2024-2025學年下學期高中數(shù)學北師大高二同步經(jīng)典題精練之

數(shù)學歸納法

一.選擇題（共5小題）

111111

1.（2。23秋?虹口區(qū)校級期末）用數(shù)學歸納法證明QQ+正…+-2直”N*）時‘由n=k

到〃=人+1時，不等式左邊應添加的項是（）

111

A.-------B.--------------

2/c+l2/c+lk+1

1111

C.+D.一

2/c+l2/C+22/c+l2k+2

1111

2.（2。24?松江區(qū)校級模擬）用數(shù)學歸納法證明不等式示+忘+…+茄>/22）的過程中，由〃

=左遞推到〃=%+1時不等式左邊（）

1

A.增加了

2(Zc+l)

11

B.增加了2/c+l+2/c+2

111

C.增加了2/c+l+2/C+2’但減少F

111

D-增加了瓦+m,但減少了%

3.（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）用數(shù)學歸納法證明：f（n）=l+j+j+-+p>^<?￡N*）的過程中，從

〃=上至!J〃=%+1時，f（Hl）比/（無）共增加了（）

A.1項B.2%-1項C.2葉1項D.2%項

4.（2024春?宛城區(qū)校級月考）用數(shù)學歸納法證明：（n+1）（n+2）?（〃+〃）=2〃X1X3X5X…義⑵-1）

（九EN*）,從〃=%到〃=奸1,等式的左邊需要增乘的代數(shù)式是（）

2/c+l2/C+3

A.2H1B.-------C.-------D.2⑵+1)

k+1k+1

5.（2024春?青浦區(qū)校級期末）用數(shù)學歸納法證明“對任意偶數(shù)及，6f-濟能被〃-匕整除”時，其第二步

論證應該是（）

A.假設〃=無（女為正整數(shù)）時命題成立，再證〃=無+1時命題也成立

B.假設〃=2左（%為正整數(shù)）時命題成立，再證〃=24+1時命題也成立

C.假設〃=女（左為正整數(shù)）時命題成立，再證〃=2k+1時命題也成立

D.假設（女為正整數(shù)）時命題成立，再證幾=2（Z+1）時命題也成立

二.多選題（共4小題）

（多選）6.（2024春?東昌府區(qū)期中）對于不等式Vnfn<Vi+2（neN*）,某同學用數(shù)學歸納法證明的

過程如下：

①當a=l時，V12+2<1+2,不等式成立；

②假設當w=Z（"6N*）時，不等式成立，即VH+2kVk+2,

則當n=k+l時，V（fc+1）2+2（fc+1）=Vfc2+4/c+3<V（fc2+4/c+3）+（2fc+6）=V（/c+3）2=

（fc+1）+2.

故當n=k+l時，不等式成立.

則下列說法錯誤的是（）

A.過程全部正確

B.”=1的驗證不正確

C.〃=%的歸納假設不正確

D.從“=%到"=左+1的推理不正確

（多選）7.（2023春?斗門區(qū)校級期中）以下四個命題，其中滿足“假設當n=k（髭N*,左》碗）時命題

成立，則當〃=%+1時命題也成立"，但不滿足"當"=砌（處是題中給定的n的初始值）時命題成立”

的是（）

A.2">2”+1（心2）

B.2+4+6+,,?+2n=n2+n+2（”21）

C.凸"邊形的內角和為/（w）=（n-2）it（w23）

D.凸w邊形的對角線條數(shù)g（71）=弘導0（riN4）

（多選）8.（2021春?濱湖區(qū)校級期中）對于不等式后轉〈〃+1（“6N*）,某學生用數(shù)學歸納法的證明

過程如下：

①當"=1時，Vl2+K1+1,不等式成立

②假設n=k（住N*）時，不等式成立，即k2+k<k+l,則n^k+1時，+1尸+（k+1）=

JJ2+3k+2）+（k+2）=J（k+2?=鼠+1）+1,.?.當w=A+l時；不等式成立.

關于上述證明過程的說法正確的是（）

A.證明過程全都正確

B.當〃=1時的驗證正確

C.歸納假設正確

D.從〃=%到〃=左+1的推理不正確

（多選）9.一個與正整數(shù)〃有關的命題，當〃=2時命題成立，且由〃=%時命題成立可以推得〃=左+2時

命題也成立，則下列說法正確的是（）

A.該命題對于〃=6時命題成立

B.該命題對于所有的正偶數(shù)都成立

C.該命題何時成立與左取值無關

D.以上答案都不對

三.填空題（共3小題）

10.（2024秋?長沙縣校級期末）用數(shù)學歸納法證明1+）上+…+占V”（“CN*,且心2）,第一步要

證的不等式是.

H.（2024秋?西峰區(qū)校級月考）若/（〃）=l+2+2?+23+…+25”-1用數(shù)學歸納法證明l+2+22+23+-+25n-1

是31的倍數(shù)（“6N+）,在驗證"=1成立時，原式為.

12.（2024秋?船山區(qū)校級月考）如圖，正方形的邊長為14C7M,A2,Bi,Ci,￡>2依次將481,

BiCi,CiDi,DiAi分為3：4的兩部分，得到正方形A282c2。2,依照相同的規(guī)律，得到正方形A383c3。3、

A484c4。4、…、AnBnCnDn.一只螞蟻從4出發(fā)，沿著路徑44乂3…4爬行，設其爬行的長度為X,K

為正整數(shù)，且X與K恒滿足不等式xWK,則K的最小值是.

四.解答題（共3小題）

13.（2024秋?上海校級期中）已知等差數(shù)列｛即｝的首項為m=2,公差為d,前〃項和為曲.若m=d=l,

用數(shù)學歸納法證明：Eili碎=S氯n&N,n>l）.

14.（2024春?西城區(qū)校級期中）已知數(shù)列｛如｝滿足：m=l,且對任意w€N*,都有與+i=一里力.

（Jan+1）

（1）直接寫出。2,。3,。4的值；

（2）猜想｛斯｝的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明.

15.（2024秋?泰安期中）數(shù)學歸納法是一種數(shù)學證明方法，通常被用于證明某個給定的命題在整個（或者

局部）自然數(shù)范圍內成立，證明分為下面兩個步驟：1.證明當（no￡N）時命題成立；2.假設〃

=k(蛇N,且kNno)時命題成立，推導出在n=k+l時命題也成立.只要完成這兩個步驟，就可以斷

定命題對從處開始的所有自然數(shù)〃都成立.已知有窮遞增數(shù)列｛劭｝,41=7,。2>0,吒N*且〃23.定

義：集合/=｛(%/y)|x=Qj,y=a『1<i,j<n,i,jEN*｝,若對V(xi,yi)GA,3(%2,>2)eA,

使得xix2+yi”=0,則稱｛斯｝具有性質T.

(1)若數(shù)列-1,1,2,機(m>2)具有性質T,求實數(shù)機的值；

(2)若｛斯｝具有性質T,且42=1,g=2,

(i)猜想當〃22時｛斯｝的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明你的猜想；

-325n+1

(ii)求+---+-----+…+-----;—(〃22).

2a23a312a4n(n-l)an

2024-2025學年下學期高中數(shù)學北師大版（2019）高二同步經(jīng)典題精練之

數(shù)學歸納法

參考答案與試題解析

題號12345

答案DCDDD

選擇題（共5小題）

111111

1.（2023秋?虹口區(qū)校級期末）用數(shù)學歸納法證明---+----+-----F------＞一（?1WN*）時，由〃=女

n+1n+2n+3n+n24

到〃=斤+1時，不等式左邊應添加的項是（）

111

L-------

2/c+l2/c+lk+1

1111

--------+

2/c+l----2/C+22/c+l2/c+2

【考點】數(shù)學歸納法.

【專題】規(guī)律型.

【答案】D

【分析】只須求出當〃=女時，左邊的代數(shù)式，當〃=4+1時，左邊的代數(shù)式，相減可得結果.

1111

【解答】解:當時，左邊的代數(shù)式為而+肅+而+…+能’

1111

當幾=%+1時，左邊的代數(shù)式為++…++-~

/c+1+1Zc+1+2k+l+/cZc+l+(Zc+i)

故用〃=4+1時左邊的代數(shù)式減去n=k時左邊的代數(shù)式的結果為:

11Ill

/c+l+/c/c+l+(/c+i)Zc+1―2/c+l2/C+2

故選：D.

【點評】數(shù)學歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關的性質，其步驟為：設尸（〃）是關于自然數(shù)

〃的命題，若1）（奠基）尸（"）在〃=1時成立；2）（歸納）在尸（上）（左為任意自然數(shù)）成立的假

設下可以推出尸（左+1）成立，則尸（幾）對一切自然數(shù)九都成立.

1111

2.（2024?松江區(qū)校級模擬）用數(shù)學歸納法證明不等式——+——+…+一＞二（八22）的過程中，由〃

n+1n+22n2

=左遞推到n=k+\時不等式左邊（）

1

A.增加了

2(/c+l)

11

B.增加了+

2k+l2k+2

111

c.增加了而I+而5但減少F

增力口了等+11

D.'但減少了看

2/c+l

【考點】數(shù)學歸納法的適用條件與步驟.

【專題】轉化思想；轉化法；推理和證明；運算求解.

【答案】c

【分析】分別求出當〃=比時，不等式左邊的表達式，通過比較，即可求解.

【解答】解：當〃=左時,

1111

不等式左邊為於+示+百+…+不’

111111

當〃=4+1時，不等式的左邊為++…++=----+----+…+

Zc+1+1--Zc+2+1-------/c+l+/c--/c+l+/c+l/c+2/c+3

111

—+----+-----

2k2/c+l2/c+2

111

故不等式左邊增加了m+皿,但減少了";~~

故選：C.

【點評】本題主要考查數(shù)學歸納法的應用，屬于基礎題.

3.(2024?鼓樓區(qū)校級模擬)用數(shù)學歸納法證明：/⑺=1+打升…+支2嘮(吒N*)的過程中，從

”=人到〃=正1時，f(K1)比/*)共增加了()

A.1項B.2&-1項C.2tH項D.2后項

【考點】數(shù)學歸納法的適用條件與步驟.

【專題】計算題；方程思想；綜合法；推理和證明；運算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，分析/*+1)、/1)的項數(shù)，進而計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，證明f(n)=l+升”??+十2竽時，

f(^+1)中有2-1項，f(^)中有/項，

則/(K1)比/(左)增加了2吩1-2斤=24項.

故選：D.

【點評】本題考查數(shù)學歸納法的應用，注意歸納分析了(")的項數(shù)，屬于基礎題.

4.(2024春?宛城區(qū)校級月考)用數(shù)學歸納法證明：(M+1)(n+2)?(”+〃)=2"X1X3X5X…X(2n-1)

（a6N*）,從"=左到”=>1,等式的左邊需要增乘的代數(shù)式是（）

2/c+l2/c+3

A.2k+1B.C.D.2⑵+1)

/c+1/c+1

【考點】數(shù)學歸納法的適用條件與步驟.

【專題】計算題；方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【答案】D

(/c+l+Zc)(/c+1+Zc+l)

【分析】從到〃=%+1時左邊需增乘的代數(shù)式是，化簡即可得出.

k+1

【解答】解：用數(shù)學歸納法證明(n+1)(n+2)(M+3)???(〃+〃)=2?X1X3X5X-X(2n-1)(ziGN*)

時,

〃=左時，左側=(Z+l)+2)…Qk+k),

〃=4+1時，左側=(4+1+1)(4+1+2)…(4+1+k-l)(左+1+左)(K1+K1),

(/c+l+/c)(Zc+l+Zc+l)(2/c+l)(2Zc+2)

從〃=/到n=k+\時左邊需增乘的代數(shù)式是1-----------------=-——#----------=2(2Z+1).

故選：D.

【點評】本題考查了數(shù)學歸納法的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

5.（2024春?青浦區(qū)校級期末）用數(shù)學歸納法證明“對任意偶數(shù)〃，〃能被a-b整除”時，其第二步

論證應該是（）

A.假設”=左梟為正整數(shù)）時命題成立，再證”=4+1時命題也成立

B.假設w=2Z（%為正整數(shù)）時命題成立，再證〃=2%+1時命題也成立

C.假設〃=左（改為正整數(shù)）時命題成立，再證w=2A+l時命題也成立

D.假設"=2/（%為正整數(shù)）時命題成立，再證w=2（H1）時命題也成立

【考點】數(shù)學歸納法的適用條件與步驟.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法；運算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)“為正偶數(shù)，故第二步的假設應寫成：假設”=2左+2,在N*時命題正確，再推〃=24+2時

正確.

【解答】解：根據(jù)證明的結論，〃為正偶數(shù)，

故第二步的假設應寫成：假設〃=2比依N*時命題正確，

即當"=24，keN*時，/A-射上能被。-b整除，再推〃=24+2時正確.

故選：D.

【點評】本題考查數(shù)學歸納法，考查數(shù)學歸納法的證題步驟，屬于基礎題.

二.多選題（共4小題）

（多選）6.（2024春?東昌府區(qū)期中）對于不等式VW+2nVn+2（neN*）,某同學用數(shù)學歸納法證明的

過程如下：

①當w=l時，V12+2<1+2,不等式成立；

②假設當"=A;"eN*）時，不等式成立，即MH+2kVk+2,

則當n=k+1時，4也+1尸+2（k+1）=+4k+3V也2+4〃+3）+（23+6）=J（k+3。=

（k+1）+2.

故當"=上+1時，不等式成立.

則下列說法錯誤的是（）

A.過程全部正確

B.n=\的驗證不正確

C.〃=上的歸納假設不正確

D.從"=左到〃=左+1的推理不正確

【考點】數(shù)學歸納法的適用條件與步驟.

【專題】對應思想；歸納法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法；邏輯思維.

【答案】ABC

【分析】根據(jù)數(shù)學歸納法證明的基本過程可得出結論.

【解答】解：適合命題的第一個自然數(shù)〃=1,驗證〃=1時過程正確；

假設當”=笈（"6N*）時，不等式成立，即:k2+2>9+2,該假設正確；

在〃=/+1時，沒有應用〃=4時的假設，即從〃=%到w=%+l的推理不正確，

故。錯誤，ABC正確.

故選：ABC.

【點評】本題考查利用數(shù)學歸納法證題的步驟，是基礎題.

（多選）7.（2023春?斗門區(qū)校級期中）以下四個命題，其中滿足“假設當n=k（髭N*,左2砒）時命題

成立，則當n=k+l時命題也成立"，但不滿足“當〃=碩（項是題中給定的n的初始值）時命題成立”

的是（）

A.2">2/1（心2）

B.2+4+6+…+2〃="2+〃+2（〃三1）

C.凸"邊形的內角和為了（"）=-2）IT（〃23）

D.凸n邊形的對角線條數(shù)g(n)=2)(n>4)

【考點】數(shù)學歸納法的適用條件與步驟.

【專題】轉化思想；綜合法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法；簡易邏輯；運算求解.

【答案】ABC

【分析】對于命題A,可以驗證當〃等于給定的初始值時不成立，所以滿足條件；

對于命題8,容易驗證假設〃=左時命題成立，則當〃=%+1時命題也成立.對于初始值”=1時，不成

立，所以滿足條件；

對于命題C,容易驗證假設〃=上時命題成立，則當〃=4+1時命題也成立.對于初始值九=3內角和為

m不成立.故滿足條件；

對于命題凸“邊形對角線條數(shù)/(")=%2，假設〃=左時命題成立，當"=%+1時多了一條邊，

即多了一個頂點，故多了上個對角線，則可以驗證當"=%+1時不成立，不滿足要求.

【解答】解：對于命題A,2">2”+1(”22),當〃=2的時有4<5,故當九等于給定的初始值時不成立，

所以滿足條件；

對于命題8,2+4+6+…+2"=/+”+2

假設"=上時命題成立，即2+4+6+…+2左=您+k+2,

當n—k+l時有2+4+6+…+2A+2(k+1)=您+/+2+2(改+1)=+2k+1+k+3=(k+\)'+(Z+l)+2,

故對”=4+1時命題也成立，對于初始值"=1時有4N4+2+2,不成立.所以滿足條件；

對于命題C,凸〃邊形內角和為f(n)=(?-1)JT(〃23),

假設〃=%時命題成立，即/(左)=(攵-1)TT,

當〃=k+1時有/(4+1)=于(k)+n=Ki,故對〃=4+1時命題也成立，

對于初始值幾=3內角和為e不成立.故滿足條件；

對于命題凸〃邊形對角線條數(shù)/(〃)=吟2,

假設〃=上時命題成立，即/(%)=如尹，

當〃=4+1時，有/(z+i)=f(k)+k-1=+k-1=^2^*(fc+W-1),故不滿足條件.

故選：ABC.

【點評】本題考查了數(shù)學歸納法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

(多選)8.(2021春?濱湖區(qū)校級期中)對于不等式Si2+幾<〃+1(尤N*),某學生用數(shù)學歸納法的證明

過程如下：

①當"=1時，V12+1<1+1,不等式成立

②假設n=k(依N*)時，不等式成立，即k1+k<k+l,貝|Jn=k+\時，+(k+1)=

J?+3k+2)+(k+2)=J(k+2?=鼠+1)+1,.?.當w=A+l時；不等式成立.

關于上述證明過程的說法正確的是()

A.證明過程全都正確

B.當〃=1時的驗證正確

C.歸納假設正確

D.從“=%到〃=左+1的推理不正確

【考點】數(shù)學歸納法的適用條件與步驟.

【專題】轉化思想；定義法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法；邏輯思維.

【答案】BD

【分析】利用數(shù)學歸納法的證明步驟，寫出正確的證明過程，即可判斷選項中的命題是否正確.

【解答】解：用數(shù)學歸納法證明也落鉞<”+1(”6N*)的過程如下：

①當〃=1時，Vl2+1<1+1,即&<2,不等式成立；

②假設"=左(蛇N*)時，不等式成立，即皿2+)<左+1,兩邊平方得，必+%<嚴+2左+1,即0<4+1,顯

然成立；

則”=左+1時，J(k+1)2+(k+1)=皿2+3k+2<7(爐+3k+2)+(k+2)=J(k+2尸=1+l)

+1,

所以當w=A+l時，不等式也成立.

由此知，原證明過程的說法中，正確的是BD.

故選：BD.

【點評】本題考查了數(shù)學歸納法的應用問題，也考查了分析與判斷能力，是中檔題.

(多選)9.一個與正整數(shù)九有關的命題，當〃=2時命題成立，且由〃=左時命題成立可以推得〃=4+2時

命題也成立，則下列說法正確的是()

A.該命題對于〃=6時命題成立

B.該命題對于所有的正偶數(shù)都成立

C.該命題何時成立與人取值無關

D.以上答案都不對

【考點】數(shù)學歸納法的適用條件與步驟.

【專題】轉化思想；歸納法；推理和證明；運算求解.

【答案】AB

【分析】根據(jù)已知條件，結合數(shù)學歸納法的原理，即可依次求解.

【解答】解：：當"=2時命題成立，且由〃=上時命題成立可以推得"=左+2時命題也成立，

...當"=2+2=4時，命題成立，從而對九=6時，命題成立，故A正確，

假設當”=2旭時，命題成立，則當〃=2?1+2時，命題也成立，

故命題對于所有的正偶數(shù)都成立，故8正確，

由命題與正整數(shù)w有關，故命題何時成立與人取值有關，故C錯誤.

故選：AB.

【點評】本題主要考查數(shù)學歸納法的應用，屬于基礎題.

三.填空題（共3小題）

10.（2024秋?長沙縣校級期末）用數(shù)學歸納法證明1+*+/+…+mgV”（”6N*,且〃、2）,第一步要

證的不等式是1+1+]<2.

【考點】數(shù)學歸納法.

【專題】計算題；規(guī)律型；分析法；推理和證明.

【答案】見試題解答內容

【分析】觀察不等式的特點，然后寫出結果即可.

【解答】解：1+.+打…+（“WN*,且心2）,

左側的表達式的分母可知第％項是由1,2,3,到沙-1,結束；

第一步要證的不等式是：1+：+/<2.

11

故答案為：1+^+可<2.

【點評】本題考查數(shù)學歸納法的應用，注意觀察表達式的特征是解題的關鍵.

11.（2024秋?西峰區(qū)校級月考）若/（a）=l+2+2?+23+…+25”-1用數(shù)學歸納法證明1+2+2?+23+…+25”7

是31的倍數(shù)（“CN+）,在驗證"=1成立時，原式為1+2+2?+23+24.

【考點】數(shù)學歸納法的適用條件與步驟.

【專題】對應思想；數(shù)學模型法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法；運算求解.

【答案】1+2+22+23+24.

【分析】由題意直接在1+2+22+23+…+251中取〃=1得答案.

【解答】解：用數(shù)學歸納法證明1+2+2?+23+…+25”-1是31的倍數(shù)（“6N+）,

在驗證”=1成立時，原式為1+2+22+23+24.

故答案為：1+2+22+23+24.

【點評】本題考查數(shù)學歸納法證題的步驟，是基礎題.

12.(2024秋?船山區(qū)校級月考)如圖，正方形A18C1O1的邊長為14cm,A2,Bi,Ci,功依次將A181,

BiCi,CiDi,DiAi分為3：4的兩部分，得到正方形A282c2。2,依照相同的規(guī)律，得到正方形A383c3。3、

A484c4〃4、…、AnBnQnDn.一只螞蟻從Al出發(fā)，沿著路徑A1A*3…4爬行，設其爬行的長度為X,K

為正整數(shù)，且尤與K恒滿足不等式xWK,則K的最小值是21.

【考點】數(shù)學歸納法證明命題.

【專題】整體思想；歸納法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法；運算求解.

【答案】21.

【分析】由題結合圖形，通過數(shù)學歸納得出數(shù)列{|4公"+1|}以6為首項，,為公比的等比數(shù)列，求和分析

即可.

【解答】解：由正方形AIBCLDI的邊長為14c",A2,BI,Ci,依次將ALBI,BICI,C1D1,D1A1

分為3：4的兩部分，

QQ______QH

22

得力遇2=7x14=6cm,i42i43=yxV6+8=7.

可得空空=同理可得強竺=Z,汕=Z,...,生&±1=9.

^2^35人3人45幺4生5An^1An7

設數(shù)歹U{|AnA計1|},則該數(shù)列以6為首項，；為公比的等比數(shù)列，

??.|43n+ll=6*6尸-1，

則X=田仁=21-21x(1)n<21,

又當“一+8時，x-21,

...若x與正整數(shù)K恒滿足不等式xWK,則K的最小值是21.

故答案為：21.

【點評】本題考查歸納法的應用，考查等比數(shù)列的前〃項和，考查運算求解能力，是中檔題.

四.解答題（共3小題）

13.（2024秋?上海校級期中）已知等差數(shù)列｛斯｝的首項為m=2,公差為d,前w項和為若m=d=l,

用數(shù)學歸納法證明：￡震1a：=GN,n>1）.

【考點】數(shù)學歸納法證明命題；求等差數(shù)列的前n項和.

【專題】方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法；運算求解.

【答案】證明見解析.

【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列｛斯｝的通項前〃項和為S,再利用數(shù)學歸納法證明.

【解答】證明：等差數(shù)列｛麗｝的首項為m=2,公差為d,前”項和為8.若m=d=l,

XT/|^〃〃=1+〃-1—H-9Sn=21^（九一1）—21（〃？+〃）,

下面運用數(shù)學歸納法證明：

當〃=1時，埼=1,S/=1,原等式成立；

假設當〃=左（屈N*）時，原等式成立，即￡3即奈=iA=［牛馬2,

則當〃=%+1時，2^=1碇+i=￡3碇+碇+i=（%+1）3

77

=空?上+4（fc+1）］=中.（k+2產(chǎn)=.+1y+2）『=sk，

即當〃=k+1時，原等式成立，

所以對一切成N*,等式1X1碎=S/成立.

【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式，以及數(shù)學歸納法，考查轉化思想和運算能力、推理

能力，屬于中檔題.

14.（2024春?西城區(qū)校級期中）已知數(shù)列｛而｝滿足：ai=l,且對任意wCN*,都有與+i=—晅二.

G/an+1）

（1）直接寫出<72,a3,。4的值；

（2）猜想｛珈｝的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明.

【考點】數(shù)學歸納法證明命題.

【專題】轉化思想；轉化法；推理和證明；運算求解.

［答案］⑴。3=舌，04=白.

1

（2）猜想：冊=專，證明詳見解析.

【分析】（1）直接結合數(shù)列遞推式，即可求解;

(2)結合數(shù)學歸納法的法則，即可證明.

111

【解答】解：(1)。2=4，。3=3，。4=正

(2)猜想：an=今.(*)

下用數(shù)學歸納法證明：

①當〃=1時，(*)成立.

②假設〃=左(左21)時(*)成立，即以=/.

1

？1

則當n=k+l時,=

(k+1/(fc+1)2

k2

故(*)對〃=4+1也成立.

由①②，對任意“CN*,(*)成立，即加=，.

【點評】本題主要考查數(shù)學歸納法的應用，屬于中檔題.

15.(2024秋?泰安期中)數(shù)學歸納法是一種數(shù)學證明方法，通常被用于證明某個給定的命題在整個(或者

局部)自然數(shù)范圍內成立，證明分為下面兩個步驟：1.證明當〃=wo(MOGN)時命題成立；2.假設“

=k(%N,且k》no)時命題成立，推導出在w=Z+l時命題也成立.只要完成這兩個步驟，就可以斷

定命題對從碩開始的所有自然數(shù)〃都成立.已知有窮遞增數(shù)列｛珈｝,ai=-1,破>0,wCN*且w23.定

義：集合力={(x,y)\x=%,y=ay1<i,j<n,i,jEN*},若對V(xi,yi)eA,3(尤2,”)

使得xix2+yiy2=0,則稱｛外｝具有性質T.

(1)若數(shù)列-1,1,2,m(m>2)具有性質T,求實數(shù)機的值；

(2)若｛斯｝具有性質T,且3=1,。3=2,

(i)猜想當時｛加｝的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明你的猜想；

..、」、325n+1

(ii)求---+----+-----+…+----------(〃22).

2a23a312a4n(n-l)an

【考點】數(shù)學歸納法.

【專題】轉化思想；綜合法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法；運算求解；新定義類.

【答案】⑴4；

1

(2)(i)廝=2n-2(n>2)；(ii)2——

n-2

【分析】(1)討論(XI,VI)的不同取法，根據(jù)性質T的定義，結合數(shù)列的單調性，即可求得參數(shù)值;

(2)(i)猜想即=2叱25n2),再利用數(shù)學歸納法，結合性質T的定義，分類討論，即可證明；

(ii)利用(i)中所求通項公式，利用裂項求和法，即可求得結果.

【解答】解：有窮遞增數(shù)列｛劭｝,ai=-1,及>0,吒N*且〃23.定義：集合4=｛(%,y｝\x=aify=

%,1<i,j<nfi,jCN*h

若對V(xi,yi)EA,3(%2,”)GA,使得了ix2+yiy2=0,則稱｛斯｝具有性質T.

(1)若數(shù)列-1,1,2,根(m>2)具有性質T,

當(xi,yi)=(-1,m)時，取(X2,”)=(m,1),滿足題意；

當(xi,yi)=(1,m)時，取(及，”)=(m,-1),滿足題意；

當(xi,yi)=(2,m)時，2x2+my2=0,此時12,y2中有且僅有一個數(shù)為-1,

若X2=-l,則租=丁6(0,2],不滿足題意；

若丁2=-1,則機=2X2=2或4或2加，

又因為m>2,故m=4；

綜上所述，m=4.

(2)(i)若｛麗｝具有性質T,且。2=1,。3=2,

猜想%i=2n-2(n>2).

運用數(shù)學歸納法證明如下：

當n=2時，an=2"一2滿足題意；

假設〃=%時，以=2九一2成立，則當〃=%+1時，

若(xi,yi)=(-1,ak+1),則取(%2,>2)=(以+1,1)滿足題意；

若(xi,yi)=Cai,以+i),i=2,3,…，％+1,貝！JX2,”中有且僅有一個數(shù)為-1,

當％2=-1時，設”=勾，j=2,3,???,攵+1,貝！J-〃葉公+1/=0,

故以+1=*<七<%+i，當且僅當，=女+1，，=2時，取得等號；

aj

當”=-1時，設12=勾，，=2,3,左+1,則。嗎=皿+1=2，+/-4,

記i+j-4=p,則j=p-z+4；

因為對任意的力=2,3,…，Z+1,都有j=p-i+4=p-Z+3,p-H4,…，p+2在2,3,4,…，k+1中取

到，

則^p=k-1;

(p+2<fc+1卜

故i+j=k+3,故以+i=2(上+1)—2成立；

n2

綜上，an=2~(n>2).

71+1n+111

（五）因為時,n-3

n2九一

n(n-l)an(n-iyn-2~(n-l)-2m22'

325n+1111111

故—+—+----+■,?+----------=(2——)+(———)+(———)+,?,+r------------

yLn3

2a23a312a4n(n-l)an'2，6，%16(n-l)-2-

1

n-2n~2^

1

=2-E"

【點評】本題考查數(shù)列的新定義和數(shù)列的性質，以及數(shù)學歸納法的應用，考查轉化思想和運算能力、推

理能力，屬于中檔題.

考點卡片

1.求等差數(shù)列的前n項和

【知識點的認識】

等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個

數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示.其求和公式為

(?-1)d或者際=幽產(chǎn)

【解題方法點撥】

-代入計算：將具體問題中的n值代入前〃項和公式，計算數(shù)列的前n項和.

-推導公式：根據(jù)實際問題推導出數(shù)列的前"項和公式.

-綜合應用：將前w項和公式與其他數(shù)列性質結合，解決復雜問題.

【命題方向】

常見題型包括利用等差數(shù)列的前〃項和公式計算具體項，推導數(shù)列和公式，解決實際問題.

已知等差數(shù)列｛珈｝的前幾項和為斷，若S3=〃3,04=5,則S=.

解：設等差數(shù)列｛劭｝的公差為由

”i+〃2=m+ai+d=0,

又「〃4=5,/.ai+3d=5,

解得，a\=-1,d=2,

故1)?2=層-2〃，

故答案為：n2-2n.

2.數(shù)學歸納法

【知識點的認識】

1.數(shù)學歸納法

一般地，當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)次的所有正整數(shù)〃都成立時，可以用以下兩個步驟：

(1)證明當〃=加時命題成立；

(2)假設當〃=%(笈N+,且左2〃o)時命題成立，證明〃=%+1時命題也成立.

在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于w的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學歸納

法.

2.用數(shù)學歸納法證明時，要分兩個步驟，兩者缺一不可.

(1)證明了第一步，就獲得了遞推的基礎，但僅靠這一步還不能說明結論的正確性.

在這一步中，只需驗證命題結論成立的最小的正整數(shù)就可以了，沒有必要驗證命題對幾個正整數(shù)成立.

(2)證明了第二步，就獲得了推理的依據(jù).僅有第二步而沒有第一步，則失去了遞推的基礎；而只有第

一步而沒有第二步，就可能得出不正確的結論，因為單靠第一步，我們無法遞推下去，所以我們無法判斷

命題對no+l,no+2,是否正確.

在第二步中，命題成立，可以作為條件加以運用，而〃=%+1時的情況則有待利用命題的已知條件，

公理，定理，定義加以證明.

完成一，二步后，最后對命題做一個總的結論.

3.用數(shù)學歸納法證明恒等式的步驟及注意事項：

①明確初始值m并驗證真假.(必不可少)

②“假設〃=%時命題正確”并寫出命題形式.

③分析。=4+1時”命題是什么，并找出與時命題形式的差別.弄清左端應增加的項.

④明確等式左端變形目標，掌握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆項、配方等，并用上

假設.

3.數(shù)學歸納法的適用條件與步驟

【知識點的認識】

1.數(shù)學歸納法

一般地，當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)"0的所有正整數(shù)〃都成立時，可以用以下兩個步驟：

(1)