第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年江蘇省江陰一中、青陽(yáng)高中高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足z(1?i)=|1+i|2，則z=(

)A.1?i B.1+i C.?1?i D.?1+i2.在?ABC中，若B=π6,b=2,a=A.π6 B.π6或5π6 C.π3或3.如圖，在△ABC中，M是邊BC的中點(diǎn)，P是AM上一點(diǎn)，且BP=23BA+m2A.13 B.16 C.124.一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為1和4，體積為28π，則它的表面積為(

)A.41π B.42π C.29335.已知點(diǎn)A1,1，B0,2，C?1,?1.則AB在BCA.105,3105 B.6.已知m,n為兩條不同的直線，α,β為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是(

)A.m?α,n?α,m//β,n//β?7.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b、c，若b=a(cos?C+33sin?C)，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)D在BC上，AD=A.473 B.73 C.8.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,E,F分別是棱BC,CC1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCCA.2,5 B.2,3 C.3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.如圖所示，已知P，Q，R分別是?ABC三邊的AB，BC，CA的四等分，如果AB=a，AC=b，以下向量表示正確的是(

)A.QP=?34a?12b 10.下列結(jié)論中正確的是(

)A.若|z|=1，則z=±1或z=±i

B.若z∈C，則|z2|=|z|2

C.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則|z+2i|的最大值為3

D.若11.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E,F,G分別是棱BC，A.EF//平面AA1B1B B.BD//平面EFG

C.存在點(diǎn)D，滿足BD⊥EF三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(1,2)，b=(x,1?x)，若a⊥b，則13.已知水平放置的四邊形ABCD的斜二測(cè)直觀圖為矩形A′B′C′D′，已知A′B′=6，B′C′=3，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)_________

14.斯特瓦爾特(Stewart)定理是由18世紀(jì)的英國(guó)數(shù)學(xué)家提出的關(guān)于三角形中線段之間關(guān)系的結(jié)論．根據(jù)斯特瓦爾特定理可得出如下結(jié)論：設(shè)△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，點(diǎn)D在邊BC上，且BDDC=mn，則AD2=mb2+nc2m+n?mna2m+n2.已知?ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)設(shè)復(fù)數(shù)z1=2+ai(其中a∈R)，(1)若z1+z(2)若z1z2是純虛數(shù)，求16.(本小題15分)

已知向量a=(m,?1)，b=(1,2)．

(1)若(a+b)⊥2b，求|a+2b|;

(2)若向量17.(本小題15分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知向量m、n滿足：m=(2a,6)，n=(b,2sinB)，且m//n．

(Ⅰ)求角A；

(Ⅱ18.(本小題17分)《九章算術(shù)》中有這樣一段話：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑”，這里所謂的“陽(yáng)馬”，就是底面是矩形且一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖，四棱錐P?ABCD為陽(yáng)馬，PA⊥底面ABCD,AB=2，PA=AD=1,E,F分別為(1)證明：EF//平面PAD；(2)證明：EF⊥平面PCD；(3)求直線BF與平面ABCD所成角的大?。?9.(本小題17分)古希臘數(shù)學(xué)家托勒密對(duì)凸四邊形(凸四邊形是指沒(méi)有角度大于180°的四邊形)進(jìn)行研究，終于有重大發(fā)現(xiàn)：任意一凸四邊形，兩組對(duì)邊的乘積之和不小于兩條對(duì)角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)等號(hào)成立.且若給定凸四邊形的四條邊長(zhǎng)，四點(diǎn)共圓時(shí)四邊形的面積最大.如圖，在凸四邊形ABCD中，(1)若AB=2，BC=1，∠ACD=π2，AC=CD(圖1)(2)若AB=2，BC=6，AD=CD=4(圖2)，求四邊形ABCD面積取得最大值時(shí)角A的大小，并求出四邊形ABCD面積的最大值；(3)在滿足(2)條件下，若點(diǎn)P是△ABD外接圓上異于B，D的點(diǎn)，求PB+PD的最大值．

參考答案1.B

2.C

3.A

4.B

5.C

6.D

7.A

8.D

9.BC

10.BC

11.AD

12.2

13.3614.215.(1)∵z∴a=4,z1∴z1(2)∵z∴6?4a25=0且3a+8故z1的虛部為32，16.解：(1)因?yàn)閍=(m,?1)，b=(1,2)，

所以a+b=(m+1,1)，2b=(2,4)．

由(a+b)⊥2b，可得(a+b)?2b=0，

即2(m+1)+4=0，

解得m=?3，

所以a+2b=(?1,3)，

故|a+2b|=10．

(2)因?yàn)橄蛄縞=(?2,1)，a//c，

所以m?2=0，所以m=?2．

則a=(2,?1)，a?2b=(0,?5)，

所以cosa,a?2b=a?(a?2b)|a||a?2b|=55×5=55，

所以a與a?2b夾角的余弦值為55．

17.解：(Ⅰ)因?yàn)閙//n，

所以2a?2sinB=6?b，2asinB=3b，

18.解：(1)證明：作PD的中點(diǎn)M，連接AM?MF，由M?F得分別為PD?PC的中點(diǎn)，所以MF//DC且MF=1又因?yàn)锳E//DC且AE=12DC，所以MF//AE所以四邊形AMFE為平行四邊形，所以EF//AM，因?yàn)锳M?平面PAD,EF?平面PAD，所以EF//平面PAD(2)證明：因?yàn)锳D=PA，所以AM⊥PD，因?yàn)镻A⊥底面ABCD，而CD?底面ABCD，所以PA⊥CD，又因?yàn)镃D⊥AD,PA,AD?平面PAD，且PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，而AM?平面PAD，所以CD⊥AM，因?yàn)镋F//AM，AM⊥PD，所以CD⊥EF，EF⊥PD，又因?yàn)镻D∩CD=D,PD,CD?平面PCD，所以EF⊥平面PCD；(3)連接AC,BD交于點(diǎn)O，連接OF，因?yàn)辄c(diǎn)O,F分別為AC,PC的中點(diǎn)，所以O(shè)F//PA，所以O(shè)F⊥平面ABCD，所以BO為BF在平面ABCD中的射影，所以BF與平面ABCD所成角為∠FBO，由已知得BO=所以tan∠FBO=因?yàn)椤螰BO為銳角，所以∠FBO=π所以BF與平面ABCD所成角為π619.解：(1)設(shè)

AC=CD=x

，則

AD=2由材料可知，

AB?CD+BC?AD≥AC?BD

，即

2?x+1?解得

BD≤22所以線段

BD

長(zhǎng)度的最大值為

22(2)由材料可知，當(dāng)

A、B、C、D

四點(diǎn)共圓時(shí)，四邊形

ABCD

的面積達(dá)到最大．連接

BD

，在

ΔABD

中，由余弦定理，得BD2在

ΔBCD

中，由余弦定理，得BD2=B

因?yàn)?/p>

A、B、C、D

四點(diǎn)共圓，所以

A+C=π

，從而

cosA=cos(π?C)=?cosC

，③由①②③，解得

cosA=?12因