湖南省郴州市2025屆高三三模數(shù)學(xué)試卷學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、選擇題1．[2025屆·湖南郴州·三模]已知集合，，則中所有元素和為()A.3 B.5 C.6 D.91．答案：C解析：因?yàn)榧希?，又集合，所以，所以中所有元素之和?故選：C.2．[2025屆·湖南郴州·三模]已知復(fù)數(shù)z滿足，則()A. B. C.3 D.12．答案：D解析：z滿足，則，則.則.故選：D.3．[2025屆·湖南郴州·三模]在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，若，則的值為()A.4 B.2 C. D.3．答案：A解析：因?yàn)椋?，所以，，又，得，又，所以，即，解?故選A.4．[2025屆·湖南郴州·三模]已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓C上，若，橢圓C的離心率為，則橢圓C的焦距為()A.1 B.2 C. D.4．答案：B解析：依題意，解得，，所以焦距.故選：B5．[2025屆·湖南郴州·三模]已知，則的值是()A. B. C. D.5．答案：B解析：依題意，，，所以.故選：B6．[2025屆·湖南郴州·三模]在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，邊上的高，則()A. B. C.8 D.6．答案：A解析：已知邊上的高，，根據(jù)三角形面積公式.將，，代入可得：，，.由余弦定理，可得：，即，可得：，即，把代入上式可得：，即.因?yàn)閎、c為三角形的邊，可得：.故選：A.7．[2025屆·湖南郴州·三模]已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間的圖象上存在兩條斜率之積為的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.7．答案：D解析：由，不妨設(shè)這兩條相互垂直的切線的切點(diǎn)為，，且若，則恒成立，不符合題意，可排除A項(xiàng).所以，此時(shí)在上單調(diào)遞增，依題意需使，解得.故選：D8．[2025屆·湖南郴州·三模]定義：在空間直角坐標(biāo)系中、兩點(diǎn)的“網(wǎng)線距離”為.設(shè)、、，其中x、y、z均為整數(shù)，若滿足的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為n，則n的值為()A.27 B.64 C.125 D.2168．答案：C解析：因?yàn)椤?、，則，由三角不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，同理可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)?，即，可得，又因?yàn)閤、y、z都是整數(shù)，則，故滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C.二、多項(xiàng)選擇題9．[2025屆·湖南郴州·三模]某市為豐富市民的業(yè)余生活，春節(jié)前舉辦“迎春杯”歌手大獎(jiǎng)賽，比賽分青年組、中年組和老年組.每組由6位專業(yè)評(píng)委對(duì)演唱評(píng)分（滿分10分），老年組的甲和乙參加比賽得分的折線統(tǒng)計(jì)圖如下圖所示，則下列結(jié)論正確的是()A.甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)B.甲得分的極差大于乙得分的極差C.甲得分的上四分位數(shù)小于乙得分的上四分位數(shù)D.甲得分的方差大于乙得分的方差9．答案：ABD解析：將甲的得分從小到大排列為：7.0，8.3，8.9，8.9，9.2，9.3.因?yàn)閿?shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，所以甲得分的中位數(shù)為.將乙的得分從小到大排列為：8.1，8.5，8.6，8.6，8.7，9.1.同理，乙得分的中位數(shù)為.由于，所以甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)，A選項(xiàng)正確.甲得分的最大值是9.3，最小值是7.0，則甲得分的極差為.乙得分的最大值是9.1，最小值是8.1，則乙得分的極差為.因?yàn)椋约椎梅值臉O差大于乙得分的極差，B選項(xiàng)正確.，，向上取整為5.所以甲得分的上四分位數(shù)是9.2，乙得分的上四分位數(shù)是8.7，由于，所以甲得分的上四分位數(shù)大于乙得分的上四分位數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，，向上取整為5.所以甲得分的上四分位數(shù)是9.2，乙得分的上四分位數(shù)是8.7，由于，所以甲得分的上四分位數(shù)大于乙得分的上四分位數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.計(jì)算甲得分的平均數(shù)：，甲得分的方差：.計(jì)算乙得分的平均數(shù)：，乙得分的方差：.因?yàn)?，所以甲得分的方差大于乙得分的方差，D選項(xiàng)正確.故選：ABD10．[2025屆·湖南郴州·三模]已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，若，且，則下列式子中一定成立的是()A. B. C. D.10．答案：AC解析：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，令，可得，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，可得，?duì)于A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，化簡(jiǎn)可得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，化簡(jiǎn)可得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，化簡(jiǎn)可得，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，化簡(jiǎn)可得，故D錯(cuò)誤；故選：AC.11．[2025屆·湖南郴州·三模]已知正方體的表面積與體積的數(shù)值之比為3，P，Q分別是棱，的中點(diǎn)，G是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A.B.多面體的體積為C.存在一點(diǎn)G，使得D.若平面，則平面截正方體的截面面積是11．答案：BD解析：對(duì)于A，因?yàn)檎襟w的表面積與體積之比為3，所以，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)樗拿骟w的體積為，所以多面體的體積為，正確；對(duì)于C，設(shè)的中點(diǎn)為R，連接，則，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，而G是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，即點(diǎn)G在平面內(nèi)，點(diǎn)在平面外，所以，為異面直線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在正方體中，連接，易得，又結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)易證，，是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，又在平面內(nèi)，所以，同理可證，，是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，又平面，所以平面平面，又P，Q分別是棱BC，的中點(diǎn)，所以平面截正方體的截面分別交棱，，，的中點(diǎn)F，H，I，J，所以截面為正六邊形，又，所以截面面積為，故D正確，故選：BD三、填空題12．[2025屆·湖南郴州·三模]已知，則________.12．答案：80解析：依題意，.故答案為：8013．[2025屆·湖南郴州·三模]已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______.13．答案：解析：由解得，，令，得，依題意，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故答案為：14．[2025屆·湖南郴州·三模]已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線C上，且，點(diǎn)P在直線上，過(guò)P向拋物線C引兩條切線，，切點(diǎn)分別為Q，R，過(guò)點(diǎn)引直線的垂線，垂足為點(diǎn)H，則直線FH的斜率的取值范圍是________.14．答案：解析：因?yàn)?，所以，所以拋物線；設(shè)，，，不妨設(shè)，，由，可得，可得，則，可得切線的方程為因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，可得，同理可得：，所以直線的方程為，可得直線過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)樵谥本€上的射影為H，可得且，所以點(diǎn)H的軌跡為以為直徑的圓，其方程為，當(dāng)與相切時(shí)，由拋物線，可得，設(shè)過(guò)點(diǎn)F與圓相切的直線的斜率為k，可得切線方程為，則，解得或，所以實(shí)數(shù)k的范圍為.故答案為：.四、解答題15．[2025屆·湖南郴州·三模]已知編號(hào)為甲、乙、丙的三個(gè)袋子中裝有除標(biāo)號(hào)外完全相同的小球，其中甲袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；乙袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球；丙袋內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球.(1)從甲袋中一次性摸出2個(gè)小球，記隨機(jī)變量X為1號(hào)球的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)現(xiàn)按照如下規(guī)則摸球：連續(xù)摸球兩次，第一次先從甲袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，若摸出的是1號(hào)球放入甲袋，摸出的是2號(hào)球放入乙袋，摸出的是3號(hào)球放入丙袋；第二次從放入球的袋子中再隨機(jī)摸出1個(gè)球.求第二次摸到的是3號(hào)球的概率.15．答案：(1)分布列見(jiàn)詳解；(2)解析：（1）由題意可知：隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，則有：，，，可得隨機(jī)變量X的分布列為X012P所以隨機(jī)變量X的期望.（2）記第一次從甲袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的是1、2、3號(hào)球分別為事件，，，第二次摸到的是3號(hào)球?yàn)槭录﨎，則，，，，，所以.16．[2025屆·湖南郴州·三模]已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)已知數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.16．答案：(1)(2)(3)解析：（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則，可得，所以，數(shù)列的公差為，故.（2）當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)且時(shí)，由得，上述兩個(gè)等式作差可得，可得，所以，數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，故.（3）由（1）（2）可得，所以，，則，上述兩個(gè)等式作差得，整理得.17．[2025屆·湖南郴州·三模]已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，，證明：.17．答案：(1)的最大值為，無(wú)最小值.(2)證明見(jiàn)解析解析：（1）當(dāng)時(shí)，，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得.令，解得.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；因此，在處取得最大值，最大值為，無(wú)最小值.（2）函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)可得，令，得到.設(shè)，是的兩個(gè)根，則①，②①-②得③；①+②得④.③÷④得，即，不妨設(shè)，令，則，即.要證，即證，即證，即證，即證，即證.設(shè)，對(duì)求導(dǎo)可得恒成立，故在上單調(diào)遞增，即，故成立，即成立.18．[2025屆·湖南郴州·三模]如圖所示，在圓柱中，矩形為圓柱的軸截面，圓柱過(guò)點(diǎn)C的母線為，點(diǎn)C，E為圓O上異于點(diǎn)A，B且在線段同側(cè)的兩點(diǎn)，且，點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，.(1)求證：平面；(2)若平面與平面所成夾角的余弦值為，求的大??；(3)若，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且直線與平面所成的角為，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線（垂足為Q），求直線與直線所成角的范圍.18．答案：(1)證明見(jiàn)解析(2)的大小為(3)線與直線所成角的范圍為解析：（1）證明：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)Q，連接，，因?yàn)?，O是中點(diǎn)，所以是的中位線，則點(diǎn)E是中點(diǎn)，又因?yàn)?，，是圓柱的母線，所以，，平行且相等，所以易得，相交與點(diǎn)F，F(xiàn)是的中點(diǎn)，則在中，，又因因?yàn)?，Q在延長(zhǎng)線上，所以可得平面，而不在平面內(nèi)，所以平面.（2）由題意可知面，且因?yàn)橹睆剑?，則，，三線兩兩垂直，則建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，又因?yàn)?，所以設(shè)，則，，可得點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，則，，由題意平面在平面內(nèi)，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則解得，，所以，又因?yàn)槠矫媾c平面所成夾角的余弦值，解得或5（舍），且因?yàn)?，則，即.（3）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)C的平面與直線所成的角為，又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)作平面的垂線（垂足為Q）所以為直角三角形，且，，所以點(diǎn)Q是繞旋轉(zhuǎn)的圓，且半徑，圓心距離點(diǎn)的長(zhǎng)度為所以設(shè)點(diǎn)且，又因?yàn)辄c(diǎn)A為，所以，而，所以，又因?yàn)?，所以，且因?yàn)?，所以，所以直線與直線所成角的范圍為.19．[2025屆·湖南郴州·三模]已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為2，過(guò)的直線l與雙曲線E交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，的周長(zhǎng)為16.(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)與x軸不重合的直線過(guò)點(diǎn)，雙曲線E上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱，且的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為.（?。┤簦髮?shí)數(shù)的值；（ⅱ）若A，B為雙曲線E右支上兩個(gè)不同的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，求的取值范圍.19．答案：(1)(2)（?。?；（ⅱ）解析：（1）因?yàn)楫?dāng)直線l垂直x軸時(shí)，將代入，