專題12二次函數的實際應用

考情聚焦

課標要求考點考向

1.通過對實際問題的分析，體會二次函數的意義.

考向一二次函數的應用

2.能畫二次函數的圖象，通過圖象了解二次函數的性質，

知道二次函數系數與圖象形狀和對稱軸的關系.

實際應考向二二次函數的實際應用一

3.會求二次函數的最大值或最小值，并能確定相應自變量

用一利潤問題

的值，能解決相應的實際問題.

4.知道二次函數和一元二次方程之間的關系，會利用二次考向三二次函數的實際應用一

函數的圖象求一元二次方程的近似解.一面積問題

真題透視A

考點二次函數的實際應用

A考向一二次函數的應用

1.（2024?濰坊）2024年6月，某商場為了減少夏季降溫和冬季供暖的能源消耗，計劃在商場的屋頂和外墻

建造隔熱層，其建造成本尸（萬元）與隔熱層厚度Mem）滿足函數表達式：P=10x.預計該商場每年的能源

消耗費用T（萬元）與隔熱層厚度x（cm）滿足函數表達式：7=21-（x+2乂x+4）,其中設該商場

8

的隔熱層建造費用與未來8年能源消耗費用之和為y（萬元）.

⑴若y=148萬元，求該商場建造的隔熱層厚度；

⑵已知該商場未來8年的相關規(guī)劃費用為t（萬元），且f=y+f,當172VY192時，求隔熱層厚度x（cm）

的取值范圍.

【答案】（1）該商場建造的隔熱層厚度為6cm

（2）3<x<8

【分析】本題主要考查了一次函數的性質，二次函數的性質以及解一元二次方程，掌握一次函數的性質，

二次函數的性質以及解一元二次方程，弄清楚題意是解題的關鍵.

（1）根據題意可以得出、=-/+敘+160,再令y=148,解一元二次方程求解即可；

（2）將（1）中y=-d+4x+160代入"y+V,可得出f與x的關系式f=4x+160,然后利用一次函數的性

質，即可求出x的取值范圍.

(x+2)(x+4)

【詳解】(1)由題意得：y=P+8T=10x+8x21-^~~』

o

整理得y=_x2+4x+160,

當y=148時，貝!]一￡+4x+i60=i48,

x

解得：i=6,x2=-2.

Q0<x<9,

%-2不符合題意，舍去,

???該商場建造的隔熱層厚度為6cm.

(2)由(1)得y=-/+4x+160,

t=y+x2,

：.t=-x2+4x+l60+x2=4X+160(172<?<192).

4>0,

隨尤的增大而增大，

當f=172時，4%+160=172,解得x=3；

當/=192時，4^+160=192,解得了=8；

的取值范圍為3Vx<8.

A考向二二次函數的實際應用——利潤問題

易錯易混

運用二次函數解決最值問題時，需要先明確自變量的取值范圍，不一定最值就是頂點的縱坐標.

1.(2024?濟寧)某商場以每件80元的價格購進一種商品，在一段時間內，銷售量y(單位：件)與銷售單

價x(單位：元/件)之間是一次函數關系，其部分圖象如圖所示.

⑴求這段時間內y與x之間的函數解析式；

(2)在這段時間內，若銷售單價不低于100元，且商場還要完成不少于220件的銷售任務，當銷售單價為多

少時，商場獲得利潤最大？最大利潤是多少？

【答案】(1)這段時間內y與x之間的函數解析式為>=-5尤+800

(2)當銷售單價為116元時，商場獲得利潤最大，最大利潤是7920元

【分析】(1)設這段時間內y與x之間的函數解析式為>=依+6,函數經過(100,300),(120,200),可以

利用待定系數法建立二元一次方程組，即可求出解析式；

(2)根據銷售單價不低于100元，且商場還要完成不少于220件，建立一元一次不等式組，即可求出銷售

單價的取值范圍，要求最大利潤，首先設獲得利潤為z,寫出z關于x的二次函數解析式，根據二次函數的

增減性和x的取值范圍，即可求出獲得利潤的最大值

【詳解】(1)解：設這段時間內y與x之間的函數解析式為>

由圖象可知，函數經過(100,300),(120,200),

(100k+6=300\k=-5

二可得4,解得4,

[120左+b=20016=800

這段時間內y與x之間的函數解析式為y=-5x+800；

(2)解：；銷售單價不低于100元，且商場還要完成不少于220件,

.-.x>100,y>220,

[-5%+800>220

即<解得100W116,

[%>100

設獲得利潤為z,BPz=(-5%+800)x-(-5%+800)x80=-5<+1200^-64000,

b1200

二對稱軸*=一五=120,

2x(-5)

-5<0,即二次函數開口向下，x的取值范圍是ioo<xV116,

.,.在100VxW120范圍內，z隨著式的增大而增大，

即當銷售單價尤=116時，獲得利潤z有最大值，

最大利潤z=-5x1162+1200x116-64000=7920元.

【點睛】本題考查了求一次函數的解析式，二次函數的性質，解二元一次方程組，解一元一次不等式組，

解題的關鍵是用待定系數法求函數的解析式，掌握二次函數的性質以及二次函數最大值的求解.

2.(2024?青島)5月中旬，櫻桃相繼成熟，果農們迎來了繁忙的采摘銷售季.為了解櫻桃的收益情況，從

第1天銷售開始，小明對自己家的兩處櫻桃園連續(xù)15天的銷售情況進行了統(tǒng)計與分析：

(1)力櫻桃園第x天的單價是元/盒(用含x的代數式表示)；

⑵求/櫻桃園第x天的利潤X(元)與x的函數關系式；(利潤=單價x銷售量-固定成本)

(3)①%與x的函數關系式是;

②求第幾天兩處櫻桃園的利潤之和(即％+%)最大，最大是多少元？

(4)這15天中，共有天8櫻桃園的利潤巴比/櫻桃園的利潤%大.

【答案】⑴(-2x+52)

(2)^=-20X2+500X-225

(3)①為=-30x?+500x+25；②第10天兩處櫻桃園的利潤之和(即％+%)最大，最大是4800兀;

(4)4

【難度】0.65

【分析】本題主要考查了二次函數的實際應用，一次函數的實際應用：

(1)設出對應的函數解析式，利用待定系數法求解即可；

(2)根據(1)所求結合利潤=單價x銷售量-固定成本進行求解即可；

(3)①利用待定系數法求解即可；②根據前面所求求出％+%的結果，再利用二次函數的性質求解即可;

(4)根據題意建立不等式一30/+500》+25>-20/+500%-225,求出不等式的正整數解即可得到答案.

【詳解】(1)解：第x天的單價與x滿足的一次函數關系式為>=依+6,

把。,50%(2,48)代入產區(qū)+匕中得%左+6=48，

.肚=-2

"[b=52,

.?.第x天的單價與x滿足的一次函數關系式為y=-2x+52,

?"櫻桃園第x天的單價是(-2X+52)元/盒，

故答案為：(-2%+52)；

(2)解：由題意得，%=(-2X+52)(10JC+10)-745=-20Y+500X-225

“+6+25=495

(3)解：①把(1,495),(2,905)代入％=aY+云+25中得:

4〃+26+25=905

a=-30

解得

8=500

%=—30%2+500x+25；

22

②%=-20x+500x-225,y2=-30x+500x+25,

%+%=_20x2+500x-225-30x2+500x+25

=-50x2+1000%-200

=-50(尤-IO)?+4800,

V-50<0,且(x為正整數)，

.?.當x=10時，%+%有最大值，最大值為4800,

.??第10天兩處櫻桃園的利潤之和(即％+%)最大，最大是4800元;

(4)解:當%>/時，則一30尤2+500x+25>-20x2+500x-225，

/.10x2<250,

/.x2<25,

1<x<5,

???x的正整數解有4個，

???這15天中，共有4天6櫻桃園的利潤力比A櫻桃園的利潤%大.

3.(2024?煙臺)每年5月的第三個星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”，康

寧公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅計劃在該月銷售，根據市場調查，每輛輪椅盈利200元時，每天可售出60

輛；單價每降低10元，每天可多售出4輛.公司決定在成本不變的情況下降價銷售，但每輛輪椅的利潤不

低于180元，設每輛輪椅降價x元，每天的銷售利潤為y元.

(1)求y與x的函數關系式；每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？

(2)全國助殘日當天，公司共獲得銷售利潤12160元，請問這天售出了多少輛輪椅？

2

【答案】(1)>=-弓/+20彳+12()00,每輛輪椅降價20元時，每天的利潤最大，為12240元

(2)這天售出了64輛輪椅

【分析】本題考查二次函數的實際應用，正確的列出函數關系式，是解題的關鍵：

(1)根據總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出二次函數關系式，再根據二次函數的性質求最值即可；

(2)令y=12160,得到關于x的一元二次方程，進行求解即可.

【詳解】(1)解：由題意，得：y=(200-x)^60+^x4^=-|x2+20x+12000；

???每輛輪椅的利潤不低于180元，

200-尤2180,

x<20,

:y=—^尤2+20%+12000=--(x-25)2+12250,

.?.當x<25時，y隨X的增大而增大，

29

.?.當x=20時，每天的禾I」?jié)欁畲螅?gt;9--X(20-25)+12250=12240元；

答：每輛輪椅降價20元時，每天的利潤最大，為12240元；

2

(2)當y=12160時，-1尤2+20%+12000=12160,

解得：石=10,X2=40(不合題意，舍去)；

A60+—x4=64(輛)；

10

答：這天售出了64輛輪椅.

A考向三二次函數的實際應用——面積問題

1.(2024?泰安)如圖，小明的父親想用長為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個矩形的菜園，已知

房屋外墻長40米，則可圍成的菜園的最大面積是平方米.

〃/件—〃件7墻

【答案】450

【分析】本題主要考查了二次函數的應用，熟練掌握并能靈活運用二次函數的性質是解題的關鍵.

設垂直于墻的邊長為x米，則平行于墻的邊長為（60-2x）米，又墻長為40米，從而可得。<60-2x440,

故10Vx<30,又菜園的面積=%（60-2彳）=-2彳2+60》=-2（尤-15）2+450,進而結合二次函數的性質即可解

答.

【詳解】解：由題意，設垂直于墻的邊長為x米，則平行于墻的邊長為（60-2%）米，

又墻長為40米，

0<60—2x<40.

A10<x<30.

菜園的面積=X（60-2x）=-2x2+60x=-2（無一15）2+450,

.?.當x=15時，可圍成的菜園的最大面積是450,即垂直于墻的邊長為15米時，可圍成的菜園的最大面積是

450平方米.

故答案為:450.

1.（2024?濰坊）【問題提出】

在綠化公園時，需要安裝一定數量的自動噴灑裝置，定時噴水養(yǎng)護，某公司準備在一塊邊長為18m的正方

形草坪（如圖1）中安裝自動噴灑裝置，為了既節(jié)約安裝成本，又盡可能提高噴灑覆蓋率，需要設計合適的

安裝方案.

說明：一個自動噴灑裝置的噴灑范圍是半徑為r（m）的圓面.噴灑覆蓋率s為待噴灑區(qū)域面積，k為

S

待噴灑區(qū)域中的實際噴灑面積.

【數學建?！?/p>

這個問題可以轉化為用圓面覆蓋正方形面積的數學問題.

【探索發(fā)現】

(1)如圖2,在該草坪中心位置設計安裝1個噴灑半徑為9m的自動噴灑裝置，該方案的噴灑覆蓋率夕=

?9

(2)如圖3,在該草坪內設計安裝4個噴灑半徑均為5m的自動噴灑裝置；如圖4,設計安裝9個噴灑半徑

9

均為3m的自動噴灑裝置;,以此類推，如圖5,設計安裝“2個噴灑半徑均為'm的自動噴灑裝置.與

n

(1)中的方案相比，采用這種增加裝置個數且減小噴灑半徑的方案，能否提高噴灑覆蓋率？請判斷并給出

理由.

(3)如圖6所示，該公司設計了用4個相同的自動噴灑裝置噴灑的方案，且使得該草坪的噴灑覆蓋率2=1.已

知正方形ABCD各邊上依次取點F,G,H,E,使得AE=BF=CG=DH,設AE=x(m),O,的面積為y(n?),

廠的值.

【問題解決】

(4)該公司現有噴灑半徑為3點m的自動噴灑裝置若干個，至少安裝幾個這樣的噴灑裝置可使該草坪的噴

灑覆蓋率。=1?(直接寫出結果即可)

【答案】(1)￡;(2)不能，理由見解析；(3)(尤-9y+亭；當y取得最小值時廠=述；(4)

4222

9

【分析】(1)根據定義，分別計算圓的面積與正方形的面積，即可求解；

(2)根據(1)的方法求得噴灑覆蓋率即可求解；

(3)根據勾股定理求得X"的關系，進而根據圓的面積公式得出函數關系式，根據二次函數的性質，即可

求解；

(4)根據(3)的結論可得當圓為正方形的外接圓時，面積最小，則求得半徑為3在m的圓的內接正方形的

邊長為6,進而將草坪分為9個正方形，即可求解.

【詳解】(1)當噴灑半徑為9m時，噴灑的圓面積§=1*9?=81萬n?.

正方形草坪的面積s=a2=182=324m2.

故噴灑覆蓋率0=：=篝=?.

⑵對于任意的"，噴灑面積幻="2萬(2)2=81701?,而草坪面積始終為324mz.

TT

因此，無論〃取何值，噴灑覆蓋率始終為r

這說明增加裝置個數同時減小噴灑半徑，對提高噴灑覆蓋率不起作用.

(3)如圖所示，連接所,

sb其機為草坪面積，上為噴灑面積?

/.03《°4都經過正方形的中心點。,

在RtAE尸中，EF=2r,AE=x,

,:AE=BF=CG=DH

：.AF=18-xf

在RtAEF中，AE2+AF2=EF2

.??4r2=x2+(18-x)2

.2尤2+(18-XT

??y=Tir=---------------7U

4

71/八、28171

=—(x-9)+——

2V)2

?,?當％=9時，y取得最小值，此時4戶=92+92

角牽得：r=

2

(4)由(3)可得，當「。1的面積最小時，此時圓為邊長為9m的正方形的外接圓，

則當〃=3缶1時，圓的內接正方形的邊長為正x2x3C=6m

2

1Q

而草坪的邊長為18m,多=3,即將草坪分為9個正方形，將半徑為3鬲的自動噴灑裝置放置于9個正方

形的中心，此時所用裝置個數最少，

??.至少安裝9個這樣的噴灑裝置可使該草坪的噴灑覆蓋率0=1

【點睛】本題考查了正方形與圓綜合問題，二次函數的應用；本題要求我們先理解和計算噴灑覆蓋率，然

后通過調整噴灑裝置的數量和噴灑半徑來分析噴灑覆蓋率的變化，最后在一個特定的條件下找出噴灑面積

和噴灑半徑之間的函數關系.解決此類問題的關鍵在于將實際問題轉化為數學問題，即如何將噴灑覆蓋率

的計算問題轉化為面積計算和函數求解問題.同時，在解決具體問題時，需要靈活運用已知的數學知識，

如圓的面積公式，正方形面積公式，以及函數解析式求解等.最后，還需要注意將數學計算結果還原為實

際問題的解決方案.

新題特訓/

一、單選題

1.(23-24九年級上?山東濱州?階段練習)已知某拋物線形拱橋下的拱頂離水面2m時，水面寬4m,那

么下列說法中正確的是()

A.若以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標系，則這條拋物線的解析式是

y=--X2

3

B.若以水面所在直線為x軸，以水面的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，則過條批物線的解析式是

y=--X2+2

-3

C.水面上升1m后，水面寬為20m

D.水面下降2m后，水面寬為4/11

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數的應用，用等定系數法求出函數的解析式，然后分析即可求解解題的關鍵是

將實際問題轉化為二次函數的問題求解.

【詳解】解：如圖，建立直角坐標系，

設拱橋的拋物線解析式為y=加(aw0),

:拱頂離水面2m時，水面寬4m,

圖中點坐標為(-2,2),代入得：

4a=—2,

解得a=j

.?.拋物線的解析式為'=故選項不符合題意；

B、：以水面所在直線為x軸，以水面的垂直平分線為,軸建立直角坐標系，水面寬4m,

拋物線過點(一2,0),代入y=—/+2中，

-1(-2)-+2^0,故選項不符合題意；

C、水面上升1m后，即當y=—1時，一1,

解得王=^2,x,=—^2,

,水面寬為百-％=2血，故選項符合題意；

D、水面下降2m后，即當y=T時，-3廠=-4,

解得西=2-\/2,x2——2-^2,

.?.水面寬為%=4形，故選項不符合題意；

故選：C.

二、多選題

2.(2024?山東濰坊?一模)如圖，圓柱體的母線長為2,8c是上底的直徑.一只螞蟻從下底面的點/

處出發(fā)爬行到上底面的點C處.設沿圓柱體側面由A處爬行到C處的最短路徑長為4,沿母線A3與上底面

直徑BC形成的折線段爬行到。處的路徑的長為二當圓柱體底面半徑r變化時，為比較4與4的大小，記

則，是r的二次函數，下列說法正確的是()

A.該函數的圖象都在r軸上方B.該函數的圖象的對稱軸為r=一工

n-4

Q

C.當T=F—7時，4=/2D.當r之2時，4>/2

71-4-

【答案】BCD

【分析】此題考查了二次函數的應用，二次函數的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是求出解析式.

根據勾股定理表示出『和片，進而表示出“=（無2-4?2一8人然后利用二次函數的性質求解即可.

【詳解】如圖所示，將圓柱展開

/.AB=2,BC=itr

2222222222

：.=AC=AB+BC=2+（7ir）=7rr+4,l2=（2+2r）=4r+8r+4

:.d=l；-l；=兀2產+4—（4產+8r+4）=（兀2—4）/一8r

,/兀2一4>0

二次函數開口向上，

令d=0,BP（7i2-4）r2-8r=0

山無。-4）r-8]=0

r-Q,或（兀2-4）r-8=0

Q

解得〕。，rx=^~

71-4

.??二次函數與X軸的交點坐標為（0,0）,

，該函數的圖象不都在r軸上方，故A錯誤；

Q

當r=-時，d=/；-/；=0,

71—4

:Ji=k，故C正確;

*.*d=（兀之一勺/一8r

—84

該函數的圖象的對稱軸為r=一42q<2，故B正確;

，（兀一4）71—4

?.?二次函數開口向上，

.?.當rN2時，d>0

>0

；」；>片

：.li>l2,故D正確.

故選:BCD.

三、填空題

3.（24-25九年級上?山東濱州?期中）小剛在操場上擲鉛球，已知鉛球出手時的高度為gm,當球出手

后水平距離為4m時到達最大高度3m,則這次小剛能擲m.

4m

【答案】10

【分析】本題主要考查了二次函數的應用等知識點，通過建立坐標系，確定點46的坐標，由點46的

10

坐標求出函數表達式丫=-白@-4）2+3,令y=0,即可求解，熟練掌握其性質，建立合適坐標系是解決此

題的關鍵.

【詳解】建立如圖所示的直角坐標系,

二點48的坐標分別為（0，；）、（4,3）,

...設函數的表達式為：y=。（％-4）一+3=加-8ax+16c/+3,

將［0，|）代入解析中得，16a+3=g,

1

解得:

12,

1

則函數的表達式為：y=-—(x-4)9-+3,

當y=。時，x=-2(舍去)或x=10,

該男生將鉛球推出的距離為10米，

故答案為：10.

4.(21-22九年級上?山東濟寧?期中)某工廠實行技術改造，產量年均增長率為x,已知2020年產量為

1萬件，那么2022年的產量y(萬件)與x間的關系式為.

【答案】y=(l+無產

【分析】因為產量的平均增長率相同，所以2021的產量為卜(1+無)，2022年的產量為lx(l+x)x(l+x),由此

即可知道2022年的產量y(萬件)與x間的關系式.

【詳解】解：V2020年產量為1萬件，且產量年均增長率為x.

A2021年產量為lx(l+x)；2022年的產量為lx(l+x)x(l+x)=(l+x)2.

；.2022年的產量y(萬件)與x間的關系式為y=(l+尤了.

故答案為：y=(l+xy

【點睛】本題考查二次函數的實際問題，能夠根據題意分步列出相關的代數式是解題的關鍵.

四、解答題

5.(2024?山東青島?二模)某公司計劃用一種長為100cm,寬為60cm的長方形鐵片制作無蓋盒子.如

圖，在鐵片的四個角各截去一個邊長相同的小正方形，剩下的材料制作一個無蓋盒子.

制作的無蓋盒子的側面積為yen?,寫出,與x之間的關系式，并描述

盒子的側面積隨小正方形邊長的變化而變化的情況；

(2)已知該種長方形鐵片的成本為每塊40元，當制成的無蓋盒子的銷售單價為70元時，每天可以售出140

個，經調查發(fā)現，這種盒子的銷售單價每降低1元，其銷售量相應增加10個.不考慮其他因素，公司將銷

售單價〃(元)定為多少時，每天銷售無蓋盒子所獲利潤w(元)最大？最大利潤是多少？

【答案】(1)y=-8f+320尤；當x=20時，盒子的側面積最大；當20<x<30時，盒子的側面積隨小正方

形邊長的增大而減小

(2)當〃=62時，每天銷售無蓋盒子所獲利潤最大，最大利潤是4840元

【分析】本題考查的是二次函數的實際應用，建立準確的二次函數關系式是解本題的關鍵.

(1)設截去的小正方形的邊長為xcm,制作的無蓋盒子的側面積為yen?,再利用側面積的計算公式列函數

關系式；再利用二次函數的性質解答即可；

(2)由總利潤等于每個利潤乘以銷售數量建立二次函數關系式，再利用二次函數的性質解答即可.

【詳解】(1)解：設截去的小正方形的邊長為xcm,制作的無蓋盒子的側面積為yen?,

y=2x(60-2%)+2x(100-2%)

=-8x2+320x

由題意得60—2%>0,KPx<30,

.\0<x<30,

a=—8<0,

拋物線開口向下，

320”

.■對稱軸為直線x=一=20，

.??當0<x<20時，盒子的側面積隨小正方形邊長的增大而增大，

當x=20時，盒子的側面積最大，

當20<x<30時，盒子的側面積隨小正方形邊長的增大而減??；

(2)解：w=(n-40)(140+7CX)-10n)

=-10(〃-62)2+4840

4=—10<0f

拋物線開口向下，

.對稱軸為直線〃=62,

.,?當”=62時，每天銷售無蓋盒子所獲利潤最大，最大利潤是4840元.

6.(2024?山東青島?一模)在綜合實踐課上，數學興趣小組用所學的數學知識來解決實際問題，實踐報

告如下：

活動課

設計圍籬笆的方案

題

活動工

直角三角板、量角器、皮尺、籬笆等

具

【了解場地】如圖，測出墻與墻46的夾角是135°；

活動過

【設計圖紙】用籬笆圍成一個梯形的菜園，梯形滿足ZC=90%且比'邊上留一個1

程

米寬的門跖

【答案】當CD=7米，=米時，圍籬笆才能使其所圍梯形的面積最大，最大面積是寧平方米

【分析】本題考查二次函數的應用.過點A作連接瓦，四邊形為矩形，設=則

CD=AM=x,進而表示出CM,BC,SSJgABCD=^（AD+BC）CD,利用二次函數的性質即可作答.

四邊形ADfiM為矩形，

:.CD^AM,

設則CD=4W=x,

在RtABA/中，ZBAM=45°,

/.AM=BM=x,

BE+FC+CD=15fEF=1,

:.CM=16-2x,BC=16-X,

ii3

S梯形ABCZ>=5（血+5。）。。=2'。6—2*+16—%）%=一萬工2+16%,

--<0,

2

當％=W時，S梯形Ms最大=，

.?.當CD=?1A米，BC=^QO米時，圍籬笆才能使其所圍梯形的面積最大，最大面積是1詈72平方米.

7.（24-25九年級上?山東濟寧?階段練習）如圖所示，有一城門洞呈拋物線形，拱高為3m（最高點到地

7

面的距離），把它放在直角坐標系中，其解析式為

⑴求城門洞最寬處A5的長（保留根號）；

（2）現在有一高2.2m,寬L8m的小型運貨車，問它能否完全通過此城門？請說明理由.

【答案】（1）3V2m

⑵能通過，理由見解析

【分析】本題考查了二次函數的應用，截圖的關鍵是：

（1）令尸-3,求出46的坐標，即可求解；

（2）把x=0.9代入函數解析，求出y,然后用3m減去所求y的絕對值，所得的差與貨車高度比較即可得出

答案.

【詳解】⑴解：把產-3代入y=得_3=_#,

解得王X2=--1A/2,

AB=3近,

即城門洞最寬處AB的長為3啦m;

（2）解：能通過，

12

理由：當x=]X1.8=0.9時，y=--x0.92=-0.54,

3-|-0.54|=2.46>2,2,

能通過.

8.（24-25九年級上?山東濟寧?階段練習）第31屆世界大學生夏季運動會于2023年7月28日至8月8

日在成都舉行，大熊貓是成都最具特色的對外傳播標識物，此次成都大運會吉祥物“蓉寶”便是以熊貓基

地真實的大熊貓“芝麻”為原型創(chuàng)作的.某商店銷售“蓉寶”毛絨玩具，進價為25元.經市場調查發(fā)現,

銷售這種毛絨玩具，每天的銷售量y（件）是每件的售價為（元）（3OMXW45且X為正整數）的一次函數，

其部分對應數據如表所示：

每件的售價X（元）???363738???

每天的銷量y(件)???787674???

⑴直接寫出y與x之間的函數關系式；

(2)求出每天銷售的總利潤w(元)與X之間的函數關系式；

(3)請你分析該商店銷售這種毛絨玩具，能否實現投入總成本最少且獲利最大.

【答案】⑴y=-2x+150；

(2)w=-2f+200x-3750;

⑶能實現.

【分析】本題考查了二次函數的應用，求一次函數的解析式，二次函數的圖象性質，正確掌握相關性質內

容是解題的關鍵.

(1)運用待定系數法進行求一次函數的解析式，即可作答.

(2)根據總利潤等于單價利潤乘上銷售量進行列式，即可作答.

(3)先化為頂點式，再結合二次函數的圖象性質進行作答.

【詳解】(1)解：設y與X之間的函數關系式為y=h+6,

、(、/、,f36左+人=78

把(36,78)和(37,76)代入y=履r+6得37左+6=76，

fk=-2

解得匕15n，

=150

y與x之間的函數關系式為y=-2x+150；

(2)解：根據題意得w=(x-25)y=(x-25)(-2x+150),

即每天銷售的總利潤卬(元)與x之間的函數關系式為川=一2尤2+200尤-3750;

(3)解：由(2)知w=—2尤2+200尤一3750=—2(尤一50)2+1250,

-2<0,

開口向下，在尤=50時，則w有最大值，

30Mx=45,

.?.當x=45時，該商店銷售這種毛絨玩具獲利最大為1200元，此時銷售量y最小，即投入總成本最少.

答：能實現投入總成本最少且獲利最大.

9.(2024?山東青島?一模)某工廠生產某種玩具的成本價為20元/件，工廠決定采取電商銷售和門店銷

售兩種方式同時銷售該玩具.電商銷售：售價為30元/件；門店銷售：第一天售價為50元/件，此后售價每

天比前一天每件降低0.5元，該方式每天還需支付租金、人工等固定費用455元.已知兩種銷售方式第x天

的銷售數量m(件)均滿足機=x+20(0<x<45).

(1)直接寫出門店銷售方式每天的售價,(元/件)與x的函數關系式；

(2)該玩具銷售過程中，在第幾天獲得的利潤總和卬(元)最大？利潤總和最大是多少？

(3)該玩具銷售過程中，哪些天門店銷售的利潤不低于電商銷售的利潤？

【答案】(1)>=-0.5尤+5。.5；

(2)第30天或第31天獲得的利潤總和最大，最大為820元；

⑶第6,7,8,9,10,11,12,13,14,15天門店銷售的利潤不低于電商銷售的利潤

【分析】(1)根據題意即可求解；

(2)根據題意，求出W與x之間的函數關系式，再根據二次函數的性質即可求解；

(3)根據題意，列出不等式，結合函數圖象解不等式即可求解；

本題考查了二次函數的應用，根據題意，正確得到二次函數的解析式是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：由題意可得，y=50-0.5(x-l)=-0.5^+50.5；

(2)解：由題意可得，

W=(30-20)"?+(-0.5x+50.5—20)機—455

=(30-20)x(^+20)+(-0.5x+50.5-20)x(x+20)-455,

=10x(x+20)+(-0.5x+30.5)x(x+20)-455,

=-0.5x2+30.5%+355,

30.5“=

V-0.5<0,二次函數的對稱軸為直線西=365，

又為整數，

當久=30或31時，W取得最大值，

%=-0.5x3()2+30.5x30+355=820元，

答：第30天或第31天獲得的利潤總和最大，最大為820元；

(3)解：由題意可得，(一0.5x+50.5—20)x(x+20)—4552(30—20)x(x+20),

整理得，X2-21X+90>0,

解得64元W15,

/.第6,7,8,9,10,11,12,13,14,15天門店銷售的利潤不低于電商銷售的利潤.

10.(2024?山東濰坊?一模)某無人機租賃方案有50架某種型號的無人機對外出租，該方案有兩種租賃

方案：

方案A：如果每架無人機月租費300元，那么50架無人機可全部租出.如果每架無人機的月租費每增加5

元，那么將少租出1架無人機.另外，方案為每架租出的無人機支付月維護費20元.

方案B：每架無人機月租費350元，無論是否租出，方案均需一次性支付月維護費共計185元.

說明：月利潤=月租費-月維護費.

設租出無人機的數量為x架，根據上述信息，解決下列問題：

(1)當x=10時，按方案A租賃所得的月利潤是元，按方案B租賃所得的月利潤是元；

(2)如果按兩種方案租賃所得的月利潤相等，那么租出的無人機數量是多少？

（3）設按方案A租賃所得的月利潤為力，按方案B租賃所得的月利潤為力,記函數w=以-&（。<50）,

求也的最大值.

【答案】（1）4800,3315

（2）如果按兩種方案租賃所得的月利潤相等，那么租出的無人機數量是37架；

（3）w的最大值為1805元.

【分析】本題考查了二次函數的實際應用.

（1）用甲方案未租出的無人機數量算出每輛車的租金，再乘以10,減去維護費用可得甲方案的月利潤；乙

方案租出的無人機租金乘以10,減去維護費用可得乙方案的月利潤；

（2）先求出兩個方案月利潤函數關系式，再求昨=為時，x的值即可；

（3）根據題意得到函數叩=以一%，利用二次函數的性質求解即可.

【詳解】（1）解：[（50-10）x5+300]xl0-20xl0=4800ic,

當每個方案租出的無人機為10輛時，甲方案的月利潤是48000元；

乙方案的月利潤為350x10-185=3315元，

故答案為：4800,3315；

（2）解：設甲方案的月利潤為踴，乙方案的利潤為功,貝心

y甲=[（50-尤）x5+300]x-20x=-5無？+530x,

乙方案的利潤為%=350x785,

當廨=為時，

-5爐+530%=350185,

解得x=37或尸-1（不合題意，舍去），

答：如果按兩種方案租賃所得的月利潤相等，那么租出的無人機數量是37架；

（3）解：由題意得卬=以-%（。<苫450）

=-5X2+530^-350X+185

=-5（X-18）2+1805,

V-5<0,

.?.函數有最大值，

又0<x<50,

.?.當x=18時，w有最大值，為1805元.

11.（2024?山東青島?一模）新華社天津3月29日電（記者周潤健、張澤偉）29日，2024年全國室內

田徑錦標賽在天津開賽，女子鉛球決賽中，河北隊選手鞏立姣投出19米35輕松奪冠.鉛球從出手到落地

的過程中，其運動軌跡（不考慮其他因素）可以近似的看成是拋物線的一部分.某運動員在訓練時，鉛球

在空中的豎直高度y（米）與水平距離為（米）之間的部分對應數值如下表所示：

(1)出手時鉛球的豎直高度是米，鉛球在空中的最大高度是米；

(2)按如圖所示的直角坐標系，求表示該拋物線的函數表達式；

(3)該運動員在比賽時，投出的鉛球在空中的豎直高度y(米)與水平距離x(米)之間的函數關系式為

y=-^-x2+4^+4,請判斷該運動員在比賽和訓練時，哪次投出的鉛球更遠一些，并說明理由.

5044

【答案】(1)(9,y12

(3)訓練時投出的鉛球更遠一些，理由見解析.

【分析】本題考查二次函數的應用一投球問題、求函數解析式、從圖表獲取信息等知識點，讀懂題意、列

出函數關系式是解題的關鍵.

(1)直接根據表格數據以及二次函數圖像的性質解答即可；

(2)用待定系數法即可求出函數關系式；

(3)分別求出訓練和比賽鉛球落地時x的值，然后進行比較即可.

【詳解】(1)解：根據表格中數據可知，出手時鉛球的豎直高度是:米，

拋物線對稱軸為直線尤=掾=6,

頂點坐標為

???鉛球在空中的最大高度是1手2米.

912

故答案為：y.

io

(2)解：設拋物線解析式為y=”(尤-6)92+1,

(9、1291

把。丁代入解析式得：36Q+?=9解得：a=-3.

<5J5560

19io

???拋物線的函數表達式為丁=-刀(％-6)+—.

605

(3)解：訓練時投出的鉛球更遠一些，理由如下：

對于，=-如-66*

1910

令尸0,則。=(x-6)-+w，解得：x=18或x=-6(舍去)；

117

令y=0,則0=-二X2:，解得：x=17.5或x=-5(舍去)，

5044

V18>17.5,

...訓練時投出的鉛球更遠一些.

12.(2024?山東棗莊?模擬預測)【項目式學習】

【項目主題】自動旋轉式灑水噴頭灌溉蔬菜

【項目背景】尋找生活中的數學，九(1)班分四個小組，開展數學項目式實踐活動，獲取所有數據共享,

對蔬菜噴水管建立數學模型，菜地裝有1個自動旋轉式灑水噴頭，灌溉蔬菜，如圖1所示，觀察噴頭可順、

逆時針往返噴灑.

【項目素材】

素材一：甲小組在圖2中建立合適的直角坐標系，噴水口中心。有一噴水管從A點向外噴水，噴出的

水柱最外層的形狀為拋物線.以水平方向為x軸，點。為原點建立平面直角坐標系，點噴水口)在y軸

上，x軸上的點。為水柱的最外落水點.

素材二：乙小組測得種植農民的身高為L75米，他常常往返于菜地之間.

素材三：丙小組了解到需要給蔬菜大鵬里拉一層塑料薄膜用來保溫保濕，以便蔬菜更好地生長.

圖1圖2圖3

【項目任務】

2

(1)任務一：丁小組測量得噴頭的高=§米，噴水口中心點。到水柱的最外落水點，水平距離為8米，其

中噴出的水正好經過一個直立木桿口的頂部尸處，木桿高屏"=3米，距離噴水口OE=4米，求出水柱所在

拋物線的函數解析式.

(2)任務二：乙小組發(fā)現這位農民在與噴水口水平距離是0米時，不會被水淋到，求。的取值范圍.

(3)任務三：丙小組測量發(fā)現薄膜所在平面和地面的夾角是45。，截面如圖3,求薄膜與地面接觸點與噴水口

的水平距離是多少米時，噴出的水與薄膜的距離至少是10厘米？(直接寫出答案，精確到0.1米).

15?

【答案】⑴丁=—二%2+:%+彳

643

13

(2)夕的取值范圍為

(3)薄膜與地面接觸點與噴水口的水平距離是8.4米時，噴出的水與薄膜的距離至少是10厘米

【分析】⑴根據題意得到《0，2，D(8,0),E(4,o),F(4,3),設拋弧線的解析式為：y=ax2+bx+^,

利用待定系數法求解，即可得到拋物線的解析式；

(2)根據這位農民在與噴水口水平距離是0米時，不會被水淋到，結合農民最高點坐標為(p,1.75),以及

二次函數性質求解，即可解題；

(3)根據薄膜所在平面和地面的夾角是45。，設薄膜所在平面的直線解析式為丁=-％+機，當拋物線與薄膜

所在平面相切時(即只有一個交點)，有T+=即加一4碇=0,求出機的值，得到薄膜

643

所在平面的直線解析式，根據噴出的水與薄膜的距離至少是10厘米，推出薄膜所在的直線應向右平移0.1米,

利用平移的規(guī)律得到平移后的解析式，即可解題.

【詳解】(1)解：由題可知：d°，|］，D(8，。)，E(4,0),*4,3),

27

設拋物線的解析式為：y=aX+bx+j,

將“4,3),。(8,0)代入〉=港+6尤+；得：

16。+4)+工=3

*3

2，

64a+8b+—=0

I3

1

a=—

解得：J,

b=-

[4

is?

???拋物線的解析式為：y=；

643

(2)解：由題可知：農民常常往返于菜地之間，則此時農民最高點坐標為(p,L75),

15?159

將其代入y=一乙/+二兀+彳得：1.75=——p2+—p+—,

643643

整理得(2p—13)(p—1)=0,

解得：Pl=5,p2=l,要農民不會被水淋到,

13

則1<”了,

、，，，13

綜上：夕的取值范圍為1<p<5；

（3）解：由題知，薄膜所在平面和地面的夾角是45。，設薄膜所在平面的直線解析式為y=