BOC,ZFOC=-AAOC：.ZEOF=ZEOCZFOC=-ZBOC+-ZAOC=

第12講與相交有關(guān)概念及平行線的判定222

1(/BOC+ZAOC)又ZBOC+ZAOC=180°ZEOF=1xi80°=90°(2)ZBOE

考點(diǎn)?方法?破譯

1.了解在平面內(nèi)，兩條直線的兩種位置關(guān)系：相交與平行.的余角是：NCOF、ZAOF；1的補(bǔ)角是：ZAOE.

2.掌握對頂角、鄰補(bǔ)角、垂直、平行、內(nèi)錯(cuò)角、中旁內(nèi)角的定義，并能用圖形或幾何【變式題組】

符號表示它們.01.如圖，已知直線A3、CD相交于點(diǎn)O,平分NEOC,且N￡OC=100°,^ZBOD

3.掌握直線平行的條件，并能根據(jù)直線平行的條件說明兩條直線的位置關(guān)系.的度數(shù)是（）

A.20°B.40°

經(jīng)典?考題?賞析

【例1】如圖，三條直線NB、CD、￡尸相交于點(diǎn)O,一共構(gòu)成哪幾對對頂角？一共

構(gòu)成哪幾對鄰補(bǔ)角？

【解法指導(dǎo)】

⑴對頂角和鄰補(bǔ)角是兩條直線所形成的圖角.

⑵對頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊是另一個(gè)角的兩

邊的反向延長線.

⑶鄰補(bǔ)角：兩個(gè)角有一條公共邊，另一邊互為反向延長線.

有6對對頂角.02.（杭州）已知N1=N2=N3=62°,則N4=.

12對鄰補(bǔ)角.【例3】如圖，直線64相交于點(diǎn)O,4、5分別是小、。上的點(diǎn)，試用三角尺完成下列

【變式題組】作圖：

01.如右圖所示，直線45、CD、E尸相交于尸、。、R,貝IJ：⑴經(jīng)過點(diǎn)A畫直線人的垂線.

（DZARC的對頂角是⑵畫出表示點(diǎn)B到直線A的垂線段.

鄰補(bǔ)角是____________【解法指導(dǎo)】垂線是一條直線，垂線段是一條線段.

⑵中有幾對對頂角，幾對鄰補(bǔ)角？【變式題組】

02.當(dāng)兩條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，共有2對對頂角；01.尸為直線/外一點(diǎn)，AB、。是直線/上三點(diǎn)，且

當(dāng)三條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，共有6對對頂角；R4=4cm,PB=5cm,PC=6cm,則點(diǎn)尸到直線/的距離

當(dāng)四條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，共有12對對頂角.為（）

問：當(dāng)有100條直線相交于一點(diǎn)時(shí)共有對頂角.A.4cmB.5cmC.不大于4c加

【例2】如圖所示，點(diǎn)O是直線48上一點(diǎn)，OE、。方分別平分N50C、ZAOC.02如圖，一輛汽車在直線形的公路43上由4向5行駛，M、N為位于公路兩側(cè)的村莊;

⑴求NEO9的度數(shù)；⑴設(shè)汽車行駛到路48上點(diǎn)尸的位置時(shí)距離村莊M最近.行駛到43上點(diǎn)。的位置時(shí),

⑵寫出ZBOE的余角及補(bǔ)角.距離村莊N最近，請?jiān)趫D中的公路上分別畫出點(diǎn)尸、。的位置.

【解法指導(dǎo)】解這類求角大小的問題，要根據(jù)所涉及的角的

定義，以及各角的數(shù)量關(guān)系，把它們轉(zhuǎn)化為代數(shù)式從而求解；M.

【解】⑴OF平分NBOC、ZAOCZEOC=-Z

2

B

N

03.如圖，已知于5,DB工EB于B,并且NC8E：：2,請作出

的對頂角，并求其度數(shù).

⑵當(dāng)汽車從4出發(fā)向8行駛的過程中，在的路上距離“村越來越近..在

的路上距離村莊N越來越近，而距離村莊"越來越遠(yuǎn).

【例4】如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O,OFLCD,OELAB,尸=65°,求N

BOE^ZAOC的度數(shù).

【解法指導(dǎo)】圖形的定義現(xiàn)可以作為判定圖形的依

據(jù)，也可以作為該圖形具備的性質(zhì)，由圖可得：ZAOF=

90°,OFA.AB.【例5】如圖，指出下列各組角是哪兩條直線被哪一條直線所截而得到的，并說出它們

的名稱：

【解】?.?OE_LC。，OFLABAZFOB=ZEOD=90°

N1和N2：是45、麻被直線CD所截而得到的，一組同位角

（垂直定義）:./BOE=NFOD=90°一/。08=65°N1和N3：是45、CZ）被直線CD所截而得到的，一對內(nèi)錯(cuò)角

???ZDOB=25°：,ZAOC=ZDOB=25°（對頂角相等）N1和N6：是45、CD被直線CD所截而得到的，一對同旁內(nèi)角

N2和N6：是EF、CZ）被直線45所截而得到的，一對同位角

N2和N4：是EF、45被直線CD所截而得到的，一對同旁內(nèi)角

N3和N5：是EF、CD被直線45所截而得到的，一對內(nèi)錯(cuò)角

N3和N4：是45、CD被直線防所截而得到的，一對同旁內(nèi)角

【變式題組】【解法指導(dǎo)】正確辯認(rèn)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的思路是：首先弄清所判斷的是哪兩

01.如圖，若于O,直線CZ）過點(diǎn)O,ZEOD：ZEOB=1：3,求N/OC、ZAOE個(gè)角，其次是找到這兩個(gè)角公共邊所在的直線即截線，其余兩條邊所在的直線就是被截的兩

條直線，最后確定它們的名稱.

【變式題組】

01.如圖，平行直線48、8與相交直線ERG”相交，圖中的同旁

內(nèi)角共有（）

A.4對B.8對C.12對D.16對

02.如圖，O為直線上一點(diǎn)，ZBOC=3ZAOC,OC平分N4OD02.如圖，找出圖中標(biāo)出的各角的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角.

⑴求N力OC的度數(shù)；

⑵試說明OD與AB的位置關(guān)系.

BOA

C.AB//DE()

03.如圖，按各組角的位置判斷錯(cuò)誤的是（）

A.N1和N2是同旁內(nèi)角

B.N3和N4是內(nèi)錯(cuò)角

C.N5和N6是同旁內(nèi)角03.如圖，已知NE平分NC45,CE平分N4CD.ZCAE+ZACE=90°,求證：AB//CD.

D.N5和N7是同旁內(nèi)角

【例6】如圖，根據(jù)下列條件，可推得哪兩條直線平行？

并說明理由?

⑴NCBD=/ADB；

（2）N3CZ>+ZADC=180°

^）ZACD=ZBAC04.如圖，已知N力8C=N4CH,BE平分/ABC,CD

【解法指導(dǎo)】圖中有即即有同旁平分NZC5,/EBF=NEFB,求證：CD//EF.

角，有“”即有內(nèi)錯(cuò)角.

【解法指導(dǎo)】⑴由NCBD=N4DB,可推得根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

⑵由N3CD+N/Z）C=180°,可推得/Z）〃5C；根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

⑶由NZCZ）=NR4C可推得45〃。。；根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

【變式題組】【例7】如圖⑴，平面內(nèi)有六條兩兩不平行的直線，試證：在所有的交角中，至少有一

01.如圖，推理填空.

(DVN4=Z(已知)

:.ACHED()

(2)???NC=Z(已知)

J.AC//ED()

(3)VN4=Z(已知)

：.AB//DF()

02.如圖，AD平分/BAC,EF平分/DEC,且N1=N2,試說明與45的位置關(guān)系.

解：???N。是NA4C的平分線（已知）

A

AZBAC=2Z1（角平分線定義）

圖⑴圖⑵

又?：EF平分NDEC（已知）

又???N1=N2(已知)Ax【解法指導(dǎo)】如圖⑵，我們可以將所有的直線移動(dòng)后，使它們相交于同一點(diǎn)，此時(shí)的圖

)形為圖⑵.

C

DF

證明：假設(shè)圖⑵中的12個(gè)角中的每一個(gè)角都不小于31。A.0B.2C.4D.6

則12X31°=372°>360°05.點(diǎn)、A、B、。是直線/上的三點(diǎn)，點(diǎn)尸是直線/外一點(diǎn)，且刃=4皿，PB=5CM,PC=6cm,

這與一周角等于360°矛盾則點(diǎn)尸到直線/的距離是（）

所以這12個(gè)角中至少有一個(gè)角小于31°A.4cmB.5cmC.小于4c冽D.不大于4cm

【變式題組】06.將一副直角三角板按圖所示的方法旋轉(zhuǎn)（直角頂點(diǎn)重合），則N495+NOOC=.

01.平面內(nèi)有18條兩兩不平行的直線，試證：在所有的交角中至少有一個(gè)角小于11°.

02.在同一平面內(nèi)有2010條直線41，a2,…，。2010,如果。2〃的，的~1~。4,。4〃。5.......那

么與。2010的位置關(guān)系是?

03.已知n（?>2）個(gè)點(diǎn)P1，P2,尸3…P〃.在同一平面內(nèi)沒有任何三點(diǎn)在同一直線上，設(shè)s〃

表示過這幾個(gè)點(diǎn)中的任意兩個(gè)點(diǎn)所作的所有直線的條數(shù)，顯然：52=1,§3=3,54=6,

???S5=10…則Sn=.

演練鞏固?反饋提高

07.如圖，矩形45CD沿反對折，且/DEF=72°,則N4EG=.

01.如圖，N瓦4C=N4Z）g=90°.下列說法正確的是（）08.在同一平面內(nèi)，若直線“2_1_。3,〃3〃44,…則Q1aio.（。1與Q10不重合）

A.a的余角只有N5B.。的鄰補(bǔ)角是N/14C09.如圖所示，直線〃、6被直線c所截，現(xiàn)給出下列四個(gè)條件：①N1=N5,②N1=N7,

C.N/CF是a的余角D.a與NZCF互補(bǔ)③N2+N3=180°,④N4=N7,其中能判斷?！?的條件的序號是.

02.10.在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有.

如11.如圖，已知班1平分N/5Z）,平分NCQ5,且NE=N4BE+NEDC.試說明48〃CD?

圖，

已知

直線12.如圖，已知5E平分N45C,CF平分/BCD,

第4題圖AB、=N2,那么直線45與CD的位置關(guān)系如何？

CD

被直線班所截，則N瓦I四的同位角為（）

A.ZAMFB.ZBMFC.ZENCD.ZEND

03.下列語句中正確的是（）

A.在同一平面內(nèi)，一條直線只有一條垂線

B.過直線上一點(diǎn)的直線只有一條

C.過直線上一點(diǎn)且垂直于這條直線的直線有且只有一條

D.垂線段就是點(diǎn)到直線的距離

04.如圖，NR4C=90。，8c于。，則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)有（）

①②4。與4C互相垂直③點(diǎn)C到的垂線段是線段48④線段N8的長度是13.如圖，推理填空:

點(diǎn)B到ZC的距離⑤垂線段民4是點(diǎn)B到ZC的距離⑥AD>BD（DVZ^=（已知）

C.AC//ED()02.平面上有10條直線，其中4條是互相平行的,那么這10條直線最多能把平面分成（）

(2)VZ2=(已知)部分.

：.AC//ED()A.60B.55C.50D.45

(3)VN4+=180°(已知)03.平面上有六個(gè)點(diǎn)，每兩點(diǎn)都連成一條直線，問除了原來的6個(gè)點(diǎn)之外，這些直線最多還

:?AB〃FD.有（）個(gè)交點(diǎn).

A.35B.40C.45D.55

14.如圖，請你填上一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件使04.如圖，圖上有6個(gè)點(diǎn)，作兩兩連線時(shí)，圓內(nèi)最多有交

點(diǎn).

05.如圖是某施工隊(duì)一張破損的圖紙，已知〃、6是一個(gè)角的兩邊，現(xiàn)在要在圖紙上畫一

￡條與這個(gè)角的平分線平行的直線，請你幫助這個(gè)施工隊(duì)畫出這條平行線，并證明你的正

確性.

B

第14題圖

06.平面上三條直線相互間的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A.35.1或3C.1或2或3D.不一定是1,2,3

07.請你在平面上畫出6條直線（沒有三條共點(diǎn)）使得它們中的每條直線都恰好與另三條直

線相交，并簡單說明畫法?

08.平面上有10條直線，無任何三條交于一點(diǎn)，要使它們出現(xiàn)31個(gè)交點(diǎn)，怎么安排才能辦

至IJ?

培優(yōu)升級?奧賽檢測

01.平面圖上互不重合的三條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A.1,3B.0,1,3C.0,2,3D.0,1,09.如圖，在一個(gè)正方體的2個(gè)面上畫了兩條對角線45、AC,那么

2,3D兩條對角線的夾角等于（）

A/[

E

C

F

B

B

A.60°B.75°C.90°D.135°02.（安徽）如圖，直線。//l2,Zl=55°,Z2=65°,則N3為（）

A.50°B.55°C.60°D.65°

10.在同一平面內(nèi)有9條直線如何安排才能滿足下面的兩個(gè)條件？03.如圖，已知尸?！?8〃。。Za：/D：NB=2:3:4,試求Na、ND、的度數(shù).

⑴任意兩條直線都有交點(diǎn)；

⑵總共有29個(gè)交點(diǎn).【例2】如圖，已知N3〃CD〃￡RGCLCF,Z5=60°,ZEFC=45°,求N8CG的度

數(shù).

第13講平行線的性質(zhì)及其應(yīng)用【解法指導(dǎo)】平行線的性質(zhì)與對頂角、鄰補(bǔ)角、垂直和角平i______________B

分線相結(jié)合，可求各種位置的角的度數(shù)，但注意看清角的位置./

考點(diǎn)?方法?破譯【解】:.NB=/BCDNF=NFCD（兩//G

1.掌握平行線的性質(zhì)，正確理解平行線的判定與性質(zhì)定理之間的區(qū)別和聯(lián)系；條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又?.?/8=60。Z￡FC=45°AZ-D

2.初步了解命題，命題的構(gòu)成，真假命題、定理；38=60。ZFCD=45°XVGCLCFjNGC尸=90。（垂

3.靈活運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì)解決角的計(jì)算與證明，確定兩直線的位置關(guān)系，感受直定理）???NGCQ=90。一45。=45。AZ5CG=60°-45°=EF

轉(zhuǎn)化思想在解決數(shù)學(xué)問題中的靈活應(yīng)用.15°

【變式題組】

經(jīng)典?考題?賞析

01.如圖，已知/尸〃5C,且Z尸平分NE45,N5=48。，則NC的的度數(shù)=

［例1］如圖,四邊形48c。中，AB//CD,BC//AD,ZA=38C

【解法指導(dǎo)】

兩條直線平行,同位角相等；

兩條直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等；

兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).

平行線的性質(zhì)是推導(dǎo)角關(guān)系的重要依據(jù)之一，必須正確識別圖形的特征，看清截線，識

別角的關(guān)系式關(guān)鍵.

【解】：'JAB//CDBC//AD

???N/+N5=180。ZB+NC=180。（兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）02.如圖，已知N48C+N4C5=120°,BO、CO分別N/5C、ZACB,。月過點(diǎn)。與5。平

ZA=ZCVZA=38°.\ZC=38°行，貝ljN50C=

【變式題組】03.如圖，已知48〃MP〃CD,MN平分/AMD,ZA=40°,ZD=50°,求NMV/P的度

01.如圖，已知點(diǎn)、E在BD的延長線上，若NZZ）E=155。,則NDBC的度數(shù)為（）數(shù).

A.155°B.50°C.45°D.25

【例3】如圖，已知N1=N2,ZC=ZD.

【解法指導(dǎo)】

因果轉(zhuǎn)化，綜合運(yùn)用.

逆向思維：要證明N2=N產(chǎn)，即要證明。/〃ZC證明：'：EGLBC,ADLBC：.ZEGC=ZADC=90°

要證明。/〃ZC,即要證明NQ+NQ5C=180°,（垂直定義）???EG〃4。（同位角相等，兩條直線平行）

即：NC+NQBC=180°；要證明NC+NQ5CVZ1=Z3???N3=NB4Q（兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

=180°即要證明。5〃EC.要證明Z>5〃EC即要???力。平分NA4c（角平分線定義）

證明N1=N3.【變式題組】

證明：VZ1=Z2,Z2=Z3（對頂角相等）所以N1=N3???。5〃￡。（同位角相等?01.如圖，若AE上BC于E,Z1=Z2,求證：DCLBC.

兩直線平行）???NQBC+NC=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）???NC=N。:./DBC

+ZD=180°J。尸〃4C（同旁內(nèi)角，互補(bǔ)兩直線平行），/4=/斤（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)

角相等）

【變式題組】

01.如圖，已知尸G,Z1=Z2,求證：DE//FG

02.如圖，在△48C中，CELAB于EQFUB于F,AC〃ED,CE平分NACB.求證:

ZEDF=ZBDF.

02.如圖，已知Nl+N2=180°,N3=N5.

3.已知如圖，AB//CD,N8=40°

03.如圖，兩平面鏡呢尸的夾角仇入射光線40平行數(shù).

于尸入射到。上，經(jīng)兩次反射后的出射光線05平行

于則角。等于.

d

【例4】如圖，已知EGL5C,ADLBC,N1=N3.

求證：4。平分NA4C.

【解法指導(dǎo)】抓住題中給出的條件的目的，仔細(xì)分析【例5】已知，如圖，AB//EF,求證：NABC+NBCF+NCFE=360。

條件給我們帶來的結(jié)論，對于不能直接直接得出結(jié)論【解法指導(dǎo)】從考慮360。這個(gè)特殊角入手展開聯(lián)想，分析類比,

的條件，要準(zhǔn)確把握住這些條件的意圖.（題目中的：聯(lián)想周角.構(gòu)造兩個(gè)“平角”或構(gòu)造兩組“互補(bǔ)”的角.

Z1=Z3）過點(diǎn)。作CD//AB即把已知條件尸聯(lián)系起來，這是

EF

關(guān)鍵.C.Na+N￡—Ny=90°D.Z^+Zy-Za=90°

【證明】：過點(diǎn)。作'JCD//AB.*.Z1+Z^5C=18O°

（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）又VAB〃EF,：,CD〃EF（平行02.如圖，已知，AB//CD,NNBE和NCDE的平分線相交于點(diǎn)尸，Z￡=140°,求NBFD

于同一條直線的兩直線平行）???N2+NCFE=180。（兩直線平行，的度數(shù).An

同旁內(nèi)角互補(bǔ)），ZABC+Z1+Z2+ZCFE=180°+180°=360°

即ZABC+ZBCF+NCFE=360。

【變式題組】

01.如圖，已知，AB//CD,分別探究下面四個(gè)圖形中N4PC和NF45、NPC。的關(guān)系，請

你從所得四個(gè)關(guān)系中選出任意一個(gè)，說明你探究的結(jié)論的正確性.cD

結(jié)論：⑴____________________________⑵____________________________

（3）____________________________（4）____________________________【例7】如圖，平移；角形NBC,設(shè)點(diǎn)N移動(dòng)到點(diǎn)/,畫出平移后的三角形/ML.

二，￥【解法指導(dǎo)】抓住平移作圖的“四部曲”一定，找，移，連.

⑴定：確定平移的方向和距離./

⑵找：找出圖形的關(guān)鍵點(diǎn).//

⑶移：過關(guān)鍵點(diǎn)作平行且相等的線段，得到關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)./八

⑷連：按原圖形順次連接對應(yīng)點(diǎn).皮乙

【解】①連接44'②過點(diǎn)5作出1，的平行線/③在/截取55'=44，/

c（DDC（2）DC（3）DC⑷

則點(diǎn)B’就是的B對應(yīng)點(diǎn)，用同樣的方法作出點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)d.連接

【例6】如圖，已知，AB//CD,則Na、d、々、N獷之間的關(guān)系是L）就得到平移后的三角形//d.B-

Na+/?+/〃―/￡=180。A_____________B【變式題組】

【解法指導(dǎo)】基本圖形,________i7^01.如圖，把四邊形48co按箭頭所指的方向平移2"加，作出平移后的圖形.

1E；

CD/

CD

C

善于從復(fù)雜的圖形中找到基本圖形，運(yùn)用基本圖形的規(guī)律打開思路.

【解】過點(diǎn)萬作即〃45.過點(diǎn)尸作尸G〃/瓦-：AB//EH.?.Na=Nl（兩直線平02.如圖，已知三角形45。中，NC=90。,5c=4,4C=4,現(xiàn)將△NBC沿C2方向平移到△

行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又?：FG//ABJ.EH//FG（平行于同一條直線的兩直線平行）.1/2=/3/ML的位置，若平移距離為3,求△/BC與△/8V的重疊部分的面積.

又＜AB〃CD.,.尸G〃CD（平行于同一條直線的兩直線平行）.?./（（/+N4=180。（兩直線平

行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.?.Na+Ny+NV/-N￡=Nl+N3+N4一y一/1一/2=/4+勿=180。

【變式題組】/（

01.如圖，AB//EF,ZC=90°,則Na、N￡、Ny的關(guān)系是（）"歹B

TOD

EF

從圖中可知，小敏畫平行線的依據(jù)有（）

03.原來是重疊的兩個(gè)直角三角形，將其中一個(gè)三角形沿著5C方向平移3E的距離，就得到①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；③同位角相等，兩直線平行;

此圖形，求陰影部分的面積.（單位：厘米）④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

A.①②B.②③C.③④D.①④

06.在4、5兩座工廠之間要修建一條筆直的公路，從A地測得B地的走向是南偏東52°.

現(xiàn)48兩地要同時(shí)開工，若干天后,公路準(zhǔn)確對接,則B地所修公路的走向應(yīng)該是（）

A.北偏東52°B.南偏東52°C.西偏北52°D.北偏西38°

07.下列幾種運(yùn)動(dòng)中屬于平移的有（）

①水平運(yùn)輸帶上的磚的運(yùn)動(dòng)；②筆直的高訴公路上行駛的汽車的運(yùn)動(dòng)（忽略車輪的轉(zhuǎn)

動(dòng)）；③升降機(jī)上下做機(jī)械運(yùn)動(dòng)；④足球場上足球的運(yùn)動(dòng).

種種種種

演練鞏固反饋提高4.15.2C.3O.4

08.如圖，網(wǎng)格中的房子圖案正好處于網(wǎng)格右下角的位置.平移這個(gè)圖案，使它正好位于左上

01.如圖，由力測5得方向是（）角的位置（不能出格）

A.南偏東30°B.南偏東60