第01講二次根式的概念

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①二次根式的定義1.掌握二次根式的定義，能夠熟練的判斷二次根式。

②二次根式有、無意義的條2.掌握二次根式有無意義的條件,并能夠根據(jù)二次根式有無意義的條件

件熟練的求字母的范圍。

思維導(dǎo)圖

二次根式的定義

知識點01二次根式的定義

i.二次根式的定義：

一般地，我們把形如_4a{a>0）—的式子叫做二次根式。其中，叫做二次根號，。叫做

被開方數(shù)。被開方數(shù)可以是數(shù)，也可以是式子。但必須是非負數(shù)。

判斷一個式子是不是二次根式需判斷是不是含有二次根號以及被開方數(shù)是否大于等于0。兩者必須同時

滿足。

【即學(xué)即練1】

1.在式子/號、Jx2+］、7a+l（。<-3）、（y>0）、V-2x（x<0）中，是二次根式的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】根據(jù)二次根式的定義：一般地，我們把形如?QN0）的式子叫做二次根式可得答案.

【解答】解：?、7x2+l'嘏3>0）、J石（X<O）都是二次根式;

當(dāng)a<-3時，a+l<0,則“a+1無意義.

故選：C.

知識點02二次根式有無意義的條件

1.二次根式有無意義的條件：

二次根式有意義必須滿足二次根式的被開方數(shù)大于等于0。即“■中，_g>0_o二次根式無意

義的條件是被開方數(shù)小于0,及〃"中，_g<0.

注意：當(dāng)二次根式存在在分母的位置時，被開方數(shù)只能大于零。

【即學(xué)即練11

2.若式子缶7在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則無的取值范圍是（）

A.x>2B.x<2C.x22D.xW2

【分析】直接根據(jù)二次根式有意義的條件作答即可.

【解答】解：???式子亞￡1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，

；.2x-420.

解得x22.

故選：C.

【即學(xué)即練2】

3.式子Y亙在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

x~3

A.x>3B.x22且x=3C.x<2且xW3D.xW2

【分析】根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，分母不能為零，可得答案.

【解答】解：由題意得

x-2》0,且X-3W0,

解得x22且xW3,

故選：B.

【即學(xué)即練3】

4.已知y=Vx~2+V2~x+3,貝!Ixy—6.

【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件求出x的值，進而得出》的值，再求出肛的值即可.

【解答】解：??,式子G工與丁石在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，

.?」x-2>0,解得口，

I2-x》0

二尸3,

??xy^2,X3=6.

故答案為：6.

題型精講

題型01判斷二次根式

【典例1】下列式子一定是二次根式的是（）

A.V-x-2B.Vxc.Y乂2+2D.dX2-2

【分析】直接利用二次根式的定義，一般地，形如?（a）0）的代數(shù)式叫做二次根式進行判斷即可.

【解答】解：???/＞（）,

.4+222,

?,..X2+2一定是二次根式，

而萬、4和dx2-2中的被開方數(shù)均不能保證大于等于°，故不一定是二次根式，

故選：C.

【變式1】下列各式是二次根式的有（）

（1）V21；（2）V^L9；（3）7x2+l；（4）煙;（5）V-2X-2.

A.4個B.3個C.2個D.1個

【分析】根據(jù)形如?（。＞0）的式子是二次根式，可得答案.

【解答】解：二次根式有（1）標(biāo),（3）“+i，

故選：C.

【變式2】下列各式中，一定是二次根式的個數(shù)為（）

+1，A/4,?--1'"；（a20）,V2a+1（。＜嵩）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【分析】根據(jù)二次根式的定義即可作出判斷.

【解答】解：我一定是二次根式；

當(dāng)機＜0時，后不是二次根式；

對于任意的數(shù)x,/+i＞o,則式可一定是二次根式；

如是三次方根，不是二次根式；

-m2-1＜0,則匚可不是二次根式；

返是二次根式；

3

當(dāng)。V工時，2a+l可能小于0,不是二次根式.

2

故選：A.

【變式31在式子（x>0），V2?Vy+1（y=-2）,V~2x（x<0），V3，A/X2+1，x+y中，二

次根式有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】根據(jù)二次根式的定義對各數(shù)分析判斷即可得解.

【解答】解：根據(jù)二次根式的定義，y=-2時，y+l=-2+1=-1<0,百亙無意義，故不符合題意；我

是三次根式，不符合題意；x+y是整式，不符合題意；

所以二次根式有信（x>0）,加，V<x（x<0）,”+1，共4個.

故選：C.

題型02根據(jù)二次根式有無意義的條件求范圍

【典例1】若二次根式J2x-1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍是（）

A.x>lB.C.x>2D.x22

2嗔

【分析】二次根式的基本性質(zhì)：五有意義，則

【解答】解：???二次根式亞￡?在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，

：.2x-1^0,

解得x>|.

故選:B.

【變式1】若二次根式有意義，則x的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）

-1~-1——-J_0?1A

A.01B.01C.01D.01

【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)列出不等式，解不等式求出x的取值范圍，判斷即可.

【解答】解：由題意得：1-120,

解得：-21,

則x的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是選項C,

故選：C.

【變式2】式子有意義的條件是x>2.

【分析】根據(jù)二次根式?（。》0）,以及分母不能為0,可得x-5>0,然后進行計算即可解答.

【解答】解：由題意得，x-2>0,

解得x>2,

故答案為：x>2.

【變式3】若互有意義，則x的取值范圍是x20且xW3.

x-3

【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0列式計算即可得解.

【解答】解：由題意得，x20且X-3W0,

解得且xH3.

故答案為：x20且xW3.

【變式4］如果、叵是二次根式，則x的取值范圍是（）

Vx+5

A.xW-5B.x>-5C.-5D.xW-5

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)20可知.

【解答】解：、仁「是二次根式，則根據(jù)二次根式的意義必有二三0且X+5W0,解得x<-5.

Vx+5x+5

故選：C.

題型03根據(jù)二次根式有無意義的條件求值

【典例11若式子?是二次根式，則a的值不可以是（）

A.0B.-2C.2D.4

【分析】根據(jù)二次根式的定義得出再得出選項即可.

【解答】解：:?式子?是二次根式，

...aNO,

即只有選項2符合，選項/、選項C、選項。都不符合，

故選：B.

【變式1】若y=/荻W7與+4,則小+產(chǎn)的算術(shù)平方根是5.

【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式求出x,再求出力然后代入代數(shù)式求值，再根據(jù)算術(shù)平方根的定

義解答.

【解答】解：根據(jù)題意得，3-%20且工-3三0,

解得xW3且x23,

所以，x=3,

y=4,

所以，/+/=32+42=25,

V25的算術(shù)平方根是5,

/.xV的算術(shù)平方根是5.

故答案為：5.

【變式2】已知a,6為實數(shù)，且滿足心豆+后1=6-2,則/五的值為4

【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出a,6的值，進而得出答案.

【解答】I?：a,6為實數(shù)，且滿足—a-8+-8-軟=6-2,

6/=8,6=2,

則

故答案為：4.

【變式3]已知y=12x-5+45-2x-3,貝U2中的值為-15.

【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出x的值，再求出y的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解.

【解答】解：根據(jù)題意得，2x-520且5-2x20,

解得且xW立，

22

所以，X——,

2

尸-3,

所以，2刈=2X>|x（-3）=-15.

故答案為：75.

【變式4】實數(shù)a,6滿足（2a+6）2+I2^-32]=0,那么。=-4,b=8.

VFa

【分析】由于平方、絕對值及二次根式都具有非負性，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，幾個非負數(shù)的和為0,這幾

個非負數(shù)都為0,得出關(guān)于a、6的方程組，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，確定。的取值范圍,

從而求出a、b的值.

‘2a+b=0

【解答】解：由題意，得，2a2-32=0，

3-a>0

解得卜X.

lb=8

故a—-4,b=8.

【變式5】已知石1之4有意義，則在平面直角坐標(biāo)系中，點尸（〃?，?）位于第三象限.

Vmn

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件（被開方數(shù)是非負數(shù)）、分式有意義的條件（分母不為零）求得小

”的符號，然后確定點P所在的位置.

【解答】解：根據(jù)題意，得

J

[inn〉O

fm<0

解得,

n<0

則點。Cm,n）位于第三象限;

故答案為：三.

Vo________

iW強化訓(xùn)練

1.下列各式中，二次根式是（）

A.口B.我C4a2+1D.VX-1

【分析】形如?（。20）的式子叫做二次根式，由此判斷即可.

【解答】解：4、被開方數(shù)為-2,沒有意義，故此選項不符合題意;

B、對中根指數(shù)是3,不是二次根式，故此選項不符合題意；

C、力2+］中滔+1>0,是二次根式，故此選項符合題意；

D、1x-1中x-1不確定正負,故此選項不符合題意；

故選：C.

2.若代數(shù)式立返在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

x-5

A.xW-2B.Q-2C.x>5D.啟-2且+5

【分析】根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)、分母不為零列出不等式組，解不等式組得到答案.

【解答】解：由題意得：x+220且X-5W0,

解得：工2-2且工力5,

故選：D.

3.在式子?，病，V-2?Q（x+3產(chǎn)，中，是二次根式的有（）

丫+5

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】二次根式的定義：一般地，我們把形如?（a20）的式子叫做二次根式，進而得出答案.

【解答】解：祗，）（X+3）2,自二是二次根式，共3個.

故選：B.

4.若代數(shù)式有意義，則X的取值范圍是（)

V6+x

A.-6B.x>-6C.xW-6D.xW6

【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)、分母不為零列出不等式，解不等式得到答案.

【解答】解：由題意得：6+x>0,

解得：-6,

故選：B.

5.當(dāng)°=-6時，二次根式/志二的值為（）

A.V3B.3C.±V3D.±3

【分析】把。=-6代入二次根式后L即可解決問題.

【解答］解:當(dāng)。=-6時，

二次根式-3-a=A/3-（-6）=炳=3.

故選：B.

6.設(shè)x、>為實數(shù)，y=6-V2x-16-V16-2x,貝！||x+y|的值是（）

A.2B.14C.19D.22

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負性求出x的值，進而求出y的值，然后代值計算即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：［2X-16>0,

116-2X>0

解得x=8,

把x=8KAy=6-V2x-16-V16-2x,

解得y=6,

.".|x+y|—18+6|=14.

故選:B.

7匹三￡^_,則x的值可以是（）

Vx-2g

A.3B.-2C.2D.-3

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件、分式有意義的條件列不等式組，求解得到x的取值范圍，進而完

成解答.

【解答】解：由題意可得：

’4-x、

x-2

'x-2>0，

,4-x）0

解得2VxW4,

則選項4符合題意.

故選：A.

8.已知實數(shù)〃滿足|2023-aIWa-2024=a，那么。-20242的值是（）

A.2023B.-2023C.2024D.-2024

【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式求出。的取值范圍，再去掉絕對值號，然后兩邊平方整理即可得

解.

【解答】解：：|2023-aIWa-2024=a，

：.a-202420,

；.42024,

則a-2023+Va-2024=a，

???Va-2024=2023-

：.a-2024=20232,

：.a-20242

=20232-20242+2024

=(2023+2024)X(2023-2024)+2024

=-4047+2024

=-2023,

故選:B.

2

9.如果有意義，那么代數(shù)式?x-i1+7(X-9)的值為()

A.±8B.8C.-8D.無法確定

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得到x-l20,9-x^0,再根據(jù)絕對值的意義和二次根式的性質(zhì)，

進行化簡即可.

【解答】解：有意義，

?'?x-120,9-

*'|x-1|+v(x-9)2=X-1+9-X=8;

故選：B.

10.已知a,b,c滿足小7W7可=|c-17I+b2-30b+225，則-c的值是()

A.4B.5C.6D.7

【分析】先將已知等式利用完全平方公式變形為后；W7豆=|+(b-15)2,再根據(jù)偶次方的

非負性、絕對值的非負性，算術(shù)平方根的性質(zhì)可求出a、b.c的值，代入計算即可得.

【解答】解：：招』W?互=|c-17|+b2-30b+225;

,,V8-a+Va-8=|c-17|+(b-15)2,

/.8-a20,a-820,

??。=8,

A|c-17|+(b-15)2=0,

-17=0,b-15=0,

；?c=17,6=15,

a+b-c=8+15-17=6,

故選：C.

11.式子Y亙有意義，x的取值范圍是x22.

x

【分析】根據(jù)被開方數(shù)不小于零的條件且分母不為零的條件進行解題即可.

【解答】解：由題可知，

fx-2》0

IxKO,

解得x22.

故答案為：x>2.

12.已知y=3+42x-l+V1-2X,則2x+3y的算術(shù)平方根是_715一

【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于求出X的值，進而求出y的值，再根據(jù)算術(shù)

平方公式的定義即可求出答案.

【解答】解:由已知得［2x-l>0,

ll-2x>0

.1

；?歹=3,

?"-2x+3y=2Xy+3X3=10，

；.2x+3y的算術(shù)平方根是W3.

故答案為：Vio-

13.若式子歸?+x°有意義,則X的取值范圍是丫?-1且xW4,xWO.

【分析】根據(jù)被開方數(shù)為非負數(shù)，分式的分母不能為0,零指數(shù)稚的底數(shù)不能為0解答即可.

【解答】解：根據(jù)題意，\?運五+x。有意義,

x-4

.?.2x+l20,x-4#0,XT^O,

/.且%W4,xWO.

即X的取值范圍是且xW4,xWO.

故答案為：且xW4,x#O.

14.已知點尸的坐標(biāo)是（-2-J^i，m）,則點P關(guān)于x軸對稱的點在第三象限.

【分析】本題考查了關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)的特征，二次根式有意義的條件；根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點，

橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)解答即可.

【解答】解：：點尸(-2-V^，m),

/.點P關(guān)于x軸對稱的點為(-2-Vm-l,~m),

'.Wm-1有意義,

'.m-120,

???加21,

-2-Vni-1<0,-m<0,

???點尸關(guān)于x軸對稱的點在第三象限，

故答案為：三.

15.無論x取任何實數(shù)，代數(shù)式dx2-8x+m都有意義，則加的取值范圍為加/16.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得：x2-8x+m>=0,然后進行計算即可解答.

【解答】解：.??代數(shù)式Jx2.8x+m都有意義，

-8x+加20,

X2-8x+16-16+加三0,

(x-4)2216-m,

16-mWO,

解得：加216,

故答案為：加216.

16.已知實數(shù)。滿足等式|2024-aIWa-2025=a.

(1)a的取值范圍是aN2025；

(2)小明求出a-20242的值為2024,他的答案正確嗎？為什么？

【分析】(1)根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，即可求解；

(2)根據(jù)絕對值的非負性和二次根式的性質(zhì)將12024-aIWa-2025=@化簡即可求解.

【解答】解：(1)由題意可得：a-202520,

解得：a22025,

故答案為：。\2025；

(2)小明的答案不正確，理由如下：

Vl2024-aIWa-2025=a，

???Va-2025=2024?

：.a-20242=2025,

小明的答案不正確.

17.先閱讀下面提供的材料，再解答相應(yīng)的問題，

若注I和百三在實數(shù)范圍內(nèi)都有意義，求x的值.

解：和百彳在實數(shù)范圍內(nèi)都有意義，

???x-120且1-x20.

由1得：x-1^0

.*.%-1=0,

??x=1.

問題，若實數(shù)x,y滿足yf/2x-4+V4-2x+3,求Mx+Sy的值.

【分析】根據(jù)二次根式有意義得到2X-4=0,解得X=2,再求出y=V2T4W4-2x+3=3,再代入“8x+3y

進行解答即可.

【解答】解：由題意可得，42x-4和44-2x在實數(shù)范圍內(nèi)都有意義,

；.2x-4N0且4-2Q0,

由4-2xN0得至!J2x-4W0,

.\2x-4=0,

解得x=2,

/.y=V2x-4+V4-2x+3=3,

/.V8x+3y=78X2+3X3=>/25=5.

18.先閱讀，后回答問題：x為何值時，dx(x-3)有意義?

解：要使該二次根式有意義，需x(x-3)20,由乘法法則得［x)?；颍踴<。

lx-3>0lx-3<0

解得x23或無WO.

當(dāng)x23或xWO,Yx(x-3)有意義.

體會解題思想后，請你解答：x為何值時，J上L有意義?

V3x+6

【分析】根據(jù)題目信息，列出不等式組求解即可得到X的取值范圍.

【解答】解：要使該二次根式有意義，需上L>0,