大題預(yù)測01（A組+B組+C組）【A組】（建議用時(shí)：60分鐘滿分：77分）四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）記的內(nèi)角所對的邊分別為，已知.(1)求；(2)若，求的面積.【答案】(1)或(2)【詳解】（1）由，及正弦定理得，...............................................2因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，故，故得，又為三角形內(nèi)角，或..................................................................................................4（2）由........................................................................................5得，又，所以...................................................................8由（1）得，故，而為三角形內(nèi)角，................................................10由正弦定理，得，...............................................................................12故的面積.........................................................................1316．（15分）設(shè)，.(1)若，求在處的切線方程；(2)若，試討論的單調(diào)性.【答案】(1)(2)見解析【詳解】（1）若，則，，......................................1又，故，................................................2所以在處的切線方程為即；.......................................................................4（2），，...................................5當(dāng)時(shí)，，令，即，解得，令，解得，.....7所以在上單調(diào)遞減，,上單調(diào)遞增；...........................................8當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，.........................................10當(dāng)，即時(shí)，令，解得，或，令．解得，所以在，,上單調(diào)遞增，,上單調(diào)遞減；...............................12當(dāng)，即時(shí)，令，解得，或，令．解得，所以在，,上單調(diào)遞增，,上單調(diào)遞減．..............................14綜上：當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，,上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，所以在，,上單調(diào)遞增，,上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，所以在，,上單調(diào)遞增，,上單調(diào)遞減．....................1517．（15分）．如圖，在圓柱中，點(diǎn)為底面圓周上四點(diǎn)，為圓柱的一條母線，為的中點(diǎn)，．(1)若，，證明：平面；(2)若，，且二面角的余弦值為，求．【答案】(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接．......................................................................................................1因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，．..........................................................2因?yàn)?，，所以，?.................................................................3所以四邊形為平行四邊形，所以．..................................................................................4因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面?.............................................................5（2）因?yàn)?，所以為底面圓的直徑，所以．因?yàn)?，，所以，?......................................................................7由圓柱的特征可知平面，則，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，垂直于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，......................................................................9所以，．連接，則，易知，又，，平面，所以平面，......................................................11故平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，即．...............................................................................................13則，解得（負(fù)值舍去），故.........................................................................................................1518．（17分）已知為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，若的最小值為．(1)求的值(2)若動(dòng)點(diǎn)在軸上方，過作圓的兩條切線分別交拋物線于另外兩點(diǎn)，，且滿足，求直線的方程．【答案】(1)2(2)【詳解】（1）設(shè)，的最小值為，即的最小值為，.........................................2則當(dāng)時(shí)，，；.......................................................................................4（2）連接，設(shè)，，，直線的斜率，..............................................................................6直線的方程為：，..........................................................................................7即直線的方程為：，化簡得，..............8同理直線的方程為：，則點(diǎn)到直線的距離為，即，...........................10同理，............................................................................................................11則，是方程的兩根，所以，則直線的斜率，................................................................12因?yàn)榕c圓均相切，所以由對稱性可知平分，又注意到，所以有，，注意到，解得，則或（舍去）．此時(shí)方程變?yōu)榱?，顯然滿足，且，，.................................................................15因?yàn)橹本€的方程為：，即，即直線的方程為．....................................................................................................1719．（17分）已知數(shù)列為個(gè)數(shù)的一個(gè)排列，其中，且．若在集合中至少有一個(gè)元素i使得，則稱數(shù)列A具有性質(zhì)T．(1)當(dāng)時(shí)，寫出4個(gè)具有性質(zhì)T的數(shù)列A；(2)若數(shù)列和均為等差數(shù)列，且，證明：對于所有的偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列不具有性質(zhì)T；(3)在所有由的排列組成的數(shù)列A中任取一個(gè)，記具有性質(zhì)T的數(shù)列的概率為，證明：對于任意．【答案】(1)4個(gè)具有性質(zhì)T的數(shù)列可以為：；；；.(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）數(shù)列：.分析：在這個(gè)數(shù)列中，，滿足在集合中至少有一個(gè)元素使得，所以該數(shù)列具有性質(zhì).

數(shù)列：.分析：其中，滿足性質(zhì)的條件.

...........................................................2數(shù)列：.分析：這里，符合性質(zhì).

.....................................................................4數(shù)列：.分析：，具有性質(zhì)...........................................................................................5（2）因?yàn)閿?shù)列和均為等差數(shù)列，且，，所以數(shù)列，...........................................................................................................................7.所以任意相鄰兩項(xiàng)的差絕對值都是奇數(shù)，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，在集合中不存在元素使得，故對于所有的偶數(shù)，數(shù)列不具有性質(zhì)....................................................................................9（3）設(shè)在所有由的排列組成的數(shù)列中，記具有性質(zhì)的數(shù)列的個(gè)數(shù)為，不具有性質(zhì)的數(shù)列的個(gè)數(shù)為，設(shè)數(shù)列為任意一個(gè)不具有性質(zhì)的數(shù)列，因?yàn)闉榈囊粋€(gè)排列，所以在中有且僅有一項(xiàng)，使得.在數(shù)列中，將項(xiàng)移到項(xiàng)的前面，其余項(xiàng)的順序保持不變，............................................12得到新數(shù)列，新數(shù)列為的一個(gè)新排列，.........................................13顯然數(shù)列具有性質(zhì)，且任意一個(gè)與不同的不具有性質(zhì)的數(shù)列通過上述移動(dòng)首項(xiàng)方法都得不到數(shù)列結(jié)合數(shù)列為任意一個(gè)不具有性質(zhì)的數(shù)列，且根據(jù)可以構(gòu)造一個(gè)符合題意的具有性質(zhì)的數(shù)列，可得.........................................................................................................................................................15又因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，且任何一個(gè)不具有性質(zhì)的數(shù)列都不可能通過上述移動(dòng)首項(xiàng)方法得到數(shù)列，所以.根據(jù)概率知識(shí)知道，對于任意.則原命題成立......................................................17【B組】（建議用時(shí)：60分鐘滿分：77分）四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，(1)求；(2)若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，......................................................................................................1當(dāng)時(shí)，，所以，....................................................................................2所以，所以，又因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，..................................................................................4所以，即，又時(shí)也滿足上式，所以；.....................................................................................................6（2）因?yàn)?，所以，所以?...........................................................................................................................8所以..........................................................................................................................12...................................................................................................................................................13（15分）已知線段，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)、的斜率之積為，點(diǎn)在線段上，且，過作兩條互相垂直的直線和動(dòng)點(diǎn)的軌跡分別交于點(diǎn)、和點(diǎn)、．(1)建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程，(2)求四邊形面積的最小值．【答案】(1)圖見解析，(2)【詳解】（1）以中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，設(shè)，由得，，.................................................................................3化簡整理，得，即．............................................................................5（2）由題意的斜率存在且不為0，設(shè)為在線段上，，則，設(shè),,由，消元，得，，，.......................................................................................................8，..............................................................................9同理可得：，........................................................10，....................................................................................................12令，，..........................................................................14，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．四邊形面積的最小值為..............................................................................................................15（15分）高中數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)化考試選擇題分為單項(xiàng)選擇和多項(xiàng)選擇兩種題型，按照現(xiàn)行評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，多項(xiàng)選擇題一般從四個(gè)選項(xiàng)中選出所有正確的選項(xiàng)（四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)是正確的），其評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為全部選對的得6分，部分選對的得部分分（兩個(gè)正確選項(xiàng)的每個(gè)正確選項(xiàng)3分，三個(gè)正確選項(xiàng)的每個(gè)正確選項(xiàng)2分），有選錯(cuò)的得0分.(1)考生甲有一道正確選項(xiàng)為兩個(gè)選項(xiàng)的多項(xiàng)選擇題不會(huì)做，他隨機(jī)挑選兩個(gè)選項(xiàng)，求他猜對本題得6分的概率；(2)考生乙有一道答案為的多項(xiàng)選擇題不會(huì)做，他隨機(jī)選擇兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)，求他得到分?jǐn)?shù)的分布列和期望；(3)現(xiàn)有2道兩個(gè)正確答案的多項(xiàng)選擇題，根據(jù)訓(xùn)練經(jīng)驗(yàn)，每道題考生丙得6分的概率為，得3分的概率為；考生丁得6分的概率為，得3分的概率為；丙，丁二人答題互不影響，且兩題答對與否也互不影響，求這2道多項(xiàng)選擇題丙丁兩位考生總分剛好得18分的概率.【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)【詳解】（1）由題意得甲同學(xué)所有可能的選擇答案有種，而其中正確選項(xiàng)只有一個(gè)，設(shè)符合條件的事件為，故.............................................................3（2）乙同學(xué)所有可能的選擇答案有種，即共有10個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)乙同學(xué)本題可能得分為，則的可能取值為，..........................................................................5，，，所以乙同學(xué)可能得分的分布列為046所以數(shù)學(xué)期望為........................................................................................8（3）由題意得丙得0分的概率為，...............................................................................................9丁得0分的概率為，..........................................................................................................................10丙丁總分剛好得分的情況包含：事件：丙得分有一種情況，丁得分有三種情況，則；...............................................................................................12事件：丙得分有兩種情況，丁得分有兩種情況，則；................................................................................................13事件：丙得分有三種情況，丁得分有一種情況，則；.....................................................................................................14所以丙丁總分剛好得分的概率..........................................................15（17分）如圖，在多面體中，為等邊三角形，，，為中點(diǎn)．(1)求證：、、、四點(diǎn)共面；(2)若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）為等邊三角形，為中點(diǎn)，則，，，又，，..............................................................................................................................2又，平面，平面，..............................................................................................................................................4同理可證，平面，過只有一個(gè)平面與垂直，、、、四點(diǎn)共面．............................................................................................................................6（2）由（1）可知，，就是二面角所成的平面角，，又，，，則在中，，，，，....................................................................................................9以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，........................................................................11設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由，令可得，...........................................................................13設(shè)與平面所成角為，則，.......................................................................................................................15即直線與平面所成角的正弦值為．..............................................................................................1719．（17分）若無窮正項(xiàng)數(shù)列同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)：①存在，使得；②為單調(diào)數(shù)列，則稱數(shù)列具有性質(zhì)，注：若數(shù)列的各項(xiàng)滿足（或，則稱數(shù)列為遞增（遞減數(shù)列）.遞增或遞減的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.(1)若，判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)已知離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記為奇數(shù)的概率為.證明：數(shù)列具有性質(zhì)；(3)已知函數(shù)，試判斷數(shù)列是否具有性質(zhì).【答案】(1)不具有，具有，理由見解析(2)證明見解析(3)具有，具有【詳解】（1）因?yàn)閱握{(diào)遞增，不存在正數(shù)，使得恒成立，所以數(shù)列不具有性質(zhì).因?yàn)?，又?jǐn)?shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，所以數(shù)列具有性質(zhì).................................................4（2）因?yàn)?，若為奇?shù)的概率為為偶數(shù)的概率為，則，記為①，......................................................................................................6，記為②，而，即，..................................................................................................................8所以當(dāng)時(shí)，，故隨著的增大而增大，且，即數(shù)列具有性質(zhì)........................................................................10（3）令，則，，，所以當(dāng)時(shí)，在上遞減，而，故，由零點(diǎn)存在性定理得在有唯一的零點(diǎn)，....................................................12得到，即，且當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即由，可知，此時(shí)在上單調(diào)遞增；.................................................................................................................................14由，得到，故，假設(shè)時(shí)，成立，則，即成立，結(jié)合可得：對于任意恒成立，故為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列...................................................................................................................16對數(shù)列，存在，使，所以數(shù)列具有性質(zhì).對數(shù)列，存在，使，所以數(shù)列也具有性質(zhì)......................................................17【C組】（建議用時(shí)：60分鐘滿分：77分）四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）如圖，在等邊三角形中，為邊上一點(diǎn)，，點(diǎn)，分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，且設(shè)(1)求證：不論為何值，為定值.(2)當(dāng)和的面積相等時(shí)，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在中，，又，所以，...............................................................................................2在中，所以，在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，..................................................4所以，即不論為何值，恒成立；.......................................................................6（2）因?yàn)?，?...........................................................................8又，，由（1）可得，所以，.......................................................................................................................10即，整理得，所以..........................................................................................................1316．（15分）如圖，矩形是圓柱的軸截面，分別是上、下底面圓周上的點(diǎn)，且．

(1)求證：；(2)若四邊形為正方形，求平面與平面夾角的正弦值【答案】(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）證明：因?yàn)榫匦问菆A柱的軸截面，分別是上、下底面圓周上的點(diǎn)，且，，所以，........................................................................................................................2不妨設(shè)為，因?yàn)榫鶠榈酌鎴A的直徑，所以，所以，所以，又，.......................................................................................4所以，所以.......................................................................................................................................................6（2）如圖，設(shè)為圓柱的母線，則底面，連接，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，四邊形為正方形，，...........................................8所以，.所以............................................9平面的法向量為．設(shè)平面的法向量為，又，所以，取，則，................................................................................12所以，..............................................................................................................13所以平面與平面夾角的余弦值為，所以平面與平面夾角的正弦值為．..........................................................................15

（15分）盒中共有3個(gè)小球，其中1個(gè)黑球，2個(gè)紅球.每次隨機(jī)抽取1球后放回，并放入k個(gè)同（）色球.(1)若，記抽取n次中恰有1次抽中黑球的概率為，求的最大值；(2)若，記事件表示抽取第i次時(shí)抽中黑球.（?。┓謩e求，，；（ⅱ）結(jié)合上述分析，請直接寫出抽取n次中恰有2次抽中黑球的概率.【答案】(1)；(2)（?。?，；（ⅱ）【詳解】（1）若，設(shè)抽取n次中抽中黑球的次數(shù)為X，則，故，...................................................................................................3由，…，故最大值為或，即的最大值；................................................................................................6（2）（?。?，...............................................8，.....................................................................10；.......................................................................12（ⅱ）由（?。┛蛇M(jìn)行猜測，抽取n次中恰有2次抽中的黑球的概率與抽球次序無關(guān)，則..........................................1518．（17分）焦距為的橢圓，如果滿足，則稱此橢圓為“等差橢圓”.(1)如果橢圓：是等差橢圓，求的值；(2)對于焦距為6的等差橢圓，點(diǎn)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，（，異于，，設(shè)直線AP，BQ的斜率分別為，，是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出，不存在說明理由.【答案】(1)；(2)存在，.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓是等差橢圓，所以，...............................................1所以，又，所以，化簡得..........................................................5（2）由且可知，，.................................................................................................6所以橢圓方程為，如圖，聯(lián)立直線得，，，設(shè)，，則，，............................................................................................10，，，，，............................................................13把，代入，............................................................................................15得，............................................................................................................................16所以存在實(shí)數(shù)，使得.........................................................