第1頁（共6頁）2024~2025學(xué)年第二學(xué)期第一次學(xué)科素養(yǎng)練習(xí)初三數(shù)學(xué)一．選擇題（共8小題，每題3分，共24分）1．實(shí)數(shù)-1A．2025 B．﹣2025 C．-12025 D2．2024年5月3日，嫦娥六號(hào)探測器由長征五號(hào)遙八運(yùn)載火箭在中國文昌航天發(fā)射場成功發(fā)射，在近月軌道時(shí)飛行1m大約需要0.0000893s．?dāng)?shù)據(jù)0.0000893用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．8.93×10﹣5 B．893×10﹣4 C．8.93×10﹣4 D．8.93×10﹣73．下列圖形中，是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形的為（）A．B． C． D．4．若a＞b，x＜1，則下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)x＞bx B．a(chǎn)+1＞b+x C．a(chǎn)﹣2＞b﹣1 D．a(chǎn)＞b+15．如圖，飛鏢游戲板中的每一塊小正方形都完全一樣．假設(shè)飛鏢擊中任何一個(gè)位置都是等可能的，任意投擲飛鏢1次（擊中陰影區(qū)域的邊界或者沒有擊中游戲板，則重投1次），則飛鏢擊中陰影區(qū)域的概率是（）A．13 B．49 C．59 6．將一張長方形紙片（足夠長）折疊成如圖所示圖形，重疊部分是一個(gè)三角形（△ABC），BC為折痕，若∠1＝42°，則∠2的度數(shù)為（）A．48° B．58° C．60° D．69°5題圖6題圖7．《九章算術(shù)》中有一道關(guān)于古代驛站送信的題目，其白話譯文為：一份文件，若用慢馬送到800里遠(yuǎn)的城市，所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多1天；若改為快馬派送，則所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)間少2天，已知快馬的速度是慢馬的52倍，求規(guī)定時(shí)間．設(shè)規(guī)定時(shí)間為xA．800x+2=52×C．800x-1=528．如圖，扇形OAB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)C是OB上一點(diǎn)，CB＝3，OC＝5，將扇形OAB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到扇形DEF，若點(diǎn)O剛好落在AB上的點(diǎn)E處，則AF的值為（）A．8895 B．5898 C．8二．填空題（共8小題，每題3分，共24分）9．代數(shù)式x-4x-5有意義，則x滿足的條件是10．已知：am＝3，an＝2，則，am+2n＝．11．已知a和b是方程x2+2025x﹣4＝0的兩個(gè)解，則a2+2024a﹣b的值為．12．一組數(shù)據(jù)的方差計(jì)算公式為S2=14[(5-13．新定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心．根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，探究如下問題：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，如果準(zhǔn)外心P在BC邊上，那么PC的長為．14．已知圓錐的底面半徑為2，母線長SA＝8，現(xiàn)有一只小蟲從圓錐底面圓上A點(diǎn)出發(fā)，沿著圓錐側(cè)面繞行到母線SA的中點(diǎn)B，則它所走的最短路程是．15．若關(guān)于x的方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根x1≥3，另一個(gè)實(shí)數(shù)根x2≤0，則關(guān)于x的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到x軸距離h的取值范圍是．16．如圖，AB⊥BC，AB＝BC＝4，以AB為直徑作半圓O，D是半圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD，將CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到CE，連接AE，則AE的最小值是．13題圖14題圖16題圖三．解答題（共11小題，共82分）17．（5分）計(jì)算：(-1)202418．（5分）解不等式組：．19．（6分）先化簡，再求值(1-x+1x-3)÷x220．（6分）如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB＝∠DFE＝90°，點(diǎn)D、C、F、B在同一條直線上，且AB＝DE，AB⊥DE．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若AC＝8，EF＝6，CF＝5，求BD的長．21．（6分）如圖，16個(gè)小方框代表16把椅子，其中黑色圓點(diǎn)表示已有人入座，小李和小王隨機(jī)入座，根據(jù)要求，小李需要坐第二排，小王需要坐第三排，兩人選擇座位的可能性相同．（1）直接寫出小王選擇C2座位的概率；（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，求小李和小王剛好坐在同一列的概率．22．（8分）初中階段是學(xué)生身體素質(zhì)增強(qiáng)的關(guān)鍵時(shí)期．某校為了解本校七年級(jí)女生體育測試項(xiàng)目“仰臥起坐”的訓(xùn)練情況，隨機(jī)調(diào)查了50名七年級(jí)女生一分鐘仰臥起坐的個(gè)數(shù)，將她們的成績分為四組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)表：分組個(gè)數(shù)x頻數(shù)（人數(shù)）每組仰臥起坐的平均個(gè)數(shù)/個(gè)A10≤x＜20815B20≤x＜301826C30≤x＜40n34D40≤x≤50846請根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的信息，解答下列問題：（1）填空：n＝，本次所抽取的50名女生一分鐘仰臥起坐成績的中位數(shù)落在組；（2）求本次所抽取的50名女生一分鐘仰臥起坐的平均個(gè)數(shù)；（3）若在該校體育考試中，一分鐘仰臥起坐個(gè)數(shù)超過20個(gè)（含20個(gè)）才算通過考試，請你估計(jì)該校七年級(jí)700名女生中，能通過體育考試的女生人數(shù)．23．（8分）佳佳新購買了一款手機(jī)支架，其結(jié)構(gòu)平面示意圖如圖1所示，AB是手機(jī)托板，CD是支撐桿，DE是底座，量得AB＝10cm，BC＝4cm，DC＝15cm，DE＝10cm，她調(diào)整支架的角度，研究其運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)∠CDE的度數(shù)不變，AB可以繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AB與CD重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)E剛好在一條直線上時(shí)，已知∠AED＝80°，∠DCB＝40°，求點(diǎn)A到DE的距離（結(jié)果精確到0.1cm）；（2）當(dāng)直線AB與CD所成銳角為60°時(shí)，直接寫出點(diǎn)B到DE的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．（參考數(shù)據(jù)：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.7，3≈1.7324．（8分）如圖，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F(xiàn)是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（F不與A，B重合），過點(diǎn)F的反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象與BC邊交于點(diǎn)（1）當(dāng)F為AB的中點(diǎn)時(shí)，求該函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)k為何值時(shí)，△EFA的面積為2325．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在直徑AB上，CD⊥AB，CD＝AB，連接CB，與⊙O相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作⊙O的切線EF，交CD于點(diǎn)E．（1）求證：EF＝EC；（2）若點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，AB＝4，求BF的長．26．（10分）實(shí)踐與探究【問題情境】（1）①如圖1，Rt△ABC，∠B＝90°，∠A＝60°，D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，DE∥BC，且BC＝2DE，則ADAB=②如圖2，將①中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，則DE，BC所在直線較小夾角的度數(shù)為．【探究實(shí)踐】（2）如圖3，矩形ABCD，AB＝2，AD＝23，E為邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，BF＝2AE，連結(jié)EF，作BH⊥EF于H點(diǎn)，連結(jié)CH．當(dāng)CH的長度最小時(shí)，求BH的長．【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AC=3，D為AB中點(diǎn)，連結(jié)CD，E，F(xiàn)分別為線段BD，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且DF＝2BE．請直接寫出AF+227．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+（a+1）x﹣a（a＞1）交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），交y軸于點(diǎn)C．（1）若S△ABC＝3時(shí)，①如圖（1），直接寫出拋物線的解析式；②如圖（2），若拋物線上有一點(diǎn)P，且P在對稱軸的右側(cè)，射線PA與y軸交于點(diǎn)Q使得∠PQC＝2∠ACO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）如圖（3），當(dāng)a＝﹣1時(shí)，點(diǎn)P是第三象限拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，分別連接PA，PB，并延長交直線y＝2于M，N兩點(diǎn)．若M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n，試探究m，n之間的數(shù)量關(guān)系．

初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案DAABCDBA一．選擇題（共8小題）1．實(shí)數(shù)-1A．2025 B．﹣2025 C．-12025 D【解答】解：-12025的相反數(shù)是故選：D．2．2024年5月3日，嫦娥六號(hào)探測器由長征五號(hào)遙八運(yùn)載火箭在中國文昌航天發(fā)射場成功發(fā)射，在近月軌道時(shí)飛行1m大約需要0.0000893s．?dāng)?shù)據(jù)0.0000893用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．8.93×10﹣5 B．893×10﹣4 C．8.93×10﹣4 D．8.93×10﹣7【解答】解：數(shù)據(jù)0.0000893用科學(xué)記數(shù)法表示為8.93×10﹣5，故選：A．3．下列圖形中，是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．【解答】解：選項(xiàng)A的圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形；選項(xiàng)B的圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；選項(xiàng)C、D的圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故選：A．4．若a＞b，x＜1，則下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)x＞bx B．a(chǎn)+1＞b+x C．a(chǎn)﹣2＞b﹣1 D．a(chǎn)＞b+1【解答】解：A、若a＞b，x＜1，當(dāng)x＜0時(shí)，則ax＜bx，不符合題意；B、若a＞b，x＜1，則a+1＞b+x，符合題意；C、若a＞b，則a﹣2不一定大于b﹣1，不符合題意；D、若a＞b，則a不一定大于b+1，不符合題意；故選：B．5．如圖，飛鏢游戲板中的每一塊小正方形都完全一樣．假設(shè)飛鏢擊中任何一個(gè)位置都是等可能的，任意投擲飛鏢1次（擊中陰影區(qū)域的邊界或者沒有擊中游戲板，則重投1次），則飛鏢擊中陰影區(qū)域的概率是（）A．13 B．49 C．59 【解答】解：∵陰影部分為正方形，正方形的邊長為12∴陰影部分的面積=(故選：C．6．將一張長方形紙片（足夠長）折疊成如圖所示圖形，重疊部分是一個(gè)三角形（△ABC），BC為折痕，若∠1＝42°，則∠2的度數(shù)為（）A．48° B．58° C．60° D．69°【解答】解：如圖所示，∵長方形的兩條長邊平行，∠1＝42°，∴∠1＝∠4＝42°，∠4＝∠5，∴∠5＝42°，由折疊的性質(zhì)可知，∠2＝∠3，∵∠2+∠3+∠5＝180°，∴∠2＝69°，故選：D．7．《九章算術(shù)》中有一道關(guān)于古代驛站送信的題目，其白話譯文為：一份文件，若用慢馬送到800里遠(yuǎn)的城市，所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多1天；若改為快馬派送，則所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)間少2天，已知快馬的速度是慢馬的52倍，求規(guī)定時(shí)間．設(shè)規(guī)定時(shí)間為xA．800x+2=52×C．800x-1=52【解答】解：由題意可得，800x-2故選：B．8．如圖，扇形OAB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，CB＝3，OC＝5，將扇形OAB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到扇形DEF，若點(diǎn)O剛好落在AB上的點(diǎn)E處，則AF的值為（）A．8895 B．5898 C．8【解答】解：連接CF，CA，OE，則∠BCD，∠ACF，∠OCE為旋轉(zhuǎn)角，∴∠BCD＝∠ACF＝∠OCE，∵點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，∴CO的對應(yīng)線段為CE，CA的對應(yīng)線段為CF，∴CO＝CE＝5，CA＝CF，∵CB＝3，OC＝5，∴OB＝BC+OC＝3+5＝8，∴扇形OAB的半徑為8，∴OE＝OA＝8，∵∠AOB＝90°，∴CA=O∵OCAC=CECF，∠∴△OCE∽△ACF，∴EOFA∴8AF∴AF=8故選：A．二．填空題（共8小題）9．代數(shù)式x-4x-5有意義，則x滿足的條件是x≥4且x≠5【解答】解：由題意得x-4≥0x-5≠0解得：x≥4且x≠5．故答案為：x≥4且x≠5．10．已知：am＝3，an＝2，則，am+2n＝12．【解答】解：am+2n＝am?a2n＝3×4＝12．故答案為12．11．已知a和b是方程x2+2025x﹣4＝0的兩個(gè)解，則a2+2024a﹣b的值為2029．【解答】解：由條件可知：a2+2025a＝4，a+b＝﹣2025，∴a2+2025a＝4，∴a2+2024a﹣b＝a2+2025a﹣（a+b）＝4﹣（﹣2025）＝4+2025＝2029，故答案為：2029．12．一組數(shù)據(jù)的方差計(jì)算公式為S2=14[(5-【解答】解：平均數(shù)為：14故方差是：14故答案為：4.5．13．新定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心．根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，探究如下問題：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，如果準(zhǔn)外心P在BC邊上，那么PC的長為4或74【解答】解：在Rt△ABC中，∵C＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC=AB若PB＝PA，連接PA，設(shè)PC＝x，則PA＝PB＝8﹣x，在Rt△PAC中，∵PA2＝CP2+AC2，∴（8﹣x）2＝x2+62，∴x=74，即PC若PB＝PC，則PC＝4，若PA＝PC，由圖知，在Rt△PAC中，不可能，故PC的長為：4或74故答案為：4或7414．已知圓錐的底面半徑為2，母線長SA＝8，現(xiàn)有一只小蟲從圓錐底面圓上A點(diǎn)出發(fā)，沿著圓錐側(cè)面繞行到母線SA的中點(diǎn)B，則它所走的最短路程是45【解答】解：設(shè)它的側(cè)面展開圖的圓心角為n°，根據(jù)圓錐的底面周長就是側(cè)面展開圖（扇形）的弧長得：2πr=nπl(wèi)又∵r＝2，l＝8．∴2×2π=8πn解得：n＝90．∴它的側(cè)面展開圖的圓心角是90°；展開圖如下：∴AB為最短路徑，∵SA＝8，B為SA′的中點(diǎn)，∴SB＝4由（1）知∠ASA′＝90°∴AB=∴它所走的最短路線長是45故答案為：4515．若關(guān)于x的方程x2﹣2kx+k﹣3＝0的一個(gè)實(shí)數(shù)根x1≥3，另一個(gè)實(shí)數(shù)根x2≤0，則關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2﹣2kx+k﹣3圖象的頂點(diǎn)到x軸距離h的取值范圍是8125≤h≤9【解答】解：由題意得：x＝3時(shí)，y≤0，x＝0時(shí)，y≤0，即9-6k+k-3≤0k-3≤0，解得：65≤k二次函數(shù)y＝x2﹣2kx+k﹣3＝（x﹣k）2﹣k2+k﹣3，頂點(diǎn)的y坐標(biāo)為：﹣k2+k﹣3，當(dāng)65≤k≤3時(shí)，﹣k2+k﹣3，在k=6即：當(dāng)k=65時(shí)，﹣k2+k﹣3即圖象的頂點(diǎn)到x軸距離的最小值是8125當(dāng)k＝3時(shí)，﹣k2+k﹣3＝﹣9，即圖象的頂點(diǎn)到x軸距離的最大值是9，故8125≤h≤故答案為：8125≤h≤16．如圖，AB⊥BC，AB＝BC＝4，以AB為直徑作半圓O，D是半圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD，將CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到CE，連接AE，則AE的最小值是217-2【解答】解：如圖：以AC為直角邊構(gòu)造等腰Rt△ACM，連AM、DM、DO．∴AC=2AB＝42∴AM=2AC＝8∵∠MCA＝∠DCE＝90°，∴∠MCD＝∠ACE，由CM＝CA，∠MCD＝∠ACE，CD＝CE，得△MCD≌△ACE（SAS），∴DM＝AE，∵∠CAB+∠MAC＝45°+45°＝90°，∴∠MAO＝90°，故MDO共線時(shí)，DM最小，即AE最小．∴OM=AM2∴DM＝MO﹣CD＝217-2故答案為：217-2三．解答題（共11小題）17．計(jì)算：(-1)2024【解答】解：(-1)＝1+2-＝7+318．解不等式組：x+4＞【解答】解：x+4＞解不等式①，得x＞﹣1，解不等式②，得x≤4，∴原不等式組的解集為：﹣1＜x≤4．19．先化簡，再求值(1-x+1x-3)÷x2【解答】解：原式＝（x-3x-3-=-4x-3?=-4當(dāng)x＝﹣1時(shí)，原式=-4-1+320．如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB＝∠DFE＝90°，點(diǎn)D、C、F、B在同一條直線上，且AB＝DE，AB⊥DE．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若AC＝8，EF＝6，CF＝5，求BD的長．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵AB⊥DE，∴∠D+∠B＝90°，∴∠A＝∠D，在△ABC和△DEF中，∠ACB=∠DFE=90°∠A=∠D∴△ABC≌△DEF（AAS）；（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF＝8，BC＝EF＝6，∵CF＝5，∴BD＝DF+BC﹣CF＝9．21．如圖，16個(gè)小方框代表16把椅子，其中黑色圓點(diǎn)表示已有人入座，小李和小王隨機(jī)入座，根據(jù)要求，小李需要坐第二排，小王需要坐第三排，兩人選擇座位的可能性相同．（1）直接寫出小王選擇C2座位的概率；（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，求小李和小王剛好坐在同一列的概率．【解答】解：（1）由題意知，共有3種等可能的結(jié)果，其中小王選擇C2座位的結(jié)果有1種，∴小王選擇C2座位的概率為13（2）列表如下：C1C2C3B2（B2，C1）（B2，C2）（B2，C3）B3（B3，C1）（B3，C2）（B3，C3）B4（B4，C1）（B4，C2）（B4，C3）共有9種等可能的結(jié)果，其中小李和小王剛好坐在同一列的結(jié)果有：（B2，C2），（B3，C3），共2種，∴小李和小王剛好坐在同一列的概率為2922．初中階段是學(xué)生身體素質(zhì)增強(qiáng)的關(guān)鍵時(shí)期．某校為了解本校七年級(jí)女生體育測試項(xiàng)目“仰臥起坐”的訓(xùn)練情況，隨機(jī)調(diào)查了50名七年級(jí)女生一分鐘仰臥起坐的個(gè)數(shù)，將她們的成績分為四組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)表：分組個(gè)數(shù)x頻數(shù)（人數(shù)）每組仰臥起坐的平均個(gè)數(shù)/個(gè)A10≤x＜20815B20≤x＜301826C30≤x＜40n34D40≤x≤50846請根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的信息，解答下列問題：（1）填空：n＝16，本次所抽取的50名女生一分鐘仰臥起坐成績的中位數(shù)落在B組；（2）求本次所抽取的50名女生一分鐘仰臥起坐的平均個(gè)數(shù)；（3）若在該校體育考試中，一分鐘仰臥起坐個(gè)數(shù)超過20個(gè)（含20個(gè)）才算通過考試，請你估計(jì)該校七年級(jí)700名女生中，能通過體育考試的女生人數(shù)．【解答】解：（1）n＝50﹣8﹣18﹣8＝16．∵調(diào)查人數(shù)為50，∴中位數(shù)是第25和26個(gè)數(shù)的平均數(shù)．n+18＝8+18＝26，∴中位數(shù)在B組．故答案為：16；B；（2）15×8+26×18+34×16+46×850=30（答：本次所抽取的50名女生一分鐘仰臥起坐的平均個(gè)數(shù)為30個(gè)；（3）18+16+850×700＝答：估計(jì)該校九年級(jí)700名女生中，能通過體育考試的女生人數(shù)為588人．23．佳佳新購買了一款手機(jī)支架，其結(jié)構(gòu)平面示意圖如圖1所示，AB是手機(jī)托板，CD是支撐桿，DE是底座，量得AB＝10cm，BC＝4cm，DC＝15cm，DE＝10cm，她調(diào)整支架的角度，研究其運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)∠CDE的度數(shù)不變，AB可以繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AB與CD重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)E剛好在一條直線上時(shí)，已知∠AED＝80°，∠DCB＝40°，求點(diǎn)A到DE的距離（結(jié)果精確到0.1cm）；（2）當(dāng)直線AB與CD所成銳角為60°時(shí)，直接寫出點(diǎn)B到DE的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．（參考數(shù)據(jù)：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.7，3≈1.73【解答】解：（1）過點(diǎn)C作CG⊥DE于點(diǎn)G，作CF∥DE，過點(diǎn)A作AH⊥CF于點(diǎn)H．如圖，由題意可得：∠EDC＝180°﹣∠CED﹣∠DCB＝180°﹣80°﹣40°＝60°．∴C＝10﹣4＝6（cm）．AH＝ACsin80°≈6×0.98＝5.88（cm）．∴在Rt△CDG中，CG=DCsin60°=15×3∴點(diǎn)A到DE的距離＝AH+CG＝5.88+12.99≈18.9（cm）；（2）當(dāng)直線AB與CD所成銳角為60°時(shí)，情況一：如圖，當(dāng)∠BCD＝60°時(shí)，過點(diǎn)B作BK⊥CG于點(diǎn)K．CK=BCcos30°=4×3由（1）知：CG=15∴點(diǎn)B到DE的距離：153情況二：當(dāng)∠ACD＝60°時(shí)，∠ACD＝∠CDE，∴AB∥DE，∴點(diǎn)B到DE的距離=CG=15綜上：答案為1132cm24．如圖，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F(xiàn)是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（F不與A，B重合），過點(diǎn)F的反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象與BC邊交于點(diǎn)（1）當(dāng)F為AB的中點(diǎn)時(shí)，求該函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)k為何值時(shí)，△EFA的面積為23【解答】解：（1）∵在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，∴B（3，2），∵F為AB的中點(diǎn)，∴F（3，1），∵點(diǎn)F在反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的∴k＝3，∴該函數(shù)的解析式為y=3（2）由題意知E，F(xiàn)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為E（k2，2），F(xiàn)（3，k∴S△EFA=12AF?BE=12×1=12k-∵△EFA的面積為23∴12k-112k整理，得k2﹣6k+8＝0，解得k1＝2，k2＝4，∴當(dāng)k的值為2或4時(shí)，△EFA的面積為2325．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在直徑AB上，CD⊥AB，CD＝AB，連接CB，與⊙O相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作⊙O的切線EF，交CD于點(diǎn)E．（1）求證：EF＝EC；（2）若點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，AB＝4，求BF的長．【解答】（1）證明：連接OF，∵EF是圓切線，∴OF⊥EF，∴∠BFO+∠CFE＝90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠C＝90°，∵OB＝OF，∴∠B＝∠BFO，∴∠CFE＝∠C，∴EF＝EC；（2）解：連接AF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB＝90°，∵OD=AD=1∴BC=B∵∠AFB＝∠CDB＝90°，∠FBA＝∠DBC，∴△FBA∽△DBC，∴BFBD∴BF=AB?BD26．實(shí)踐與探究【問題情境】（1）①如圖1，Rt△ABC，∠B＝90°，∠A＝60°，D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，DE∥BC，且BC＝2DE，則ADAB=1②如圖2，將①中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，則DE，BC所在直線較小夾角的度數(shù)為30°．【探究實(shí)踐】（2）如圖3，矩形ABCD，AB＝2，AD＝23，E為邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，BF＝2AE，連結(jié)EF，作BH⊥EF于H點(diǎn)，連結(jié)CH．當(dāng)CH的長度最小時(shí)，求BH的長．【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AC=3，D為AB中點(diǎn)，連結(jié)CD，E，F(xiàn)分別為線段BD，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且DF＝2BE．請直接寫出AF+2【解答】解：（1）①∵DE∥BC，∴ADAB故答案為：12②延長DE交BC于F，如圖：∵∠AGD＝∠BGF，∠D＝∠B＝90°，∴∠GFB＝∠DAB＝30°，即DE，BC所在直線較小夾角的度數(shù)為30°，故答案為：30°；（2）延長BA和FE交于點(diǎn)G，如圖：∵AE∥BF，BF＝2AE，∴BG＝2AG，∵AB＝2，∴AG＝2，又∵BH⊥GH，∴H在以A為圓心，AB為半徑的圓上，∴當(dāng)A，H，C共線時(shí)，CH最小，在Rt△ABC中，AC=AB∴CH＝2，∠BAH＝60°，∵AB＝AH，∴△ABH為等邊三角形，∴BH＝AB＝2，此時(shí)，∠BGF＝90°﹣60°＝30°，∴BF=BG3∴BH＝2；（3）作BN⊥AB于B，取BN＝1，N在AB上方，連接EN，F(xiàn)N，過F作FG⊥AD于G，如圖：∵D為AB中點(diǎn)，∠ABC＝90°，∴AD＝CD＝BD，∵∠CAD＝60°，∴△ACD為等邊三角形，∴∠CDG＝60°，AD＝CD＝BD＝AC=3∴DG=12DF＝BE，F(xiàn)G=3DG∴GE＝BD=3在△GEF和△BNE中，∠FGE＝∠EBN＝90°，F(xiàn)GBE∴△GEF∽△BNE，∴∠