8.6.2

直線與平面垂直（1）第八章立體幾何初步

已知兩條異面直線

a，b，經過空間任一點O作直線

，把

a'與b'

所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.O異面直線所成角或

復習回顧

平移異面直線相交直線思考：在日常生活中，我們對直線與平面垂直有很多感性認識，比如旗桿與地面的位置關系，給我們以直線與平面垂直的形象.那什么叫做直線與平面垂直呢？那怎樣用數學語言刻畫直線與平面垂直呢？思考探究

如圖，在陽光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC.

隨著時間的變化，影子BC的位置在不斷地變化，旗桿所在直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直?BCA旗桿AB所在直線始終與影子BC所在直線垂直思考：對于地面上不過點B的任意一條直線

B'C'，旗桿AB會與之垂直嗎？結論:

旗桿AB所在直線與地面任意一條直線

都垂直.思考探究C'B'

一般地,如果直線

l

與平面

a

內的任意一條直線都垂直,我們就說直線

l

與平面α互相垂直,記作

l⊥α.

直線

l

叫做平面α的垂線，平面α叫做直線

l

的垂面.

直線與平面垂直時,它們唯一的公共點叫做垂足.垂線1、直線和平面垂直的定義垂足垂面圖形：符號：線面垂直線線垂直定義若直線與平面內的無數條直線垂直，則直線垂直于平面嗎？不一定BCBCl“任意”一詞不能修改為“無數”。思考探究直線和平面垂直的畫法αP

畫直線與水平平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直.l思考探究①“任意”表示所有.②直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況，

在垂直時，直線與平面的交點叫做垂足.③

等價于對任意的直線，都有利用定義，我們得到了判定線面垂直的最基本方法，同時也得到了線面垂直的最基本的性質.歸納總結

過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.2、點到平面的距離

在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

空間中，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

推廣α

POl..垂線段“點面距”PABCO.在棱錐的體積公式中，棱錐的高就是棱錐的頂點到底面的距離.

如圖，一塊三角形紙片ABC，過△ABC的頂點A翻折紙片.得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD、DC與桌面接觸).(1)

折痕AD與桌面垂直嗎?

探究思考探究

探究思考探究(2)

如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直?

AD所在直線與桌面所在平面α垂直(如下圖)的充要條件是折痕AD是BC邊上的高.

這時，由于翻折之后垂直關系不變，所以直線AD與平面α內的兩條相交直線BD、DC都垂直.

事實上，由基本事實的推論2，平面α可以看成是由兩條相交直線BD、DC所唯一確定的，所以當直線AD垂直于這兩條相交直線時，就能保證直線AD與α內所有直線都垂直.BDCAmnP思考探究定理

一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，

則該直線與此平面垂直．平面內相交垂直3.直線與平面垂直的判定定理圖形語言：

符號語言：

mnP線線垂直線面垂直判定兩條相交直線可以確定一個平面,兩條平行直線也可以確定一個平面,那么定理中的“兩條相交直線”可以改為“兩條平行直線”或是“無數條直線”呢?思考探究BCBCl不行例1

求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面,

那么另一條直線也垂直于這個平面.例題分析

歸納總結證明線線垂直常用方法

1.正方體ABCD-A'B'C'D'中，求證:AC⊥平面DBB'D'

.課堂練習變式：四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,求證：AC⊥平面SDB.

課堂練習2.如圖，在三棱錐S-ABC中，D是AC的中點，且SA＝SC，AB＝BC.求證：AC⊥SB；課堂練習

課堂練習

顯然，直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況.l

為斜線l

與

的交點A為斜足直線OA為在平面

上的射影直線l

與射影OA所成角∠PAO(角θ)為直線l

與平面

上所成角

如圖，一條直線l與一個平面

相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足.斜線線面所成角（非鈍角∠PAO）射影4、直線與平面所成角斜足直線與平面所成角θ取值范圍是：0°

≤

θ

≤

90°.一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角.一條直線在平面內，或與平面平行，它們所成的角是0°的角.4、直線與平面所成角例2

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1B和

平面A1DCB1所成的角.例題分析O

例2

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1B和

平面A1DCB1所成的角.例題分析O

1.如圖，在正方體ABCD′-A′B′C′D′中，

分別寫出下列直線與平面所成的角:①直線A′B與平面BCC′B′;②直線A′B與平面CC′D′D′;③直線AB與平面BCC′B′.

課堂練習直線與平面垂直定義線面角判定定理

課堂小結0°≤

θ

≤90°1.如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面

ABC，此圖形中有

個直角三角形．

[∵PA⊥平面ABC，

∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，

∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，

∴BC⊥平面PAC，

∴BC⊥PC.

綜上知：△ABC，△PAC，△PA