第二節(jié)微型計(jì)算機(jī)的運(yùn)算基礎(chǔ)1.2.1無符號(hào)數(shù)的表示方法1.2.2有符號(hào)數(shù)的表示方法1.2.3數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示1.2.4計(jì)算機(jī)中的編碼1.2.1無符號(hào)數(shù)的表示方法一、數(shù)與數(shù)制二、不同數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換

（一）、進(jìn)位計(jì)數(shù)制及其要素： 進(jìn)位計(jì)數(shù)制：按進(jìn)位原則進(jìn)行計(jì)數(shù)的方法。例：十進(jìn)制數(shù)有: 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十種狀態(tài)。我們說：十進(jìn)制數(shù)基數(shù)10，變化范圍0~9,逢十進(jìn)一?？匆粋€(gè)十進(jìn)制數(shù)： 4094 每一位十種數(shù)碼的狀態(tài)(0~9) 千百十個(gè) 本位絕對(duì)值的大小=數(shù)×位權(quán) 103102101100如：千位=4×103=4000一、數(shù)與數(shù)制十進(jìn)制數(shù)(D)有二個(gè)要素：1.基數(shù)：十 每一位0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 （逢十進(jìn)一）。2.位權(quán)：10i

某一位數(shù)絕對(duì)值大小=數(shù)×位權(quán). 二個(gè)要素:適用于二、八、十六進(jìn)制。

二進(jìn)制數(shù)(B)：基數(shù)2位權(quán)2i

八進(jìn)制數(shù)(Q)：基數(shù)8位權(quán)8i

十六進(jìn)制數(shù)(H):基數(shù)16位權(quán)16i（二）、進(jìn)位計(jì)數(shù)制的表示方法：

1234．56D=1

103+2

102+3

101+4

100+5

10-1+6

10-2推廣到一般形式（任意十進(jìn)制）：

N=±[kn

10n+kn-1

10n-1+……+k0

100

+k-1

10-1+……+k-m

10-m] =±

[ki

10i] (i=-m~n)任何某一位數(shù)大小=ki

10i對(duì)于任意進(jìn)制:

N=±

[ki

Ri] (i=-m~n) R—基數(shù)，逢R進(jìn)一.Ri—位權(quán)例如：二進(jìn)制數(shù)X=10011101B X=1

27+1

24+1

23+1

22+1

20=（157）10

在計(jì)算機(jī)里進(jìn)行運(yùn)算和處理均是按二進(jìn)制數(shù)處理的。而二進(jìn)制數(shù)寫起來麻煩;教材有時(shí)又以八進(jìn)制或十六進(jìn)制表示；日常生活中又常用十進(jìn)制，因此就有：二

十 八

十 二

八數(shù)制之間轉(zhuǎn)換問題 十六

十 二

十六整數(shù)十→二（除2取余法）方法：

整數(shù)除2取余，直到商為0為止，讀數(shù)由后向前。例：（217）10=kn

2n+kn-1

2n-1+……k1

21+k0

20 =2(kn

2n-1+kn-1

2n-2+……+k1

20)+k02(kn

2n-1+kn-1

2n-2+……+k1

20)是2的倍數(shù)， k0

是余數(shù).二、不同數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換

（一）十

二（217）10÷2----得到余數(shù)k0

余數(shù)：按照相反的方向?qū)懴聛怼?2/2/2/2/2/2/2/2217

108

54

27

13

6

3

1

0----商

10011011----余數(shù)(217) 10=（11011001）2小數(shù)十→二:乘2取整方法：對(duì)十進(jìn)制數(shù)逐次乘2， 小數(shù)點(diǎn)前邊系數(shù)為系數(shù)ki。即乘2取整法，位數(shù)取決于要求精度。例：(0.613)10

2=1.226k-1=1(0.226)10

2=0.452k-2=0(0.452)10

2=0.904k-3=0(0.904)10

2=1.808k-4=1（0.1001）2=（0.5625）10(0.808)10

2=1.616k-5=1（0.10011）2=（0.609375）10(0.616)10

2=1.232k-6=1（0.100111）2=（0.625）10(0.613)10=(0.1001)2k-7=0

既有整數(shù)又有小數(shù)部分的，可分別轉(zhuǎn)換，再組合起來。見教材P143. 二→十

同樣可以用公式進(jìn)行例：（0.1001）2=1

2-1+1

2-4=0.5+0.0625=（0.5625）10（1001）2=1

23+0

22+0

21+1

20=（9）10

*下面看一下常用的幾種數(shù)制寫法：八位二進(jìn)制數(shù)

十進(jìn)制二進(jìn)制八進(jìn)制十六進(jìn)制BCD

00 0 0 0 1 01 1 1 1 2 10 2 2 10 3 11 3 3 11 4 100 4 4 100 5 101 5 5 101 6 110 6 6 110 7 111 7 7 111 8 1000 10

8 1000 9 1001 11 9 1001

10 1010 12 A

10000 11 1011 13 B 10001 12 1100 14 C 10010 13 1101 15 D 10011 14 1110 16 E 10100 15 1111 17 F 10101 16 10000 20 10 10110 。 。 。 11 。 。 。 。 12 。 。 。 。 。 。(255)D 11111111B 377O(Q) FFH (10,0101,0101)BCD1、 二

八

二→

八：

以小數(shù)點(diǎn)為界向左向右三位一段，不夠補(bǔ)0， 三位二進(jìn)制數(shù)用一位八進(jìn)制數(shù)表示。例：（1，101，001.010，011，1）2

不夠補(bǔ)0

不夠補(bǔ)0（001101001.010011

100）2=（151.234）8

八→二：

一位八進(jìn)制數(shù)用三位二進(jìn)制數(shù)表示。（151．234）8=（001101001.010011100）2（二） 二

八，二

十六，二

BCD之間轉(zhuǎn)換

二→十六： 以小數(shù)點(diǎn)為界向左向右四位一段，不夠補(bǔ)0,

四位二進(jìn)制數(shù)用一位十六進(jìn)制數(shù)表示。例：（1101001.0100111）2→(69.4E)16

不夠補(bǔ)0

不夠補(bǔ)0 (0110,1001.0100,1110)2=(69.4E)16

十六→二：一位十六進(jìn)制數(shù)用四位二進(jìn)制數(shù)表示。例：(69.4E)16

=

(0110,1001.0100,1110)22、二

十六BCD數(shù)：常用8421碼，每一位十進(jìn)制數(shù)用四位二進(jìn)制編碼表示。1111B 9D 1001BCD 10D00010000BCD

BCD碼與二進(jìn)制數(shù)之間轉(zhuǎn)換沒有直接關(guān)系， 必須先轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制,然后轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制。例：1111111B=255D=0010,0101,0101BCD 0010,0101,0101BCD＝255D=11111111B3、 二

BCD1、機(jī)器數(shù)與真值數(shù)據(jù)的正負(fù)號(hào)可以用一位二進(jìn)制的“0”和“1”來表示。常用的二進(jìn)制數(shù)值數(shù)據(jù)編碼有原碼、反碼和補(bǔ)碼。由于補(bǔ)碼由許多優(yōu)點(diǎn)，大多數(shù)微機(jī)采用補(bǔ)碼進(jìn)行編碼。

什么是機(jī)器數(shù)與真值？機(jī)器數(shù)：帶符號(hào)的二進(jìn)制數(shù)值數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)內(nèi)部的編碼。機(jī)器數(shù)的最高有效位是符號(hào)位：0——正數(shù)1——負(fù)數(shù)真值：機(jī)器數(shù)所代表的實(shí)際值。1.2.2有符號(hào)數(shù)的表示方法例:

機(jī)器數(shù)與真值

N1=+1011011N2=－1011011為真值=01011011 =11011011為機(jī)器數(shù)例：符號(hào)怎么表示？對(duì)于字長(zhǎng)8位機(jī)器數(shù)：

D7為符號(hào)位:0表示“+”，1表示“－”。符號(hào)數(shù)碼化了。

D6～D0為數(shù)字位。如:X=（01011011）2=+91X=（11011011）2=－91

符號(hào)數(shù)碼化了，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，符號(hào)位應(yīng)如何處理？把符號(hào)位和數(shù)值位一起編碼：原碼，反碼，補(bǔ)碼。

正數(shù)符號(hào)位用“0”表示，負(fù)數(shù)符號(hào)用“1”表示;絕對(duì)值的編碼規(guī)則與無符號(hào)數(shù)編碼規(guī)則相同，這種表示法稱為原碼。

X=+105[X]原=01101001

X=-105[X]原=11101001

符號(hào)數(shù)值

2、原碼原碼的特點(diǎn)：

（1）最高位為符號(hào)位，正數(shù)為0，負(fù)數(shù)為1；（2）8位二機(jī)制原碼表示的范圍為-127～+127；16位二機(jī)制原碼表示的范圍為-32767～+32767；（3）0的原碼有兩種表示方法，即+0和-0，若字長(zhǎng)為8位：[+0]原

=00000000B[-0]原

=10000000B

正數(shù)反碼表示與原碼相同，最高位“0”表示正，其余位為數(shù)值位。

負(fù)數(shù)反碼表示為負(fù)數(shù)原碼的符號(hào)位不變，尾數(shù)按位取反。例： [+4]反=0 0000100 [-4]反=1 1111011 [+127]反=0 1111111 [-127]反=10000000 [+0]反=00000000 [-0]反=111111113、反碼

反碼的特點(diǎn)：

（1）最高位仍為符號(hào)位，正數(shù)為0，負(fù)數(shù)為1；（2）8位二機(jī)制反碼表示的范圍為-127～+127；16位二機(jī)制反碼表示的范圍為-32767～+32767；（3）0的原碼有兩種表示方法，若字長(zhǎng)為8位：[+0]反=00000000B[-0]反=11111111B（4）正數(shù)的反碼與原碼相同。

正數(shù)的補(bǔ)碼表示與原碼相同，最高位用“0”表示正，其余位為數(shù)值位。

負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼表示為它的反碼+1。（也可從定義出發(fā)求補(bǔ)碼，當(dāng)X<0時(shí)，[X]補(bǔ)=2n-|X|，mod2n） [+127]原=01111111[+0]原=00000000 [-127]反=10000000[-0]反=11111111 [-127]補(bǔ)=10000001[-0]補(bǔ)=000000004、補(bǔ)碼

補(bǔ)碼的特點(diǎn)：（1）最高位仍為符號(hào)位，正數(shù)為0，負(fù)數(shù)為1；（2）8位二機(jī)制補(bǔ)碼表示的范圍為-127～+127；16位二機(jī)制補(bǔ)碼表示的范圍為-32767～+32767；（3）0的補(bǔ)碼有一種表示方法，即[+0]補(bǔ)=[-0]補(bǔ)（4）對(duì)于8位二機(jī)制數(shù)10000000，在補(bǔ)碼中的定義為[-128]，在原碼中的定義為=[-0]，在反碼中的定義為[-127]。三種碼制之間關(guān)系及特點(diǎn)：正數(shù)：原，反，補(bǔ)相同負(fù)數(shù)：原，反，補(bǔ)不同，但最高位為1。負(fù)數(shù): 原→反，符號(hào)位不變，尾數(shù)按位求反 原→補(bǔ)，符號(hào)位不變，尾數(shù)按位求反+1 補(bǔ)→原，符號(hào)位不變，尾數(shù)求反+1 反→原，符號(hào)位不變，尾數(shù)求反.小結(jié)：說明：1）、原碼表示法簡(jiǎn)單，易于理解，與真值轉(zhuǎn)換方便，但加減運(yùn)算時(shí)麻煩，故引進(jìn)反碼和補(bǔ)碼。2）、數(shù)0的原碼和反碼有兩種表示形式，而補(bǔ)碼表示法中，0只有一種表示形式。

“0”的表示原碼 反碼 補(bǔ)碼[+0]原=000…00 [+0]反=000…00 [+0]補(bǔ)=000…00[-0]原=100…00 [-0]反=111…11 [-0]補(bǔ)=000…003）8位二進(jìn)制數(shù)的表示范圍： 無符號(hào)數(shù)：0~255 原碼：-127~+127 反碼：-127~+127 補(bǔ)碼：-128~+127已知補(bǔ)碼求真值：補(bǔ)碼的補(bǔ)碼即為真值。例：[X]補(bǔ)=11111111，則X=[[X]補(bǔ)]補(bǔ)=10000001=（-1）10[（-1）10]補(bǔ)=11111111二進(jìn)制數(shù)補(bǔ)碼的運(yùn)算補(bǔ)碼的運(yùn)算規(guī)則是：

[X+Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)[X-Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[-Y]補(bǔ)設(shè) X1=+0001100X2=－0001100Y1=+0000101Y2=－0000101則 [X1]補(bǔ)=00001100 [X2]補(bǔ)=11110100[Y1]補(bǔ)=00000101 [Y2]補(bǔ)=11111011【例1-19】①計(jì)算X1+Y1。（兩正數(shù)相加）

+0001100X1 00001100 [X1]補(bǔ)+)+0000101Y1 +)00000101 [Y1]補(bǔ)+0010001X1+Y1 00010001 [X1]補(bǔ)+[Y1]補(bǔ)因?yàn)椋篬X1+Y1]補(bǔ)=[+0010001]補(bǔ)=00010001=[X1]補(bǔ)+[Y1]補(bǔ)所以：[X1+Y1]補(bǔ)=[X1]補(bǔ)+[Y1]補(bǔ)②計(jì)算X1－Y1。（兩正數(shù)相減）

+0001100 X1 00001100 [X1]補(bǔ)－)+0000101 Y1 +)11111011 [－Y1]補(bǔ)

+0000111 X1－Y1100000111 [X1]補(bǔ)+[－Y1]補(bǔ)自然丟失因?yàn)椋篬X1－Y1]補(bǔ)=[+0000111]補(bǔ)=00000111B=[X1]補(bǔ)+[－Y1]補(bǔ)所以：

[X1－Y1]補(bǔ)=[X1]補(bǔ)+[－Y1]補(bǔ)③計(jì)算X2+Y2。（兩負(fù)數(shù)相加）－0001100 X2 11110100 [X2]補(bǔ)+)－0000101 Y2 +)11111011 [Y2]補(bǔ)

－0010001 X2+Y2 111101111 [X2]補(bǔ)+[Y2]補(bǔ)自然丟失因?yàn)椋篬X2+Y2]補(bǔ)=[－0010001]補(bǔ)=11101111B=[X2]補(bǔ)+[Y2]補(bǔ)所以：[X2+Y2]補(bǔ)=[X2]補(bǔ)+[Y2]補(bǔ)④計(jì)算X2-Y2。（兩負(fù)數(shù)相減）－0001100 X2 11110100 [X2]補(bǔ)－)－0000101 Y2 +) 00000101 [－Y2]補(bǔ)

－0000111 X2-Y2 11111001 [X2]補(bǔ)+[－Y2]補(bǔ)因?yàn)椋篬X2-Y2]補(bǔ)=[－0000111]補(bǔ)=11111001B=[X2]補(bǔ)+[－Y2]補(bǔ)所以：[X2-Y2]補(bǔ)=[X2]補(bǔ)+[－Y2]補(bǔ)計(jì)算機(jī)引入了補(bǔ)碼編碼后，帶來了以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：(1)減法轉(zhuǎn)化成了加法，這樣大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算器硬件電路的設(shè)計(jì)，加減法可用同一硬件電路進(jìn)行處理。(2)運(yùn)算時(shí)，符號(hào)位與數(shù)值位同等對(duì)待，都按二進(jìn)制數(shù)參加運(yùn)算，符號(hào)位產(chǎn)生的進(jìn)位丟掉不管，其結(jié)果是正確的。這大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算規(guī)則。結(jié)論：[-Y]補(bǔ)怎么求？思考：變補(bǔ)（求負(fù)）的概念：已知[Y]補(bǔ)求[-Y]補(bǔ)的過程。方法：對(duì)[Y]補(bǔ)的每位按位取反（包括符號(hào)位），然后加1，即為[-Y]補(bǔ)。例：[+87]補(bǔ)=01010111B[-87]補(bǔ)=10101001B采用補(bǔ)碼運(yùn)算后結(jié)果是怎樣的？補(bǔ)碼運(yùn)算的結(jié)果也是補(bǔ)碼！欲得真值，還需轉(zhuǎn)換運(yùn)算時(shí)數(shù)的溢出問題

假設(shè)機(jī)器字長(zhǎng)為n位，則有符號(hào)整數(shù)(一般為補(bǔ)碼）表示的范圍是：-2n-1≤X≤2n-1-1無符號(hào)整數(shù)表示的范圍是：0≤X≤2n-1例：當(dāng)n=8時(shí),數(shù)的范圍分別是：-128～+127（有符號(hào)）0～255（無符號(hào)）*運(yùn)算時(shí)數(shù)如果超出了范圍則稱為溢出，發(fā)生溢出的情況有：1）同號(hào)數(shù)相加2）異號(hào)數(shù)相減利用雙進(jìn)位方法判斷有無溢出是一種常用的方法，他的規(guī)則是：（1）如果次高位向最高位有進(jìn)位

（或借位）

，而最高位向前無進(jìn)位（或借位）則結(jié)果發(fā)生溢出；（2）如果次高位向最高位無進(jìn)位（或借位），而最高位向前有進(jìn)位（或借位）則結(jié)果發(fā)生溢出；例：已知

X=－1111111B，Y=－

0000010B[X]補(bǔ)=10000001B=[－127]補(bǔ)[Y]補(bǔ)=11111110B=[－2]補(bǔ)[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=101111111B=+127D自然丟失例：已知

X=01000000B，Y=01000010B[X]補(bǔ)=01000000B=[＋64]補(bǔ)[Y]補(bǔ)=01000010B=[＋66

]補(bǔ)[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=100000010B=－2D在計(jì)算機(jī)中涉及小數(shù)點(diǎn)位置時(shí)，常用的數(shù)據(jù)表示個(gè)是由兩種，即定點(diǎn)表示法和浮點(diǎn)表示法。定點(diǎn)就是實(shí)現(xiàn)約定好小數(shù)點(diǎn)位置；而浮點(diǎn)表示則是小數(shù)點(diǎn)的位置是浮動(dòng)的。（1）定點(diǎn)表示任何一個(gè)二進(jìn)指數(shù)都可以表示成一個(gè)純整數(shù)或純小數(shù)與一個(gè)2的整數(shù)次冪的乘積的形式N=2P×S；其中，S表示了N的全部有效數(shù)字，稱為N的尾數(shù)；P稱為N的階碼；2稱為階碼的底。1.2.3數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示符號(hào)二進(jìn)制數(shù)數(shù)符尾數(shù)為S的純小數(shù)小數(shù)點(diǎn)在最低位后符號(hào)二進(jìn)制數(shù)數(shù)符尾數(shù)為S的純小數(shù)小數(shù)點(diǎn)在最低位后定點(diǎn)整數(shù)：定點(diǎn)小數(shù)：例：用8位原碼表示定點(diǎn)整數(shù)100D100D=1100100B定點(diǎn)整數(shù)表示為：（2）浮點(diǎn)表示浮點(diǎn)數(shù)是小數(shù)點(diǎn)的位置可以變動(dòng)的數(shù)。類似于十進(jìn)制中的科學(xué)計(jì)數(shù)法。N=S×2P；其中，S稱為浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)，表示規(guī)格化后的小數(shù)值；