，記為y,則

P{Y=2}=.

二、選擇題(本題共8小題,每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合

題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))

⑺設(shè)函數(shù)f(A)=lim51+|/『"，則/(x)在(一8,+8)內(nèi)

療—>8VII

(A)處處可導(dǎo)(B)恰有一個不可導(dǎo)點(diǎn)

(C)恰有兩個不可導(dǎo)點(diǎn)(D)至少有三個不可導(dǎo)點(diǎn)

⑻設(shè)方(x)是連續(xù)函數(shù)/⑴的一個原函數(shù)JMQV、蓑示”M的充分必要條件是則

必有

數(shù)學(xué)(一)試題第29頁(共13頁)

(A)E(x)是偶函數(shù)=/(x