直角三角形的邊角關(guān)系壓軸題型專訓(xùn)

（8大題型40道）

言【題型目錄】

題型一銳角三角函數(shù)與三角形壓軸

題型二銳角三角函數(shù)與四邊形壓軸

題型三銳角三角函數(shù)與一次函數(shù)壓軸

題型四銳角三角函數(shù)與相似壓軸

題型五銳角三角函數(shù)的最值訓(xùn)練

題型六銳角三角函數(shù)的應(yīng)用

題型七銳角三角函數(shù)的新定義問題

題型八銳角三角函數(shù)的綜合

B經(jīng)典例題

劣【經(jīng)典例題一銳角三角函數(shù)與三角形壓軸】

ABBD

1.（1）如圖1,已知求證:~AC~~CE

(2)如圖2,在Rta/BC中，NB4c=90°,點(diǎn)廠為斜邊8c上的一點(diǎn)，連接力尸.作尸使得

已知smC邛，求黑的值（用含加的代數(shù)式表

AAEFSAABC,邊E尸與邊48相交于點(diǎn)M.

示）;

(3)如圖3,在RtZUBC中，ZBAC=90°,AB=5,AC=U,點(diǎn)。為斜邊3c上一點(diǎn)，且

DE

點(diǎn)E在邊"上，且皿=小求萬(wàn)的值.

c

圖1圖2圖3

見解析;⑵囂=2%(3)等

【答案】(1)

ARAT,然后證明出an4gs即可得到黑=更

【分析】(1)首先由相似三角形的性質(zhì)得到茄=方

ACCA

AC_AF

(2)由△ABCs△/￡/得至I」NC=N/FE,然后證明出"ESA/CE,得到二韋,然后得

~AB~~AE

QMFAFAFFCAFACm

至I」---==?=?=-------設(shè)N3=x,則3C=氐，根據(jù)tan/C=；求解即可;

MBEBFCEBFCABtanZC

(3)如圖，過點(diǎn)A作/。的垂線,與0E的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,AHLBC,垂足為H,證明出

AT)4B54HAR

△ABCS^ADG,得到——=——=—,然后證明出A/HBSAC4B得到差■==?,然后證明出

AGAC12CTICn

△CDEs&AE,得至1」匹=空=逑.

AEAG24

【詳解】(1)證明：???ANBCS"OE,

黑=%,NBAC=NEAD,

ADAE

:"BAC-/CAD=/EAD—NCAD,BPZDAB=ZEAC,

dABACABAD

又,:----=——,BRPn——=

ADAEACAE

「.△DABs^EAC,

ABBD

ACCE

(2)解：如圖2所示,

圖2

/CAF

:.NC=NAFE,——=——,ZBAC=ZEAF

ABAEf

/.ZEAF-NBAF=ABAC-ZBAF,即/EAB=/FAC,

:AABES八4CF,

，區(qū)，NC=NABE,

ABEB

:.ZAFE=ZABEf

又???/AMF=/EMB,

:AAMFS^EMB,

MF_AF_AFFC_AFACm

'~MB~~EB~~FC~EB~~FC^B~~^Zc"

又sin/C=^~，

5

.,.設(shè)=貝1」8。二氐，

:.AC=^BC2-AB1=2x^

tan/C=一,

2

絲=2%

MB

(3)解：如圖，過點(diǎn)A作4。的垂線，與0E的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,AHVBC,垂足為H,

C

NEDA,/BAC=/DAG=90。，

:.△ABCS/\ADG,

，“二NG,空=坐上

AGAC12

又.：AD瑤6,

:.AG=—y[i,

13

由題意可知，BC=13,

???AH1BC,

ZAHB=ZCAB=90°

???NB=NB,

:.AAHBS&CAB,

.AH_AB

,~CA~~CB，

AH=^-^-=^,由勾股定理得：OH4,BH弋,

Cn131313

84

:.CD=BC-CD-BH=—,

13

???/C=/G,/CED=NGEA,

:ACDESAGAE,

,DECD7后

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上

知識(shí)點(diǎn).

2.綜合與探究

問題情境：我們使用兩塊大小相同的含30。角的直角三角板來探究一些數(shù)學(xué)問題.

將兩塊三角板按圖1位置擺放，ZACB=ZAlClBl=90°,ZBAC=ZB,A.Q=30°,NC與4。重合，BC與B￡

在一條直線上.

旋轉(zhuǎn)探究：（1）固定三角板N3C,將三角板44G繞直角頂點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。，如圖2,相與

交與點(diǎn)。，NC與交于點(diǎn)￡,連接

圖1圖2圖3

①求證：&B、〃BC.

②猜想：ACDE是什么三角形，并說明理由.

平移探究：（2）將圖2中的用。沿射線3c方向平移得到△4與G,此時(shí)5,C,G在一條直線上.如圖

3,4&交4C于點(diǎn)、M,A2cz交4c于點(diǎn)N,若28=4,平移距離為d（0<d<2）,請(qǐng)直接寫出肱V的面

積S與平移距離d之間的函數(shù)關(guān)系.

【答案】（1）①見解析；②ACAE是等邊三角形，理由見解析；（2）s且笛一曲+巫

62

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，

平移的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出N3CO=30。，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行即可得證；

②先證明^BCD^B.CE得CD=CE,進(jìn)而可證KDE是什么三角形；

（2）由平移的性質(zhì)得，44=。。2="，44〃。。2，求出CN二字，由（1）②知，

/BCD=/B、CE=30。，求出。4=2,CM=0進(jìn)而求出=G-亙，A.M=3-d,然后根據(jù)三角

3

形的面積公式求解即可.

【詳解】（1）①證明：???將三角板4AG繞直角頂點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。，

/DCE=60°,

??.N5CQ=90?！?0。=30。.

???Z5/G=30°,

:"BCD=NB/C,

.?.//BC-

②解：△CQE是等邊三角形，理由：

???將三角板4AG繞直角頂點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。，

??.ZDCE=60°.

?：/ACB=NAICTB]=90。,

ZACB-ZDCE=NACB]—ZDCE,

ZBCD=ZBxCE=30°.

vBC=B,C,ZB=ZB.=60°,

.“BCD知B]CE（ASA）,

CD=CE,

.?.△CDE是等邊三角形；

（2）由平移的性質(zhì)得，44=。。2=1，4C〃4c2,

/CC?N=/BCA[=30°,

:?CN=tan30°xCC2=

由(1)②知，/BCAi=/B、CA=3。。,

,.<A[B]=AB=4,

CBl=；4片=2,

CM=cos30°xCB[=也,

■■MN^CM-CN^y/3--—,

3

A2M=ACV+tan30°=3—d,

3.如圖，在RtZXZBC中，NACB=90°,ABAC=30°,將△Z3C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到,其中

點(diǎn)/'與點(diǎn)/是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)9與點(diǎn)8是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，若點(diǎn)"恰好落在45邊上.

⑴連接求證：AA=CBB'.

(2)若BC=1,求點(diǎn)/到直線4c的距離.

【答案】(1)證明見解析

(2)1

【分析】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30。的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)

的應(yīng)用，作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵.

(1)由直角三角形的性質(zhì)可得/C=g3C,證明△CB3'為等邊三角形，AC44'為等邊三角形.得出

AA'=AC=A'C,AA'=AC=AC,即可得證；

(2)過點(diǎn)/作于點(diǎn)D.先求出NC4D=30。，再解直角三角形即可得解.

【詳解】(1)證明：???"C8=90°,NA4c=30。,

■■AC^y/3BC,

?.?將AABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得至I]^A'B'C.

CA=C'A'>CB=C'B',AACA=ABCB'=60°,

.?.△CRB'為等邊三角形，AC44'為等邊三角形.

；.BB'=BC=B'C,AA'=AC=A'C,

44'=也BB'.

(2)解：如圖，過點(diǎn)/作于點(diǎn)。.

A'

■：BC=1,

AC=拒BC=V3,

：.CD=-AC=—.

22

?，AC44'為等邊三角形，

ZCAA'=60°,

ACAD=30°.

?.■tanZC4D=—=V3,

AD

???AD=辰D=V3x—=-.

22

3

???點(diǎn)4到直線/'C的距離為5.

4.上海教育出版社九年級(jí)第一學(xué)期《練習(xí)部分》第48頁(yè)復(fù)習(xí)題8組第2題及參考答案.

2.如圖，圖中提供了一種求tanl5。的方法，閱讀并填空：

先作RtAlBC,其中NC=90。，/48C=30。；然后延長(zhǎng)C3到點(diǎn)。，使BD=4B,連接4).

311

在RtZ\48C中，ZC=90°,tanZ^45C=—,那么tan—a4BC=；tan—ABAC=

42------2------

【拓展應(yīng)用】

如圖，在中，ZC=90°fAC=8fBC=9,點(diǎn)、D、E分別在邊ZC、BC上,且。。二3,

￡C=4,連接4E\BD交于點(diǎn)、F,求tanNBFE的值.

【答案】知識(shí)遷移：1;拓展應(yīng)用：1.

【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定

義是解題的關(guān)鍵.

知識(shí)遷移：

作BC平分N/8C交/C于。，過。作。E_L4B于E,設(shè)NC=3m,則2c=4S，

/8=J（3m）2+（4〃？4=5m,由面積法求得。C=gm,進(jìn)而即可求得tan；N/8C=g；同理可得:

tan-ABAC=-；

22

拓展應(yīng)用：

連接。E,證出AD=Z）E=8E,ZEAD=ZAED,ZEBD=ZBDE,設(shè)ZEBD=a,乙IED=。,

ACED=2a,AEDC=1/3,求出a+/=45。，則可得出答案.

【詳解】知識(shí)遷移：

解：如圖，作BD平分2/8C交/C于。，過。作Z）E_L/8于E,

vZC=90°,

：.ACVBC,

???BO平分//BC交4C于。，DELAB

:.DC=DE,/DBC=L/ABC,

2

3

RiZxACB中，tanZABC=-,

4

口

即n——"=3-，

BC4

設(shè)/C=3冽，

則BC=4m,

^/XABC=、/\ABD+、/\BCD，

：.—ACBC--DE-AB+—DC-BCBP—x3mx4m=—DCx5m+—DCx4m,

222222

4

DC=—m,

3

4

tan-ZABC=tanNDBC=——=^—=-:

2BC4m3

同理可得：tan-ABAC

22

故答案為：pI；

拓展應(yīng)用：

解：連接DE,

A

DE=[DC、CE2=5,

vAC=8fBC=9,

，BE=BC—CE=5,

AD=AC-CD=5,

AD=DE=BE,

，ZEAD=/AED,/EBD=ZBDE；

設(shè)/EBD=a,/AED=0,

ZCED=2a,/EDC=2[3,

2a+2〃=90。，

/.a+/3=45°,

???ZBFE=ZFED+ZFDE=(3+a,

ZBFE=45°,

tanZ.BFE=tan450=1.

5.如圖，在△48C中，是A/BC的角平分線，的垂直平分線分別交于48,AD,ZC于點(diǎn)￡,O,

F,連接。E,DF.

(1)求證：四邊形/EA尸是菱形；

⑵若NA4c=30°,ZC=45°,DE=12,求C尸的長(zhǎng)

【答案】(1)見解析

(2)6^+6

【分析】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，線段垂直平分線的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解

題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)則工尸=。尸，AE=DE,由等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義得到

NEDA=NDAC,推出AE〃置，同理。廠〃/E,即可證得結(jié)論；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)，解直角三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：???E尸垂直平分線段

AE=DE,AF—DF,

:.NEAD=NEDA,

?.?4。平分NA4C,

；.NEAD=NDAC,

/LEDA=ADAC,

：.CE//AD,

同理可得，DF//AE,

???四邊形AEDF是平行四邊形，

???AE=DE，

???四邊形/即尸是菱形.

(2)解：過D作DH_LC尸于H,

???四邊形/女＞尸是菱形，

：.DF=DE=n,DF//AB,

：.NDFC=NBAC=3Q。,

]n

:.DH=-DF=6fFH=—DF=6y/3,

22

vZC=45°,

/.ZHDC=90°-45°=45°=ZC

/.DH=CH=6,

■■CF=FH+CH=6^+6.

J［經(jīng)典例題二銳角三角函數(shù)與四邊形壓軸】

6.在矩形/BCD中，點(diǎn)E在邊ND上，BE=AD,過點(diǎn)C作CF，3E于點(diǎn)足

⑴如圖1,求證：DE=EF■,

(2)如圖2,連接。尸，若點(diǎn)尸為線段BE的中點(diǎn)，直接寫出長(zhǎng)度等于線段。尸的3倍的線段.

3

【答案】(1)見解析

(2)DE、EF、BF、AE

【分析】(1)證△，B￡0"B(AAS),得力E=FB,進(jìn)而得出結(jié)論；

(2)證出。￡=￡尸=2尸=/￡=；BC,得4C斤=30。，則CF=鬲尸,證△口)尸是等邊三角形，得

DF=CF=>5BF,即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：???四邊形/BCD是矩形，

:.NA=ABC=NBCD=90°,AD=BC,AD//BC,

ZAEB=ZFBC,

BE=AD，

:.BE=BC,

?；CF工BE,

ZBFC=90°=NA,

Z=ZBFC

在△/5￡和△廠C5中，＜/AEB=/FBC,

BC=BE

工ABE也△/CB(AAS),

???AE=FB,

AD=BE,

???DE=EF；

（2）解：長(zhǎng)度等于線段。尸的倍的線段有EF、BF,AE,理由如下:

3

「點(diǎn)尸為線段3E的中點(diǎn)，

:.EF=BF=-BE,

2

由（1）得：DE=EFQABE—FCB,

...DE=EF=BF,AB=CF,

/.CF=CD,

BE=AD，

：.DE=-AD=AE,

2

.?.DE=EF=BF=AE=-BC,

2

vCFLBE,

RF1

sinZBCF=——=-,

BC2

NBCF=30°,

??.CF=BF+tan30°=43BF,/DCF=90°-30°=60°,

.?.△CD/是等邊三角形，

DF=CF=#>BF,

DF=#>BF=6DE=CEF=4?>AE,

；.DE=EF=BF=AE=^DF.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的

知識(shí)，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，四邊形4BCD是平行四邊形，/C是對(duì)角線.

（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出對(duì)角線/C的垂直平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）；

⑵①若（1）中所作的垂直平分線交4D于點(diǎn)E,交8C于點(diǎn)尸，交NC于點(diǎn)O,連接CE,判斷

四邊形/尸CE的形狀，并說明理由；

②若N3=2,BC=2AB,=60°,則四邊形4FCE的面積為.

【答案】（1）見解析

（2）①四邊形/尸CE是菱形，理由見解析；②2G

【分析】（1）分別以A、C為圓心，以大于［AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M、N,作直線直

線即為所作；

（2）①由線段垂直平分線的性質(zhì)得出4￡=C￡,AF=CF,EF1AC,從而得出乙4EF=/CEF,由平行

四邊形的性質(zhì)得出=推出/CEE=/CEE,得到CE=CF,進(jìn)而得出/E=CE=/尸=CF,即

可得解；②AH上BC于H,則N4ffi=N/HF=90。，解直角三角形求出88=；AB=1,

AH=^-AB=43,得出S=3C-B〃=3,再由勾股定理求出CF=2,最后由面積公式計(jì)算即可得解.

2

【詳解】（1）解：如圖，直線"N即為所求，

(2)解：①四邊形/PCE是菱形，

理由如下：

???/C的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)、E、F,

AE=CE,AF=CF,EF_LAC,

/AEF=/CEF,

???四邊形45CQ是平行四邊形，

??.AD//BC,

/.ZAEF=ZCFE,

/CEF=/CFE,

CE=CF,

??.AE=CE=AF=CF,

???四邊形/FCE是菱形；

②作于〃，貝1」/4/^=//耐=90。，

??,/5=60°,AB=2,BC=2AB,

..BC=4,—=cos60°=-,—=in60°=—,

4B2AB2s

iA

：.BH=-AB=\,AH=^=-AB=y5,

CH=BC-BH=3,

???AH2+FH2=AF2,且/尸=C5，F(xiàn)H=3-CF,

.?.(V3)2+(3-CF)2,

解得：CF=2,

???四邊形/尸CE是菱形，

???sm^AFCE=CF-AH=2xy/3=273.

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖一作垂線、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、

解直角三角形、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

8.綜合探究

已知在矩形4BC。中，AB=2,BC=2日過點(diǎn)C作對(duì)角線/C的垂線/,點(diǎn)￡為直線8c上一點(diǎn)，過點(diǎn)￡

作EF—交直線/于點(diǎn)F.

⑴如圖(1)所示，當(dāng)點(diǎn)尸在4。的延長(zhǎng)線上時(shí)，AAFE=

(2)如圖(2)所示，過點(diǎn)尸作廠G1.BC的延長(zhǎng)線，垂足為點(diǎn)G,請(qǐng)寫出成與CG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)連接。/，當(dāng)尸是等腰三角形時(shí)，求8E的長(zhǎng).

【答案】(1)30度

(2)相等，理由見解析

3BE=6或叵出或叵力

22

ACIFC

【分析】(1)首先由特殊角的三角函數(shù)值求出N4CB=30。，然后證明出△4O￡SAR9。，得到二

FOCO

進(jìn)一步證明出AAOFSAEOC,即可得到ZAFO=ZACB=30°；

(2)首先由含30。角直角三角形的性質(zhì)得到C尸=2CG,然后證明出A/5ESA/W,得到4￡===2,

ABBE

進(jìn)而求解即可；

(3)設(shè)8E=CG=x,則CF=2CG=2x,首先判斷出若尸是等腰三角形，則止=94或E4=ED,

然后分情況討論，分別根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】(1)如圖所示，設(shè)NC與反交于點(diǎn)O,

圖⑴

,在矩形48co中,

.?28=90°

-：AB=2,SC=2A/3

2

tanZACB^―

BC2733

.?.44c3=30。

■：AELEF,AC±CF

.■.ZAEF=ZACF=9Q°

又ZAOE=ZFOC

：.AAOES^FOC

AOEO

'~Fd~~CO

AOFO

''~EO~~CO

又???AAOF=/EOC

.?"OFs小EOC

--ZAFO=ZACB=30°；

(2)相等，理由如下：

vZ^C5=30°,ZACF=90°

??.ZFCG=180°-ZACB-ZACF=60°

FG±BG

ZCFG=180°-ZFCG-ZCGF=30°

??.CF=2CG

???NB=90。，Z4C5=30°

ABAC=60°

???ZAEF=90°,ZAFE=30°

ZEAF=60°

.'.ZBAC=ZEAF

ABAC-ZEAC=ZEAF-/EAC,即/BAE=ZCAF

又???ZB=ZACF=90°

AABESAACF

ACFC

vZ.ACB=30°,zB=90°

/.AC=2AB

ACFCc

???--=-----=2

ABBE

：.CF=2BE

又,：CF=2CG

??.BE=CG；

(3)設(shè)BE=CG=x,則C尸=2CG=2x

-ACVI,AC>AD

???AF>AD

若/是等腰三角形，則=D4或￡4=尸。

①如圖所示，當(dāng)DF=DA,

且點(diǎn)尸位于4D上方時(shí)，作DH上FG,

■.-ZHDC=ZDCG=ZCGH=90°

.?.四邊形。CG〃是矩形

DH=CG=x,GH=CD=AB=2

FG=y/CF2-CG2=瓜

：-FH=FG-HG=6-2

在ADFH中，DH2+FH2=DF2

.?./+（岳-2『=（2可

"I（舍去）;

解得西=,x2

②如圖所示，當(dāng)DF=DA=26，

且點(diǎn)尸位于4D下方時(shí)，延長(zhǎng)尸G交4D于點(diǎn)N,

同理可得尤2+

解得否=一百;而,%=一一;而（舍去）;

③如圖所示，當(dāng)E4=FD時(shí)，

延長(zhǎng)尸G交/。于點(diǎn)N,

B\G

-：FA=FD,FNLAD,

AN=DN=—AD=CG=BE=y/3

2

綜上可得，BE=拒或屈+*或后一杷.

22

【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌

握以上知識(shí)點(diǎn).

9.如圖，在中，ZACB=90°,ABAC=30°,將ZUBC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到,其中

點(diǎn)4與點(diǎn)/是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)3是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，若點(diǎn)"恰好落在48邊上.

A'

⑴連接44',求證：44'=曲8'.

(2)若BC=1,求點(diǎn)/到直線HC的距離.

【答案】(1)證明見解析

⑵3

v2

【分析】(1)根據(jù)含30。的直角三角形的性質(zhì)，得到/C=g3C,證明△C23'為等邊三角形，AC44'為等

邊三角形，即可證明；

(2)過點(diǎn)/作/DLHC于點(diǎn)D.求出NC,CD,根據(jù)AC44’為等邊三角形，解直角三角形即可.

【詳解】(1)證明：???N/C8=90°,ZBAC=30°,

；.ACfBC,

?.?將&ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AA'B'C.

CA=C'A'-CB=C'B',ZACA'=ZBCB'=60°,

.?.△CAS'為等邊三角形，為等邊三角形.

AA'=AC=A'C,BB'=BC=B'C,

44=拒BB'.

(2)解：如圖，過點(diǎn)N作/口，/'<?于點(diǎn)。.

A'

???BC=\,

AC=43BC=V3,

■■CD=-AC=—.

22

■1C4/為等邊三角形，

■■.ZCAA'=60°,

.-.ZCAD=30°.

???tanZG4D=—=V3,

AD

AD=V3cr>=V3x—=-.

22

3

???點(diǎn)”到直線?C的距離為萬(wàn).

【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定與性

質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵.

10.如圖，在矩形/BCD中，E為DC邊上一點(diǎn),把△4DE沿NE翻折，使點(diǎn)。恰好落在邊上的點(diǎn)尸處.

(1)若48=26,4。=4,

①求EC的長(zhǎng)；

②若尸，。分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)，求PD+P。的最小值.

⑵若AE-DE=2EC,記NBAF=a,ZFAE=/3,求tana+tan^的值.

【答案】⑴①EC=手；②2g

(2)至

3

【分析】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、折疊性質(zhì)、勾股定理、最短路徑問題、相似三角形的判定與性質(zhì)、

銳角三角函數(shù)、解一元二次方程等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)以及設(shè)參數(shù)求解.

(1)①根據(jù)矩形性質(zhì)得，NB=NC=ND=90。,CD=N8=2百，5c=40=4,由折疊性質(zhì)得

/尸=40=4,DE=EF,然后利用勾股定理求解即可；

②根據(jù)折疊性質(zhì)得/E垂直平分。尸，則+=H+當(dāng)尸、尸、。共線，且時(shí)，PD+PQ

最小值，最小值為尸。的長(zhǎng)，證明四邊形CD。尸是矩形，則有尸。=。。=26；

(2)先證明尸s△尸口，利用相似三角形的性質(zhì)以及正切定義得到tana+tan/?=-右，設(shè)

AB

AB=CD=a,AF=AD=BC=b,DE=EF=x,利用勾股定理可得!〃=/一改，再利用相似三角形的

4

性質(zhì)列方程求得2=述，進(jìn)而可求解.

a3

【詳解】(1)解：①???四邊形45co是矩形，

ZS=ZC=ZD=90°,CD=AB=26BC=AD=4,

由折疊性質(zhì)得/b=/。=4,DE=EF,

在Rt^ABF中，BF=JAF2-AB2=2，

在RtZ\C￡N中，F(xiàn)C=BC-BF=2,EF=DE^2y[3-CE,

由勾股定理得EC2+C/2=斯2,貝[|￡。2+22=(2退一，

解得EC=RI；

3

②連接。尸，根據(jù)折疊性質(zhì)得4E垂直平分。尸，

■-P,0分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)，

.-.PD+PQ=PF+PQ,如圖，當(dāng)RP、。共線，且尸時(shí)，尸D+P0最小值，最小值為尸0的長(zhǎng)，

???ZC=ZADC=ZDQF=90°,

???四邊形CD。尸是矩形，

：.FQ=CD=2^3；

（2）解：vZAFE=ZADE=ZB=ZC=90°,

??./BAF=ZCFE=90°-AAFB,

??.△ABFs^FCE,

EFCFCE

??萬(wàn)一方一而‘

BFEF

.?.tan。+tan〃=------1---

ABAF

BFCF

=---1---

ABAB

_BF+CF

~AB

_BC

一罰’

設(shè)AB=CD=a，AF=AD=BC=b,DE=EF=x,

BF-JAF?-AB?—b2—a2，CF-VEF^—CE2=Jx?_（a—x）=[Zax-a?

???AE—DE=2EC,

：.AE—DE+2EC=X+2（Q-X）=2Q-X,

AD2+DE2=AE2,

b2+x2=（2a—x）2,貝!J"_QX,

1

,CFCEzyjlax-aa-x

由——=——得--------

ABBFa4b2-a2

?*-a1—ax-y/b2-a2-y/2ax-a2，

即》2="2一力.小2一22,

整理，得161-24/62+964=0,即（4/_3〃y=o,

.?.4/=362,則2=拽（負(fù)值已舍去）,

a3

???tana+tanT

a3

J［經(jīng)典例題三銳角三角函數(shù)與一次函數(shù)壓軸】

11.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線了=》與直線相交于點(diǎn)力.尸。,0）為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不

與點(diǎn)3重合），過點(diǎn)尸作尸DJ_x軸交直線2。于點(diǎn)。，△048與AOPB的重疊面積為S,S關(guān)于f的函數(shù)圖

象如圖2所示.

（1）06的長(zhǎng)為；△0/B的面積為；

（2）求S關(guān)于/的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量/的取值范圍.

【答案】（1）4,|

c2313

⑵L小

T-2/+4-<^<4

〔413）

O

【分析】（1）由/=0時(shí)，P與。重合，得5=$,.=『f=4時(shí)，P與2重合，得。2=4：

（2）設(shè)/（的），由Sga,即;x4a=g,得到貝分兩種情況：當(dāng)OMf］時(shí)，

1Q1QA

設(shè)CM交于E,可得PE=PO=t,得到S"。"力之，則$=s?=-r+當(dāng)</<4時(shí)，求出直

23233

1r）po1

線解析式為y=-=x+2,可得C（0,2）,由tan/C80=====：=彳得

2PBOB42

DP=-PB=-（4-t}=2--t,故S=Sw=-DPPB=-t2-2t+4.

22''224

o

【詳解】⑴解：當(dāng)/=0時(shí)，P與。重合，止匕時(shí)s=s.皿=屋

當(dāng)/=4時(shí)，S=0,P與8重合,

.?.08=4,2(4,0),

Q

.?.05的長(zhǎng)為4,△O4B的面積為

Q

故答案為：4,—；

(2)%在直線歹=%上，

.-.ZA0B=45%

設(shè)Z(Q,Q),

[18

S——OB,a,即一x4Q=—,

aAOB223

：.a=—4,

3

4

當(dāng)時(shí)，設(shè)04交PD于E,如圖:

K???//。8=45。，PDLOB,

???△尸￡。是等腰直角三角形，

.?.PE=PO=t,

o_J_,2

JaPOE-二I，

4

當(dāng)§<f<4時(shí)，如圖:

c

D

OPBx

44

設(shè)直線解析式為〉=息+把工，3(4,0)代入得

6,3,3

44

-k+b=-

33,

4k+b=0

1

解得2,

6=2

???直線解析式為y=----x+2,

2

當(dāng)x=0時(shí)，y=2,

.-.C(0,2),

?-.OC=2,

oDPOC21

tanZ.CBO==-----

PBOB42

.-.DP=-PB=-(4-t]=2--t,

22、,2

?

?.S'DPB=GDPPB=口2-(小4一)=:(1『=52-2'+4；

2

1284

-----1H—(0<r<-)

233

綜上所述，s=

4

-Z2-2f+4(_</<4)

143

【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，涉及銳角三角函數(shù)，待定系數(shù)法，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是從函數(shù)圖象中獲取有用的信息.

12.如圖，反比例函數(shù)7=X(左片0)的圖象與正比例函數(shù)了=2》的圖象相交于41,°),B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在第四

X

象限，/C〃V軸，BCLAB.

(1)求反比例函數(shù)解析式;

AR

(2)求保的值.

【答案】⑴12

x

(2)2

【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解;

(2)首先求出點(diǎn)2坐標(biāo)，作BHL4C于利用等角的余角相等得到/C=443〃，再解直角三角形即可.

【詳解】(1)解：.??點(diǎn)/(l,a)在＞=2無(wú)上,

..a=2,

41,2),

把A(l,2)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：左=2x1=2,

2

，反比例函數(shù)的解析式為：了=—；

x

(2)?.，、3兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱,

5(—1,-2)；

ZBHC=90°,

軸，8"〃x軸,

ZAOD=NABH=ZC,

「//八八4D_AB

tanC=tanZ.AOD=-----=2=

ODBC

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解直角三角形等，證得=”是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線乂=依+萬(wàn)與雙曲線為=8(左*0),分別相交于第二、四象限內(nèi)的

X

2

/(私4),2(6,")兩點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)C.已知OC=3,tanZACO=-.

(1)求直線乂，雙曲線為對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

(2)求的面積；

k

(3)直接寫出的解集.ax+b>-.

X

212

【答案】⑴%=一W%+2,y=---；

32x

⑵9

(3)xM-3或0<xW6.

2

【分析】(1)根據(jù)OC=3,tan//CO=§,可求直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)4、2的坐標(biāo)，確定

兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系式；

(2)由S4AOB=S^AOC+S^BOC,進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)由函數(shù)的圖象直接可以得出，不等式辦+628的解集.

X

【詳解】(1)解：設(shè)直線％=辦+6與y軸交于點(diǎn)。，

2

在Rt^OCD中，OC=3,tanZACO=-

3

.?.OD=2,即點(diǎn)。(0,2),

把點(diǎn)。(0,2),C(3,0)代入直線必=辦+6得,

2

?,?直線的關(guān)系式為必=一+2；

2

把4(加,4),8(6,〃)代入必=一§1+2得，m=-3,〃=一2,

,4(-3,4),6(6,-2),

???左二—3x4=—12,

???反比例函數(shù)的關(guān)系式為%=1-?上，

X

212

??.%=~—x+2,y2=--；

3x

(2)???4(-3,4),5(6,—2),C(3,0),

S^AOB=Sazoc+S^BOC

=—x3x4+—x3x2=9.

22

(3)由圖象可知，不等式Qx+62—的解集為xw-3或0vxW6.

x

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式是常用的方法，銳角的正

切的應(yīng)用，線段與坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵.

14.如圖，矩形。的頂點(diǎn)。與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,點(diǎn)C在1軸上，點(diǎn)/在對(duì)角線。5上，且04=26

1斤4

tanZ5OC=i反比例函數(shù)》=—的圖象經(jīng)過點(diǎn)4,交BC,BD于點(diǎn)、M,N,CM=-,連接,ON,

2X

MN.

0x

k

(1)求反比例函數(shù)y=—的解析式及點(diǎn)N的坐標(biāo)；

X

(2)若點(diǎn)尸在x軸上，且AOPN的面積與四邊形的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為了=：，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1,3)

⑵點(diǎn)P的坐標(biāo)為t,0)或卜爭(zhēng)0)

【分析】(1)作軸于點(diǎn)￡,由點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)求得點(diǎn)/(4,2),代入反比例函數(shù)解析式求得該雙

O

曲線方程；由點(diǎn)M的坐標(biāo)易得點(diǎn)2的坐標(biāo)，再由此設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(",3),代入了=—求得"的值即可；

X

(2)S四邊形8MCW=S矩形0c5。_SqcM_SAOND~10.設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(P,0),由“AOPN的面積與四邊形BMON的

面積相等，，可得5AOW=1x|^|x3=10,由此求得?的值即可.

【詳解】(1)解：作軸，由。/=26，tanZ5OC=1,可得/E=2,OE=4.

.??點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4,2).

Q

???反比例函數(shù)的解析式為y=2,

X

84

由y=_,CM=-,

x3

可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為,,￡|.

由tanN30c=；,OC=6,

可得BC=3.

點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,3).

QO

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(",3),代入y=2中，得〃=：

x3

點(diǎn)N的坐標(biāo)為r3-

(2)解：S四邊形BMONS矩形OCHD_S&OCM_S&OND

=6x3--x6x---x3x-=10.

2323

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為30).

120

由以眄=于,卜3=10,得。=士石.

二點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及到了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，矩形的面積公式，三

角形的面積公式，銳角三角函數(shù)的定義以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，綜合性比較強(qiáng)，但

是難度不是很大.

15.已知直線了=〃墳+〃與x軸交于點(diǎn)初(2,0),與反比例函數(shù)y=，ABLx

(1)求反比例函數(shù)和直線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)過點(diǎn)。作直線/。的垂線，交直線ZC于點(diǎn)尸，求P點(diǎn)坐標(biāo).

33

【答案】⑴尸7+,

⑵

【分析】(1)由tan/NMO=［得盥==,從而求出點(diǎn)力的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)y="中求出發(fā)的值,

4BM4x

再將/(-2,3)點(diǎn)和M(2,0)點(diǎn)代入直線解析式，求出加、〃的值即可；

(33、4RCR

(2)過點(diǎn)尸作x軸的垂