福建省福州市2025屆高三第二次模擬考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由已知確定集合中元素，然后由交集定義計(jì)算．【詳解】由題意，又，∴，故選：C．2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為是的共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義得出，然后得出共軛復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)除法法則計(jì)算．【詳解】由題意，則，，故選：A．3.若，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，即可比較的大小.【詳解】，，所以，，故.故選;B.本題主要考查指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪的運(yùn)算及性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，注意與特殊數(shù)的對(duì)比，如“0”“1”等等，屬于基礎(chǔ)題.4.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足,則（）A.272 B.152 C.68 D.38【正確答案】B【分析】借助數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】，則.故選：B.5.已知一個(gè)圓柱的軸截面是正方形，一個(gè)圓錐與該圓柱的底面半徑及側(cè)面積均相等，則圓柱與圓錐的體積之比為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)圓柱底面半徑為，圓錐的母線長(zhǎng)為，依題意得到求得，繼而求出圓錐的高，最后求即得.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，因?yàn)閳A柱軸截面是正方形，所以圓柱的高為，依題意圓錐的底面半徑為，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，因?yàn)閳A錐與該圓柱的側(cè)面積相等，所以，解得，則圓錐的高為，圓柱的體積，圓錐的體積，所以.故選：B.6.記函數(shù)的最小正周期為.若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（）A. B.1 C.2 D.3【正確答案】C【分析】由得，可求的范圍；再由的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱得b的值及，結(jié)合的范圍可求的值，從而可求.【詳解】由題意得，所以.因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，所以，由，得，所以，所以.故選：C.7.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，.則（）A.2 B.3 C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)已知條件，利用三角形的內(nèi)角和性質(zhì)，利用兩角差的正弦公式求得角，進(jìn)而利用正弦定理得解.【詳解】由于三角形的內(nèi)角和為，即：,已知，所以：，代入到中，得到：，展開并化簡(jiǎn)：即，整理得到：，即，根據(jù)正弦定理：,即.故選：D.8.已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為、，是的上支上的一點(diǎn)（不在軸上），與軸交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為，若，則的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用切線長(zhǎng)定理，結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性可得，再建立不等關(guān)系求出離心率的范圍.【詳解】設(shè)該內(nèi)切圓在、上的切點(diǎn)分別為、，由切線長(zhǎng)定理可得，，，又，，則，即，解得，由，即，得，所以．故選：A.方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：①定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.直線的傾斜角為 B.的方程為C. D.在點(diǎn)處的切線方程為【正確答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線方程及導(dǎo)數(shù)的幾何意義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由點(diǎn)在拋物線上，得，，對(duì)于A，直線的斜率，因此直線的傾斜角為，A正確；對(duì)于B，拋物線的準(zhǔn)線方程為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，為焦點(diǎn)，則，C正確；對(duì)于D，由，求導(dǎo)得，則在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為，即，D正確.故選：ACD10.已知向量，則（）A.若，則B.在方向上的投影向量為C.存在，使得在方向上投影向量的模為1D.的取值范圍為【正確答案】BCD【分析】由平行向量的坐標(biāo)表示可判斷A；由投影向量的計(jì)算公式可判斷B，C；由向量的模長(zhǎng)公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，則，則，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在方向上的投影向量為，故B正確；對(duì)于C，，所以在方向上投影向量的模為：，當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得在方向上投影向量的模為1，故C正確；對(duì)于D，向量，所以，則，故D正確.故選：BCD.11.已知正方體棱長(zhǎng)為2，M為棱CG的中點(diǎn)，P為底面EFGH上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.存在點(diǎn)P，使得；B.存在唯一點(diǎn)P，使得；C.當(dāng)，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為；D.當(dāng)P為底面EFGH的中心時(shí)，三棱錐的外接球表面積為【正確答案】ABD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，利用空間向量逐一求解即可.【詳解】以D為原點(diǎn)，DA，DC，DH所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，，，為求的最小值，找出點(diǎn)A關(guān)于平面EFGH的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，，故A選項(xiàng)正確；由可得，故B選項(xiàng)正確；時(shí)，即，而，，得到，點(diǎn)P軌跡是連接棱EF中點(diǎn)與棱EH中點(diǎn)的線段，其長(zhǎng)度為線段HF的一半，即長(zhǎng)為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)P為底面EFGH的中心時(shí)，由B選項(xiàng)知，顯然，，三棱錐的外接球球心為棱AM的中點(diǎn)，從而求得球半徑為，，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量坐標(biāo)法求解立體幾何有關(guān)軌跡，夾角，距離有關(guān)問(wèn)題是非常有效的方法，能減少思維量.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知=，則的值是____.【正確答案】【分析】直接按照兩角和正弦公式展開，再平方即得結(jié)果.【詳解】故本題考查兩角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.13.從A，B，C，D，E這5人中選出4人，安排在甲、乙、丙、丁4個(gè)崗位上，如果A不能安排在甲崗位上，則不同的安排方法有______種．【正確答案】96【分析】由題意，根據(jù)

是否入選進(jìn)行分類，分為若

入選和

不入選，再對(duì)剩下的人進(jìn)行安排，用到分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理.【詳解】由題意可知，根據(jù)

是否入選進(jìn)行分類，若

入選，則先給

從乙、丙、丁3個(gè)崗位上安排一個(gè)崗位，有3種，再給剩下三個(gè)崗位安排人，有

（種），共有

種

（種）方法；若

不入選，則4個(gè)人4個(gè)崗位全排，有

(種)方法.所以共有

(種)不同的安排方法.故96.14.“朗博變形”是借助指數(shù)運(yùn)算或?qū)?shù)運(yùn)算，將化成，的變形技巧.已知函數(shù)，，若，則的最大值為_______.【正確答案】##【分析】先化簡(jiǎn)，再同構(gòu)設(shè)函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得出所以，進(jìn)而得出，根據(jù)單調(diào)性即可得出最大值.【詳解】由，得，即，所以，，令，則對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得，所以，令，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)，再結(jié)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性解題.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列.設(shè)，求；【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由的關(guān)系，作差即可求解；（2）由題意得到，再結(jié)合錯(cuò)位相減法求解即可；【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差可得，可得，，又，滿足，所以，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，故.【小問(wèn)2詳解】解：①由題意可得，則，所以，，則，上述兩個(gè)等式作差得，因此，；16.一個(gè)車間有3臺(tái)機(jī)床，它們各自獨(dú)立工作，其中型機(jī)床2臺(tái)，型機(jī)床1臺(tái)．型機(jī)床每天發(fā)生故障的概率為0.1，B型機(jī)床每天發(fā)生故障的概率為0.2.（1）記X為每天發(fā)生故障的機(jī)床數(shù)，求的分布列及期望；（2）規(guī)定：若某一天有2臺(tái)或2臺(tái)以上機(jī)床發(fā)生故障，則這一天車間停工進(jìn)行檢修．求某一天在車間停工的條件下，B型機(jī)床發(fā)生故障的概率．【正確答案】（1）分布列見解析，0.4；（2）．【分析】（1）求出的可能值及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望；（2）根據(jù)給定條件，利用條件概率公式計(jì)算即得.【小問(wèn)1詳解】X可能值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為：01230.6480.3060.0440.002期望．【小問(wèn)2詳解】記事件為“車間停工”，事件為型機(jī)床發(fā)生故障”，，，因此，所以某一天在車間停工的條件下，型機(jī)床發(fā)生故障的概率為．17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，，，，，E為AB的中點(diǎn)，M為CE的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若，N為PC中點(diǎn)，且AN與平面PDM所成角的正弦值為，求四棱錐的體積.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用勾股定理證明垂直，再利用題干得，即可得到平面PBD，即可得到結(jié)論.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面所成角的向量求法解得高度h，即可求得四棱錐的體積.【小問(wèn)1詳解】證明：在梯形ABCD中，連接交BD于CE一點(diǎn)，因?yàn)榍?，所以四邊形CDBE為平行四邊形，所以BD與CE的交點(diǎn)即為CE中點(diǎn)M.由已知可得，，，，由余弦定理得,所以三角形為直角三角形，所以，又，，所以,且,所以平面PBD，又平面PBD，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，平面PDM，如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DB，DC為x，y軸，垂直于底面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，，平面PDM的一個(gè)法向量為，設(shè)直線AN與平面PDM所成角為，則，化簡(jiǎn)得.由，可得，求得，.故.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）答案見解析（3）【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，即得切線方程；（2）函數(shù)求導(dǎo)分解因式后，對(duì)參數(shù)分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即得原函數(shù)的單調(diào)性；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，對(duì)參數(shù)分類，分析函數(shù)的單調(diào)性，極值以及圖象變化趨勢(shì)，結(jié)合特殊值，即得函數(shù)的零點(diǎn)情況.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，則，則，所以在處的切線方程為.【小問(wèn)2詳解】由題意知，的定義域?yàn)?，，顯然恒成立，①若，則，此時(shí)在上單調(diào)遞減；②若，令，解得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)3詳解】若，由（2）知，至多有一個(gè)零點(diǎn)；若，由（2）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值為.設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，又.（i）當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)沒有兩個(gè)零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，，又，故在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，由可得即，得，則，故，即，又易知?jiǎng)t，即因此在上也有一個(gè)零點(diǎn).綜上，若有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求的方程；（2）過(guò)的右焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交于兩點(diǎn)．①證明：四邊形的面積為定值，并求出該定值；②若直線的斜率存在且不為0，設(shè)線段的中點(diǎn)為，記，的面積分別為．當(dāng)時(shí)，求的最小值．【正確答案】（1）（2）①證明見解析，定值；②【分析】（1）根據(jù)橢圓中相關(guān)量的幾何性質(zhì)列出關(guān)于求解即可；（2）（ⅰ）從直線與軸重合這一特殊入手，此時(shí)求得．當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)直線方程為，通過(guò)幾何對(duì)稱性和橢圓的性質(zhì)，計(jì)算求得，，通過(guò)面積公式計(jì)算即可證得結(jié)論;（ⅱ）由（ⅰ