2025年安徽省普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學沖刺卷（一）本試卷共150分考試時間120分鐘注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合M={0，1}，N={x|x2+x=0}，則M∪N=A.{-1，0} B.{-1，0，1} C.{1，0} D.{-1，1}2.已知函數(shù)f(x)=5sin(ωx+φ)ω>0，|φ|<π2的部分圖象如圖所示，則ω=A.3 B.4 C.32 D.3.(x+y)6的展開式中x3y3項的系數(shù)為A.120 B.15 C.20 D.454.已知數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且滿足b2024=2b2023，b1=2a1，b4=a9-1，則使得b10>a1+a2+a3+…+an成立的n的最大值為A.32 B.29 C.30 D.315.已知直線y=kx-e與曲線y=xlnx相切，則k=A.0 B.1 C.2 D.36.瓷器是由瓷石、高嶺土、石英石、莫來石等燒制而成的，其外表施有玻璃質(zhì)釉或彩繪.通過在窯內(nèi)高溫燒制，瓷器表面的釉色會因為溫度的不同從而發(fā)生各種化學變化.某瓷器將它近似看作由一個圓柱和一個圓臺構(gòu)成的組合體，其直觀圖如圖所示，該瓷器的體積為A.450π B.448π C.446π D.444π7.已知直線mx+ny=1與拋物線C：y2=4x相交于A，B兩點，若直線OA與OB的斜率之和為4，O為坐標原點，則n=A.1 B.2 C.3 D.48.如圖，E，F(xiàn)，G，H四個開關控制著五盞燈，其中開關E控制著1，2，3號燈，開關F控制著2，3，4號燈，開關G控制著3，4，5號燈，開關H控制著1，4，5號燈.開始時，五盞燈均是亮的，現(xiàn)先后按動E，F(xiàn)，G，H這四個開關中兩個不同的開關，則其中2號燈亮的概率為A.12 B.13 C.34 二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)z=(2-ai)2+7i(a∈R)在復平面內(nèi)對應的點在直線y=x上，則a的值可以為A.3 B.1 C.-3 D.-110.若a=cos15°-sin15°，b=12，c=sin105°cos15°-cos75°sin15°，A.c<a B.b<a C.b<c D.a<c11.如圖，月牙形是由兩段圓弧圍成的一個封閉圖形，若兩段圓弧所在圓的半徑相同，兩圓的圓心分別為坐標原點O和C，A(-1，-2)，B(2，1)，直線l：y=x+b與月牙形只有兩個交點，則參考數(shù)據(jù)：cos37π180≈45A.|OC|=2B.圓C的方程為(x-2)2+(y+2)2=5C.b的取值范圍為(10-2，10)∪{-1}D.月牙形的面積約為37π36+題序1234567891011答案三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量a=(2，2)，b=(λ，-4)，λ∈R，若a⊥b，則λ=.

13.已知雙曲線C：x212-y24=1的右焦點為F，M，N是雙曲線C右支上的兩點，若G(0，2)，且F為△MNG的重心，則MN的中點坐標為，直線14.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，AC=6，AB=8，AA1=3，則三棱錐A1-ABC1外接球的半徑為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，(a+b-c)(b-a+c)-3ac=0.(1)求B；(2)若∠ABC的角平分線交AC于點D，且AD=2DC=273，16.(15分)如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，DD1的中點.(1)證明：點F在平面AEC1內(nèi).(2)若AA1=2AB，求平面A1EC1與平面AEC1夾角的余弦值.17.(15分)已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為13，直線x=ky+1過橢圓C的一個焦點，且與橢圓C相交于A，B兩點，D(3，0)，直線AD，BD分別與直線x=4相交于E(x1，y1)，F(xiàn)((1)求橢圓C的方程；(2)求y1y2的值.18.(17分)甲、乙兩人進行游戲，且都有1個紅色彈珠和1個黃色彈珠，每人每次獨立地隨機取出1個彈珠相互交換.(1)若只交換1次，求甲的彈珠的顏色相同的概率；(2)若只交換1次，記甲有紅色彈珠的個數(shù)為X，求X的分布列及期望；(3)若一共交換3次，最后甲的2個彈珠顏色相同，則甲獲勝，否則乙獲勝，試問這個游戲是否公平?19.(17分)已知函數(shù)f(x)=x2-axlnx(a∈R).(1)討論函數(shù)f(x)極值點的個數(shù)；(2)若x0是方程f(x)=x在(1，+∞)上的一個根，證明：x0<a2.

參考答案1.B【命題意圖】本題考查集合的基本運算，要求考生理解兩個集合的并集的含義.【解題分析】由題意得，N={-1，0}，因為M={0，1}，所以M∪N={-1，0，1}.2.A【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，要求考生掌握三角函數(shù)的周期性.【解題分析】由題圖知3T4=7π12-π12=π2，所以T=2π3=3.C【命題意圖】本題考查二項式定理，要求考生會用二項式定理解決簡單的問題.【解題分析】(x+y)6的展開式中x3y3項的系數(shù)為C63=4.D【命題意圖】本題考查等差及等比數(shù)列，要求考生理解等差與等比數(shù)列的通項公式及前n項和.【解題分析】因為b2024=2b2023，所以數(shù)列{bn}的公比為2，因為b4=a9-1，所以23b1=a1+16-1，因為b1=2a1，所以15a1=15，解得a1=1，b1=2，所以an=2n-1，bn=2n，所以a1+a2+a3+…+an=n2，b10=210=1024，由1024>n2，且n∈N*，得n的最大值為31.5.C【命題意圖】本題考查導數(shù)的幾何意義，要求考生掌握導數(shù)的幾何意義.【解題分析】設切點坐標為(x0，x0lnx0)，y'=1+lnx，所以y'|x=x0=1+lnx0，所以切線方程為y-x0lnx0=(1+lnx0)(x-x0)，即y=(1+lnx0)x-x0，所以k6.D【命題意圖】本題考查幾何體的體積，要求考生知道圓臺、圓柱體積的計算公式.【解題分析】由直觀圖知，圓柱的底面半徑為6，高為8，圓臺的上底面半徑為2，下底面半徑為6，高為9，所以該瓷器的體積為π×62×8+π3(62+22+62×22)7.A【命題意圖】本題考查直線與拋物線的位置關系，要求考生了解拋物線的簡單幾何性質(zhì).【解題分析】(方法一)由y2=4x,mx+ny=1得y2=4x(mx+ny)，所以y2x2-4n·yx-4m=0，因為直線OA與OB(方法二)設A點的坐標為y124，y1，B點的坐標為y224，y2，因為直線OA與OB的斜率之和為4，所以y1y124+y2y224=4，即1y1+1y2=1，所以y1+y2=y1y2.由y2=4x,mx+ny=1得y2+4nmy-4m=0，8.B【命題意圖】本題考查古典概型，要求考生理解古典概型.【解題分析】先后按動E，F(xiàn)，G，H這四個開關中兩個不同的開關，有A42=2號燈亮有兩類情形.第一類，按第一個開關時，2號燈滅，按第二個開關時，2號燈亮，此時對應的方法有A22=2種(E，F(xiàn)第二類，按第一個開關和第二個開關均與2號燈無關，此時對應的方法有A22=2種(G，H兩個開關進行全排列).故所求事件的概率為2+2129.AB【命題意圖】本題考查復數(shù)的運算及幾何意義，要求考生能進行復數(shù)代數(shù)表示式的四則運算并理解復數(shù)的幾何意義.【解題分析】因為z=(2-ai)2+7i=4-a2+(7-4a)i，所以4-a2=7-4a，解得a=3或a=1.10.BCD【命題意圖】本題考查三角恒等變換，要求考生掌握兩角和與差的正、余弦公式.【解題分析】a=cos15°-sin15°=2sin(45°-15°)=22，c=sin105°cos15°-cos75°sin15°=sin75°cos15°-cos75°sin15°=sin(75°-15°)=sin60°=32，11.ACD【命題意圖】本題考查直線與圓的位置關系，要求考生能根據(jù)直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關系.【解題分析】由題易知，圓O的半徑為5，設圓心C的坐標為(a，-a)，且a≠0，所以(a-2)2+(1+a)2=5，解得a=1，所以圓C的方程為(x-1)2+(y+1)2=5，|OC|=2，故選項A正確，選項B錯誤.設直線l1：y=x+t，當直線l1過點B(2，1)時，t=-1，當直線l1與圓O相切時，|0-0+t|2=5，解得當直線l1與圓C相切時，|1-(-1)+t|2解得t=10-2或t=-10-2，因為直線l：y=x+b與月牙形只有兩個交點，所以b的取值范圍為(10-2，10)∪{-1}，故選項C正確.連接AC，BC，AB(圖略)，易求得△ABC的面積為32設∠ACB=θ，CA=(-2，-1)，CB=(1，2)，所以cosθ=CA·CB|CA|·|CB|=-45，所以θ≈π-37π180=143π180，所以月牙形的面積約為5π-2×12×(5)2×143π12.4【命題意圖】本題考查向量的運算，要求考生掌握平面向量數(shù)量積的坐標運算.【解題分析】因為a=(2，2)，b=(λ，-4)，且a⊥b，所以2×λ+2×(-4)=0，解得λ=4.13.(6，-1)2x+y-11=0【命題意圖】本題考查直線與雙曲線的位置關系，要求考生了解雙曲線的簡單幾何性質(zhì).【解題分析】由題知，F(xiàn)(4，0)，設M點的坐標為(x1，y1)，N點的坐標為(x2，y2)，因為F為△MNG的重心，所以x1+x2+03=4，y1+y2+23=0，即x1+x2=12，y1+y2=-2，所以MN的中點坐標為(6，-1).因為M，N是雙曲線C右支上的兩點，所以x1212-y124=1,x2212-y14.1092【命題意圖】本題考查立體幾何的綜合應用，要求考生了解幾何體的外接球【解題分析】設G，H分別為AC1，A1B的中點，過點G，H分別作平面AA1C1，平面AA1B的垂線，交點為O，連接GH，由題知，GH=12BC=5，OG2+OH2=GH2，設三棱錐A1-ABC1外接球的半徑為R，所以OG2=R2-AG2，OH2=R2-AH2，所以OG2+OH2=2R2-AG2-AH2，即2R2=GH2+AG2+AH2，所以2R2=25+454+734，解得15.【命題意圖】本題考查解三角形，要求考生理解正、余弦定理.【解題分析】(1)因為(a+b-c)(b-a+c)-3ac=0，所以b2-(a-c)2-3ac=0，所以-ac=a2+c2-b2，所以cosB=a2+c2-b22ac=-12，因為B(2)因為AD=2DC=273，所以b=7，因為BD平分∠ABC，所以ABBC=ADDC，即由(1)知，-ac=a2+c2-b2，解得a=1，c=2，因為S△ABC=S△ABD+S△DBC，所以12acsinB=12a·BDsinB2+12c·BDsinB2，解得BD=ac16.【命題意圖】本題考查點面關系及平面與平面的夾角，要求考生能用向量解決平面與平面的夾角問題.【解題分析】(1)設G為CC1的中點，連接GF，AF，BG(圖略).由題易知GFCD，BACD，所以GFBA，所以四邊形ABGF為平行四邊形，所以AF∥BG，易知BG∥EC1，所以AF∥EC1，故點F在平面AEC1內(nèi).6分(2)不妨設AB=1，則AA1=2，以BC，BA，BB1所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則A(0，1，0)，A1(0，1，2)，E(0，0，1)，C1(1，0，2)，所以EC1=(1，0，1)，EA1=(0，1，1)，EA=(0，1設m=(x1，y1，z1)為平面A1EC1的法向量，所以m·EC1=0,m·EA1=0,即x1+z1=0,y所以平面A1EC1的一個法向量為m=(1，1，-1).設n=(x2，y2，z2)為平面AEC1的法向量，所以n·EC1=0,n·EA=0,即x2+z2=0,所以平面AEC1的一個法向量為n=(1，-1，-1).因為cos<m，n>=m·n|m||所以平面A1EC1與平面AEC1夾角的余弦值為13.15分17.【命題意圖】本題考查直線與橢圓的位置關系，要求考生掌握橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì).【解題分析】(1)設c=a2-b2，因為橢圓C的離心率為13，所以ca=13，因為直線x=ky+1過定點(1，0)，且過橢圓C的焦點，所以c=1，所以a=3，解得b2=8，所以橢圓C的方程為x(2)設A(x3，y3)，B(x4，y4)，由x=ky+1,x29+y28=1得(8k2易知Δ>0，所以y3+y4=-16k8k2+9，y3直線AD的方程為y=y3x3-3(x-3)，令x=4得y1=同理可得y2=y4ky所以y1y2=y3y4(ky3-2)(ky18.【命題意圖】本題考查離散型隨機變量，要求考生理解離散型隨機變量的概念及分布列.【解題分析】(1)由題知，交換1次，甲的彈珠的顏色相同的概率為12×12+12×12=(2)由題知，若只交換1次，則甲、乙兩人取紅色彈珠和黃色彈珠的概率均為12，X的所有可能取值為0，1，2P(X=0)=12×12=14，P(X=1)=12×12+12×12=12，P(X=所以X的分布列為X012P111所以X的期望E(X)=0×14+1×12+2×14=1(3)用A1，A2，A3分別表示甲第1次、第2次、第3次交換后，甲的2個彈珠顏色相同，用B1，B2，B3分別表示甲第1次、第2次、第3次交換后，甲的2個彈珠顏色不相同.由(1)知，P(A1)=P(B1)=P(B3|B2)=P(B2|B1)=P(A3|B2)=P(A2|B1)=12易知P(A3|A2)=P(A2|A1)=0，由全概率公式知，P(A3)=P(A2)P(A3|A2)+P(B2)P(A3|B2)=P(B2)P(A3|B2)=12P(B2)=12[1-P(A2同理可得P(A2)=12[1-P(A1)]=14，所以P(A3)=121-14=38故這個游戲不公平.17分19.【命題意圖】本題考查函數(shù)與導數(shù)的綜合，要求考生理解用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的零點.【解題分析】(1)f'(x)=2x-a(1+lnx)=2x-alnx-a，令φ(x)=f'(x)=2x-alnx-a，則φ'(x)=2-ax.1分當a<0時，φ'(x)>0，φ(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，當x→0時，φ(x)→-∞，且φ(1)=2-a>0，故存在x1∈(0，1)，使得φ(x1)=0，且當0<x<x1時，φ(x)<0，當x>x1時，φ(x)>0，所以函數(shù)f(x)有一個極值點；3分當