三湘名校教育聯(lián)盟·2025年上學(xué)期高一期中考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè).全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試卷和答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如有改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由絕對(duì)值不等式的求解及交集運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，?故選：D.2.下列命題中為真命題的是（）A.圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形B.用一個(gè)平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺(tái)C.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的多面體是棱柱D.球體是旋轉(zhuǎn)體的一種類(lèi)型【答案】D【解析】【分析】利用各項(xiàng)概念的定義來(lái)進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于A，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形，不一定為正方形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)圓臺(tái)的定義，用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺(tái)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，球體是半圓繞著其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的封閉幾何體，故D正確，故選：D.3.設(shè)外接圓的半徑為，若，則的形狀為（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定【答案】B【解析】【分析】由正弦定理得到，求得，解得，即可得到答案.【詳解】設(shè)外接圓的半徑為，若，由正弦定理，可得，所以，因?yàn)?，可得，所以為直角三角?故選：B.4.在復(fù)平面內(nèi)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算，再根據(jù)復(fù)平面對(duì)的點(diǎn)求解即可.【詳解】由題意可得，其在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限，故選：B.5.在中，，記，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算用基底表示即可.【詳解】由題意可得，其中，所以.故選：C6.已知是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將代入已知方程中，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件列式求解，即可求解.【詳解】將代入方程可得，即，故，解得，故.故選：B7.已知平面上四個(gè)點(diǎn)，，，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義，結(jié)合向量的數(shù)量積和模長(zhǎng)的坐標(biāo)計(jì)算，求解即可.【詳解】根據(jù)題意，可得，，則，所以在向量上投影數(shù)量等于，可得向量在向量上的投影向量為.故選：A.8.如圖，四邊形的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖為直角梯形，其中，，，則四邊形的周長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由余弦定理求出，在平面直角坐標(biāo)系中還原，計(jì)算即可【詳解】由斜二測(cè)畫(huà)法知，，所以由余弦定理得，，代入上式解得，，，,，還原平面圖如圖，即，，，四邊形的周長(zhǎng)為．故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)得0分.9.已知向量，則（）A.是的充要條件B.是與的夾角為銳角的必要不充分條件C.是的充要條件D.是的充要條件【答案】AC【解析】【分析】由向量垂直、平行的坐標(biāo)表示及夾角公式的坐標(biāo)表示逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由，故A正確；對(duì)于B，由為銳角且不共線且，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由或，故C正確；對(duì)于D，時(shí)，可得：，，此時(shí)，仍滿足，故D錯(cuò)誤，故選：AC.10.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算逐項(xiàng)分析即可.【詳解】設(shè)，由，則，所以，即，故A正確；代入可得，，所以，故B錯(cuò)誤；由，故C正確；由，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則（）A. B.C D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)三角形邊角關(guān)系，結(jié)合正、余弦定理逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，由正弦定理可知，即，故A正確；對(duì)于B，在邊上取一點(diǎn)，使得，則，，故，在中，由正弦定理可得，即，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由射影定理可得，故，因?yàn)?，所以，由余弦定理可得，故，即，故C正確；對(duì)于D，由B知，，可得，故，即，故，即，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)余弦定理計(jì)算即可求解.【詳解】在中，由余弦定理可得，故答案為：.13.已知函數(shù)，則的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)__________；的值域?yàn)開(kāi)_________.【答案】①.②.【解析】【分析】對(duì)于空1，由恒成立可得解；對(duì)于空2，由函數(shù)值域和函數(shù)在上的值域即可求解.【詳解】因?yàn)楹愠闪?，所以令得，故的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以函數(shù)的值域?yàn)?，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，值域?yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)?故答案為；.14.菱形中，，點(diǎn)在線段上，且，則__________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)，進(jìn)一步將其表示成以，為基底的向量，結(jié)合已知條件，可得關(guān)于和的方程組，解之，再根據(jù)模長(zhǎng)的計(jì)算方法，得的值從而得解．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，可設(shè)，而，所以，解得，所以，則，所以，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)，進(jìn)一步將其表示成以，為基底的向量，從而可解.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知中，.（1）求；（2）證明：【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由輔助角公式化簡(jiǎn)即可得解；（2）由余弦定理及基本不等式得出不等關(guān)系，再由正弦定理即可得證.【小問(wèn)1詳解】由輔助角公式可得，即，則，又，故.【小問(wèn)2詳解】設(shè)中角的對(duì)邊分別為，由余弦定理且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故.由正弦定理可得，又，故，即，得證.16.已知函數(shù).（1）求的定義域；（2）證明：曲線關(guān)于直線對(duì)稱；（3）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域求解即可；（2）驗(yàn)證即可求證；（3）根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，及曲線關(guān)于直線對(duì)稱求解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】由，解得或，故的定義域?yàn)?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，又，所以，即曲線關(guān)于直線對(duì)稱.【小問(wèn)3詳解】對(duì)于函數(shù)，其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由（2）知，曲線關(guān)于直線對(duì)稱，要使，需滿足，且，解得.17.已知復(fù)數(shù)，（，且，），且.（1）求的值；（2）證明：；（3）設(shè)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的向量分別為，，若，求的值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的模公式直接化簡(jiǎn)計(jì)算即可；（2）結(jié)合（1）及復(fù)數(shù)模的公式直接可得證；（3）根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合向量數(shù)量積公式直接計(jì)算.【小問(wèn)1詳解】由已知，則，，所以，又，則，所以，化簡(jiǎn)可得，又，所以，即；小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以，又，所以；【小問(wèn)3詳解】設(shè)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的向量為，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的向量為，所以，故，解得.18.已知將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后所得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.（1）求；（2）求的相位及其最小正周期；（3）當(dāng)時(shí)，求使得不等式恒成立的對(duì)應(yīng)的取值范圍.【答案】（1）（2）相位為，最小正周期為（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象變換得，再根據(jù)對(duì)稱性得，計(jì)算即可得到；（2）由（1）得后可得出相位，根據(jù)最小正周期計(jì)算公式計(jì)算可得周期；（3）令，，由題意得原不等式為，再根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】將的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，由題意該函數(shù)為偶函數(shù)，所以，解得，又因?yàn)?，解?【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，故的相位為，最小正周期為.小問(wèn)3詳解】令，因?yàn)?，所以，則原題等價(jià)于求使得不等式恒成立時(shí)，對(duì)應(yīng)的取值范圍，注意到當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意；時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以時(shí)，，符合題意.綜上，滿足題意，此時(shí).19.已知海面上兩點(diǎn)處置有距離為海里的兩個(gè)燈塔，游船在點(diǎn)時(shí)，與兩點(diǎn)處燈塔的距離均為2海里.游船航行一段距離后，從兩燈塔間穿過(guò)并抵達(dá)點(diǎn)，此時(shí)在點(diǎn)處燈塔測(cè)得.（1）若兩點(diǎn)的距離為海里，求的長(zhǎng)度；（2）求兩點(diǎn)距離的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理可得結(jié)果；（2）當(dāng)時(shí)的長(zhǎng)度即為兩點(diǎn)距離的最小值，在中，由正弦定理得，其中為定值，又，可得，從而得到.【小問(wèn)1詳解】由題意知，，