高一期中調研試卷數學2025.04注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.考試結束后，將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.函數的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用函數的周期公式，求出函數的周期性即可.【詳解】因為函數，所以，故函數最小正周期為.故選：B.2.在平行四邊形中，（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據平面向量運算法則計算即可判斷每個選項的正誤.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D錯誤.故選：A.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量坐標乘法和減法法則得到答案.【詳解】.故選：C4.函數圖象的一個對稱中心是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦型函數的對稱性求解.【詳解】令，解得，當時，，所以函數圖象的一個對稱中心是.故選：D.5.中，，那么（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】根據正弦定理求解即可.【詳解】由正弦定理，得，則，即，因為，所以，則.故選：A.6.某簡諧運動可以用函數表示，把該函數的圖象向右平移個單位后得到函數的圖象，則函數的初相等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意，利用三角函數的圖象變換，得到，進而求得的初相，得出答案.【詳解】由函數的圖象向右平移個單位后，得到函數，所以函數的初相等于.故選：C.7.“七巧板”是我國古代勞動人民的偉大發(fā)明，被譽為“東方魔方”.某同學制作了一個“七巧板”玩具，如圖所示.其中正方形的邊長為4，點分別是線段的中點，則（）A. B. C.14 D.20【答案】C【解析】【分析】以為原點，建立平面直角坐標系，求得，結合向量的數量積的坐標運算公式，即可求解.【詳解】以為原點，以所在的直線分別為軸和軸建立平面直角坐標系，如圖所示，因為正方形邊長為4，且點分別是線段的中點，可得，則，所以.故選：C.8.在平面直角坐標系中，曲線與單位圓的交點個數為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】【分析】求出的最小正周期，同一坐標系內畫出單位圓和的圖象，可以看出共有8個交點.【詳解】的最小正周期為，其中，故在單位圓上方，同一坐標系內畫出單位圓和的圖象，在左右兩邊會有兩個交點，為④和⑤，可以看出共有8個交點.故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在中，（）A.若，則B.若，則為等腰三角形C.若，則為鈍角三角形D.若是銳角，，則為銳角三角形【答案】ACD【解析】【分析】由正弦定理求得，得到，可判定A正確；由，得到或，得到為等腰或直角三角形，可判定B錯誤；由，結合，得到，判定C正確；由，得到，得到，得到，可判定D正確.【詳解】對于A，設外接圓的半徑為，若，由正弦定理得，則，所以，所以A正確；對于B中，因為，可得，且，若，可得或，即或，所以為等腰或直角三角形，所以B錯誤；對于C中，因為，可得，若，則，可得，即為鈍角，所以為鈍角三角形，所以C正確；對于D中，因為，可得若，可得，由函數在上為單調遞增函數，所以，即，又因為，則，所以為銳角三角形，所以D正確.故選：ACD.10.已知平面內兩個非零向量與，則（）A.B.C.存在以為邊長的三角形D.兩個不等式與中至少能成立一個【答案】AC【解析】【分析】利用平面向量數量積的定義和運算律判斷A，舉反例判斷B，D，舉特值判斷C即可.【詳解】對于A，設非零向量與的夾角為，由平面向量數量積的定義得，而，得到，故A正確，對于B，令，則，由向量的模長公式得，，即不成立，故B錯誤，對于C，令，則，由向量的模長公式得，，得到，即存在以為邊長的三角形，故C正確，對于D，令，則，，此時不滿足，也不滿足，即不滿足兩個不等式與中至少能成立一個，故D錯誤.故選：AC11.已知函數，則（）A.是偶函數B.是周期函數C.當時，在區(qū)間上有最大值D.當時，恒成立【答案】ACD【解析】【分析】對于A，通過驗證與的關系即可判斷；對于B，通過周期函數的定義即可判斷；對于C，借助導數先判斷出在上的單調性，再根據的對稱性即可判斷；對于D，通過構造函數，借助導數判斷出的單調性，進而求出其最值，即可判斷.【詳解】對于A，因為，所以是偶函數，故A正確；對于B，當時，，是周期函數；當時，由周期函數的定義可知，若是周期函數，則有，已知的周期都是，但是使得的非零常數值卻不存在，所以不一定是周期函數，故B錯誤；對于C，，當時，，，有，，所以，所以上單調遞減，又因為是偶函數，所以在上單調遞增，由圖象的對稱可知當時，取得最大值且，故C正確；對于D，當時，令，則，令，可得，所以當，，單調遞增，當，，單調遞減，所以，即恒成立，故D正確.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數在一個周期內的圖象如圖所示，則__________.【答案】【解析】【分析】根據給定的函數圖象求出函數的解析式，進而求出函數值.【詳解】觀察函數圖象，得，函數的最小正周期，解得，由，得，而，則，則，所以.故答案為：13.在內部（不包括邊界）有點，滿足，請寫出一個滿足題意的實數的值__________.（只要填寫一個即可）【答案】（答案不唯一，只要介于0和1即可）【解析】【分析】分別取是的三等分點，連接，得到四邊形為平行四邊形，設，得到，根據行四邊形法則，要使得在內部，在點在線段上運動，得到，即可得到答案.【詳解】如圖所示，取點為的三等分點（靠近點），可得，再取點為的三等分點（靠近點），點為的三等分點（靠近點），分別連接，則，所以四邊形為平行四邊形，由，可得，即，設，可得，由平行四邊形法則，當點在上運動時，可得點在直線，要使得在內部（不包含邊界），在點在線段上運動（不包含端點），所以，解得，所以其中一個可以是.故答案為：（答案不唯一，只要介于0和1即可）14.鈍角能使得等式成立，則該鈍角的值等于__________.【答案】【解析】【分析】根據給定條件，將正切化成正余弦，再利用輔助角公式變換即可.【詳解】依題意，，而是鈍角，所以.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，，設.（1）用分別表示；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的線性運算可求得；（2）利用向量的數量積的運算律求解即可.【小問1詳解】由，所以，所以，.【小問2詳解】因為，所以，所以.16.在中，角的對邊分別為.三個內角滿足.（1）求角的值；（2）如果，并且，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，利用及和差角的正弦公式，可得到，再結合角的范圍，即可求出角的值；（2）利用余弦定理及題目條件，即可求出邊，進而求出的周長.【小問1詳解】在中，因為，所以.因為，所以，即，所以，即，又因為是三角形的內角，所以，所以.【小問2詳解】由余弦定理可得，因為，，所以，又因為，所以，解得或（舍去），所以，所以的周長為.17.已知函數.（1）求函數的值域；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數，再利用正弦函數的性質求出指定區(qū)間上的值域.（2）由（1）的信息，利用同角公式、二倍角公式及和角的正弦求解.【小問1詳解】依題意，，由，得，則，所以函數的值域是.【小問2詳解】由（1）得，而，則，因此，，，所以.18.如圖，某休閑用地的中央區(qū)域是邊長為2（百米）的等邊三角形，外圍是以，為圓心，2（百米）為半徑的圓弧.管理部門在矩形的三邊安裝燈帶（其中在圓弧上，都在線段上），記.（1）寫出燈帶的總長度關于的函數，并求出該函數的值域；（2）管理部門還準備在矩形內部建造一個圓形噴泉，試求圓形噴泉半徑的最大值.【答案】（1），其中；（2）（百米）【解析】【分析】（1）結合題意將用三角函數表示出來并結合輔助角公式化簡，再利用正弦函數的性質求解值域即可.（2）結合題意得到，再令，進而得到，最后求解的最值即可.【小問1詳解】在直角三角形中，有，于是，由對稱性得，所以，所以燈帶長，，其中，則，由正弦函數性質得，則燈帶總長度的值域是.【小問2詳解】由題意得最大的圓的直徑是矩形的兩邊中的較小者，則，故.令，得到，解得（舍）或，故，記銳角滿足，于是當時，單調遞增；當時，單調遞減，的最大值等于.故圓形噴泉半徑的最大值為（百米）.19.已知函數是正整數，.（1）求函數的值域；（2）記，解不等式；（3）當時，求的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）；（3）答案見解析.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式化簡函數解析式，利用換元法得到二次函數，利用函數單調性求值域；（2）利用三角恒等變換化簡不等式，降次解不等式即可；（3）先分析時，利用函數的單調性求最大值和最小值，再分類討論為奇數和偶數時，利用函數單調性結合倍數關系求最大值和最小值.【小問1詳解】由題意，，記，有開口向下，對稱軸為，所以，時，單調遞增，時，單調遞減，故的最大值等于的最小值等于，所以的值域為.【小問2詳解】由題意，，于，解得因為，所以則或者，所以，即，所以原不等式的解集為.【小問3詳解】當時，函數在上單調遞增，所以的最大值為，最小值為.當時，函數所以函數的最大，最小值均為1.當時，函數在上單調