唐山市2025年普通高等學校招生統(tǒng)一考試第一次模擬演統(tǒng)

數(shù)學

本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試時長120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，使用0.5毫米黑色字跡

簽字筆，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.己知aeR,若(。―2)+(aT)i(i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念列方程求解可得.

因為(a—2)+(a—l)i(i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，

a—2=0

所以《，c，解得a=2.

。一1/0

故選：D

2.已知命題?：VxeR,/>0；命題q：mx>0/nx<0.則()

A.p和q都是真命題

B.p是假命題，q是真命題

c.p是真命題，"是假命題

D.P和q都是假命題

【答案】B

【解析】

【分析】對于判斷全稱命題為假只需要舉反例；對于判斷特稱命題為真只需要舉例說明.

對于命題p:X/xeR,x?>0,因為當尤=0時，x2—0>故命題P是假命題；

對于命題4：m%>0/nx<0,當》=」時，ln-=-l<0,故命題4是真命題.

ee

故選：B.

3.若等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，=2"+>n(mGR),則加二()

A.-1B.OC.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】由已知條件得％=2"+根—(2"T+W)=2"T,由此即可求出

因為等比數(shù)列［an］的前n項和Sn=2"+/n(meR),

nn,n,

所以當〃之2時，an=2+m-(2-+m)=2~,

所以％=1=2+根，解得加=—1.

故選：A.

4.隨機變量乂~"(〃,")。>0.若P(X<〃+cr)=p,則P(〃一cr<X<〃+cr)=()

A.1~pB.2—2p

1cI

C.p--D.2p-l

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性求解.

因為X?N(4,b2),cr>0且P(X<〃+cr)=p,

所以尸(X2〃+cr)=l-p,

根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可得P(X<〃—b)=P(X之〃+。)=1—°,

所以p(〃_b<x<〃+b)=l_p(xw〃一b)_p(x?〃+b)=1-2(1-p)=2p-l

故選：D

5.已知〃%)=小，則下列說法正確的是()

A./(5)>/(-3)>/(2)B./(-3)>/⑵>〃5)

C.〃5)>〃2)>/(-3)D.〃2)>〃5)>/(-3)

【答案】A

【解析】

【分析】判斷函數(shù)/(%)=陰的奇偶性與單調性，再利用函數(shù)性質比較/(5)、/(—3)、/(2)的大小.

己知了(尤)="%其定義域為R,關于原點對稱.

S/(-x)=eH=eW=/(%),所以函數(shù)/(x)是偶函數(shù).

那么/(—3)=/(3).

當無20時，f(x)=ex.

因為e〉l,所以/(x)=e、在［0,+8)上單調遞增.

因為5>3>2,且/(x)在［0,+8)上單調遞增，所以/(5)>/(3)>了(2).

又因為/(-3)=/(3),所以/(5)>/(-3)>/(2).

故選：A.

6.已知圓O:x2+y2=5與拋物線C：y2=4x交于兩點，則|AB|=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】聯(lián)立兩曲線方程求出交點坐標即可得到結果.

—+y2=5

由〈,得，X2+4x-5=0>解得x=l或x=-5,

y=4x

:拋物線C:y2=4x中尤20,.,.九=1,

y=±2,BPA(l,2),B(l,-2),

A|AB|=4.

故選：C.

7.在三棱錐A—BCD中，AE=EB,AF=2FC,AG^3GD,設三棱錐A-￡FG的體積為匕，三棱錐

A—BCD的體積為匕，則K：%=()

【答案】B

【解析】

【分析】設G到平面ABC的距離為九，設。到平面ABC的距離為為,求得?=；，繼而求出

n24

根據(jù)棱錐的體積公式，即可求得答案.

設到平面的距離為%,設。到平面的距離為

GABCABCh2,

UUULUUULh、3

由于AG=3G“故區(qū)="

_,_,,_,12

又衣=/，正=2斤，則方=]AC,

q-AEAFsinZEAF1

故^AEF=[=7，

%ABCABACsinABACJ

2

1〔

vSAEFhlA1

,,V,3AA￡F^131

故一L=---------=一義一=一,

V,1,344

~3Sv^ABcb

故選：B

8.對于VXG[0,1]J(x)+/(l_x)=2,且=當0<%<々<1時，/(^)</(x2),

)

111

B.-c.—D.

81632

【答案】C

【解析】

【分析】采用賦值法，令x=J可得/1A；令1=0可得/（0）=0,進而

1,進而推出了

22592

推出/⑴=2,再結合函數(shù)的性質，可得/焉的值.

令V，則D2n

/(0)+/(1)=2/(o)=o

令X=0,

V(O)=2/(O)"1)=2'

610!

114?所以

因為。<—<----<----<1,所以/F-----</-----即

40502529----------l65J(4050)\252916405016

1

16

故選：C

【小結】抽象函數(shù)問題可以通過化抽象為具體的方法，即賦予恰當?shù)臄?shù)值或代數(shù)式，經過運算與推理，最

后得出結論.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/（x）=sin[x+W],則關于"％）的說法正確的是（）

7171

A.在區(qū)間「，二上單調遞增

OO

B.是/（%）的最大值

C.圖象關于點[1,（））對稱

D.把y=/(x)圖象向左平移三個單位長度得到g(x)=cosx的圖象

【答案】AD

【解析】

【分析】利用整體法可判斷A；利用代入法判斷BC；利用平移變換求得平移后的解析式判斷D.

兀兀IT7T

對于A,因為xe,所以OWx+—<一,

L66j63

所以函數(shù)/(%)區(qū)間-聿，巳上單調遞增，故A正確；

對于B,.f(5)=sin(5+e)=cosS=￥,所以不是/(%)的最大值,故B錯誤；

對于C,/^=sin^y+^=sin^=l,所以的圖象不關于點對稱，故C錯誤;

對于將圖象向左平移個單位長度得到/+]

D,y=/(x)g=COSX

圖象，

即g(x)=COSX,故D正確.

故選：AD.

10.已知雙曲線。：三―斗=1(?！?)>0)的左、右焦點分別為耳,心，過歹2的直線y=x—2與c的一

azD

條漸近線平行，且與C交于點尸，則()

A.C的離心率為&B.C的實軸長為4

C.的面積為1D.|P制+|P閭=30

【答案】ACD

【解析】

【分析】先根據(jù)直線與漸近線平行求出雙曲線的。，〃關系，進而求出離心率、實軸長等，再聯(lián)立直線與雙

曲線方程求出點尸坐標，從而計算*3的面積以及I尸eI+128I的值.

22

yb

雙曲線C:二=l(a>0I>0),其漸近線方程為y=±—%.

a萬a

b

已知過F2的直線y=x—2與C的一條漸近線平行，則一二1,即〃=乩

a

又&(c,0)直線y=x—2上，所以0=。—2,解得。=2.

由02=〃2+萬2,a=b,。=2可得2〃2=4，解得〃=b=也.

離心率e=5=*=&,實軸長2a=2直，選項A正確，選項B錯誤.

22

聯(lián)立直線y=x-2與雙曲線方程—-2_=1,將y=x-2代入雙曲線方程可得：

22

.r_(x-2r=b即4尤一4=2,解得x=3,則丁=—工，即。(3,_工).

222222

已知￡(—2,0),6(2,0),貝UI4心|=2c=4,點尸到x軸的距離即中耳工邊上的高力=(?

根據(jù)三角形面積公式，可得5旌尸=LX|KM|X/Z=』X4X』=1,選項C正確.

2,422

根據(jù)兩點間距離公式，可得：

IPg1=?2)2+(-.0)2==V，

中』＞為+得一0)2=后+(一孑=乎.

所以|「耳|+|尸與|=a，+孝=3應，選項D正確.

故選：ACD.

11.已知函數(shù)/(X)=%3—mx—n(m,neR),則下列說法正確的是()

A.當機W0時，/(%)在R上單調遞增

B.函數(shù)y=/(￡)的對稱中心為(0,-〃)

c.3meR,使得y=±x—〃與曲線y=/(x)的公共點中存在四點能連接成正方形

D.Vm>0,總存在兩條斜率互為相反數(shù)的相交直線與曲線y=/(x)都相切

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)導數(shù)的正負判斷A；根據(jù)函數(shù)的對稱性判斷B；根據(jù)函數(shù)的性質判斷C；根據(jù)導數(shù)的幾何意義

判斷D.

因為/(%)=X3—”小一〃，所以r(為)=3,一加,

當機<0時，/'(力》0在R上恒成立，即/(力在R上單調遞增，故A正確；

因為/(%)+/(-%)=%3—mx—n+^—x^+mx-n=-2rl,

所以丁=/(尤)的對稱中心為(°,一八),故B正確；

由B項可知，函數(shù)/(九)的對稱中心為(0,)s.y=+x-n也關于(0,-附)對稱,

假設y=士尤―〃與曲線y=/(x)的公共點中存在四點能連接成正方形，

即y=±x—〃與曲線y=/(x)有四個交點，即三-mx-n=±x-ny

即x3-mx=±x除去。以外還有四個解,即％2=加±1，所以加>1,

設丁=?！ê投?%+〃與曲線丁=/(力的交點分別為4c,B,D,

所以MC=W，即&2+F疝曰=/2+(—1)2山口,無解，假設不成立，故C錯誤；

設兩直線與曲線y=/(x)的切點分別為(玉,%),(尤2，%)，

則/'(%)+/'(9)=0，即3x：-加+3考一加=0,所以

Vzw>0,總存在國，叼，使得上式成立，

即Mm>0,總存在兩條斜率互為相反數(shù)的相交直線與曲線y=/(x)都相切，故D正確；

故選：ABD.

【小結】難點點睛：解答本題的難點是C的判斷，解答時要注意結合對稱性，采用假設得出矛盾的方法求

解.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在菱形ABCD中，ACBD^.

【答案】0

【解析】

【分析】根據(jù)菱形的性質易得.

因菱形ABCD的對角線互相垂直，即故衣.麗=0.

故答案為：0.

13.己知tan/=1+,a11。,則tan（77—。）=.

l-tana

【答案】1

【解析】

【分析】由條件可得tan/-tana=l—tanatan〃，結合兩角差正切公式求結論.

由tan/?=1+tana可得tan分（i-tana,ui+tana,

1-tancif

所以tan尸一tan畿=1+tancrtan尸,

所以tan（夕—~J-------=1.

1+tanptana

故答案為：1.

14.已知費馬數(shù)是形如尸（"）=2,+1（“eN）的素數(shù)，如第一個費馬數(shù)為/（0）=3,則/（2）=

；正多邊形的邊數(shù)若能寫成2*與機個不同的費馬數(shù)的乘積々eN,meN）,則正多邊形就可

以用尺規(guī)作圖.將這種正多邊形的邊數(shù)按從小到大排列，記為數(shù)列{a“},注：若根=0,邊數(shù)可以取

2?=4等；若m=1，邊數(shù)可以取2°義3=3等，貝U%=.

【答案】?.1716

【解析】

【分析】（1）將〃=2代入/5）=22"+l（〃wN）即可求得結果.

（2）利用列舉法算出前10項即可求得結果.

由尸⑺=2,+1（〃eN）知，將“=2代入得/（2）=2落+1=24+1=17,

1、當帆=1時，/（0）=3邊數(shù)可以是3,

2、當左=2時，2?=4邊數(shù)可以是4,

3、當m=1時，E（l）=5邊數(shù)可以是5,

4、當帆=1,左=1時，2ixE（0）=2x3=6邊數(shù)可以是6,

5、當左=3時，23=8邊數(shù)可以是8,

6、當機=1,左=1時，21*/。）=2、5=10邊數(shù)可以是10,

7、當初=1,左=2時，22><P（0）=22*3=12邊數(shù)可以是12,

8、當2時，/（0）xE（l）=3x5=15邊數(shù)可以是15,

9、當左=4時，2,=16邊數(shù)可以是16,

10、當機=1時，尸（2）=2夢+1=17邊數(shù)可以是17,

故%=16,

故答案為：①17；②16

方法點睛：新定義數(shù)列求法：

（1）理解定義：仔細研讀新定義，明確新數(shù)列的特征、規(guī)律或運算規(guī)則等關鍵信息，

（2）列舉歸納：對于一些復雜的新定義數(shù)列，可先根據(jù)定義求出數(shù)列的前幾項，

通過觀察這些項的規(guī)律，推測出數(shù)列的通項公式或其他性質；

（3）轉化化歸

（4）利用數(shù)學方法.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.記VABC的內角的對邊分別為反c,已知asinB=c.

（1）若c=2,求VA3C的面積；

⑵若“2+〃一。2=后而，求B.

7TJT

【答案】（1）2（2）3=—或3=—

42

【解析】

【分析】（1）將已知條件代入S='acsinB即可；

2

（2）利用余弦定理求出C,然后利用正弦定理邊化角，結合和差公式、二倍角公式化簡可得.

【小問1詳解】

在VABC中，S=—acsinB.

2

因為asinB=c=2,

所以S=—acsinB=2.

2

【小問2詳解】

在VA3C中，由余弦定理可得cosC=/'二=正，

2ab2

JT

因為OVCVTT,所以C=—,

4

由正弦定理得sinAsinB=sinC.

.IJt)Ji

因為A+JB+C=TI,所以sin兀-----Bsinfi=sin—

I4J4

受

化簡得c°sB+叵sinBsinB=即sinBcosB+sin2B=lf

22

7

所以Lsin23+L—，cos23=l,整理得sin^ZB—二]=也

222I2

l,、，八371,?！猒715兀

因為0<3<一,所以——<28——<一，

4444

解得28—二=工，或23—二=或，所以3=百，或3=工.

444442

16.如圖，在三棱臺A3C—4與G中，441，底面43。，4仇=1,筋=4。=2,。為3。的中點,

AC1C]D.

（1）證明：AC±AB；

（2）若AA=后，求平面BCCdi與平面ADCi夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵-

5

【解析】

【分析】（1）利用棱臺的性質結合線面垂直的判定定理可得AC，平面A5男4，由此可證明結論.

（2）以A為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量計算可得結果.

【小問1詳解】

在三棱臺ABC-43]G中，,?,4Bi=LAB=AC=2,；.4￡=1,3。=2用￡.

1/。為3c的中點，，4G=BD,B\C\〃BD，

：.四邊形BDG4為平行四邊形，故用8//C.D.

VAC±C.D,AC±B}B,

：懼J_底面ABC,ACu底面ABC,9，AC.

?；平面AB4A，4a,3及為相交直線，AC_L平面AB旦A，

ABu平面ABB14,/.AC_1_AB.

以A為原點，以方，恁,ZX分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標系,

則4（0,0,0）,5（2,0,0）,。（0,2,0）,（1,0,V2）,Q（0,1,V2）,D（l,l,0）.

.?.覺=（-2,2,0）,甌=（-1,0,后），宿=（0,1,點）,蒞=（1,1,0）.

[~BC-m=0,—2x1+2y1-0,

即＜

設碗=(/，x，zj是平面BCG4的法向量,1BA-m=0,

_芯+,\/2z1-0,

令X=拒,則＞=行,2=1,故沅=（忘,行』）.

=

n=0,fx2+y20,

即1r

-n=0,+V2Z2=0,

令x=叵,則丁=-五,z=l,故為=（后，-e夜,1）.

/___\m-n1

,cos(m,n)=；-m=—

,,、/網同5?

平面BCQBi與平面ADq夾角的余弦值為1.

17.已知某類考試中，有一種題型為多項選擇題，每道題中有四個選項，其中有兩個或三個選項正確.每

道題所賦分值為6分，若有兩個正確選項，則這兩個選項中每個選項所賦分值為3分；若有三個正確選

項，則這三個選項中每個選項所賦分值為2分.另外，有錯誤選項得0分.已知每道題有兩個正確選項的

概率為加（7律＞0）.

（1）設每道題所得分數(shù)為X，寫出X的所有可能取值；

（2）對于一道多項選擇題，已知選項A正確，考生甲選擇了A,又在其余的三個選項中隨機選擇了一個

選項.請寫出考生甲此題得分y的分布列和數(shù)學期望.

【答案】（1）0,2,3,4,6

（2）分布列見解析；期望為|（4-機）

【解析】

【分析】（1）由條件結合隨機變量X的意義確定X的可能取值；

（2）由條件確定y的可能取值，再結合條件概率公式求y取各值的概率，由此可得分布列，再根據(jù)期望

公式求期望.

【小問1詳解】

X的所有可能取值為0,2,3,4,6.

【小問2詳解】

甲得分y的可能取值為0,4,6.

設事件Q：y=o；事件F：y=4；事件G：y=6.

設事件〃：此題有兩個正確選項，則后：此題有三個正確選項.

①當此題有兩個正確選項時，可能得o分，6分，

則H）=|,P（G|H）=|;

②當此題有三個正確選項時，可能得0分，4分，

則H）=-,P（F\H）=~.

綜上所述，

__9111

p（Y=0）=P（2）=P（H）P（2lH）+P（H）P（2lH）=-m+-（l-m）=-+-m.

P（y=4）=JP（F）=P（H）P（F|H）=|（l-m）=|-|m.

尸（y=6）=尸（G）=P（H）尸（G|

分布列表如下:

Y046

11221

P—+—m------m—m

33333

(11、(22、12

期望值石'(丫)=Oxlj+—ml+4xl———ml+6x—m=—(4-m).

18.若一個數(shù)列各項的倒數(shù)成等差數(shù)列，則這個數(shù)列稱為調和數(shù)列，如數(shù)列L^,2，就是一個調和數(shù)列.

23

(1)在集合｛L2,3,4,5,6｝中從小到大取三個數(shù)，使其構成調和數(shù)列(只需寫出一個數(shù)列即可)；

74cAr\

(2)若A,C,民￡＞四點共線，順次排列，且——=——，則稱此四點構成了一個調和點列.

CBDB

①求證：三個線段長度AC,構成一個調和數(shù)列;

②直線/過點P(TO)與橢圓r：?+q=i相交于監(jiān)N兩點，已知四點P,監(jiān)Q,N構成一個調和點

列，求點Q的軌跡長度.

【答案】⑴2,3,6(或3,4,6)

(2)①證明見解析；②3

【解析】

【分析】(1)結合新定義可得這三個數(shù)的倒數(shù)成等差數(shù)列，寫出滿足要求的答案即可;

ArAr\

(2)①由——=——結合AC,3,。四點共線及新定義求證即可；

CBDB

②設/:y=Zr(x+4),聯(lián)立直線與橢圓方程，結合韋達定理及新定義求解即可.

【小問1詳解】

由題意，這三個數(shù)的倒數(shù)成等差數(shù)列，就能構成調和數(shù)列,

則這三個數(shù)為2,3,6或3,4,6.

【小問2詳解】

C>ACADCBDBAB-ACAD—AB

①證明：由——=——，得——=——，即an一TL

CBDBACADA7C一-AD

ABABC112

則一+——=2,即一茄，,則BAB,AD構成一個調和數(shù)列.

ACAD

②設/:y=k(x+4),代入3%2+4y2—12=0,

得(3+4左2)%2+32左2%+64左2—12=0.

△=（32左2）2—4（3+4左2）（64左2—12）=1440—4左2）,

，1,1

由△＞（）何---＜左＜一.

22

設M（%，X）,N（X2，%），貝1U+X2=—^T，XX2=^^

DI/1?vDI'11^/

1+1_石+%2+8_Xj+x2+8

則％i+4x2+4（%1+4）（X2+4）匹入2+4（石+Z）+16

~64左2—12—128左2+16（3+4左2）―36-3.

設Q（x,y）,則|P2|=7（%+4）2+/=Jl+/（x+4）,

同理，|PM|=J1+左2（%+4）,|PN|=J1+白（9+4）?

112112

依題設‘得忸間+西—西’則.+4+々+4=二^，

33

則％+4=3,得X=-1,且——<y<一.

22

因此，點。的軌跡為一條線段(不含端點)，長度為3.

【小結】方法點睛：與新定義有關的問題的求解策略:

1.通過給出一個新定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設新問題的情景，要求在閱讀理解

的基礎上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實心信息的遷移，達到靈活解題的目的;

2.遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦

事”，逐條分析、運算、驗證，使得問題得以解決.

19.已知函數(shù)/（%）=依2-x+sinx.

(1)當a=l時，求“X)的極小值；

⑵當行0時，/(%)>0,求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)0(2)-,+<?

兀J

【解析】

【分析】(1)當0=1時，通過二次求導判斷了(九)的單調性，從而求得了