1/1不等式選講（陳昌杰）本章學(xué)情分析與教材分析（一）學(xué)情分析：本專題的內(nèi)容是在初中階段掌握了不等式的基本概念，學(xué)會(huì)了一元一次不等式、一元一次不等式組的解法，多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)高中必修課五個(gè)模塊的基礎(chǔ)上展開的．作為—個(gè)選修專題，教科書在內(nèi)容的呈現(xiàn)上保持了相對的完整性．第一講是“不等式和絕對值不等式”，它是本專題的最基本內(nèi)容．本講的第一部分類比等式的基本性質(zhì)，先討論不等式的基本性質(zhì)，這是關(guān)于不等式在運(yùn)算方面的一些最基本法則．接著討論基本不等式，介紹了基本不等式的一個(gè)幾何解釋：“直角三角形斜邊上的中線不小于斜邊上的高”，并把基本不等式推廣到三個(gè)正數(shù)的算術(shù)、幾何平均不等式對于一般形式的均值不等式，則只作簡單介紹，不給出證明．在此基礎(chǔ)上，介紹了它們在解決實(shí)際問題中的一些應(yīng)用，如最基本的等周問題，簡單的極值問題等．第二部分討論了有關(guān)絕對值不等式的性質(zhì)及絕對值不等式的解法．絕對值是與實(shí)數(shù)有關(guān)的一個(gè)基本而重要的概念，討論關(guān)于絕對值的不等式具有重要的意義．絕對值三角不等式是一個(gè)基本的結(jié)論，教科書首先引導(dǎo)學(xué)生借助于實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的表示和絕對值的幾何意義，探究歸納出絕對值三角不等式，接著聯(lián)系向量形式的三角不等式，得到絕對值三角不等式的幾何解釋，最后用代數(shù)方法給出證明．這樣，數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生多角度認(rèn)識這個(gè)不等式，逐步深化對它的理解利用絕對值三角不等式可以解決形如的函數(shù)的極值問題，教科書安排了一個(gè)這樣的實(shí)際問題．對于解含有絕對值的不等式，教科書只討論了兩種特殊類型不等式的解法，而不是系統(tǒng)地對這個(gè)問題進(jìn)行研究．教科書引導(dǎo)學(xué)生探討了形如或的不等式的解法，以及形如或的不等式的解淺學(xué)生通過這兩類含有絕對值的不等式能夠基本學(xué)到解含有絕對值的不等式的一般思想和方法．第二講是“證明不等式的基本方法”．對于不等式的深入討論必須首先掌握一些基本的方法，所以本講內(nèi)容也是本專題的一個(gè)基礎(chǔ)內(nèi)容本講通過一些比較簡單的問題，介紹了證明不等式的幾種常用而基本的方法：比較法、綜合法、分析法、反證法和放縮法．在比較法的兩種方法中，相減比較法又是最基本而重要的一種方法．在證明不等式的過程中，根據(jù)對于不等式的條件和結(jié)論不同探索方向作分類，證明方法又可以分為分析法和綜合法，在證明不等式時(shí)，可以從已知條件出發(fā)逐步推出結(jié)論的方法是綜合法；尋找結(jié)論成立的充分條件，從而證明不等式的方法就是分析法．證明不等式的方法還可以分為直接證法和間接證法，反證法是一種間接證法．它從不等式結(jié)論的反面出發(fā)，即假設(shè)要證明的結(jié)論不成立，經(jīng)過正確的推理，得出矛盾結(jié)果，從而說明假設(shè)錯(cuò)誤，而要證的原不等式結(jié)論成立；

在證明不等式的過程中，有時(shí)通過對不等式的某些部分作適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小達(dá)到證明的目的，這就是所謂的放縮法；

教科書對以上方法都結(jié)合實(shí)例加以介紹，本講內(nèi)容對進(jìn)一步討論不等式提供了思想方法的基礎(chǔ)．

本講的教學(xué)內(nèi)容中，用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標(biāo)準(zhǔn)才引人到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的內(nèi)容．

第三講是“柯西不等式和排序不等式”．本講介紹兩個(gè)基本的不等式：柯西不等式和排序不等式，以及它們的簡單應(yīng)用．

柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他許多不等式的基礎(chǔ)，有著廣泛的應(yīng)用，教科書首先介紹二維形式的柯西不等式，再從向量的角度來認(rèn)識柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介紹一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型的函數(shù)極值中的應(yīng)用．

在介紹了二維形式的柯西不等式的基礎(chǔ)上，教科書引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式以及三角形的邊長關(guān)系，從幾何意義上發(fā)現(xiàn)二維形式的三角不等式接著借助二維形式的柯西不等式證明了三角不等式，在一般形式的柯西不等式的基礎(chǔ)上，教科書安排了—個(gè)探究欄目，讓學(xué)生通過探究得出一般形式的三角不等式．（二）教材分析：1．核心素養(yǎng)作為一個(gè)選修專題，雖然學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了高中必修課程的5個(gè)模塊和三個(gè)選修模塊，教材內(nèi)容仍以初中知識為起點(diǎn)，在內(nèi)容的呈現(xiàn)上保持了相對的完整性．第一講是“不等式和絕對值不等式”，為了保持專題內(nèi)容的完整性，教材回顧了已學(xué)過的不等式6個(gè)基本性質(zhì)，從“數(shù)與運(yùn)算”的思想出發(fā)，強(qiáng)調(diào)了比較大小的基本方法．回顧了二元基本不等式，突出幾何背景和實(shí)際應(yīng)用，同時(shí)推廣到n個(gè)正數(shù)的情形，但教學(xué)中只要求理解掌握并會(huì)應(yīng)用二個(gè)和三個(gè)正數(shù)的均值不等式．對于絕對值不等式，借助幾何意義，從“運(yùn)算”角度，探究歸納了絕對值三角不等式，并用代數(shù)方法給出證明．通過討論兩種特殊類型不等式的解法，學(xué)習(xí)解含有絕對值不等式的一般思想和方法，而不是系統(tǒng)研究．第二講是“證明不等式的基本方法”，教材通過一些簡單問題，回顧介紹了證明不等式的比較法、綜合法、分析法，反證法、放縮法．其中，用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標(biāo)準(zhǔn)才引入到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的內(nèi)容．這些方法大多在“推理與證明”已經(jīng)學(xué)過．對于新增的放縮法，應(yīng)通過實(shí)際例子，使學(xué)生明確不等式放縮的幾個(gè)簡單途徑和方法，比如舍掉或加進(jìn)一些項(xiàng)，在分式中放大或縮小分子或分母，應(yīng)用基本不等式進(jìn)行放縮等．本講內(nèi)容也是本專題的一個(gè)基礎(chǔ)內(nèi)容．第三講是“柯西不等式和排序不等式”．教材主要介紹柯西不等式的幾種形式、幾何背景和實(shí)際應(yīng)用．其中柯西不等式及其在證明不等式和求某些特殊類型函數(shù)極值中的應(yīng)用是教材編寫和我們教學(xué)的重點(diǎn)．事實(shí)上，柯西不等式和均值不等式在求最值方面的簡單應(yīng)用，二者同樣重要，在某些問題中，異曲同工．2．本章目標(biāo)根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，通過本專題，應(yīng)該達(dá)到以下的學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．1回顧和復(fù)習(xí)不等式的基本性質(zhì)和基本不等式．1．2理解絕對值的幾何意義，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：（1）（2）（3）會(huì)利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：

；；1．3認(rèn)識柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義．（1）證明柯西不等式的向量形式：（2）證明：（3）證明：1．4用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況：1．5會(huì)用上述不等式證明一些簡單問題，能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值1．6通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法．3．課時(shí)安排全書共需9課時(shí)第一講不等式和絕對值不等式一不等式 1．不等式的基本性質(zhì) 1課時(shí)2．基本不等式（三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式） 1課時(shí)二絕對值不等式1．絕對值三角不等式 1課時(shí)2．絕對值不等式的解法 1課時(shí)第一講回顧1課時(shí)第二講證明不等式的基本方法一比較法 1課時(shí)二綜合法與分析法 1課時(shí)三反證法與放縮法 1課時(shí)第二講回顧1課時(shí)第三講柯西不等式與排序不等式一二維形式柯西不等式（一般形式的柯西不等式） 1課時(shí)模塊檢測