重難點突破：與圓有關的壓軸題

目錄

重難點即型突破

題型01利用圓的相關知識解決多結(jié)論問題

題型02圓與三角形綜合問題

題型03圓與四邊形綜合問題

題型04圓與函數(shù)綜合問題

題型05正多邊形與圓綜合

題型06求不規(guī)則圖形面積

題型07三角形內(nèi)切圓與外切圓綜合

題型08阿氏圓模型

題型09隱圓模型

重難點題型突破

利用圓的相關知識解決多結(jié)論問題

與

隱圓模型

圓

圓與三角形綜合問題

有

關

的圓與四邊形綜合問題

三角形內(nèi)切11與外切圓綜合壓

軸

圓與函數(shù)綜合問題

題

正多邊形與圓綜合

求不規(guī)則圖形面積

題型01利用圓的相關知識解決多結(jié)論問題

一、單選題

1.（2023?四川德陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，。。的直徑48=10,DE是弦,AB1。凡。加=E卻,sin/BAC=1,

力。的延長線與CB的延長線相交于點F,D8的延長線與OE的延長線相交于點G,連接CG.下列結(jié)論中正確

的個數(shù)是（）

①乙DBF=3ND4B；

②CG是O。的切線;

③B,E兩點間的距離是“U；

@DF=

A.1B.2C.3D.4

2.（2020?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形/BCD中，點E是邊2C的中點，連接/從DE,分別

交BD、/C于點尸、Q,過點尸作尸交C2的延長線于R下列結(jié)論：

①44ED"EAC+/.EDB=90°,

②AP=FP,

@AE=—AO,

④若四邊形OPEQ的面積為4,則該正方形ABCD的面積為36,

⑤CE,EF=EQ-DE.

其中正確的結(jié)論有（）

A.5個B.4個C.3個D.2個

3.（2021?四川廣元?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形48CD中，點。是對角線8。的中點，點尸在線段。。上，

連接4P并延長交CD于點E,過點尸作PF14P交BC于點尸，連接4F、EF,4F交BD于G,現(xiàn)有以下結(jié)論:

?AP=PF；@DE+BF=EF；@PB-PD=V2SF；④S^EF為定值；mpEFC=SAAPG.以上結(jié)論

正確的有（填入正確的序號即可）.

4.（2021?廣東廣州?統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形48co的邊長為4,點￡是邊8C上一點，且BE=3,以

點/為圓心，3為半徑的圓分別交48、于點尸、G,DF與4E交于點、H.并與。力交于點K,連結(jié)“G、

C”.給出下列四個結(jié)論.（1）〃是bK的中點；（2）4HGD三△”EC；（3）SAAHG：SADHC=9：16；（4）DK=-,

其中正確的結(jié)論有（填寫所有正確結(jié)論的序號）.

BEC

題型02圓與三角形綜合問題

5.（2023?吉林長春?統(tǒng)考中考真題）【感知】如圖①，點/、3、P均在。。上，AAOB=90°,貝U銳角N&P8的

【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，。。是等邊三角形力BC的外接圓，點尸在此上（點尸不與點4

C重合），連結(jié)PA、PB、PC.求證：PB=P4+PC.小明發(fā)現(xiàn)，延長P4至點￡,使4E=PC,連結(jié)BE,通

過證明aPBC三△EB4可推得PBE是等邊三角形，進而得證.

下面是小明的部分證明過程:

證明：延長尸力至點￡,使力E=PC,連結(jié)BE,

???四邊形4BCP是。。的內(nèi)接四邊形,

???乙BAP+ABCP=180°.

■■■ABAP+ABAE=180°,

Z.BCP=乙BAE.

???△/BC是等邊三角形.

BA—BC,

PBCKEBA（SAS）

請你補全余下的證明過程.

【應用】如圖③，。。是△ABC的外接圓，AABC=90°,AB=BC,點P在。。上，且點尸與點8在力C的

兩側(cè)，連結(jié)P4PB、PC.若PB=2戊PA,則端的值為.

6.（2023?浙江臺州?統(tǒng)考中考真題）我們可以通過中心投影的方法建立圓上的點與直線上點的對應關系，用

直線上點的位置刻畫圓上點的位置，如圖，4B是O。的直徑，直線/是O。的切線，B為切點.P,Q是圓上

兩點（不與點4重合，且在直徑力B的同側(cè)），分別作射線力P,4Q交直線/于點C,點，

AA

(1)如圖1,當AB=6,BP的長為IT時，求BC的長.

⑵如圖2,當當=：，笈？=時時，求奈的值.

AD4CD

(3)如圖3,當siMB2Q=乎，8C=CD時，連接BP,PQ,直接寫出瞿的值.

4BP

7.(2023?湖南永州?統(tǒng)考中考真題)如圖，以為直徑的。。是△ABC的外接圓，延長BC到點D使得NB4C=

乙BDA,點E在D4的延長線上，點4在線段力C上，CE交BM于N,CE交4B于G.

(1)求證：ED是。。的切線；

(2)若2C=逐,8。=5,4C>CD,求BC的長；

(3)若=求證：BM1CE.

8.(2023?四川廣安?統(tǒng)考中考真題)如圖，以RtZXABC的直角邊AB為直徑作O0,交斜邊4C于點。，點E是

BC的中點，連接。￡、DE.

(1)求證：DE是。。的切線.

⑵若sinC=~iDE=5,求4D的長.

(3)求證：2DE2=CD-OE.

9.(2023?遼寧錦州?統(tǒng)考中考真題)如圖，4E為。。的直徑，點C在。。上，4B與。。相切于點/,與。C延

長線交于點8,過點3作BD1OB,交AC的延長線于點D

⑴求證：AB=BD；

(2)點/為。。上一點，連接EF,BF,BF與4E交于點G.若NE=45。，AB=5,tan^ABG=求。。的

半徑及4D的長.

10.(2023?四川雅安?統(tǒng)考中考真題)如圖，在RtaABC中，AABC=90°,以4B為直徑的O。與4C交于點

(2)若DE=2,tan^BAC=求4D的長;

(3)在(2)的條件下，點P是。。上一動點，求PA+PB的最大值.

11.(2022?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題)一個玻璃球體近似半圓。為直徑，半圓。上點C處有個吊燈EF,

EF//AB,C。14B,EF的中點為=4.

(1)如圖①，CM為一條拉線，M在。B上，OM=1.6,DF=0.8,求CD的長度.

(2)如圖②，一個玻璃鏡與圓。相切，”為切點，M為0B上一點，為入射光線，N”為反射光線，40HM=

乙OHN=45°,tanzCOH==求。N的長度.

4

(3)如圖③，M是線段上的動點，為入射光線，NHOM=5(T,HN為反射光線交圓。于點N,在M從。運

動到B的過程中，求N點的運動路徑長.

題型03圓與四邊形綜合問題

12.(2021?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題)如圖1,正方形48CD的邊長為4,點尸在邊8C上，經(jīng)過/,B,

尸三點.

(1)若8尸=3,判斷邊CD所在直線與OO的位置關系，并說明理由；

(2)如圖2,E是CD的中點，OO交射線/￡于點。，當/尸平分乙以8時，求tanNE4P的值.

13.(2021?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題)如圖，28為O。的弦，D,C為用力的三等分點，AC//BE.

(1)求證：乙4=NE；

(2)若BC=3,BE=5,求CE的長.

14.(2021?浙江寧波?統(tǒng)考中考真題)如圖1,四邊形4BCD內(nèi)接于。。，BD為直徑，腦上存在點E,滿足

AE=CE>,連接BE并延長交CD的延長線于點尸，BE與2D交于點G.

（1）若ND8C=a,請用含a的代數(shù)式表列NAGB.

（2）如圖2,連接CE,CE=8G.求證；EF=DG.

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接CG,AD=2.

①若tan乙4DB=y,求^FGD的周長.

②求CG的最小值.

15.（2021?四川綿陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形力BCD是。。的內(nèi)接矩形，過點4的切線與CD的延長線交

于點M,連接。M與2D交于點E,AD>1,CD=1.

（2）設=求△COM的面積（用久的式子表示）;

⑶若4AOE=NC。。，求。E的長.

16.（2020?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，乙4c8=90。，。為N8邊上的一點，以/。為直

徑的。。交2c于點E,交AC于點、F,過點C作CG1AB交48于點G,交4E于點H,過點E的弦EP交

A8于點。（￡尸不是直徑），點。為弦EP的中點，連結(jié)BP,AP恰好為。。的切線.

c

(2)求證：ET=ED.

(3)若sinZJ8C=|,AC=15,求四邊形的面積.

17.(2018?浙江臺州?統(tǒng)考中考真題)如圖，是OO的內(nèi)接三角形，點D在庭上，點E在弦AB上(E

不與A重合)，且四邊形BDCE為菱形.

(1)求證：AC=CE；

(2)求證：BC2-AC2=AB?AC；

(3)已知OO的半徑為3.

①若黑1，求BC的長；

②當唱為何值時，AB-AC的值最大？

題型04圓與函數(shù)綜合問題

18.(2020?貴州遵義?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線>=仆2號+c經(jīng)過點/(-1,0)和點C(0,3)與x

軸的另一交點為點8,點M是直線8c上一動點，過點M作MPIIy軸，交拋物線于點P.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)在拋物線上是否存在一點0,使得△0C。是等邊三角形？若存在，求出點0的坐標；若不存在，請說

明理由；

(3)以"為圓心，M尸為半徑作OM,當與坐標軸相切時，求出的半徑.

19.(2023?廣東廣州?統(tǒng)考中考真題)已知點P(m,n)在函數(shù)y=-3無<0)的圖象上.

(1)若m=-2,求〃的值；

(2)拋物線y=(%-6)(％-71)與x軸交于兩點M,在N的左邊)，與)，軸交于點G,記拋物線的頂點為

E.

①加為何值時，點￡到達最高處；

②設△GMN的外接圓圓心為C,0c與y軸的另一個交點為尸，當根+幾40時，是否存在四邊形FGEC為

平行四邊形？若存在，求此時頂點E的坐標；若不存在，請說明理由.

20.(2023?湖南?統(tǒng)考中考真題)如圖，點/,B,C在。。上運動，滿足力爐=Be?+AC2,延長4C至點。，

使得ADBC=NC4B,點E是弦AC上一動點(不與點/,C重合)，過點E作弦的垂線，交4B于點R交

BC的延長線于點N,交0。于點加?(點M在劣弧4c上).

(1)BD是。。的切線嗎？請作出你的判斷并給出證明；

(2)記△BOC,AABC,△4DB的面積分別為S「S2,S,若S「S=(S2)2,求(tanD)2的值；

(3)若O。的半徑為1,設FM=x,FE-FN-y,試求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變

\1￡>C'DNAE'AC,

量X的取值范圍.

21.(2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題)如圖，二次函數(shù)y=x2一6乂+8的圖像與x軸分別交于點4B(點N在

點B的左側(cè))，直線/是對稱軸.點P在函數(shù)圖像上，其橫坐標大于4,連接P4PB,過點P作PM1L垂足為

M,以點M為圓心，作半徑為r的圓，PT與OM相切，切點為T.

⑴求點4B的坐標；

(2)若以OM的切線長PT為邊長的正方形的面積與△P4B的面積相等，且OM不經(jīng)過點(3,2),求PM長的取

值范圍.

22.(2023?浙江溫州?統(tǒng)考中考真題)如圖1,為半圓。的直徑，C為B4延長線上一點，CD切半圓于點D,

BE1CD,交CD延長線于點E,交半圓于點F,已知。2=￡AC=1.如圖2,連接4F,P為線段4F上一點，

過點P作BC的平行線分別交CE,BE于點M,N,過點P作P”14B于點H.設P”=K,MN=y.

(1)求CE的長和y關于％的函數(shù)表達式.

(2)當PHVPN,且長度分別等于尸”，PN,。的三條線段組成的三角形與aBCE相似時，求a的值.

(3)延長PN交半圓。于點Q,當NQ=?x-3時，求MN的長.

23.(2023?湖南懷化?統(tǒng)考中考真題)如圖一所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=a/+9一8與x軸交

于4(—4,0)、8(2,0)兩點，與y軸交于點C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式及頂點坐標；

(2)點P為第三象限內(nèi)拋物線上一點，作直線4C,連接P4PC,求△PAC面積的最大值及此時點P的坐標；

(3)設直線，i：y=kx+k—日交拋物線于點M、N,求證：無論k為何值，平行于x軸的直線"：y=—日上總存

在一點E,使得NMEN為直角.

24.(2021?廣東廣州?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，直線2:y=3乂+4分別與x軸，y軸

相交于4、8兩點，點P(x,y)為直線I在第二象限的點

(1)求/、8兩點的坐標；

(2)設△P4。的面積為S,求S關于x的函數(shù)解析式：并寫出x的取值范圍；

(3)作△P4。的外接圓。C,延長尸C交OC于點°,當aPOQ的面積最小時，求。(?的半徑.

25.(2021?四川眉山?統(tǒng)考中考真題)如圖，直線y=5+6與x軸交于點4與y軸交于點8.直線MN"AB,

且與△408的外接圓OP相切，與雙曲線、=一半在第二象限內(nèi)的圖象交于C、D兩點.

(1)求點4B的坐標和OP的半徑;

(2)求直線MN所對應的函數(shù)表達式;

(3)求ABCN的面積.

題型05正多邊形與圓綜合

26.(2022?浙江金華?統(tǒng)考中考真題)如圖1,正五邊形A8CDE內(nèi)接于閱讀以下作圖過程，并回答下列

問題，作法:如圖2,①作直徑4尸:②以尸為圓心,FO為半徑作圓弧，與O。交于點”,N；③連接AM,MN,NA.

(2)aa“N是正三角形嗎？請說明理由.

(3)從點N開始，以DN長為半徑，在。。上依次截取點，再依次連接這些分點，得到正〃邊形，求〃的值.

27.(2020?廣東廣州?統(tǒng)考中考真題)如圖，。。為等邊44BC的外接圓，半徑為2,點。在劣弧力B上運動(不

與點4B重合)，連接ZM,DB,DC.

(1)求證：DC是N4DB的平分線;

（2）四邊形2DBC的面積S是線段0c的長龍的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果不是，請說明理由；

（3）若點M,N分別在線段C4CB上運動（不含端點），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點。運動到每一個確定的位置，4DMN

的周長有最小值t,隨著點。的運動，t的值會發(fā)生變化，求所有t值中的最大值.

28.（2020?內(nèi)蒙古呼和浩特?中考真題）某同學在學習了正多邊形和圓之后，對正五邊形的邊及相關線段進

行研究，發(fā)現(xiàn)多處出現(xiàn)者名的黃金分割比寺0.618.如圖，圓內(nèi)接正五邊形48CDE,圓心為O,。4與BE

交于點H,AC,4。與BE分別交于點M、N.根據(jù)圓與正五邊形的對稱性，只對部分圖形進行研究.（其它

可同理得出）

（1）求證：△ABM是等腰三角形且底角等于36。，并直接說出△BAN的形狀；

（2）求證：鬻=翳，且其比值左=與；

BNBE2

（3）由對稱性知40_L8E,由（1）（2）可知處也是一個黃金分割數(shù)，據(jù)此求sinl8。的值.

BM

29.（2021?湖南湘潭?統(tǒng)考中考真題）德國著名的天文學家開普勒說過：“幾何學里有兩件寶，一個是勾股定

理，另一個是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦”.

口圖①，點C把線段4B分成兩部分,如果靠=號=0-618,那么稱點C為線段4B的黃金分割點.

B、/

1--------------1-------*A

ACBA/r

I

圖①圖②圖③

（1）特例感知：在圖①中，若AB=100,求4C的長；

（2）知識探究：如圖②，作。。的內(nèi)接正五邊形:

①作兩條相互垂直的直徑MN、Ah

②作。N的中點尸，以P為圓心，P2為半徑畫弧交0M于點Q

③以點N為圓心，AQ為半徑，在。。上連續(xù)截取等弧，使弦4B=BC=CD=DE=4Q,連接2E；

則五邊形4BCDE為正五邊形.

在該正五邊形作法中，點。是否為線段0M的黃金分割點？請說明理由.

(3)拓展應用：國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征，是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，與黃金分割有

著密切的聯(lián)系.

延長題(2)中的正五邊形4BCDE的每條邊，相交可得到五角星，擺正后如圖③，點￡是線段PD的黃金分

割點，請利用題中的條件，求cos72。的值.

30.(2020?內(nèi)蒙古通遼?中考真題)中心為O的正六邊形力BCDEF的半徑為6cm.點P,Q同時分別從4。兩點

出發(fā)，以lcm/s的速度沿4F,DC向終點凡C運動，連接PB,PE,QB,QE,設運動時間為t(s).

(1)求證：四邊形PBQE為平行四邊形；

(2)求矩形PBQE的面積與正六邊形ABCDEF的面積之比.

31.(2018?四川達州?統(tǒng)考中考真題)閱讀下列材料:

已知：如圖1,等邊4AiA2A3內(nèi)接于(DO,點P是不不上的任意一點，連接PAI，PA2，PA3,可證:PAI+PA2=PA3,

從而得到:島貴.是定值?

（1）以下是小紅的一種證明方法，請在方框內(nèi)將證明過程補充完整;

證明：如圖1,作NPAiM=60。，AiM交A2P的延長線于點M.

,「△AiA2A3是等邊三角形,

?,ZA3A1A2=6O°,

???NA3Alp=NA2AlM

又A3Al=A2AI，Z.AIASP=ZAIA2P,

.,.AAIA3P=AAIA2M

??.PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PAI.

PA+PA_1

12是定值.

PA1+PA2+PA3-2’

（2）延伸：如圖2,把（1）中條件“等邊AAiA2A3”改為“正方形A1A2A3A4A其余條件不變，請問:

PZ1+PZ2還是定值嗎？為什么？

PAi+PA?+PA3+P44

（3）拓展:如圖3,把⑴中條件“等邊AAiA2A廣改為“正五邊形AiA2A3A4A廣，其余條件不變，則

PA+PA

t2（只寫出結(jié)果）.

PA-1+PA2^~PA^+PA^+P

題型06求不規(guī)則圖形面積

32.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形28CD內(nèi)接于。0,在初上取一點E,連接力E,DE.過

點”作4G14E,交。。于點G,交。E于點R連接CG,DG.

⑴求證：AAFD=ACGD；

（2）若2B=2,/.BAE=30°,求陰影部分的面積.

33.（2021?廣西桂林?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形/BCD中，N3=NC=90。，點E為2c中點，AELDE于

點E.點。是線段NE上的點，以點。為圓心，OE為半徑的。。與48相切于點G,交BC于點F,連接

OG.

（1）求證：AECD-AABE；

（2）求證：。。與相切；

（3）若2C=6,AB=3W,求O。的半徑和陰影部分的面積.

34.（2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）在學習完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，劉老師帶領學生開展了一次數(shù)學探究活

動

【問題情境】

劉老師先引導學生回顧了華東師大版教材七年級下冊第121頁“探索”部分內(nèi)容：

如圖，將一個三角形紙板△ABC繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)。到達△ABC的位置，那么可以得到:力B=A夕,AC=4廠,

BC=B'C；ABAC=Z.B'AC,乙ABC=4ACB=4AC'B'()

劉老師進一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊含于自然界的運動變化規(guī)律中，即“變”中蘊含著“不變”，這是我們解決圖

形旋轉(zhuǎn)的關鍵；故數(shù)學就是一門哲學.

【問題解決】

(1)上述問題情境中“()”處應填理由：;

(2)如圖，小王將一個半徑為4cm,圓心角為60。的扇形紙板28C繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。到達扇形紙板49廣

的位置.

①請在圖中作出點。；

②如果B夕=6cm,則在旋轉(zhuǎn)過程中，點B經(jīng)過的路徑長為；

【問題拓展】

小李突發(fā)奇想，將與(2)中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置，另

一個在弧的中點處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止，此時，兩個紙板重疊部分的面積是

多少呢？如圖所示，請你幫助小李解決這個問題.

B

35.(2020?山東臨沂?中考真題)已知。01的半徑為。外的半徑為上，以。i為圓心，以^+上的長為半

徑畫弧，再以線段。1。2的中點P為圓心，以］。1。2的長為半徑畫弧，兩弧交于點A,連接QM，O2A,。〃交

O。1于點B,過點B作。2人的平行線BC交。1。2于點C.

(2)若q=2,r2-1,0102=6,求陰影部分的面積.

36.(2019?湖北武漢?統(tǒng)考中考真題)已知力B是。。的直徑，AM和BN是。。的兩條切線，DC與O。相切于

點E,分別交2"、BN于D、C兩點

(2)如圖2,連接OE并延長交4M于點尸，連接CF.若NADE=2/OFC,AD=1,求圖中陰影部分的面積

圖2

題型07三角形內(nèi)切圓與外切圓綜合

37.（2019?山西?統(tǒng)考中考真題）閱讀以下材料，并按要求完成相應地任務：

萊昂哈德?歐拉是瑞士數(shù)學家，在數(shù)學上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)，公式和定理，

下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個定理：在aABC中，R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑，。和I分別為其外心和內(nèi)

心，則0/2=R2_2RT.

如圖1,OO和。1分別是aABC的外接圓和內(nèi)切圓，。1與AB相切分于點F,設OO的半徑為R,的半

徑為r,外心O（三角形三邊垂直平分線的交點）與內(nèi)心I（三角形三條角平分線的交點）之間的距離01=

d,則有d2=R2-2Rr.

下面是該定理的證明過程（部分）：

延長AI交于點D,過點I作的直徑MN,連接DM,AN.

???ND=NN,NDMI=NNAI（同弧所對的圓周角相等），

.?.AMDI-AANI,

IM_ID

''IA-IN9

：.IA?ID=IM?IN①,

如圖2,在圖1（隱去MD,AN）的基礎上作OO的直徑DE,連接BE,BD,BI,IF,

???DE是。。的直徑，.?ZDBE=9O。，

?■?OI與AB相切于點F,,?.ZAFI=9O°,

.,.Z.DBE=ZlFA,

?.2BAD=NE（同弧所對圓周角相等），

???AAIF^AEDB,

???—=—,.-.IA?BD=DE-IF②,

DEBDJ

任務：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：IM=R+d,/N=_（用含R,d的代數(shù)式表示）；

⑵請判斷BD和ID的數(shù)量關系，并說明理由；

（3）請觀察式子①和式子②，并利用任務（1）,（2）的結(jié)論，按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分；

（4）應用：若AABC的外接圓的半徑為5cm,內(nèi)切圓的半徑為2cm,則AABC的外心與內(nèi)心之間的距離為_cm.

￡

A

38.（2019?湖北荊門?統(tǒng)考中考真題）已知銳角2MBe的外接圓圓心為。，半徑為R.

求證：—=2R；

(1)smB

(2)若中乙4=45。，ZB=60°,AC=V3,求BC的長及sinC的值.

39.（2022?陜西西安?二模）【問題提出】（1）如圖1,在四邊形48co中，ZX=60°,^ABC=^ADC=90°,

點E為48延長線上一點，連接EC并延長，交/。的延長線于點尸，則N8CE+NDCF的度數(shù)為°；

【問題探究】（2）如圖2,在必入42。中，乙4BC=90°,點D、E在直線2c上，連接4D、/E,若N/ME=60°,

AB=6,求A4Z組面積的最小值；

【問題解決】（3）近日，教育部印發(fā)了《義務教育課程方案和課程標準（2022年版）》，此次修訂中增加的跨

主題學習活動，突破邊界，鼓勵教師開展跨教研，設計出主題鮮明、問題真實的跨學習

活動.為此，某校欲將校園內(nèi)一片三角形空地/3C（如圖3所示）進行擴建后作為跨主題學習活動中

心，在48的延長線上取一點連接。C并延長到點E,連接NE,已知AE||BC,AB=BC=40米，乙48c=90°,

為節(jié)約修建成本，需使修建后A4DE的面積盡可能小，問NLDE的面積是否存在最小值？若存在，求出其

最小面積；若不存在，請說明理由.

圖1圖2圖3

40.（2021?陜西西安??？寄M預測）問題提出：若一個三角形的三個頂點分別在一個圖形的不同的邊上,

則稱此三角形為該圖形的內(nèi)接三角形.

圖1圖2圖3

（1）如圖1,。0及弦AB,點C為圓上一點，則△ABC稱為。。的內(nèi)接三角形.若。。的半徑等于5,弦AB=8,

畫出。。的面積最大的內(nèi)接三角形△4BC,且其內(nèi)接三角形面積的最大值是；

問題探究：

（2）如圖2,△ABC中，N4=NB=30。，AC=4,。是4C的中點，△DEF是△ABC的內(nèi)接等腰直角三角

形，且NDFE=90。，求△DEF的面積.

問題解決：

（3）高新區(qū)的小朋友為給十四運的選手們加油，在現(xiàn)有的一塊三角形展板上，繪制一個三角形的圖案，如

圖3,展板△4BC為等腰直角三角形，NC=90。，AC=BC=4,繪制的圖案為△ABC的內(nèi)按等腰直角三角

形，試探究：繪制的圖案的面積是否存在最小值？若存在，請求出面積的最小值；若不存在，請說明理由.

題型08阿氏圓模型

41.（2021?全國?九年級專題練習）如圖，RtAABC,乙4c3=90。，AC=BC=2,以C為頂點的正方形CD￡尸

（C、D、E、尸四個頂點按逆時針方向排列）可以繞點C自由轉(zhuǎn)動，且CD=&,連接BD

(1)求證：/\BDC=AAFC

（2）當正方形CDE尸有頂點在線段48上時，直接寫出2。十爭。的值;

(3)直接寫出正方形CDE尸旋轉(zhuǎn)過程中，50+孝4□的最小值.

42.(2023上?重慶九龍坡?九年級重慶市育才中學?？计谀?已知與△力8C有公共頂點C,△CDE為

等邊三角形，在△4BC中，ZBXC=120°.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當點E與點2重合時，連接己知四邊形4RDC的面積為2次，求4B+2C的值；

(2)如圖2,AB^AC,/、E、。三點共線，連接ZE、BE,取BE中點連接4M,求證：AD=2AM-,

(3)如圖3,AB="=4,CE=2,將△CDE以C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，取DE中點尸，當?shù)闹底钚?/p>

時，求tan/ABF的值.

43.(2019?山東?統(tǒng)考中考真題)如圖1,在平面直角坐標系中，直線y=-5x+5與x軸，y軸分別交于A,

C兩點，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A,C兩點，與x軸的另一交點為B

(1)求拋物線解析式及B點坐標；

(2)若點M為x軸下方拋物線上一動點，連接MA、MB、BC,當點M運動到某一位置時，四邊形AMBC

面積最大，求此時點M的坐標及四邊形AMBC的面積；

(3)如圖2,若P點是半徑為2的OB上一動點，連接PC、PA,當點P運動到某一位置時，PC+|PA的值

最小，請求出這個最小值，并說明理由.

44.(2021上?江蘇宿遷?九年級?？计谀?問題提出：如圖①，在Rt△力BC中，ZC=90°,CB=4,CA=6,

OC的半徑為2,P為圓上一動點，連接AP、BP,求AP+^BP的最小值.

（1）嘗試解決:為了解決這個問題,下面給出一種解題思路:如圖①,連接CP,在CB上取一點D,使CD=1,

C=S=?又乙PCD=LBCP,所以△PCD7BCR所嚕吟氣

-1-1

所以PD=5PB,所以4P+^BP=4P+PD.

請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+^BP的最小值為

（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求:&P+BP的最小值;

（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，乙COD=90°,0C=6,0A=3,OB=5,P是第上一點,

求2P4+PB的最小值.

45.（2018?廣西柳州?中考真題）如圖，拋物線y=a/+bx+c與X軸交于力（百，0）,B兩點（點B在點力的

左側(cè)），與y軸交于點C,且OB=3OA=遮。C,N。4c的平分線4D交y軸于點0,過點4且垂直于4。的直線I

交y軸于點E,點P是x軸下方拋物線上的一個動點，過點P作PF1久軸，垂足為F,交直線4D于點

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點P的橫坐標為m,當尸H=HP時，求小的值；

（3）當直線PF為拋物線的對稱軸時，以點H為圓心，舞。為半徑作OH,點Q為OH上的一個動點，求［加+

題型09隱圓模型

46.(2022?重慶萬州?重慶市萬州國本中學校?？家荒?如圖，在八42。和△￡>￡尸中，ABAC=乙EDF=90°,

AB=AC,DE=DF,BC、所交于點“，且點”為2C、斯的中點，將△￡)跖繞點M旋轉(zhuǎn).

(1)如圖1,當戶旋轉(zhuǎn)至點/在即延長線上時，若BC=3應，4F=等，tanzBXF=2,求線段8尸的

長；

(2)如圖2,當△￡)即旋轉(zhuǎn)至點/在FD延長線上，求證：<2AF=V?,BE+EF；

⑶如圖3,在△。斯旋轉(zhuǎn)過程中，直線與直線C尸交于點N,連接8N,尸為瓦V的中點，連接NP,若4B=6企,

請直接寫出線段/尸的最大值.

47.(2022?江蘇鹽城?統(tǒng)考一模)在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=/+6x+c的圖像過點c(0,-4)和點

0(2,-6),與x軸交于點/、B(點N在點8的左邊)，且點。與點G關于坐標原點對稱.

(1)求該二次函數(shù)解析式，并判斷點G是否在此函數(shù)的圖像上，并說明理由；

(2)若點尸為此拋物線上一點，它關于x軸，y軸的對稱點分別為M,N,問是否存在這樣的尸點使得M,N

恰好都在直線DG上？如存在，求出點尸的坐標，如不存在，并說明理由；

(3)若第四象限有一動點￡,滿足BE=OB,過E作EF1x軸于點R設尸坐標為(t,0),0<t<4,ABEF的

內(nèi)心為/,連接C/,直接寫出C/的最小值.

48.（2021?陜西西安?西北工業(yè)大學附屬中學校考模擬預測）在平面直角坐標系中，CJOABC如圖所示,4（5,0）,

B（9,6）.點尸從點。出發(fā)在線段。4上以每秒1個單位的速度向點/運動，同時點。從點3出發(fā)在線段BC上

以每秒2個單位的速度向點C運動.其中一個點到達終點時，停止運動，連接PQ.

（1）如圖1,連接0B交PQ于點。，則點。的坐標為；

（2）如圖2,過/作AH1PQ于點，，求。”的最小值；

（3）如圖3,在PQ上取一點使得N4MP=45。，那么點M的縱坐標是否存在最大值，若存在，求出此

時。P的長；若不存在，說明理由.

49.（2021上?湖北武漢?九年級武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）?？茧A段練習）【問題背景】如圖1,

尸是等邊A48C內(nèi)一點，UPB=150。,貝ij以斗尸￥=pc2.小剛為了證明這個結(jié)論，將繞點/逆時針

旋轉(zhuǎn)60。，請幫助小剛完成輔助線的作圖；

【遷移應用】如圖2,。是等邊△ZSC外一點，￡為CO上一點，ADWBE,乙BEC=12Q°,求證：4DBE是等

邊三角形；

【拓展創(chuàng)新】如圖3,環(huán)=6,點C為跖的中點，邊長為3的等邊繞著點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，直

線AE、BF交于點、尸,又為PG的中點，EF1FG于F,FG=4用請直接寫出MC的最小值.

50.(2021?陜西西安?西安益新中學校考模擬預測)問題發(fā)現(xiàn)：

(1)正方形4BCD和正方形/MG如圖①放置，4B=4,AE=2.5,則器=

CF

問題探究：

(2)如圖②，在矩形48co中，48=3,2C=4,點P在矩形的內(nèi)部，乙BPC=135°,求/P長的最小值.

問題拓展：

(3)如圖③，在四邊形N8CD中，連接對角線/C、5D,已知/8=6,AC=CD,^4CD=90°,乙4c8=45。，

則對角線AD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.

圖①圖②圖③

重難點突破：與圓有關的壓軸題

目錄

重難點即型突破

題型01利用圓的相關知識解決多結(jié)論問題

題型02圓與三角形綜合問題

題型03圓與四邊形綜合問題

題型04圓與函數(shù)綜合問題

題型05正多邊形與圓綜合

題型06求不規(guī)則圖形面積

題型07三角形內(nèi)切圓與外切圓綜合

題型08阿氏圓模型

題型09隱圓模型

重難點題型突破

利用圓的相關知識解決多結(jié)論問題

與

隱圓模型

圓

圓與三角形綜合問題

有

阿氏圓模型關

的圓與四邊形綜合問題

三角形內(nèi)切圓與外切圓綜合壓

軸

圓與函數(shù)綜合問題

題

正多邊形與圓綜合

求不規(guī)則圖形面積

題型01利用圓的相關知識解決多結(jié)論問題

一、單選題

1.（2023?四川德陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，。。的直徑48=10,DE是弦,AB1。凡。加=E卻,sin/BAC=1,

力。的延長線與CB的延長線相交于點F,D8的延長線與OE的延長線相交于點G,連接CG.下列結(jié)論中正確

的個數(shù)是（）

①）乙DBF=3ND4B；

②CG是。。的切線；

③B,E兩點間的距離是“U；

@DF=

G

E/

B

D

F

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】連接。C、BE、AE,過點F作尸G14B交2B延長線于G,481￡）后于”.①根據(jù)已知、垂徑定理和

圓內(nèi)接四邊形證NC4E=NB4E=ND4B,4DBF=MAD,即可得至！JNDBF=3ND4B；②根據(jù)已知、垂徑

定理、中垂線定理證NOCG=NOBG,推出NOCG490。，0c不垂直CG,即可判斷CG不是。。的切線；③證

/.CAB=NE08,結(jié)合sinNBAC==10,計算出EH、最后根據(jù)勾股定理計算BE=y/BH2+EH2

即可；④先計算出tan/G力F=推理出tan/GBF=tanzCB/1=整=：，設DF=a,用含a的代數(shù)式表示GF

3BG3

和BG,代入黑=：求解即可.

BG3

【詳解】如圖，連接。C、BE、AE,過點尸作?61/8交4B延長線于G,AB1DE于H

?■?O。的直徑48=10,sinzBXC=

3

???乙ACB=90°,BC=ABxsin^BAC=10x-=6,

AC=7AB2-BC?=V102-62=8,tan^CBA=-=

63

???OE是弦，AB1DE,謝=EBD,

??.臣=月0（垂直于弦的直徑平分弦所對的?。?/p>

州一品=EBD一品,即筋*=皿

?,?空="=骸，

Z.CAE=Z.BAE=乙DAB,

??.Z.CAD=3/-DAB,

???乙DBF=^CAD（圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角）,

???乙DBF=3Z-DAB,

故結(jié)論①正確

乙EOB=-^.COB,

2

又?：4CAB=3乙COB（同弧所對圓周角是圓心角的一半）,

???Z-CAB=Z.EOB,

???sinZ.EOB=

???0E=-AB=5,AB1DE于H,

2

.-.EH=5x^=3,

???OH=V52-32=4,

vOA=OB=-AB=5,

2

；,BH=OB-OH=5-4=1,

BE=7BH2+EH2=Vl2+32=V10,

故結(jié)論③正確

???乙CAB=^EOB,AACB=90°,

???ACWOG,

OG1BC,

???OG平分BC（垂直于弦的直徑平分弦），

??.OG是的中垂線，

CG=BG,

Z.GCB=Z-GBC,

???OC=OB,

Z.OCB=Z.OBC

???乙GCB+Z.OCB=乙GBC+乙OBC,^Z.OCG=乙OBG,

???OE是弦，乙OBG=180°-^ABD

???乙4BO是銳角，

N0BG是鈍角，

NOCG是鈍角，ZOCG豐90°,

0c不垂直CG,CG不是O。的切線，

故結(jié)論②不正確

???AB上DE,A”=。4+?！?5+4=9,

???DH=EH=3,AD=V32+92=3V10,

「ALDH31

tanZ-GAF=—=一=一,

AH93

FG-.AG=1:3,Vl2+32=V10,

FG-.AG-.AF=1:3:V10,

.?.設OF=a,貝！|2F=AD+DF=3^10+a,

GF=^=/lF=^（3V10+a）,AG=3GF=誓（3內(nèi)+a）,

vZ.GBF=乙CBA,

4

???tanzG^F=tanZ-CBA=

3

GF4

BG-3，

BG=AG-AB--（3V10+a）-10，

.甯（3V^+a）_4

"^（sVlo+^-io

竽（3V1U+a）-40=騫（3VTU+a）,

解得：a=^旦

DF=嚕

故結(jié)論④不正確

綜上，①和③這2個結(jié)論正確，

故選：B.

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)綜合，結(jié)合判斷切線、勾股定理、三角函數(shù)解直角三角形知識點，熟練掌握、

綜合運用知識點推理證明和計算是解題的關鍵.

2.（2020?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形N8CD中，點E是邊8C的中點，連接/￡、DE,分別

交BD、NC于點尸、Q,過點尸作PF1/E交C8的延長線于R下列結(jié)論：

①4AED+4E4C+LEDB=90°,

②AP=FP,

@AE=^-AO,

④若四邊形OPEQ的面積為4,則該正方形48CD的面積為36,

⑤CE?EF=EQ-DE.

其中正確的結(jié)論有（)

A.5個B.4個C.3個D.2個

【答案】B

【分