2024-2025學(xué)年陜西省漢中市高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的,

請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1,設(shè)全集O=R,集合Z={x|0<x<3},5={x|2x-1<3}；則力口(①B)=()

A.[2,3)B.(2,3)C.(1,2)D.(-叫2)

【正確答案】A

【分析】先求出各個(gè)集合，再利用交集和補(bǔ)集的性質(zhì)求解即可.

【詳解】令2x—1<3,解得x<2,則3={x|x<2},故用8={x|x22},

因?yàn)閆={x[0<x<3},所以/Pl(%8)=[2,3),故A正確.

故選：A

2,I

2.=7i°,6=0.2,c=logJI0.2,則a,瓦c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<b<a

【正確答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量法計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)?=兀°2>?！?1，

0<b=0.2"<0.2°=l，

c=logJt0.2<logJtl=0,

所以c<b<a.

故選：D.

3.設(shè)S"為等差數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和，已知$3=4,56=10,則。16+。17+。18=()

A.12B.14C.16D.18

【正確答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列片段和的性質(zhì)求解即得.

【詳解】由等差數(shù)列的片段和性質(zhì)知，S3,S6-S3,Sg-S6,S12-S9,S15-S12,S18-S15成等差數(shù)列,

由$3=4,56-5=6,得該數(shù)列首項(xiàng)為4,公差為2,

所以+%7+%8=S18—S[5=4+5x2=14.

故選：B

4.已知函數(shù)/(x)=-E-sinx,則函數(shù)y=/(x)的圖象大致為()

1+x

【正確答案】C

【分析】

根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)和xf0時(shí)函數(shù)值為正，即可得到答案.

【詳解】因?yàn)?(x)定義域?yàn)镽>/(-^)=—一-y-sin(-x)=/(x),

1+(-x)

所以/(x)為偶函數(shù)，故排除A,D；

當(dāng)x30時(shí)，/(x)>0,故排除B.

故選：C

本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式選擇對(duì)應(yīng)的圖象，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，求解時(shí)注意從解析式挖掘

函數(shù)的性質(zhì)，并注意特殊值代入法的應(yīng)用.

5.2022年第二十四屆北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數(shù)學(xué)中也有

一朵美麗的雪花——“科赫雪花”.它的繪制規(guī)則是：任意畫(huà)一個(gè)正三角形4(圖1),并把每一條邊

三等分，再以中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線6（圖2）,如

此繼續(xù)下去形成雪花曲線8（圖3）,直到無(wú)窮，形成雪花曲線々，己，…，匕,????設(shè)雪花曲線《的

()

V3D.Z>=34/

T66

【正確答案】B

2）、

【分析】根據(jù)題意分別寫(xiě)出%,b“,/”的通項(xiàng)公式，且當(dāng)〃22時(shí)'-"與用累加法

可求出通項(xiàng)，然后對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷求解.

【詳解】由題意知，邊長(zhǎng)％=1,邊數(shù)4=3,周長(zhǎng)4=3,面積S[=等

M—1n-l

所以得：a=a、?,2=3X4"T,

n3I

M-1

4，〃=3"%

所以得：ln-anbn=3x

因?yàn)椋?,=—?,2sin—=

12134

M-1M-1

(由2)=3.4"".

當(dāng)〃22時(shí)，Sn_Sn_\=b〃_]L

<79169

所以得：S.=(S”—S〃T)+(Si—S“_2)+…+應(yīng)一邑升電—SJ+E

V3373444n—12627聞4

二——+—一+

416995809

、匕i□-+2A/327JJ4V3也、壬田

當(dāng)〃=1時(shí)，SC=---------------x—=——，也適用，

158094

所以：地—生野

S""580{T9）

64

所以得：4=768,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；所以得：/=—,故B項(xiàng)正確;

49

5

所以得：S=28,故c項(xiàng)錯(cuò)誤；所以得：b6=3l6,故D項(xiàng)錯(cuò)誤；

27

故選：B.

6.二次函數(shù)/（》）="2+2僅-l）x+2在區(qū)間（-叫4]上為減函數(shù)，則。的取值范圍為（）

A.[.B.[0,1]C.1-00mD.1；

【正確答案】D

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，即可求得參數(shù)的范圍.

【詳解】,?,二次函數(shù)/（、）在（-8,4）上為減函數(shù),

a>0,

1

.?<1—?！?lt;a”—?

、a

故選：D.

本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.

7.設(shè)函數(shù)/（x）=sin"+；（?！?）的最小正周期為T(mén).若2兀<7<3兀，且對(duì)任意xeR,

恒成立，則①=（

2345

A.-B.-D.

346

【正確答案】B

【分析】由2兀<7<3?？傻胓<°<l,由對(duì)任意xeR,/（到+/[m]20恒成立，可得

/（4//1]之?！?jì)算即可得

【詳解】由/（x）+/g「O,且/（x）e[-l/，故/[￡|=1,

7171713

即有69~+—=—+2kji[k€Z）,解得g=1+6左（左€Z）,

,2兀2

又2兀<丁<3兀，69>0,故2兀<——<371,即一

co3

綜上，CD——.

4

故選：B.

8.己知S）,是數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，4=2,a,用=2（%+2"）,不等式22%—邑0+1-128〃+240

對(duì)任意的〃eN*恒成立，則實(shí)數(shù)力的取值范圍為（）

A.(-oo,32]B.(-oo,16]C,[4,+co)D.(-00,8]

【正確答案】A

【分析】通過(guò)變形，化成瑞-會(huì)=1，得數(shù)列號(hào)是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而求出

通項(xiàng)，然后利用錯(cuò)位相減法求和，代入原不等式，根據(jù)不等式求最值結(jié)合恒成立條件可得答案

【詳解】???一=2（%+2"）,.?.爵一果=L又/=>1'

,數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，

.,*———TI,:?a=nx2〃，

2n〃

=1x2+2x22+3x2、…+〃x2”

A2S〃=1x2?+2x23+…+(〃-l)x2"+nx2n+l②

2(]_2〃)

=2+22+23+---+2,,-nx2,,+1=-^-------^-wx2)!+1=(l-w)x2,!+1-2?

1—2

.?.'=(〃-l)x2"+i+2,

/.不等式2M-52?+1-128n+2<0,

即2nAx2"-2nx22,,+2-2—128〃+2V0,

64

即；lV2"+2+_,

2"

...2〃+2+與a』**竺=32,

2"V2"

64

當(dāng)且僅當(dāng)2?2=一，即〃=2時(shí)等號(hào)成立，???4V32,

2〃

故選：A.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說(shuō)法中正確的是()

A.-71=-180°

B.第一象限角都是銳角

C.在半徑為2的圓中，色TT弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為T(mén)女T

63

71

D.終邊在直線^=一》上的角的集合是a=2br——#eZ

4

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)弧度制、象限角、終邊相同的角等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】―兀(rad)=—180。，A正確；

7兀

角一也是第一象限角，不是銳角，B錯(cuò)誤；

3

JTTTTT

在半徑為2的圓中，一弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為占x2=g,C正確；

663

71

終邊在V=-》上的角的集合是《aa=E--,keZ\,D錯(cuò)誤.

4

故選：AC

10.已知S“是數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和，且q=%=l,%=%_]+%_2（〃23）,則下列結(jié)論正確的

是（）

A.數(shù)列｛。用+4｝為等比數(shù)列B.數(shù)列｛。m-2叫為等比數(shù)列

10

C%=2"：（T）"D,520=|（4-1）

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)已知遞推公式進(jìn)行變形求解判斷AB.求出數(shù)列｛%｝前幾項(xiàng)，驗(yàn)證后判斷C,求出前

20項(xiàng)和可判斷D,

【詳解】因?yàn)?=%+2a一2（〃23）,所以4+an_x=2味+2an_2=2（%+*），

又%+%=2w0,所以｛%+%+1｝是等比數(shù)列，A正確；

同理%-2%_]=an_x+2an_2-2an_x=-an_x+lan_2=-｛an_x-2an_2）,而％-2%=-1,

所以｛%+「2%｝是等比數(shù)列，B正確;

若%=竺手藝，則4=23+；1）2=3,但為=1/3,C錯(cuò)；

由A｛%+4_J是等比數(shù)列，且公比為2,

因此數(shù)列4+出，。3+。4，。5+。6,…仍然是等比數(shù)列，公比為4,

所以S2Q=（%+2）+（。3+%）+（。19+%0）=~-—~=~（41°-1）,D正確.

故選：ABD.

方法點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的遞推公式，解題關(guān)鍵是由已知遞推關(guān)系變形推導(dǎo)出新數(shù)列的遞推關(guān)系,

從而得證新數(shù)列的性質(zhì).而對(duì)稱錯(cuò)誤的結(jié)論，可以求出數(shù)列的某些項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn).

x+3,x<0

11.已知函數(shù)/(x)=<hcl八，若方程〃x)=7"有三個(gè)不同的零點(diǎn)不、/、七，且

|lnx+2|,x>0

%1<X2<X3,則()

A.實(shí)數(shù)加的取值范圍為{加|0<加<3}B.函數(shù)/(x)在(-8,0)]!，+oo]單調(diào)遞增

C.斗馬七的取值范圍為(一3-\0]D.函數(shù)g(x)=/(/(1))有4個(gè)零點(diǎn)

【正確答案】BCD

【分析】作出函數(shù)/(x)的圖像，根據(jù)圖像可判斷A錯(cuò)誤，B正確；根據(jù)圖像確定出-3<國(guó)VO,

再根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算求解出乙七=「，即可得再%》3的范圍，則C正確；采用換元法令/(x)=f,確

定出/的值，結(jié)合/(x)的圖像求解出g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】作出函數(shù)/(x)的圖像如圖所示:

對(duì)于A,由圖像可知，實(shí)數(shù)〃7的取值范圍是(0,3],故A錯(cuò)誤;

函數(shù)/(x)在(一8,0)/!，+力

對(duì)于B,由圖像可知,上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B

正確；

對(duì)于C,由圖像可知，一3<西<0,由1in/+2|=匹七+2],即一(111%2+2)=拈％3+2,解得

-4

x2x3=e,所以XF2X3的取值范圍是(一3e-4,o],故C正確；

對(duì)于D,由g(x)=/(/(x))=O,令=則/⑺=0,解得/=一3或/=!，由圖象可知

e

當(dāng)〃x)=-3時(shí)，方程有1個(gè)解，當(dāng)/(x)=4時(shí)，方程有3個(gè)解，所以函數(shù)g(x)有4個(gè)零點(diǎn)，

e

故D正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

3「門(mén)

12.函數(shù)/(x)=1xe,e的值域?yàn)開(kāi)__________.

lnx+1(e\)

【正確答案】口,+8)

【分析】由xe]：,e2及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得到Inx的取值范圍,

進(jìn)而得到lnx+1的取值范圍,

3

從而得到------的取值范圍，即可求得函數(shù)/(')的值域.

lnx+1

【詳解】因?yàn)?所以lnx￡(—l,2],lnx+l￡(0,3],

3

所以;------￡工+8),即/(')的值域?yàn)榭?+8).

lnx+1

故答案為.口,+00)

13.已知sin]。一,則cos[2，+；]=________.

_...........3

【正確答案】--##-0.6

7T

【分析】先利用誘導(dǎo)公式將cos（2，+§）進(jìn)行變形,再結(jié)合二倍角公式進(jìn)行求解.

【詳解】因?yàn)閏os[26+§]=cos7t—^——2d]=—cos]g_2”,

（2兀）（（兀））ff撲2巾一小

qcos[-—2^j—cos-21。-—cos218-

已知sin將其代入可得：

。兀心一0（⑹1°5_3

cos------28—1-2x——1—2x———.

（3）（5）255

3

因?yàn)閏os126+g卜一cos1$一28,所以cos

5

故答案-為「|3

14.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{4},若《+%+%=6,則憂+若+d的取值范圍為.

【正確答案】口2,36).

6

【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q(4>0),求得4=；---------r，化簡(jiǎn)

1+q+q

212

,,,,,=36x(1-----------)-<1—---------<1

W+d+d=d(l+q2+/4)1/,結(jié)合基本不等式，求得31,41,

qq

進(jìn)而求得成+a；+al的取值范圍.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>0),

6

因?yàn)?+%+%=6,可得/(i+q+d)=6,所以4=

1+q+

36

則a；=aj(1+^2+/)=—(l+d+/)

(l+”q)

(l+q+q2)2-2(q+q2+q3)2q(l+q+/)

(\+q+q)(\+q+q)

=36x(1——^-T)=36X(1-~)

1+q+q[+[+「

q

因?yàn)閝〉0,所以1+^22,

當(dāng)且僅當(dāng)q=l時(shí)，等號(hào)成立,

q

12

I——<-—<l

所以一+q+]23,可得3—乙<。，則3%+l

q—Fq+1

qq

12<36x(l-—~)<36,,「…八

所以1,即《7+廳+區(qū)的取值范圍為口2,36).

—i-q十i

q

故答案為.口2,36）

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

3

15.已知tana=一一，求下列各式的值.

2

sin(2兀一a)cos(兀+a)cos

(1)---------

3兀

cos(兀一a)sin(a-7r)sim---Fa

2

⑵2sin2tz-3cos2tz+l-

【正確答案】⑴t

【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可;

【小問(wèn)2詳解】

2sin2a-3cos2a12tan2a-31

2sin2a—3cos2a+1=+l=----z------+l

si.n?a+cos2atana+l

r9c

2x3[0

2+l13

4

16.已知數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列，且

4=b[=3,%+=17,。3—=14.

(1)求數(shù)列｛%｝與數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛%-2｝的前〃項(xiàng)和S”.

【正確答案】(1)%=3",bn=5?-2

3,,+1-5?2-zj-3

(2)S=-—————

"2

【分析】(i)設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,等差數(shù)列也｝的公差為d,根據(jù)等差數(shù)列以及等比數(shù)列

定義結(jié)合數(shù)列｛4｝的單調(diào)性求得q和d,即可求數(shù)列｛%｝與數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)利用等差、等比前項(xiàng)和公式并分組求和即可得.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,等差數(shù)列｛〃｝的公差為d,

值+&=17,f/q+b]+d=17,

v彳導(dǎo)v

4=14,[a^q1-(/?!+2tZ)=14,

3q+d=14,,

即上；c,即d+2q—15=0,解得q=—5或q=3.

3q~-2a=17,

當(dāng)q=—5時(shí)，a2<aA,不滿足｛%｝單調(diào)遞增，

-1

當(dāng)q=3時(shí)，an+1-an=3an-an=2an=6x3">0,滿足｛4｝單調(diào)遞增，

故q=3,所以4=3".

又3q+d=14,所以d=5,

所以6“=3+5(〃-1)=5〃—2,

即數(shù)列｛%｝與數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式為%=3"也=5〃-2.

【小問(wèn)2詳解】

利用等比數(shù)列前1項(xiàng)和公式可得，

數(shù)列的前n項(xiàng)和為3(T)=3人3,

1-32

數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為〃(3+；_,

所以數(shù)列｛%-〃｝的前〃項(xiàng)和

s.=(%-4)+(%-8)+…+(4-4)=(%+%+…+%)-(4+&+，-+4)

3,,+1-35/+〃3"+i—5〃2—〃—3

-—22—-2

即S=尸-5/-〃-3.

n2

17.已知函數(shù)/(X)=Gsinxcosx-cos?》.

(1)求/(X)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)將/(x)的圖象先向左平移四個(gè)單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的;倍，得到函數(shù)g(x)

的圖象，求g(x)在區(qū)間0,；上的最值及取得最值時(shí)X的值.

7171

【正確答案】(1)最小正周期兀；單調(diào)遞增區(qū)間：+-,ksZ

_63_

(2)g(x)在區(qū)間［0,一71］上的最大值是1:，此時(shí)x=一71；最小值是-1,此時(shí)x=—71.

42124

【分析】(1)先利用二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)形式，再根據(jù)三角函數(shù)的周期公式

和單調(diào)性來(lái)求解；

(2)根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移和伸縮變換規(guī)則得到g(x)的表達(dá)式，然后結(jié)合給定區(qū)間求其最值.

【小問(wèn)1詳解】

己知/(x)=J^sinxcosx—cos?x,根據(jù)二倍角公式，可得：

r(\V3.-l+cos2x百.c1c1-兀)1

/x=——sm2x-------------=——sm2x——cos2x——=sm2x————

2222(6)2

所以/(x)的最小正周期T=—=n.

2

7171TlTT27r

令2左?！?lt;2x——<2kn+—,keZ,解這個(gè)不等式可得,2左兀——<2x<2左兀+——.

26233

兀兀

即得到kitVxVkitH—,左￡Z.

63

所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是?。?E+|左￡Z.

/(X)的最小正周期是兀,單調(diào)遞增區(qū)間是法-3EJ，左￡Z;

【小問(wèn)2詳解】

先根據(jù)圖象變換規(guī)則求g(x)的表達(dá)式:

將/(x)=sin(2x-弓)-；的圖象向左平移弓個(gè)單位，根據(jù)“左加右減”的原則，得到

y=sinL2(x+-)--J--

oo262

再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的;倍，根據(jù)“橫坐標(biāo)伸縮”的原則，得到g(x)=sin(4x+°)-1的

262

圖象.

因?yàn)樗?x￡［0,兀］,4x-\—e［—,—］.

4666

當(dāng)4xH—=—，即1=—時(shí)，sin(4xH—)取得最大值1,此時(shí)g(x)取得最大值1———.

6212622

TT7兀7171111

當(dāng)4xH—二—，即1=—時(shí)，sin(4xH—)取得最小值—，此時(shí)g(x)取得最小值------=—1.

6646222

711Tl71

綜上所得，g(x)在區(qū)間［0,一］上的最大值是:，止匕時(shí)x=一；最小值是-1,此時(shí)x=—.

42124

18.已知函數(shù)/(x)=log2X,不等式2—+，＜437解集為M,

(1)設(shè)函數(shù)g(x)=〃2x)+x+m在xeM上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)加的取值范圍;

(2)當(dāng)xeM時(shí)，函數(shù)〃(x)="(x)—a1/'］的最小值為—；，求實(shí)數(shù)a的值.

【正確答案】(1)(-7,-2)

(2)a=\

g<o

【分析】(1)解指數(shù)不等式得到集合M,再判斷g(x)的單調(diào)性，即可得到＜g>o解得即可;

(2)首先得至11〃(%)=(1082%-1)(1082、-2),令/二log2X,c[t)=[t-a][t-2),^€(0,2),

依題意可得C”)在(0,2)內(nèi)的最小值為-；，即可得到方程(不等式)組，解得即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?了+、<4"-2=261,則x2+x<6x—4,解得l<x<4,BPAf=(1,4),

又因?yàn)間(x)=/(2x)+x+m=log2(2x)+x+m=log2x+x+m+1,

且y=log2X,y=x+w+l在(1,4)內(nèi)單調(diào)遞增，則g(x)在(1,4)內(nèi)單調(diào)遞增,

g(l)=m+2<0

若函數(shù)g(x)在xeM上存在零點(diǎn)，則＜

g(4)=加+7>0，

解得—7〈加＜—2,所以實(shí)數(shù)加的取值范圍(—7,—2).

【小問(wèn)2詳解】

(log2x-a)(log2x-2),

令t=log2x,由x￡(1,4)可知"log2xe(0,2),貝ij(log2%-tz)(log2x-2)二。一a)"-2),

令c⑺=("a)(7-2),re(o,2),

則。⑺=(/—])(%—2)=產(chǎn)—(a+2)/+2a在(0,2)內(nèi)的最小值為—“

a

由c(7)=〃一(°+2)f+2a的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為/=—+1,

2

0<-+1<2

2

可得《,解得。=1,即實(shí)數(shù)。的值為1.

8a—(a+2)1

4--4

19.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S“滿足2s.=3(a〃—1)(〃eN*).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)記a=7_啟—北是數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和，若對(duì)任意的〃eN*，不等式

(4-T)

1k

“丁時(shí)都成立’求實(shí)數(shù)上的取值范圍;

(3)記％=—是否存在互不相等的正整數(shù)加，s,t,使加，s,7成等差數(shù)列，且q-1,

a”十乙

Cs-1,4-1成等比數(shù)列？如果存在，求出所有符合條件的加，s,t；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【正確答案】⑴%=3"；(3)不存在.

【分析】⑴當(dāng)〃22時(shí)，25?_1=3(^-1),與題目中所給等式相減得：