選填06數(shù)列

堡相架導航

數(shù)列

JJ

等差等比數(shù)列的性質

定義法求解數(shù)列

分段數(shù)列

求取值范圍和最值問題：

考點訓練數(shù)列的實際應用與數(shù)學文化

數(shù)列中的個數(shù)、項數(shù)問題

菲波那契數(shù)列I

數(shù)列新定義

數(shù)列與其他知識的疝：

模擬題訓練

真題訓練

V考點訓煉

【考點01等差等比數(shù)列的性質】

【例1】等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為s“，且4-%=9,$8-$5=66,則%=()

A.8B.9C.10D.11

【例2】已知S“為等比數(shù)列｛%｝的前幾項和，若S〃=3-九22〃-2,則%=()

A.72B.-72C.144D.-144

【變式1-1】已知等比數(shù)列｛%｝滿足：%>?!>/，且色衛(wèi)=；,則公比4=（）

a62

A.—B.2C.—1D.—2

2

【變式1-2】已知等差數(shù)列的｝的前“項和為%且兀=120,等比數(shù)列也,｝的首項為1,若貝1P°g，6

的值為（）

A.—B.—5C.—D.5

55

【變式1-3】已知等差數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑?“，且滿足S2,T=4/-2a“-l,q=1,則數(shù)列｛4｝的通項公

式為.

【考點02定義法求解數(shù)列】

【例3】已知數(shù)列｛%｝的前"項和為S"，滿足3a“=25“+1,則S$=（）

A.11B.31C.61D.121

【例4】已知數(shù)列｛%｝中，1=1,a“=%_i+3〃-2（“eN*,且心2）,則通項公式?！?（）

人3/—〃+2?3〃2—3〃+2

A.-------------B.---------------

22

C〃（3〃T）D（"T）（3"+2）

'-2-'2

【變式2-1］（多選）已知數(shù)列｛為｝的前幾項和為％若%=2,an+1-2an+a?an+1=Q,則（）

B.數(shù)列1-為等比數(shù)列

CC231

C.an+i<anD.幾丁”

12

【變式2-2】記久為數(shù)列｛%｝的前〃項積，已知％=3,—+-=1,則數(shù)列也｝的通項公式為

an4

【變式2-3】已知數(shù)列。“解前”項和為S"，若8s“+3向=9%+3,則S產(chǎn)

【考點03分段數(shù)列】

為奇數(shù)

溫2024，則下列結果為負數(shù)的是：（）?

【例5】已知數(shù)列｛%｝滿足:儲=為偶數(shù)'6=

A.。20?“21.。22'。23C.%D（。26'。27

,，當為為偶數(shù)時

［例6］已知數(shù)列｛4｝滿足為包，若％=1,4的所有可能取值構成集合M,則M中的

3a,+1,當為為奇數(shù)時

元素的個數(shù)是（）

A.7個B.6個C.5個D.4個

2n,幾為奇數(shù)

【變式3-1］已知數(shù)列｛〃〃｝滿足：冊=<a"，幾為偶數(shù)，設Sn=%+〃4+〃8+…+%，貝”2024=（）

、2

A.4048B.8096C.22024-2D.22025

【變式3-2］己知數(shù)列｛卬｝的首項為1,。用=「丁""為奇數(shù)，數(shù)列1_匕焉］的前〃項和小于實

+COSM7l,〃為偶數(shù)［an+lanJ

數(shù)則M的最小值為（）

【變式3-3】已知數(shù)列｛%｝的各項均為正整數(shù)，其前〃項和為S,.若見+|=<可’為是偶數(shù)且$3=29,則

3an+1,a”是奇數(shù)

【考點04求取值范圍和最值問題】

【例7】已知等比數(shù)列｛叫的前〃項和為S“，4=1,數(shù)列電-%+1｝為等比數(shù)列，若瑪V2024,則正整數(shù)

m的最大值為（）

A.9B.10C.11D.12

【例8】（多選）若等差數(shù)列｛%｝的前“項和為S",首項為烏，公差為d,設七>0,ak+ak+l<0,且此N*,

則下列說法正確的是（）

A.若％=6,則當且僅當〃=6時，S.有最大值

B.若％=7,則當且僅當“=13時，數(shù)列的前w項和4有最大值

C.若％=8,則幺的取值范圍為m

%｛78J

D.若函數(shù)5（h=1^2+1q-3卜的對稱軸方程為工=尤（），則/的取值范圍為

【變式4-1］已知數(shù)列｛七｝滿足q=1,%=%+「3-4”-1,〃€3則數(shù)列｛0｝的通項公式an=，若

數(shù)列｛%｝對任意的〃N*,+4-2〃-5恒成立，則實數(shù)上的最小值為

【變式4-2】將數(shù)列=3〃-2與數(shù)列6“=4〃-3的公共項從小到大排列得到數(shù)列卜“｝,則使得c,>2025成立

的"的最小值為.

22932〃+i512

【變式4-3］己知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，且?！?2”,則使不等式=+”+…+三丁〈而?成立的正

應+i1U25

整數(shù)n的最大值為（）

A.11B.10C.9D.8

【考點05數(shù)列的實際應用與數(shù)學文化】

【例9】蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習俗有關，如圖為某校數(shù)學社團用數(shù)學軟件

制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上收長度為1的線段AB,作一個等邊三角形ABC,然后以點3為圓

心，為半徑逆時針畫圓弧交線段CB的延長線于點。（第一段圓?。僖渣cC為圓心，C。為半徑逆時

針畫圓弧交線段AC的延長線于點E,再以點A為圓心，AE為半徑逆時針畫圓弧……以此類推，當?shù)玫降摹拔?/p>

香”恰好有15段圓弧時，“蚊香”的長度為.

【例10】“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》卷下第二

十六題，叫做“物不知數(shù)”.原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問

物幾何？現(xiàn)有一個相關的問題：被3除余1且被4除余2的正整數(shù)，按照從小到大的順序排成一列，構成

數(shù)列｛4｝，則生必的值為（）

A.24294B.24296C.24298D.24300

【變式5-1】如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角

垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……第”層有％個球，則數(shù)列的前5項和為

（）

【變式5-2］（多選）傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒和小石子

所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖所給的稱為三角形數(shù)，記三角形數(shù)構成數(shù)列｛q｝,其前“項和為s“，

貝（）

3610

_H(H+1)

A.a=21

5B.an+x=an+n+2C.=anan+2u.%+i2

【變式5-3】如圖的工藝品是由九個圓柱焊接而成.這些圓柱具有共同的軸，最下邊的圓柱的高為10cm、底

面半徑為5cm.從由下至上第二個圓柱開始，每個圓柱的底面半徑與高都分別是其下面一個圓柱的底面半徑

與高的0.8倍，則這個工藝品的表面積（含最下邊圓柱的下底面積）約為cm：（精確到Icn?）

【考點06數(shù)列中的個數(shù)、項數(shù)問題】

【例11】已知單調遞增的整數(shù)列｛%｝共有"項，4=1,q=200,且對任意的整數(shù)”ze[2,”],都存在整數(shù)

仃目1,機-1]使得冊=4+%（?？梢韵嗟龋瑒t數(shù)列｛%｝至少有（）項.

A.7B.8C.9D.10

【例12]若數(shù)集S的子集滿足：至少含有2個元素，且任意兩個元素之差的絕對值大于1,則稱該子集為數(shù)

集S的超子集.已知集合，記A=｛l,23..,〃｝（〃eN*,〃23）,記4的超子集的個數(shù)為。“，當4的超子集個

數(shù)為221個時，n=.

【變式6-1】已知無窮數(shù)列｛%｝的前"項和為黑，不等式外%＜。對任意不等于2的正整數(shù)力恒成立，且

65.=（??+1）（4+2）,那么這樣的數(shù)列有個.

【變式6-2】已知數(shù)列也｝共有10項，且%?｛1,2,3｝,若4V的W%44。，則符合條件的不同數(shù)列有—

個.

【變式6-3］已知有窮數(shù)列｛?！保氖醉棡?,末項為10,且任意相鄰兩項之間滿足。角-qe｛l,2｝,則符合

上述要求的不同數(shù)列｛0｝的個數(shù)為.

【考點07菲波那契數(shù)列】

【例13】斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學家萊昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故

又稱“兔子數(shù)列”，其數(shù)值為：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在數(shù)學上，這一數(shù)列以如下遞推的方法

定義：/0）=1，F(xiàn)（n）=F（n-l）+F（n-2）（/7>3,neN,）,記此數(shù)列為｛%｝,則%oi9+%020+%。22+?2024等于

（）

A.“2023B.“2024C.^2025D.%026

【例14】意大利數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1,123,5,…，其中從第三

項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，即%=%=1，%+2=%M+q,（〃eN*）.后來人們把這樣的一列數(shù)

組成的數(shù)列｛。,｝稱為“斐波那契數(shù)列”.記3為“斐波那契數(shù)列”｛%｝的前“項和，若

^2024=P,d+W+a；++*025=4>則a2025=.（結果用P'q表示）

【變式7-1］（多選）斐波那契數(shù)列仍為。加zcdseqgj）,又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學家萊昂納多.斐波那契

以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，在數(shù)學上斐波那契數(shù)列以%=。1+。"-2523,〃€刈的遞推

方法定義，已知％=1,a2=l,則（）

A.&=4

B.^a?=an_2+an+2

a3

C.%+/+%+?,,+〃2023=02024

D.〃2+“4+〃6+?,■+。2024—。2025

【變式7-2】1202年，意大利數(shù)學家斐波那契（LeonardoFibonacci,約1170-約1250）以兔子繁殖問題，引

入“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,即片=工=1,Fn=Fn_x+Fn_2（n>?>,n^.人

們在自然界中發(fā)現(xiàn)了許多斐波那契數(shù)列的例子.斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理“準晶體結構”、化學等領域也有著

廣泛的應用.若此數(shù)列被2除后的余數(shù)構成一個新數(shù)列｛a“｝,則數(shù)列｛q｝的前2025項的和為.

【變式7-3】己知斐波那契數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…的第〃個數(shù)記為《eN*）,則片=入=1,

2024

工+百陽=工+2，已知423=根，尸2。24=〃，貝.（用含加，〃的代數(shù)式表示）

i=4

【考點08數(shù)列新定義】

【例15］若數(shù)列｛%｝的各項均為正數(shù)，且V〃eN*,都有（q+%+…+4）2=H+靖+--+小則稱數(shù)列｛q｝

具有“尸性質”，則下列說法正確的是（）

A.若%=3〃-2,則數(shù)列｛%｝具有“產(chǎn)性質”

B.若4=2"、則數(shù)列｛?！埃哂小笆再|”

C.具有“尸性質”的數(shù)列｛見｝的前〃項和為當W

D.具有“P性質”的數(shù)列｛。"｝的前”項和為3"-1

m

【例16］兩個項數(shù)均為加的數(shù)列｛凡｝和他,｝,稱它們對應項差的絕對值之和2&一切為數(shù)列｛4｝與他，｝的

i=l

“距離”.設A,…,4（〃22）是項數(shù)均為4且每項為0或1的〃個數(shù)列,它們中任意兩個數(shù)列的“距離”不小于2,

則〃的最大值為（）

A.6B.8C.9D.10

【變式8-1］（多選）已知數(shù)列｛%｝滿足：對任意的〃eN*,總存在%eN*,使得S“=a,“，則稱｛%｝為“回旋

數(shù)列以下結論中正確的是（）

A.若=2023〃，則｛4｝為“回旋數(shù)列”

B.設｛%｝為等比數(shù)列，且公比4為有理數(shù)，則｛4｝為“回旋數(shù)列”

C.設｛〃“｝為等差數(shù)列，當q=l,公差d<0時，若｛%｝為“回旋數(shù)列"，則d=-l

D.若｛%｝為“回旋數(shù)列”，則對任意“wN*,總存在加wN*,使得

【變式8-2］（多選）我們常用的數(shù)是十進制數(shù)，如2024=2/03+0J02+2J0I+440°,計算機用的是二進

制數(shù)，只需兩個數(shù)碼0』.如二進制數(shù)：1101⑵=1?23+1.2?+0?21+1?20=13.將十進制正整數(shù)n表示為二進制

k

數(shù)，其各位數(shù)字之和記為n=bk-2+41?2i+…+4?2°,其中6”{0,1},(i=0,1,2,…左)，且￡%=，w,

貝|%=租，如％3=1+1+。+1=3.貝1」以下關于數(shù)歹!］｛%｝的結論正確的有（

A.若凡=m(mwN"),則n的最大值為2'"-1B.a2n=an

C.D.a2n+i=a2?+1

【變式8-3］數(shù)列｛對｝中，若存在當,使得且廣成立,Ck>2,左eN*）則稱為為｛%｝的一

個峰值.若4,=-3/+15,則峰“｝的峰值為______；若q,="n”-"，且｛凡｝不存在峰值,則實數(shù)/的取值范

圍為.

【考點09數(shù)列與其他知識的交匯】

【例17】在等比數(shù)列｛《,｝中，％13=2,若函數(shù)"%）=；尤（％-4）（%-%>-（％-電025），則/'⑼二（）

A.-22024

【例18］已知數(shù)列｛4｝是首項是1,公比為4①>。）的等比數(shù)列，數(shù)列｛3｝的通項公式是2=向1.設雙

曲線捺=1的離心率為4且坐，則當〃=時，e,最大.

【變式9-1］已知等差數(shù)列｛。"｝中，a9=—,設函數(shù)/（x）=（4cos2q-2）sinx+cos2x+2,記％=/（%）,則

82

數(shù)列｛券｝的前17項和為（）

B.17C.26D.34

【變式9-2］已知〃N*,集合…，浮集合M“所有的非空子集的最小元素之和為7；,使

4o2J

7；N180的最小正整數(shù)”的值為.

【變式9-3】甲、乙、丙、丁四人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地

將球傳給另外三個人中的任何一人.如果設〃次傳球后球在甲手中的概率為月，則鳥=;

Pn=.

夢模擬題訓練

171

1.（2025?山東青島?一模）已知數(shù)列｛%｝,｛2｝,且。一五工2=（.+1],將｛凡｝與屹〃｝的公共項按從

大到小的順序排列組成一個新數(shù)列｛%｝,則｛%｝的前10項和為（）

、9「1810n2°

A.—B.—C.—D.—

19192121

2.（2025?山東青島?一模）設x”是關于x的方程/+地向無〃=〃2+3”的實數(shù)根.記4=i,其中國表示不

超過X的最大整數(shù)，設數(shù)列｛%｝的前幾項和為S“，則邑。25=（）

A.10122B.1012x1013C.10132D.1013x1014

3.（2025?河南安陽?一模）已知數(shù)列｛風｝的前〃項和為S“，8a2"（〃+2）S角=5+l）（〃+2）S“+M"+l）S.+2,

若為=5,S2025=2025,則a50S=（）

A.3B.6C.1015D.2030

4.（2025,北樂平谷,一■模）在等比數(shù)列｛%｝中，at+a2=-16,a2+a3=—,記雹=01a?…a”（〃=1,2,…），則數(shù)

列｛雹｝（）

A.無最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.有最大項，有最小項D.無最大項，無最小項

5.（2024?江西新余.模擬預測）設等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為乂，若對于某一個機eN+使邑”金包下小?成等

差數(shù)列，則機的值可能為：（）.

A.99B.102C.105D.該值不存在

6.（2025?陜西西安?二模）記S“為等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，已知為+4=4,/+%=12,貝U（）

D.4電…%的最小值為，

7.（2025?山東濟寧?一模）（多選）已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且。用=S“+2,也｝為等差數(shù)列，且

用=%四=%,記集合A=｛xeN*h4x4%｝中元素的個數(shù)為g,數(shù)列｛c“｝的前”項和為T,，則下列結論正

確的是（）

A.a?=2"B.bn=n

n+1

C.3=2〃-nD.Tn=2--——^-2

8.（2025?河南南陽?模擬預測）（多選）已知等比數(shù)列｛4｝不是遞增數(shù)列，其前"項和為S“，且邑+%，S6+?6,

3

S5+生成等差數(shù)列，出=-］，則（）

A.〃4=4。6

B.4=（-1嚴?聲

C.數(shù)列卜-11的最大項為g

D.數(shù)列的最小項為:

3“6

9.（2025?河北唐山?一模）已知費馬數(shù)是形如尸（“）=2,+1（〃eN）的素數(shù)，如第一個費馬數(shù)為尸（0）=3,則

/（2）=；正多邊形的邊數(shù)若能寫成2&與加個不同的費馬數(shù)的乘積JeN,meN）,則正多邊形就

可以用尺規(guī)作圖.將這種正多邊形的邊數(shù)按從小到大排列，記為數(shù)列｛%｝,注：若〃2=0,邊數(shù)可以取2?=4

等；若加=1,邊數(shù)可以取2°x3=3等，則%=.

10.（2025?廣東江門?一模）在某平臺開展闖關贏獎品活動中，用戶每次進入新的一關都有一次抽獎機會.已

知用戶在第一關抽到獎品的概率為12?.從第二關開始，若前一關沒抽到獎品，則這一關抽到獎品的概率為2

若前一關抽到獎品，則這一關抽到獎品的概率為;.記用戶第〃關抽到獎品的概率為p"，則P"的最大值

為.

11.（202425高三下?浙江?開學考試）已知函數(shù)/（x）=Y+3尤-4,設曲線y=/⑺在點&"（%））處的切線

Q

與X軸的交點為（4+1,0）5eN"）,4>1,%則q=；設占,當（再>%）是函數(shù)/（X）的零點，bn=log6

，則數(shù)列也｝的前〃項和.

12.（2024?北京懷柔?模擬預測）設首項是1的數(shù)列｛%｝的前"項和為S“，且%==

+1,"=2攵+1,攵￡N

貝;若￡<2024,則正整數(shù)，〃的最大值是.

1.（2024?全國甲卷?高考真題）已知等差數(shù)列｛%｝的前"項和為S“，若'=1,則為+%=（）

2

A.-2BC.1D.-

-i9

2.（2024.全國甲卷?高考真題）記s〃為等差數(shù)列｛4｝的前H項和，已知S5=S10,“5=1，則％=()

A7c.-17

-iB.-D.——

3