第第頁江西省贛州市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試卷一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z=?3+4i（i為虛數(shù)單位），則其共軛復(fù)數(shù)zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量a=(1，?2)，A．4 B．-4 C．1 D．-13．sin15°A．12 B．14 C．184．已知某扇形的周長是6cm，面積是2A．1 B．4 C．1或4 D．1或55．正方形ABCD的邊長為2cmA．82cm2 B．8cm6．將y=sinx的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的12A．y=sin(2x+πC．y=sin(2x+π7．在△ABC中，若BD=4DC，則A．95AB?C．45AB+8．在3世紀(jì)中期，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”這可視為中國古代極限觀念的佳作．割圓術(shù)可以視為將一個圓內(nèi)接正n邊形等分成n個等腰三角形（如圖所示），當(dāng)n越大，等腰三角形的面積之和越近似等于圓的面積．運用割圓術(shù)的思想，可得到sin9°的近似值為（πA．0.039 B．0.157 C．0.314 D．0.079二、多選題9．下列函數(shù)周期為π的是（）A．y=sinx B．y=3cosx2 C．y=tan10．下列說法正確的是（）A．用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面B．圓臺的任意兩條母線延長后一定交于一點C．空間中沒有公共點的兩條直線一定平行D．若直線a和平面α滿足a∥α，那么直線a與平面α內(nèi)的任何直線平行11．已知sinα+cosα=A．sinα?cosα=C．cosα=?3512．歐拉公式exi=cosx+A．eπ2i=1 C．cosx=12(exi+e三、填空題13．sin750°=．14．已知△ABC中，3tanAtanB－tanA－tanB＝3，則C的大小為15．已知△ABC和點G滿足GA+GB+GC=0，若存在實數(shù)m、n16．五月五，是端午，門插艾，香滿堂，吃粽子，蘸白糖，粽子古稱“角黍”，是我國南北各地的節(jié)令食品，因各地風(fēng)俗不同，粽子的形狀和食材也會不同，有一種各面都是正三角形的正四面體形棕子，若該正四面體粽子的棱長為32cm，則現(xiàn)有1000c四、解答題17．已知向量a與向量b的夾角為3π4，且|a|（1）求a在b方向上的投影數(shù)量；（2）求|218．已知角α的頂點與坐標(biāo)原點O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點P(（1）求cos2α（2）若sin(α+β)=?51319．在①a=5，②cosC=在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且3acosB=b（注：只需選一個作答，如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答給分）求：（1）c的值；（2）△ABC的面積．20．已知函數(shù)f(x)（1）求函數(shù)f(（2）設(shè)t>0，關(guān)于x的函數(shù)g(x)=f(tx2)21．自古以來，斗笠是一個防曬遮雨的用具，是家喻戶曉的生活必需品之一，主要用竹篾和一種叫做棕櫚葉染白后編織而成，已列入世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．現(xiàn)測量如圖中一頂斗笠，得到圖中圓錐PO模型，經(jīng)測量底面圓O的直徑AB=48cm，母線AP=30cm，若點C在AB上，且∠CAB=π6，（1）證明：BC∥平面POD；（2）求直線AP和平面POD所成角的正弦值．22．已知函數(shù)f(（1）若a=1，求函數(shù)f(x)（2）若函數(shù)g(x)=?x2+x+a，且對任意的x

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】由題意，共軛復(fù)數(shù)z=?3?4i對應(yīng)點為(?3，故答案為：C

【分析】利用已知條件結(jié)合復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系和復(fù)數(shù)的幾何意義，進而得出復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)，再結(jié)合點的坐標(biāo)確定點所在的象限。2．【答案】B【解析】【解答】因為a//b，所以故答案為：B

【分析】利用已知條件結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示，進而得出實數(shù)x的值。3．【答案】C【解析】【解答】sin15°故答案為：C

【分析】利用已知條件結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式，進而得出sin15°4．【答案】C【解析】【解答】設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，所以2r+l=61解得l=2r=2或l=4所以圓心角的弧度數(shù)是α=lr=1故答案為：C

【分析】利用已知條件結(jié)合扇形的周長公式和面積公式，進而解方程組求出扇形的弧長和半徑長，再利用圓心角的弧度數(shù)公式，進而得出該扇形的圓心角的弧度數(shù)。5．【答案】A【解析】【解答】因為正方形ABCD的邊長為2cm所以正方形ABCD的面積是4c又因為正方形ABCD是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，所以原平面圖形的面積是S=4×22故答案為：A

【分析】利用正方形ABCD的邊長為2cm結(jié)合正方形的面積公式得出正方形ABCD的面積，再利用正方形ABCD6．【答案】C【解析】【解答】將y=sinx的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的12再將圖象上各點向左平移π8個單位長度，可得y=故答案為：C

【分析】利用已知條件結(jié)合正弦函數(shù)的圖象變換，進而得出所得的圖象的函數(shù)的解析式。7．【答案】D【解析】【解答】因為BD=AD?又因為BD=4DC，所以則5AD所以AD=故答案為：D

【分析】利用已知條件結(jié)合向量共線定理和平面向量基本定理，進而得出AD=8．【答案】B【解析】【解答】假設(shè)圓的半徑為r=1，此圓內(nèi)接正二十邊形等分成20個等腰三角形，則每個等腰三角形的頂角為18°，選取其中一個小等腰三角形△AOB，過等腰三角形頂點O向底邊AB作垂線OC，垂足為C，延長OC交圓O于點D，則由三線合一可知：∠AOC=∠BOC=9°，則sin9°=ACOA，其中AC≈所以sin9°≈故答案為：B

【分析】假設(shè)圓的半徑為r=1，此圓內(nèi)接正二十邊形等分成20個等腰三角形，進而求出每個等腰三角形的頂角，選取其中一個小等腰三角形△AOB，過等腰三角形頂點O向底邊AB作垂線OC，垂足為C，延長OC交圓O于點D，則由三線合一可知∠AOC，∠BOC的值，再利用正弦函數(shù)的定義和AC≈AD=π20，9．【答案】C,D【解析】【解答】對A，T=2π；對B，T=2π對C，T=π；對D，T=2π故答案為：CD

【分析】利用已知條件結(jié)合三角型函數(shù)求最小正周期公式，進而找出周期為π的函數(shù)。10．【答案】A,B【解析】【解答】對A，用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面，A符合題意；對B，由圓臺的概念知圓臺的任意兩條母線延長后一定交于一點，B符合題意；對C，空間中沒有公共點的兩條直線可能異面，不一定是平行，C不符合題意；對D，若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行或異面，D不符合題意.故答案為：AB

【分析】利用已知條件結(jié)合球與截面的位置關(guān)系，進而用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面；用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面；再利用空間兩直線的位置關(guān)系得出空間中沒有公共點的兩條直線可能異面，不一定是平行；再結(jié)合已知條件結(jié)合空間直線的位置關(guān)系，所以若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行或異面，進而找出說法正確的選項。11．【答案】A,C,D【解析】【解答】因為sinα+cosα=可得2sin因為α∈(0，π)，所以由sinα+cosα=所以sinα?cosα=75sin2α=?故答案為：ACD.

【分析】利用已知條件結(jié)合平方法和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和α∈(0，π)，進而得出角α的取值范圍，再利用已知條件結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式得出角α的正弦值和余弦值，進而得出sinα?cosα12．【答案】B,C【解析】【解答】A.eπB.|eC.exi=cosx+D.e3i=cos3+所以e3故答案為：BC

【分析】利用已知條件結(jié)合歐拉公式和誘導(dǎo)公式得出eπ2i=i≠1；再利用復(fù)數(shù)求模公式得出13．【答案】1【解析】【解答】解：sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°=12，故答案為：1【分析】利用終邊相同角的誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值即可得答案；本題考查運用誘導(dǎo)公式化簡求值，著重考查終邊相同角的誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．14．【答案】π【解析】【解答】依題意：tanA+tanB1?tanAtanB＝－3，即tan(A＋B)＝－3又因為0＜A＋B＜π，∴A＋B＝2π3，∴C＝π－A－B＝π

【分析】利用已知條件結(jié)合兩角和的正切公式變形得出角A+B的正切值，再利用三角形中角A+B的取值范圍，進而得出角A+B的值，再利用三角形內(nèi)角和為180度的性質(zhì)，進而得出角C的值。15．【答案】1【解析】【解答】因為GA+所以?AG即?3AG所以13則m=n=13，所以故答案為：1。

【分析】利用已知條件結(jié)合向量相等的判斷方法和平面向量基本定理，進而得出m，n的值，從而得出m+2n的值。16．【答案】111【解析】【解答】設(shè)O為△ABC的中心，連接OA，因為2OA=32sin所以VO=(3所以VV?ABC因為1000÷9≈111.故答案為：111。

【分析】設(shè)O為△ABC的中心，連接OA，17．【答案】（1）解：a在b方向上的投影數(shù)量為|a（2）解：因為|a|=22，|b所以|【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合數(shù)量積求投影數(shù)量的方法，進而得出a在b方向上的投影數(shù)量。

（2）利用已知條件結(jié)合數(shù)量積的定義和數(shù)量積求向量的模公式以及數(shù)量積的運算法則，進而得出|218．【答案】（1）解：因為角α的終邊過點P(?3，?4)所以cos（2）解：因為α是第三象限角，2kπ+π<α<2kπ+3π2(所以2kπ+3π2<α+β<2kπ+所以α+β是第四象限角，即cos(α+β所以sin=(?5【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合三角函數(shù)的定義和二倍角的余弦公式，進而得出cos2α的值。

（2）利用角α是第三象限角和β∈(π2，π)，再結(jié)合不等式的基本性質(zhì)得出2kπ+3π2<α+β<2kπ+5π19．【答案】（1）解：由3acosB=b因為sinA≠0，所以3cosB=sinB所以B=π選①：a=5，又b=7，B=π所以49=25+c2?2×5×c×12得：c所以c=8.選②：cosC=17，C∈由正弦定理得：c43（2）解：選①：由a=5，c=8，B=π3，所以選②：由cosC=17，則sin所以sinA=sin(B+C)=所以S【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，進而得出角B的正切值，再利用三角形中角B的取值范圍，進而得出角B的值。選①：a=5結(jié)合b=7，B=π3和余弦定理得出c的值；選②：cosC=17，C∈(0，π)，再結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式得出角C的正弦值，再利用正弦定理得出c的值。

（2）選選②：由cosC=17結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式得出角C的正弦值和角B的值，再結(jié)合三角形內(nèi)角和為180度的性質(zhì)，再利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式，進而得出角A的正弦值，再利用b=7，c=820．【答案】（1）解：f=3由2kπ?π2≤2x+π6≤2kπ+π所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）解：因為g(x)=f(tx2)=即y=sin(tx+π6)因為x∈[?π3，又t>0，要y=sin(tx+π只需?π3t+即t≥2或t≥16綜上，實數(shù)t的取值范圍是[【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合二倍角的正弦公式和余弦公式，再結(jié)合輔助角公式化簡函數(shù)為正弦型函數(shù)，再利用正弦型函數(shù)的圖象判斷其單調(diào)性，進而得出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間。

（2）利用g(x)=f(tx2)=sin(tx+π6)+12，且函數(shù)g(x)在區(qū)間[?π3，π4]21．【答案】（1）證明：如圖連接BC，因為底面圓O的直徑AB，所以O(shè)為AB的中點，因為點D為AC的中點，所以O(shè)D∥BC，因為OD?平面POD，BC?平面POD所以BC∥平面POD（2）解：因為底面圓O的直徑AB，所以BC⊥AC，又OD∥BC，則AC⊥OD又PO⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以PO⊥AC，而OD∩PO=O，且PO，OD?平面POD，所以AC⊥平面POD，即AD⊥平面POD，所以∠APD是直線AP和平面POD所成角的平面角，因為AB=48cm，AP=30cm，所以AD=1所以在Rt△PAD中，sin所以直線AP和平面POD所成角的正弦值為23【解析】【分析】（1）連接BC，利用底面圓O的直徑AB，所以O(shè)為AB的中點，再利用點D為AC的中點，再利用中點作中位線的方法和中位線的性質(zhì)，所以O(shè)D∥BC，再利用線線平行證出線面平行，從而證出BC∥平面POD。

（2）利用底面圓O的直徑AB，所以BC⊥AC，再利用OD∥BC，則AC⊥OD，再利用PO⊥平面ABC結(jié)合線面垂直的定義證出線線垂直，所以PO⊥AC，再利用線線垂直證出線面垂直，所以AC⊥平面POD，即AD⊥平面POD，所以∠APD是直線AP和平面POD所成角的平面角，再利用已知條件結(jié)合余弦函數(shù)的定義和直角三角形中角的正弦的求解方法，進而得出直線AP和平面POD所成角的正弦值。22．【答案】（1）解：因為a=1，所以f因為x∈[0，π而f(t)所以f(12所以f(x)在（2）解：二次函數(shù)g(x)所以在x1∈f(對