試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題五幾何圖形的性質(zhì)與判定的綜合問題第08講四邊形的綜合問題（思維導(dǎo)圖+2考點+8種題型）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識導(dǎo)圖·思維引航03核心精講·題型突破考點一、四邊形的性質(zhì)與判定的綜合題型01、平行四邊形性質(zhì)與判定題型02、矩形性質(zhì)和判定的綜合問題題型03、菱形性質(zhì)與判定的綜合問題題型04、正方形的性質(zhì)與判定的綜合問題考點二、四邊形性質(zhì)的綜合應(yīng)用題型01、四邊形背景下的作圖問題題型02、四邊形背景下的圖形平移問題題型03、四邊形的背景下的折疊問題題型04、四邊形背景下的圖形旋轉(zhuǎn)問題試卷第=page22頁，共=sectionpages170170頁中考考點新課標(biāo)要求命題預(yù)測四邊形1、①了解多邊形凹的概念及多邊形的頂點、邊、內(nèi)角、外角與對角線，探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式。②理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它們之間的關(guān)系；了解四邊形的不穩(wěn)定性。2、③探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理：平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分。探索并證明平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。④理解兩條平行線之間距離的概念，能度量兩條平行線之間的距離。3、探索并證明矩形、菱形的性質(zhì)定理：矩形的四個角都是直角，對角線相等，菱形的四條邊相等，對角線互相垂直。探索并證明矩形、菱形的判定定理：三個角是直角的四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形是矩形，四邊相等的四邊形是菱形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之間的包含關(guān)系。5、探索并證明三角形的中位線定理。本考點內(nèi)容是考查重點，年年都會考查，分值為10分左右，預(yù)計2025年浙江中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查多邊形的內(nèi)角和、平行四邊形性質(zhì)和判定、與三角形中位線有關(guān)計算的可能性比較大，中考數(shù)學(xué)中，對平行四邊形的單獨考察難度一般不大，一般和三角形全等、解直角三角形綜合應(yīng)用的可能性比較大，對于本考點內(nèi)容，要注重基礎(chǔ)，反復(fù)練習(xí)，靈活運用.矩形是特殊平行四邊形中比較重要的圖形，也是幾何圖形中難度比較大的幾個圖形之一，年年都會考查，預(yù)計2025年浙江中考還將出現(xiàn)，其中，矩形還經(jīng)常成為綜合壓軸題的問題背景來考察，而矩形其他出題類型還有選擇、填空題的壓軸題，難度都比較大，需要加以重視解答題中考查特殊四邊形的性質(zhì)和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動態(tài)問題綜合應(yīng)用的可能性比較大.菱形是特殊平行四邊形中比較重要的圖形，也是幾何圖形中難度比較大的幾個圖形之一，年年都會考查，預(yù)計2025年浙江中考還將出現(xiàn).菱形的考察類型比較多樣，其中選擇、填空題?？疾炝庑蔚幕拘再|(zhì)，解答題中考查菱形的性質(zhì)和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動態(tài)問題綜合應(yīng)用的可能性比較大.02知識導(dǎo)圖·思維引航03核心精講·題型突破考點一、四邊形的性質(zhì)與判定的綜合題型01、平行四邊形性質(zhì)與判定一、平行四邊形性質(zhì)與判定1．（2024·浙江·中考真題）如圖，在中，相交于點O，．過點A作的垂線交于點E，記長為x，長為y．當(dāng)x，y的值發(fā)生變化時，下列代數(shù)式的值不變的是（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江紹興·中考真題）如圖，在平行四邊形中，，，，是對角線上的動點，且，，分別是邊，邊上的動點．下列四種說法：①存在無數(shù)個平行四邊形；②存在無數(shù)個矩形；③存在無數(shù)個菱形；④存在無數(shù)個正方形．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·浙江臺州·中考真題）如圖，點在線段上（點C在點之間），分別以為邊向同側(cè)作等邊三角形與等邊三角形，邊長分別為．與交于點H，延長交于點G，長為c．

（1）若四邊形的周長與的周長相等，則之間的等量關(guān)系為．（2）若四邊形的面積與的面積相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為．4．（2024·浙江·中考真題）尺規(guī)作圖問題：如圖1，點E是邊上一點（不包含A，D），連接．用尺規(guī)作，F(xiàn)是邊上一點．小明：如圖2．以C為圓心，長為半徑作弧，交于點F，連接，則．小麗：以點A為圓心，長為半徑作弧，交于點F，連接，則．小明：小麗，你的作法有問題，小麗：哦……我明白了！(1)證明；(2)指出小麗作法中存在的問題．5．（2023·浙江杭州·中考真題）如圖，平行四邊形的對角線相交于點，點在對角線上，且，連接，．

(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)若的面積等于2，求的面積．6．（2022·浙江溫州·中考真題）如圖，在中，于點D，E，F(xiàn)分別是的中點，O是的中點，的延長線交線段于點G，連結(jié)，，．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)當(dāng)，時，求的長．7．（2022·浙江寧波·中考真題）(1)如圖1，在中，D，E，F(xiàn)分別為上的點，交于點G，求證：．(2)如圖2，在（1）的條件下，連接．若，求的值．(3)如圖3，在中，與交于點O，E為上一點，交于點G，交于點F．若平分，求的長．8．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，已知中，點，，，分別為，，，上的點，且，，分別與，相交于點，，若，則的面積一定可以表示為（

）

A． B．C． D．9．（2023·浙江衢州·一模）已知圖1是一扇開啟狀態(tài)下的某型號窗戶，圖2是其示意圖．導(dǎo)軌固定在窗臺上且，固定在連桿上，四邊形是平行四邊形，滑塊可在導(dǎo)軌上自由滑動，滑動過程中連桿的長度均不發(fā)生改變，當(dāng)窗框與導(dǎo)軌垂直時，窗戶為完全開啟狀態(tài)．（1）當(dāng)窗戶完全閉合時，點重合，點在導(dǎo)軌上，如圖3所示．若，，則，cm．（2）在（1）的條件下，窗戶從完全閉合狀態(tài)到完全開啟狀態(tài)，滑塊的運動路徑長為cm．10．（2023·浙江杭州·二模）如圖，平行四邊形中，與相交于點O，點P為中點，交于點E，連接，．(1)求證：平行四邊形為菱形；(2)若，，①求的值．②求的長．11．（2024·浙江·一模）如圖，在中，點D，E，F(xiàn)分別在邊，，上，連接，，，與交于點G．已知四邊形是平行四邊形，且．(1)若，求線段，的長．(2)若四邊形的面積為48，求的面積．12．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）在中，，平分，點G是的中點，點F是上一點，，延長交的延長線于點E，連接．(1)證明：四邊形是平行四邊形．(2)若，，求的長．13．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖（1），在和中，點在上，，求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖（2），在（1）的條件下，連結(jié)．若，求的長．【拓展提高】（3）如圖（3），在中，對角線相交于點，，點E是邊上一點，，連結(jié)交于點，線段與的延長線交于點，若，，求平行四邊形的面積．題型02、矩形性質(zhì)和判定的綜合問題14．（2023·浙江杭州·中考真題）如圖，矩形的對角線相交于點．若，則（

）

A． B． C． D．15．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在矩形中，，點E是邊上的動點，連結(jié)，以為邊作矩形（點D，G在的同側(cè)），且，連結(jié)．(1)如圖1，當(dāng)點E為邊的中點時，點B，E，F(xiàn)在同一直線上，求的長．(2)如圖2，若，設(shè)與交于點K．求證：．(3)在點E的運動過程中，的長是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，請說明理由．16．（2023·浙江湖州·中考真題）【特例感知】（1）如圖1，在正方形中，點P在邊的延長線上，連接，過點D作，交的延長線于點M．求證：．【變式求異】（2）如圖2，在中，，點D在邊上，過點D作，交于點Q，點P在邊的延長線上，連接，過點Q作，交射線于點M．已知，，，求的值．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，，點P在邊的延長線上，點Q在邊上（不與點A，C重合），連接，以Q為頂點作，的邊交射線于點M．若，（m，n是常數(shù)），求的值（用含m，n的代數(shù)式表示）．

7．如圖，將矩形對折兩次，折痕由上至下分別為，然后將其展開，E為邊上一點，再將沿折疊，使點C剛好落在線段的中點F處，則．8．如圖，在四邊形中，，，，，.點分別在邊上，，交于點．(1)求的值．(2)證明：四邊形是平行四邊形．(3)點是關(guān)于的對稱點：①當(dāng)射線經(jīng)過平行四邊形的某一邊中點時，求的值．②當(dāng)點恰好落在上時，求的值．9．綜合與實踐如圖，在矩形中，點E是邊AD上的一點（點E不與點A，點D重合），連結(jié)BE．過點C作交AD的延長線于點F，過點B作交FC的延長線于點G，過點F作交BE的延長線于點H．點P是線段CF上的一點，且．探究發(fā)現(xiàn)：（1）點點發(fā)現(xiàn)結(jié)論：．請判斷點點發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否正確，并說明理由．深入探究：（2）老師請學(xué)生經(jīng)過思考，提出新的問題，請你來解答．①“運河小組”提出問題：如圖1，若點P，點D，點H在同一條直線上，，，求的長．②“武林小組”提出問題：如圖2，連結(jié)和，若，，，求的值．

10．綜合與實踐【動手操作】如圖①，四邊形ABCD是一張矩形紙片，，．先將矩形ABCD對折，使BC與AD重合，折痕為MN，沿MN剪開得到兩個矩形．矩形AMND保持不動，將矩形MBCN繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)，點N的對應(yīng)點為．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖②，當(dāng)點C與點D重合時，交AD于點E，BC交MN于點F，此時兩個矩形重疊部分四邊形MEDF的形狀是______，面積是______；（2）如圖③，當(dāng)點N'落在AD邊上時，BC恰好經(jīng)過點N，與DN交于點G，求兩個矩形重疊部分四邊形的面積；【引申探究】（3）當(dāng)點落在矩形的對角線MD所在的直線上時，直線與直線DN交于點G，請直接寫出線段DG的長．17．（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測）（1）如圖1，在矩形中，為邊上一點，連接，若，過作交于點，①求證：；②若時，則____．（2）如圖2，在菱形中，，過作交的延長線于點，過作交于點，若時，求的值．（3）如圖3，在平行四邊形中，，，，點在上，且，點為上一點，連接，過作交平行四邊形的邊于點，若時，請直接寫出的長．18．（2024·浙江寧波·二模）（1）如圖1，在三角形中，是中點，連結(jié)，是上任意一點，過點作別交，于點、，求證：是中點；

（2）如圖2，在四邊形中，，與不平行，，，連結(jié)對角線，交于點，是上的點，過點作交于點，于點，求的值；（3）如圖3，在菱形中，，，分別取菱形各邊的中點，，，并順次連結(jié)得到四邊形，連結(jié)，交于點，是上一動點，作交于點，交于點，過點作交于點，連結(jié)，求的最小值．題型03、菱形性質(zhì)與判定的綜合問題19．（2023·浙江湖州·中考真題）如圖，已知，以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑作圓弧，與角的兩邊分別交于C，D兩點，分別以點C，D為圓心，大于長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于內(nèi)一點P，連接，過點P作直線，交OB于點E，過點P作直線，交于點F．若，，則四邊形的面積是（

）

A． B． C． D．20．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在矩形中，為對角線的中點，．動點在線段上，動點在線段上，點同時從點出發(fā)，分別向終點運動，且始終保持．點關(guān)于的對稱點為；點關(guān)于的對稱點為．在整個過程中，四邊形形狀的變化依次是（

）A．菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形B．菱形→正方形→平行四邊形→菱形→平行四邊形C．平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形→平行四邊形D．平行四邊形→菱形→正方形→平行四邊形→菱形21．（2023·浙江溫州·中考真題）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）的會徽，圖2由其主體圖案中相鄰兩個直角三角形組合而成．作菱形，使點D，E，F(xiàn)分別在邊，，上，過點E作于點H．當(dāng)，，時，的長為（

）

A． B． C． D．22．（2022·浙江衢州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=5，BD為對角線.點E是邊AB延長線上的任意一點，連結(jié)交于點，平分交于點G．(1)求證：.(2)若．①求菱形的面積.②求的值.(3)若，當(dāng)?shù)拇笮“l(fā)生變化時（），在上找一點，使為定值，說明理由并求出的值．23．（2022·浙江金華·中考真題）如圖，在菱形中，，點E從點B出發(fā)沿折線向終點D運動．過點E作點E所在的邊（或）的垂線，交菱形其它的邊于點F，在的右側(cè)作矩形．(1)如圖1，點G在上．求證：．(2)若，當(dāng)過中點時，求的長．(3)已知，設(shè)點E的運動路程為s．當(dāng)s滿足什么條件時，以G，C，H為頂點的三角形與相似（包括全等）？1．如圖，已知平行四邊形紙片，，，．現(xiàn)將紙片作如下操作：第1步，沿折痕折疊紙片，使點落在邊上；第2步，再沿折痕折疊紙片，使點與點重合．若，則的長為（

）A．1 B． C． D．2．如圖，是的角平分線，分別以點、為圓心，以大于的長為半徑在兩側(cè)作圓弧，交于點，點．作直線，分別交，于點，，連結(jié)，．設(shè)的面積為，四邊形的面積為．若，則的值為（

）

A． B． C． D．3．如圖，四邊形是一個由5張紙片拼成的菱形（相鄰紙片之間互不重疊），其中四張紙片為大小形狀相同的平行四邊形，連結(jié)．記，，若，則平行四邊形紙片長與寬的比值為（

）

A．3 B．4 C． D．4．如圖，在菱形ABCD中，，AC與BD交于點O，E為CD延長線上的一點，且，連接BE分別交AC、AD于點F、G，連接OG，則下列結(jié)論：①；②與全等的三角形共有5個；③四邊形ODEG與四邊形OBAG面積相等；④由點A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形．其中一定成立的是（

）A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④5．如圖，在中，，，分別為，的中點，四邊形的一邊經(jīng)過點，，對角線分別與，交于點、．(1)求證：四邊形為菱形．(2)當(dāng)，時，求的長．6．如圖所示，四邊形是矩形，點A、C的坐標(biāo)分別為，，點D是線段上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線交折線于點E．（1）記的面積為S，求S與b的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量b的取值范圍；（2）當(dāng)點E在線段上時，若矩形關(guān)于直線的對稱圖為四邊形，試探究與矩形的重疊部分的四邊形是什么特殊四邊形，并說明理由．（3）若，試求出（2）中重疊部分四邊形的面積．24．（2024·浙江·一模）如圖，菱形中，點P在對角線上，過點P分別作的平行線交于點．(1)求證：；(2)連結(jié)，若，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．題型04、正方形的性質(zhì)與判定的綜合問題25．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，正方形中，，點E在邊上，是的中點，點H在邊上，，則的長為（

）．A． B． C． D．26．（2023·浙江寧波·中考真題）如圖，以鈍角三角形的最長邊為邊向外作矩形，連結(jié)，設(shè)，，的面積分別為，若要求出的值，只需知道(

)

A．的面積 B．的面積 C．的面積 D．矩形的面積27．（2023·浙江湖州·中考真題）如圖，標(biāo)號為①，②，③，④的四個直角三角形和標(biāo)號為⑤的正方形恰好拼成對角互補的四邊形，相鄰圖形之間互不重疊也無縫隙，①和②分別是等腰和等腰，③和④分別是和，⑤是正方形，直角頂點E，F(xiàn)，G，H分別在邊上．（1）若，，則的長是cm．（2）若，則的值是．28．（2023·浙江杭州·中考真題）在邊長為的正方形中，點在邊上（不與點，重合），射線與射線交于點．(1)若，求的長．(2)求證：．(3)以點為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點．若，求的長．29．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在正方形中，是對角線上的一點（與點不重合），分別為垂足．連接，并延長交于點．

(1)求證：．(2)判斷與是否垂直，并說明理由．30．（2022·浙江杭州·中考真題）在正方形ABCD中，點M是邊AB的中點，點E在線段AM上（不與點A重合），點F在邊BC上，且，連接EF，以EF為邊在正方形ABCD內(nèi)作正方形EFGH．(1)如圖1，若，當(dāng)點E與點M重合時，求正方形EFGH的面積，(2)如圖2，已知直線HG分別與邊AD，BC交于點I，J，射線EH與射線AD交于點K．①求證：；②設(shè)，和四邊形AEHI的面積分別為，．求證：．31．（2025·浙江溫州·模擬預(yù)測）如圖，在中，，分別以為邊向外作正方形和正方形，連結(jié)，設(shè)，則的值為（

）A． B．2 C． D．32．（2025·浙江·一模）如圖，在正方形中，點是上一動點（不與重合），對角線相交于點，過點分別作的垂線，分別交于點，交于點．下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤點O在M、N兩點的連線上．其中正確的是（）A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤33．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，在中，，分別以它的三邊為邊向外作正方形，，，分別過點，作，，垂足分別為，．要知道陰影部分的面積，只需知道下列某個圖形的面積，這個圖形是（

）A． B．正方形 C．正方形 D．正方形34．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）將兩張矩形紙片，和另三張正方形紙片，，按如圖所示方式不重疊地放置在矩形內(nèi)．則下列條件中，不能求出四邊形的面積的是（

）A．正方形與正方形周長的和 B．矩形與正方形周長的差C．矩形與矩形周長的和 D．矩形的周長35．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在中，，以為邊向三角形外作正方形，作于點，交對角線于點，連接．要求的周長，只需知道（

）A．的長 B．的長 C．的長 D．的長36．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，延長交于點M，連結(jié)并延長交于點N．若，則正方形與正方形的面積的比值為（

）．A． B． C． D．37．（2024·浙江·模擬預(yù)測）四個全等的直角三角形按如圖方式圍成正方形，過各直角頂點作正方形各邊的平行線得到正方形．若，則的值為（

）A． B． C． D．38．（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，在正方形中，為對角線，E為上一點，過點E作，與分別交于點G、F，H為的中點，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中結(jié)論正確的有（填寫序號）．39．（2023·浙江杭州·二模）如圖，四邊形是正方形，點在邊上，是以為直角頂點的等腰直角三角形，，分別交于點，，過點作的垂線交的延長線于點．連接，若，，則．40．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）如圖，在正方形中，點，分別在邊，上（不與頂點重合），且滿足，連接，交于點．，分別是邊，的中點，連結(jié)接，．若正方形的邊長為，則的最小值為．41．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在中，，兩個邊長為1的正方形的頂點D，E，F(xiàn)，I，J均在的邊上，，令，當(dāng)時，；當(dāng)時，．

42．（2012·浙江杭州·二模）在平面直角坐標(biāo)中，邊長為2的正方形的兩頂點A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點O在原點．現(xiàn)將正方形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點A第一次落在直線上時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，邊交直線．于點M，邊交x軸于點N（如圖）．(1)求邊在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；（結(jié)果保留π）(2)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)和平行時，求正方形旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；(3)設(shè)的周長為p，在旋轉(zhuǎn)正方形的過程中，p值是否有變化？請證明你的結(jié)論．43．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，正方形的頂點，分別在矩形的邊，上，與交于點，連接．(1)求的度數(shù)．(2)若點是的中點，求證：點是的中點．(3)如圖，若正方形的頂點在矩形的邊上，頂點在矩形的邊的延長線上，點為，的延長線的交點，設(shè)，，，求證：．44．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖1，在正方形中，，的邊分別與對角線相交于點P，Q，請說明．嘗試解決：（1）小明給出了以下思路：將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使與重合，連結(jié)，請幫小明完成解題過程．類比探究：（2）如圖2，在正方形內(nèi)作，使與相交于點與相交于點Q，連結(jié)．已知，，求的面積．拓展應(yīng)用：（3）如圖3，在長方形中，，，，P是上一點，Q是上一點，連結(jié)，求的面積的最小值．考點二、四邊形性質(zhì)的綜合應(yīng)用題型01、四邊形背景下的作圖問題45．（2023·浙江·中考真題）如圖，在中，．

(1)尺規(guī)作圖：①作線段的垂直平分線，交于點D，交于點O；②在直線上截取，使，連接．（保留作圖痕跡）(2)猜想證明：作圖所得的四邊形是否為菱形？并說明理由．46．（2023·浙江寧波·中考真題）定義：有兩個相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．

(1)如圖1，在四邊形中，，對角線平分．求證：四邊形為鄰等四邊形．(2)如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點均在格點上，若四邊形是鄰等四邊形，請畫出所有符合條件的格點D．(3)如圖3，四邊形是鄰等四邊形，，為鄰等角，連接，過B作交的延長線于點E．若，求四邊形的周長．47．（2023·浙江金華·中考真題）如圖，為制作角度尺，將長為10，寬為4的矩形分割成的小正方形網(wǎng)格．在該矩形邊上取點，來表示的度數(shù)．閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：

（答題卷用）作法（如圖）結(jié)論

①在上取點，使．，點表示．②以為圓心，8為半徑作弧，與交于點．，點表示．③分別以為圓心，大于長度一半的長為半徑作弧，相交于點，連結(jié)與相交于點．…④以為圓心，的長為半徑作弧，與射線交于點，連結(jié)交于點．…(1)分別求點表示的度數(shù)．(2)用直尺和圓規(guī)在該矩形的邊上作點，使該點表示（保留作圖痕跡，不寫作法）．48．（2024·浙江舟山·三模）利用尺規(guī)作圖在一個矩形內(nèi)作菱形，則下列作法中錯誤的是（

）A． B． C． D．49．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，在中，點在邊上，請僅用無刻度的直尺畫圖．(1)如圖①，點滿足，作的平分線．(2)如圖②，已知點為的中點，作出邊的中點．50．（2024·浙江溫州·三模）如圖，在的方格紙中，請按要求畫格點線段（端點在格點上），且線段的端點均不與點A，B，C，D重合．(1)在圖1中畫一條格點線段，使G，H分別落在邊上，且與互相平分；(2)在圖2上畫一條格點線段，使M，N分別落在邊上，且要求分為兩部分．51．（2025·浙江·一模）圖，圖都是由邊長為的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個小等邊三角形的頂點稱為格點，線段的端點在格點上，分別按要求畫出圖形：(1)在圖中畫出兩個以為斜邊的直角三角形，且點在格點上；(2)在圖中畫出一個以為對角線的菱形，且，在格點上．52．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，矩形的四個頂點都是格點，畫圖過程用虛線表示．(1)在圖1中，先在邊上畫點E，使，使平分矩形的面積；(2)在圖2中，在邊上畫點H，使53．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在6×6的方格紙中，點A，B均在格點上，試按要求畫出相應(yīng)的格點圖形（每小題只需畫一個）．

(1)在圖1中作一條線段，使它與互相垂直平分．(2)在圖2中作一個，使它是軸對稱圖形，且符合．54．如圖所示，每個小正三角形的邊長為1，且它的頂點叫做格點，各頂點在格點處的多邊形稱為格點多邊形，線段位于該小正三角形組成的網(wǎng)格中，按要求在網(wǎng)格中作一個格點多邊形．(1)請在圖1畫一個既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的四邊形，且為對角線．(2)請在圖2中畫一個以為邊，面積為的三角形．題型02、四邊形背景下的圖形平移問題54．（2022·浙江嘉興·中考真題）“方勝”是中國古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個全等正方形相疊組成，寓意是同心吉祥．如圖，將邊長為2cm的正方形ABCD沿對角線BD方向平移1cm得到正方形，形成一個“方勝”圖案，則點D，之間的距離為（

）A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm55．（2024·浙江臺州·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形的三個頂點：點，點，點．用含a，b，m，n的式子表示點B的坐標(biāo)是（

）．

A． B．C． D．56．（2024·浙江溫州·三模）如圖，在中，，，，垂足為，現(xiàn)將沿著方向平移得到，且此時，則的長度為厘米．57．（2023·浙江溫州·三模）如圖在矩形中，是上一點，連結(jié)，過作于點．將向右下方向平移到的位置，在上，四邊形向左下方向平移到四邊形的位置．若重新組成的矩形與矩形全等，則的長為．內(nèi)有一點，平移后對應(yīng)點為點，若是矩形的中心，則點到的距離為．

58．（2024·浙江·模擬預(yù)測）在平行四邊形中，，，，點E是上一點．，P從點E出發(fā)，沿折線以每秒3個單位長度的速度運動，到D停止．連接，將線段繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．連接．設(shè)點P的運動時間為t秒．(1)用t表示線段的長度；(2)連接，求的值；(3)當(dāng)點F在平行四邊形的對角線上時，求t的值；(4)連接．當(dāng)分線段為的兩部分時，直接寫出t的值．59．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）【問題情境】在“綜合與實踐”活動課上，老師給出了如圖1所示的一張矩形紙片，其中，．如圖2，將矩形紙片沿對角線剪開，得到紙片與．【實踐探究】（1）將紙片沿方向平移，連結(jié)（與相交于點O），，，得到圖3所示的圖形．若，解答下列問題：①求證：．②求出平移的距離．【拓展延伸】（2）如圖4，先將紙片沿方向平移一定距離，然后將紙片繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使，若此時恰好經(jīng)過點C，求出平移的距離．題型03、四邊形的背景下的折疊問題60．（2023·浙江嘉興·中考真題）如圖，已知矩形紙片，其中，現(xiàn)將紙片進行如下操作：第一步，如圖①將紙片對折，使與重合，折痕為，展開后如圖②；第二步，再將圖②中的紙片沿對角線折疊，展開后如圖③；第三步，將圖③中的紙片沿過點的直線折疊，使點落在對角線上的點處，如圖④．則的長為（）

A． B． C． D．61．（2024·浙江·中考真題）如圖，在菱形中，對角線，相交于點O，．線段與關(guān)于過點O的直線l對稱，點B的對應(yīng)點在線段上，交于點E，則與四邊形的面積比為62．（2022·浙江臺州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折疊該菱形，使點A落在邊BC上的點M處，折痕分別與邊AB，AD交于點E，F(xiàn)．當(dāng)點M與點B重合時，EF的長為；當(dāng)點M的位置變化時，DF長的最大值為．63．（2022·浙江紹興·中考真題）如圖，在矩形中，，，動點從點出發(fā)，沿邊，向點運動，，關(guān)于直線的對稱點分別為，，連結(jié)．(1)如圖，當(dāng)在邊上且時，求的度數(shù)．(2)當(dāng)在延長線上時，求的長，并判斷直線與直線的位置關(guān)系，說明理由．(3)當(dāng)直線恰好經(jīng)過點時，求的長．64．（2023·浙江衢州·中考真題）如圖1，點為矩形的對稱中心，，，點為邊上一點，連接并延長，交于點，四邊形與關(guān)于所在直線成軸對稱，線段交邊于點．

(1)求證：；(2)當(dāng)時，求的長；(3)令，．①求證：；②如圖2，連接，，分別交，于點，.記四邊形的面積為，的面積為.當(dāng)時，求的值．65．（2024·浙江杭州·二模）如圖，在平行四邊形中，，且，將其沿著直線折疊使得點的對應(yīng)點恰好落在對角線上，且滿足．問：與平行四邊形的面積比為（

）A． B． C． D．66．（2024·浙江嘉興·三模）如圖，在矩形ABCD中，點E是AD上一點，連結(jié)BE，將沿BE折疊得，點F恰好在邊CD上，過點A作分別交BC，BF，BE于點G，P，Q．已知，當(dāng)時，則折痕BE的長為（

）A． B．4 C． D．667．（2020·河南南陽·一模）如圖，在矩形中，，點E為的中點，點F為射線上一點，連接，若將沿直線折疊后，點A恰好落到上的點G處，則a的值為．68．（2024·浙江寧波·一模）如圖，將矩形的邊翻折到，使點D的對應(yīng)點E在邊上，再將邊翻折到，且點A的對應(yīng)點F為的內(nèi)心，則．69．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，在矩形中，，E為邊上的一個動點，連接，點B關(guān)于的對稱點為，連接．若的最大值與最小值之比為2，則的長為．70．（2023·浙江臺州·三模）如圖，一張矩形紙片中，（m為常數(shù)）．將矩形紙片沿折疊，使點A落在邊上的點H處，點D的對應(yīng)點為點M，與交于點P．當(dāng)點H落在的中點時，且，則．71．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，將矩形沿折疊，點A與點重合，連接并延長分別交于點G，F(xiàn)，且．（1）若，則．（2）若，則的值為．72．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點恰好落在對角線上的點處（不與重合），折痕為，若，，則點到的距離為．

73．（2023·浙江杭州·一模）如圖，將矩形沿折疊，點A與點重合，連結(jié)并延長分別交、于點G、F，且．（1）若，則；（2）若，，則．74．（2023·浙江麗水·模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，，，為線段上一動點，以為折痕將四邊形折疊得到四邊形，與交于點，當(dāng)為直角三角形時，折痕的長為．75．（2024·浙江湖州·二模）數(shù)學(xué)興趣小組在對一張矩形紙張進行折疊的時候發(fā)現(xiàn)了很多有趣的數(shù)學(xué)問題，他們決定對折疊中產(chǎn)生的系列問題進行研究探索．已知矩形紙片的邊長，，折痕始終經(jīng)過點．折法一折法二如圖1，點在上運動，將矩形沿著向上折疊，使得點的落點恰好落在對角線上．如圖2，當(dāng)點運動到點處，將矩形沿著對角線向上折疊，使得點落在處，交于點．請根據(jù)以上信息，完成下列問題：(1)計算折法一中的長度．(2)請根據(jù)折法二完成下列任務(wù)：①任務(wù)一：求證是等腰三角形；②任務(wù)二：計算的長度．76．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，．點E在射線上運動（不與點D重合），連接，將沿翻折，點D的對應(yīng)點為點F．

(1)如圖1，若點F恰好落在矩形某一邊所在的直線上，直接寫出的度數(shù)．(2)如圖2，當(dāng)點E恰好與點C重合時，求的面積．(3)在點E運動的過程中，是否存在一點F，使得成為直角三角形？若存在，請你在虛線框內(nèi)作圖（要求：尺規(guī)作圖，并標(biāo)出相應(yīng)的點F）