第頁，共頁2027屆普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試青桐鳴大聯(lián)考（高一）數(shù)學（北師大版）注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、班級、考場號、座位號、考生號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂累.如需改動，用像皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知某同學預定的鬧鐘每20分鐘響一次，且該鬧鐘早上6點鐘第一次響鈴開始到早上8點10分期間不關(guān)閉，則該鬧鐘在此期間一共響了（）A.5次 B.6次 C.7次 D.8次【答案】C【解析】【分析】逐個列舉即可求解；【詳解】6：00，6：20，6：40，7：00，7：20，7：40，8：00共7次，故選：C2.已知集合，集合B滿足，則a的所有可能取值的集合為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)題設(shè)等式得出與的關(guān)系，確定的可能取值，即得所有可能取值的集合.【詳解】易知，所以，因此或π，所以a的所有可能取值的集合為．故選：D．3.函數(shù)與函數(shù)具有相同的（）A.振幅 B.頻率 C.相位 D.初相【答案】B【解析】【分析】先求出函數(shù)的周期，根據(jù)振幅、頻率、初相的定義，即可求出結(jié)論.【詳解】函數(shù)的振幅為3；周期，則頻率為；相位為；初相為；函數(shù)的振幅為2；周期，則頻率為；相位為；初相為；所以兩個函數(shù)的頻率相同.故選：B.4.能使函數(shù)有意義的的取值范圍可以為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)偶次根式的被開方數(shù)非負，及對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零得到不等式，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，即，即，則當時，，B選項滿足；則當時，，沒有選項滿足；則當且時，沒有選項滿足；故選：B.5.已知某扇形的面積和周長分別為6，10，則該扇形的圓心角為（）A第一象限角或第三象限角 B.第二象限角或第三象限角C.第一象限角或第二象限角 D.第三象限角或第四象限角【答案】C【解析】【分析】由扇形的周長、面積求得弧長和半徑，再由圓心角公式即可求解；【詳解】由條件可得：，聯(lián)立消去可得：，解得或.當時，，，第二象限的角，當當時，，，第一象限的角，故選：C.6.已知，且，，則的最小值是（）A. B.4 C. D.8【答案】D【解析】【分析】條件結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得，再利用基本不等式求的最小值.【詳解】因為，即，所以，且，，故，即，當且僅當時，即，時取等號，所以的最小值為.故選：D.7.已知函數(shù)在上的值域為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)求解即可.【詳解】當時，，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)知，若則該函數(shù)值域會出現(xiàn)大于的情況，則.時，由值域為，，所以，所以故選：A.8.設(shè)函數(shù)，若的圖象與（為常數(shù)）的圖象有兩個交點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，可得，即可求解.【詳解】將指數(shù)函數(shù)的圖象向下平移個單位可得到的圖象，再將的圖象在軸下方的部分翻折到軸上方可得到函數(shù)的圖象，所以作出函數(shù)的圖象如下，因為函數(shù)的圖象與（為常數(shù)）的圖象有兩個交點，所以，所以，即，故選:A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某同學參加3次不同測試，用事件表示隨機事件“第次測試成績及格”，則下列說法正確的是（）A.表示前兩次測試成績中有且僅有一次及格B.表示后兩次測試成績均不及格C.表示三次測試成績均及格D.表示三次測試成績均不及格【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)隨機事件的概念，結(jié)合事件并和交的定義逐一求解即可．【詳解】因為表示前兩次測試成績中至少有一次及格，故A錯誤；因為表示第二次和第三次測試成績中至少有一次及格，所以表示后兩次測試成績均不及格，故B正確；表示同時發(fā)生，即表示三次測試成績均及格，故C正確；表示測試成績均不及格，所以表示三次測試成績均不及格，故D正確；故選：BCD.10.已知冪函數(shù)（，為常數(shù)），則下列說法正確的有（）A.B.若，則與表示同一個函數(shù)C.若，則為奇函數(shù)D.若，則為偶函數(shù)【答案】BD【解析】【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)，奇偶性的定義，逐項判斷即可.【詳解】由為冪函數(shù)，可得：，即，故A錯誤；對于B：若，則，，故B正確；對于C：若，則，所以，定義域為，顯然是偶函數(shù)，故C錯誤；對于D：若，則，所以，定義域為，又，故是偶函數(shù)，故D正確.故選：BD11.在平面直角坐標系內(nèi)，曲線的圖象由函數(shù)和的圖象構(gòu)成，則下列說法一定正確的是（）A.關(guān)于點中心對稱B.直線被截得的弦最長為2C.所圍成區(qū)域的面積小于D.的周長大于14【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性可判斷A；根據(jù)正弦函數(shù)的最值可判斷B；作圖，記，比較的面積可判斷C；比較曲線與弦的長度可判斷D.【詳解】對A，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)和的圖象都關(guān)于點對稱，所以A正確；對B，直線被截的弦長為，當時取得最大值，B正確；對C，記，，易知所圍成區(qū)域的面積大于，C錯誤；對D，由圖知，曲線的長大于，所以的周長大于，又，所以，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.命題，的否定為____________.【答案】，【解析】【分析】由全稱命題的否定為特稱命題即可求解；【詳解】，的否定為，，故答案為：，13.甲、乙二人共同參與一場比賽，且比賽中不存在平局，先贏三局者獲勝，并可以獲得200元獎金.已知甲、乙二人在每局比賽中獲勝的可能性均相同.已知.當甲連贏兩局，乙一局未贏時，因某種特殊情況需要終止比賽.現(xiàn)將200元獎金按兩人各自最終獲勝的可能性的比例進行分配，則甲應該分得_________元.【答案】【解析】【分析】由題意，如果比賽繼續(xù)，乙要連贏三局才能獲勝，根據(jù)二人在每局比賽中獲勝的可能性相同，計算出他們最終獲勝的概率，即可得甲應該分到的獎金數(shù).【詳解】由題意，如果比賽繼續(xù)，乙要連贏三局才能獲勝，因為甲、乙二人在每局比賽中獲勝的可能性均相同，則乙連贏三局的概率為，甲獲勝的概率為，所以甲應該分得獎金的，乙應該分得獎金的，所以元.故答案為：.14.已知函數(shù)有且僅有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】易得是函數(shù)的一個零點，則函數(shù)在上僅有一個零點，令，則關(guān)于的函數(shù)與函數(shù)的圖象在上僅有一個交點，再分，，和四種情況討論，進而可得出答案.【詳解】當時，令，即，解得，因為函數(shù)有且僅有兩個零點，所以函數(shù)在上僅有一個零點，當時，令，則，令，則關(guān)于的函數(shù)與函數(shù)的圖象在上僅有一個交點，當時，函數(shù)與函數(shù)的圖象在上無交點，此時，則函數(shù)與函數(shù)的圖象在上僅有一個交點，所以當時，函數(shù)與函數(shù)圖象在上僅有一個交點；當時，要使與函數(shù)的圖象在上僅有一個交點，則，所以；當時，，函數(shù)與函數(shù)的圖象在上僅有一個交點，則函數(shù)與函數(shù)的圖象在上無交點，則，所以；當時，要使與函數(shù)的圖象在上僅有一個交點，則，所以，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.求解下列問題：（1）計算：；（2）已知，將化為弧度；（3）已知，求的值.【答案】（1）2（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪的運算法則和對數(shù)的運算法則即可直接求出答案；（2）由角度與弧度得互化關(guān)系，化簡即可；（3）根據(jù)誘導公式對所求式子進行化簡，然后結(jié)合齊次式即可直接求出答案.【小問1詳解】原式；【小問2詳解】因為，所以；【小問3詳解】因為，所以.16.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增.（1）求取值范圍；（2）若，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若，求的最小正周期.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性求解出的取值范圍即可；（2）利用正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解出要求的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（3）結(jié)合小問（1）求解出的最小正周期即可.【小問1詳解】當，，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以的取值范圍為.【小問2詳解】若，由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為：.【小問3詳解】若，則，得則，，解得，，又因為，所以，的最小正周期為.17.將函數(shù)圖象上的所有點向左平移個單位長度后，再將得到的圖象上的所有點的橫坐標縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象.（1）求曲線上距離坐標原點最近的對稱中心的坐標；（2）若曲線在上有且只有3條對稱軸，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）確定，由，即可求解；（2）由，得到，再由正弦函數(shù)性質(zhì)構(gòu)造不等式求解即可；【小問1詳解】由題意可得：，令，可得：，令，得，令，得，所以曲線上距離坐標原點最近對稱中心的坐標為【小問2詳解】由，可得：，要使曲線在上有且只有3條對稱軸，需滿足：，解得：，所以實數(shù)的取值范圍是18.已知一組樣本量為10的樣本數(shù)據(jù)如下：37394548495152556163（1）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標準差；（2）求這組數(shù)據(jù)的20%和75%分位數(shù)；（3）已知另一組樣本數(shù)據(jù)的樣本量為5，平均數(shù)為47，方差為16，求這兩組樣本組成的總體的平均數(shù)和方差.【答案】（1）50，8；（2）42，55（3）49，50【解析】【分析】（1）由平均數(shù)和標準差計算公式即可求解；（2）由百分位數(shù)的計算公式即可求解；（3）由即可求解；小問1詳解】平均數(shù)，方差，所以標準差為8【小問2詳解】，所以20%分位數(shù)為，，所以分位數(shù)是第8個數(shù)，為55，【小問3詳解】第一組：，第二組：，所以，.19.已知，函數(shù).（1）當時，研究在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若曲線是中心對稱圖形，直接寫出符合條件的的值；（3）根據(jù)（2）中的值，證明：曲線是中心對稱圖形.【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)正余弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可；（2）易得函數(shù)的定義域關(guān)于對稱，要使曲線是中心對稱圖形，則為一個定值，再分和討論即可；（3）根據(jù)（2）