第頁四川天地人教育資料出品安徽省安慶市2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．[2025屆·安徽安慶·三模]復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是()A. B. C. D.i1．答案：C解析：由題意知,令,所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為,故選:C2．[2025屆·安徽安慶·三模]等比數(shù)列中的,是函數(shù)的極值點,,則()A.1 B. C. D.2．答案：A解析：由求導(dǎo)得.由或;由.所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)的極大值點為,極小值點為.由題意可知,所以.故選:A3．[2025屆·安徽安慶·三模]已知向量，滿足，，且，則()A.1 B. C. D.23．答案：A解析：由已知，即，又，則，解得，，故選：A.4．[2025屆·安徽安慶·三模]曲線在點處的切線與直線和圍成的三角形的面積為()A. B. C. D.14．答案：A解析：,所以在點處的切線方程為,它與的交點為,與的交點為,所以三角形面積為故選:A5．[2025屆·安徽安慶·三模]已知函數(shù)滿足,當時,,則()A.2 B.4 C.8 D.185．答案：C解析：因為,所以.因為,所以.故選:C.6．[2025屆·安徽安慶·三模]正四棱臺上底面邊長為1,下底面邊長為2,若一個球的球心到正四棱臺各個面的距離均等于該球的半徑,則正四棱臺與該球的體積之比為()A. B. C. D.6．答案：B解析：如圖作出正四棱臺的軸截面圖,可知這個等腰梯形的內(nèi)切圓就是內(nèi)切球的最大圓,根據(jù),,設(shè)球的半徑為R,則由直角三角形中的勾股定理得:,利用等面積法:,可得:,解得:,再由棱臺體積公式得:,由球的體積公式得:,所以正四棱臺與球的體積之比是:,故選:B.7．[2025屆·安徽安慶·三模]已知點在圓上,,,則的最小值為()A.1 B. C. D.7．答案：B解析：設(shè),,,則,整理后,與已知P軌跡方程展開整理得:,對照,得,解得,所以.則當P、B、M三點共線時取得最小值故選:B.8．[2025屆·安徽安慶·三模]已知函數(shù),若對于任意的使得不等式成立,則實數(shù)a的取值范圍()A. B. C. D.8．答案：A解析：因為,由可得,即函數(shù)的定義域為,可得,即,構(gòu)造函數(shù),其中,則,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,可得,則,即,其中,令,其中,則,當時,,此時函數(shù)單調(diào)遞減,當時,,此時函數(shù)單調(diào)遞增,所以,,解得.綜上,故選:A.二、多項選擇題9．[2025屆·安徽安慶·三模]一口袋中有除顏色外完全相同的3個紅球和2個白球,從中無放回的隨機取兩次,每次取1個球,記事件:第一次取出的是紅球;事件:第一次取出的是白球;事件B:取出的兩球同色;事件C:取出的兩球中至少有一個紅球,則()A.事件,為互斥事件 B.事件B,C為獨立事件C. D.9．答案：ACD解析：第一次取出的球是紅球還是白球兩個事件不可能同時發(fā)生,它們是互斥的,A正確;由于是紅球有3個,白球有2個,事件B發(fā)生時,兩球同為白色或同為紅色,,事件B不發(fā)生,則兩球一白一紅,,B,C不獨立,B錯;,C正確;事件發(fā)生后,口袋中有3個紅球1個白球,只有從中取出一個紅球,事件C才發(fā)生,所以,D正確.故選:ACD.10．[2025屆·安徽安慶·三模]設(shè)函數(shù),則()A.當時,有三個零點B.當時,無極值點C.,使在R上是減函數(shù)D.,圖象對稱中心的橫坐標不變10．答案：BD解析：對于A,當時,,求導(dǎo)得,令得或,由,得或,由,得,于是在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在處取得極大值,因此最多有一個零點,A錯誤;對于B,,當時,,即恒成立,函數(shù)在R上單調(diào)遞增,無極值點,B正確;對于C,要使在R上是減函數(shù),則恒成立,而不等式的解集不可能為R,C錯誤;對于D,由,得圖象對稱中心坐標為,D正確.故選：BD.11．[2025屆·安徽安慶·三模]如圖,棱長為2的正方體中,P,Q分別是棱,棱的中點,動點M滿足,其中,,則下列結(jié)論正確的是()A.若,則B.若,則三棱錐的體積為定值C.若,則直線與直線所成角的最小值為60°D.若動點M在三棱錐外接球的表面上,則點M的軌跡長度為11．答案：ABD解析：以D為坐標原點,,,所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,,所以,,所以,即,所以,又,所以,所以,所以,故A正確;因為,,所以點在直線上,又因為,,所以四邊形是平行四邊形,所心,又平面,平面,所以平面,所以M到平面的距離為定值,又的面積為定值,所以三棱錐的體積為定值,故B正確;點P為的中點,坐標為,點的坐標為,向量,向量,設(shè)直線與直線所成的角為,,又因為,當時,,即直線與直線所成角的最小值為,故C錯誤;因為三棱錐即為三棱錐,又底面是直角三角形,過的中點N作平面,O是三棱錐外接球的球心,因為平面,所以,又,所以三棱錐外接球的半徑,因為點M在平面內(nèi),又在三棱錐外接球的表面上,所以M的軌跡是平面截三棱錐外接球的截面圓,又易得O到平面的距離為1,所以截面圓的半徑為,所以M的軌跡的周長為,故D正確.故選:ABD.三、填空題12．[2025屆·安徽安慶·三模]已知,則________.12．答案：解析：因為,所以,所以.故答案為:.13．[2025屆·安徽安慶·三模]已知函數(shù)的圖象在處的切線經(jīng)過坐標原點,則實數(shù)________.13．答案：解析：因為,所以,所以,又,所以在處的切線方程為:,又切線方程過原點,把代入得,解得:.故答案為:.14．[2025屆·安徽安慶·三模]已知雙曲線（,）的左、右焦點分別為,,若在C上存在點P（不是頂點）,使得,則C的離心率的取值范圍為________.14．答案：解析：設(shè)與y軸交點,連接,由對稱性可知,,如圖所示,又,,.又,,在中,,,,由,且三角形的內(nèi)角和為,,即,則綜上,.故答案為:.四、解答題15．[2025屆·安徽安慶·三模]已知數(shù)列中,,設(shè)為前n項和,.（1）求的通項公式;（2）若,求數(shù)列的前n項和15．答案：（1）（2）解析：（1）數(shù)列中,,為前n項和,當時,,,當時,①,②,由②-①得:,,即,當時,,遞推可得:,,,,由累乘法可得:,,又因為,所以,即,經(jīng)檢驗,當時符合上式,所以;（2）由（1）可知,,所以:,所以;所以數(shù)列的前n項和.16．[2025屆·安徽安慶·三模]如圖,四棱錐中,平面平面,,,,,M為棱上一點.（1）證明:;（2）若平面,求直線與平面所成角的正弦值.16．答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）取AD中點O,連接PO,CO,,,平面平面,平面平面,平面平面平面,,,,,即又平面,,平面平面,,（2）連接,設(shè),連接平面,平面,平面平面,易知,取BC中點N,連接ON,則OA,ON,OP兩兩互相垂直.分別以O(shè)A,ON,OP為x軸,y軸,z軸建立如圖所示空間直角坐標系則,,,,,,,,設(shè)平面的一個法向量則即令,則設(shè)直線與平面所成角為,則即直線與平面所成角的.正弦值為17．[2025屆·安徽安慶·三模]已知甲、乙兩人進行乒乓球比賽,每局比賽甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,每局比賽的結(jié)果互不影響.規(guī)定:凈勝m局指的是一方比另一方多勝m局.（1）如果約定先凈勝兩局者獲勝,求恰好4局結(jié)束比賽的概率;（2）如果約定先凈勝三局者獲勝,那么在比賽過程中,甲可能凈勝局.設(shè)甲在凈勝i局時,繼續(xù)比賽甲獲勝的概率為,比賽結(jié)束（甲、乙有一方先凈勝三局）時需進行的局數(shù)為,期望為.①求甲獲勝的概率;②求.17．答案：（1）（2）①;②.解析：（1）4局結(jié)束比賽時甲獲勝,則在前2局甲乙各勝一局,并且第3,4局甲勝,概率為;4局結(jié)束比賽時乙獲勝,則在前2局甲乙各勝一局,并且第3,4局乙勝,概率為,所以恰好4局結(jié)束比賽的概率為.（2）①在甲凈勝局前提下,繼續(xù)比賽一局:若甲贏,則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟倬?繼續(xù)比賽獲勝的概率為;若甲輸,則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟倬?比賽結(jié)束,根據(jù)全概率公式,,同理,,,,由,,得,與聯(lián)立消去,得,又,,得,與聯(lián)立消去,得,所以甲獲勝的概率為.②在甲凈勝局前提下,繼續(xù)比賽一局:若甲贏,則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟倬?繼續(xù)比賽至結(jié)束,還需要局,共進行了局;若甲輸,則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟倬?比賽結(jié)束,共進行了1局,則,即,同理,即,,即,,即,,即聯(lián)立與,得,聯(lián)立與,得,代入,得,所以.18．[2025屆·安徽安慶·三模]已知點為橢圓的右端點,橢圓E的離心率為,過點的直線l與橢圓交于兩點,直線分別與y軸交于M,N點.（1）求橢圓E的標準方程;（2）試判斷線段的中點是否為定點,若是,求出該點縱坐標,若不是,說明理由.18．答案：（1）（2）是,MN的中點為解析：（1）由題意得,,又,解得,,,所以橢圓E的標準方程為;（2）設(shè),,因為直線l經(jīng)過且與橢圓交于BC兩點,所以直線BC的斜率一定存在,故設(shè)直線BC的方程為:,其中,由得:,,得;,,又因為直線AB的方程:,得,同理由故MN的中點為.19．[2025屆·安徽安慶·三模]已知函數(shù).（1）當時,求的極值;（2）若,求a的值;（3）求證:.19．答案：（1）在處取得極小值0,無極大值（2）（3）證明見解析解析：（1）當時,,,則,當時