廣東省廣州市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.的值是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用誘導(dǎo)公式求值.詳解】.故選：D2.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由向量減法坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】因，則.故選：A3.在中，點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，設(shè)，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】運(yùn)用三角形法則變形計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，在中，.已知點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，所以.在中，，代入，可得..又因?yàn)?，，所?故選：D.4.下列說法正確的是（

）A.若兩個(gè)單位向量平行，則這兩個(gè)單位向量相等B.兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同C.若，，則D.向量與向量的長(zhǎng)度相等【正確答案】D【分析】本題可根據(jù)單位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析判斷.【詳解】單位向量是指模等于的向量.若兩個(gè)單位向量平行，它們的方向可能相同或相反.當(dāng)方向相反時(shí)，這兩個(gè)單位向量并不相等.所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

兩個(gè)有共同起點(diǎn)且長(zhǎng)度相等的向量，它們的方向不一定相同.向量由大小和方向共同決定，方向不同時(shí)，終點(diǎn)也不同.比如，以原點(diǎn)為起點(diǎn)，長(zhǎng)度都為的向量，一個(gè)沿軸正方向，一個(gè)沿軸正方向，它們的終點(diǎn)顯然不同.所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意向量和，都有且，但與不一定平行.因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量都平行.所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

向量與向量是方向相反的向量，但它們的長(zhǎng)度是相等的，因?yàn)橄蛄康拈L(zhǎng)度只與向量的大小有關(guān)，與方向無關(guān).所以D選項(xiàng)正確.

故選：D.5.若，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用兩角差的正切公式可求得的值.【詳解】因?yàn)?，則.故選：B.6.已知向量，且，則實(shí)數(shù)=A. B.0 C.3 D.【正確答案】C【詳解】試題分析：由題意得，，因?yàn)?，所以，解得，故選C.考點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算.7.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿足，則（）A. B. C. D.2【正確答案】C【分析】利用余弦定理求出，即可求出，再由二倍角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，由余弦定理得，，，，則.故選：C.8.如圖，在中，點(diǎn)在線段上，且．若，則的值為（）A. B. C. D.1【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用表示，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得.【詳解】在中，點(diǎn)在線段上，且，則，，而，因此，即，所以.故選：A二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，是與同向的單位向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.與共線B.單位向量C.向量在向量上投影向量為D.若，則【正確答案】BD【分析】根據(jù)向量共線、單位向量、投影向量和向量垂直的坐標(biāo)表示依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，，不存在實(shí)數(shù)，使得，則與不共線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，在上的投影向量為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，D正確.故選：BD.10.如圖是函數(shù)的部分圖象，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的周期是B.點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心C.直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸D.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)【正確答案】AB【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出、，即可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】由圖可得，所以，則，解得，即函數(shù)的最小正周期是，故A正確；又，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，又，所以點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確；因?yàn)?，所以直線不是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤；將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到，顯然為非奇非偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AB11.在中，內(nèi)角??所對(duì)的邊分別為??，已知，，則（）A.B.的周長(zhǎng)的最大值為C.當(dāng)最大時(shí)，的面積為D.的最大值為【正確答案】BC【分析】利用正弦定理化簡(jiǎn)條件中的式子，再利用余弦定理即可得角，可判斷A選項(xiàng)；利用基本不等式可求B選項(xiàng)；利用正弦定理得即可判斷C選項(xiàng)；利用正弦定理邊化角，求三角函數(shù)的最值可判斷D選項(xiàng).【詳解】由正弦定理可得，，即，則由余弦定理得，因，則，故A錯(cuò)誤；得，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則的周長(zhǎng)的最大值為，故B正確；由正弦定理得，則，故當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，，故C正確；由C選項(xiàng)可知，，其中，故當(dāng)時(shí)，取最大值，故D錯(cuò)誤.故選：BC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)為單位向量，且，則___________.【正確答案】【分析】由平方后求得，再求可得結(jié)論．【詳解】∵為單位向量，∴，∴．∴．故．13.如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為3，且，與交于點(diǎn)，則__________．【正確答案】3【分析】先證明為中點(diǎn)，再利用轉(zhuǎn)化法求得，代入數(shù)據(jù)即可.【詳解】因?yàn)?，則為中點(diǎn)，則，則，則，則.故3.14.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，.若點(diǎn)與點(diǎn)在兩側(cè)，，且，，，四點(diǎn)共圓，則四邊形的面積為______________.【正確答案】【分析】先利用正弦定理對(duì)題設(shè)條件進(jìn)行邊角互化可解得，由，且，，，四點(diǎn)共圓，可知四邊形為等腰梯形，圓心為中點(diǎn)，由計(jì)算即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意，，所以，由正弦定理可得：，所以,又因?yàn)椋?，所以，即，解得；因?yàn)?，，則,且，，，四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，可知，設(shè)DC的終點(diǎn)為O，連接，則為等邊三角形，則,所以中點(diǎn)即為圓心，，四邊形為等腰梯形，如圖所示：則也為等邊三角形，所以在中，由余弦定理得，即，解得，所以.故關(guān)鍵點(diǎn)睛：通過題設(shè)條件以及，，，四點(diǎn)共圓，得出圓心為中點(diǎn)，四邊形為等腰梯形，并畫出圖象，數(shù)形結(jié)合求四邊形的面積是解題關(guān)鍵.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，是以向量，為鄰邊的平行四邊形、是對(duì)角線的交點(diǎn)，且，．試用、表示、、．【正確答案】，，【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，所以；；?6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，.（1）若，求實(shí)數(shù)k的值；（2）若，求實(shí)數(shù)t的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）先由向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式得與坐標(biāo)，再利用向量共線的坐標(biāo)公式求解即可；（2）先由向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式求，再利用向量垂直的坐標(biāo)公式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所以，解?【小問2詳解】，因?yàn)?，所以，解?17.在平面直角坐標(biāo)系中，向量，其中.（1）若，求角的值；（2）記，若，求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系列出等式，通過三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)求解的值；（2）先求出的表達(dá)式，再根據(jù)已知條件求出的值，最后通過換元法求出的值.【小問1詳解】因?yàn)?，則化簡(jiǎn)得：，即又，即，所以，即.【小問2詳解】由由，即，令，則，即則18.在中，角所對(duì)的邊分別為，滿足．（1）求角的大?。唬?）設(shè)．（i）求邊的值；（ii）求的值．【正確答案】（1）（2）（i）3；（ii）【分析】（1）利用正弦定理把邊化為角，再利用和差公式及三角形內(nèi)角和定理即可求解.（2）（i）由余弦定理即可求解；（ii）利用正弦定理可求出，由余弦定理可得，利用二倍角公式及和差公式即可求解.【小問1詳解】中，，由正弦定理得，所以，即，所以，因?yàn)?，，所以，又，所?【小問2詳解】（i）由余弦定理，得，即，即，解得.（ii）由正弦定理得，所以，因?yàn)?，，所以，所以，所?19.已知函數(shù)的定義域?yàn)榧希舳加?，其中為正常?shù)，則稱函數(shù)為“距”增函數(shù).（1）若函數(shù)，試判斷函數(shù)是否為“距”增函數(shù)，并說明理由；（2）若函數(shù)，為“距”增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)，為“2距”增函數(shù)，求的最小值.【正確答案】（1）是“距”增函數(shù)，理由見解析（2）（3）【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中新定義可證，故可判斷為“距”增函數(shù).（2）根據(jù)函數(shù)新定義可得對(duì)任意都成立，法1：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求參數(shù)的范圍；法2：參變分離后，設(shè)，證得函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，則參數(shù)范圍可求；（3）根據(jù)函數(shù)新定義可得，分和兩種情況進(jìn)行討論后可求函數(shù)的最小值.【小問1詳解】函數(shù)是“距”增函數(shù).因?yàn)榈亩x域?yàn)槿稳?，因?yàn)?，所以，即，，所以，所以，函?shù)是“距”增函數(shù).小問2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，為“距”增函數(shù)所以，對(duì)任意，所以，即，因?yàn)?，，所以，?*）法1：因?yàn)楹瘮?shù)圖象開口向上且對(duì)稱軸為所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為若對(duì)任意都成立，則，即因此，若函數(shù)，為“距”增函數(shù)，則.法2：（接（**））即，對(duì)任意都成立，設(shè)對(duì)于任意，且，因?yàn)?，所以，，，所以，即，所以，在上單調(diào)遞減函數(shù)所以，，所以，因此，若函數(shù)，為“距”增函數(shù)，則；【小問3詳解】由題意可知，，若函數(shù)，為“2距”增函數(shù)則，，即即，即，所以，，所以，由，設(shè)，①當(dāng)時(shí)