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2024?2025南開區(qū)高三下學(xué)期一模試卷

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.本試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫

在本試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

參考公式：

?柱體的體積公式v=s〃，其中S表示柱體的底面積，。表示柱體的高.

V=-Sh

?錐體的體積公式3,其中S表示錐體的底面積，/,表示錐體的高.

?如果事件A8互斥，那么皿5）=P⑷+P⑶.

,對于事件AB,P（A）〉0,那么P（AB）=P（A）.P（B|A）.

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1若集合"={123,4,5,6,7,8,9},A={2,4,6,8},5={3,6,9},則（加4八5=（）

A.{3,9}B,{2,4,8}

C.{1,3,5,6,7,9}D.{1,2,4,5,6,7,8}

2.設(shè)XQER,則“爐+>2>o”是“孫>。?的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C充要條件D.既不充分也不必要條件

3.設(shè)〃=logo63,6=0.63,C=3°6,則（）

A.b<c<aB.a<c<b

C.b<a<cD.a<b<c

4.如圖是由一組實驗數(shù)據(jù)得到的散點圖，以下四個回歸方程類型中適合作為y與1的回歸方程類型的是

A.y=ax+bB.y=ax2+b

C.y=aex+bD.y=a\wc+b

5.已知是奇函數(shù),則a=（）

A.-1B.0C.1D.2

6.把函數(shù)y=/（x）圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向左平移三個單

位長度，得到函數(shù)y=8（力的圖象，且y=g（x）的圖象關(guān)于點中心對稱，則函數(shù)y=/（x）的解析

式可能是（）

A?。?哇一總

C./(x)=sinD./(x)=sinf2x+j|

7.已知函數(shù)/（x）=log/3:—1）（。>0,awl）在［2,+8）上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍為（）

B.(0,1)D.(1,+co)

3

8.如圖，在平行六面體ABC。—中，P是線段4。上一點，且AP=QP￡>,則三棱錐

By-ACP的體積與平行六面體ABCD-A4G。的體積之比為（）

C.1:3D.1:6

V2

9.設(shè)雙曲線。：Jl(a>0,Z?>0)左、右頂點分別是A，4,點P是。的一條漸近線上一點，若

b2

\OP\=y{a2+b2,/4P4=-,則C的離心率為（）

6

A.@B.叵C.V13D.4

23、

第II卷

注意事項：

1.用黑色黑水的鋼筆或簽字筆答題；

2.本卷共11小題，共105分.

二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的

給3分，全部答對的給5分.

10.i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)2=(1+。(2—山)(。€口)為純虛數(shù)，則。=.

11.若［五-2］的展開式的二項式系數(shù)和為32,且k2的系數(shù)為.

12.已知圓—4『=1與拋物線C：y2=2px(p>0)準(zhǔn)線相切于點瓦E為C的焦點，則直線

跖被圓M截得的弦長為.

13.有編號分別為L2,3的3個盒子，第1個盒子中有2個白球1個黑球，其余盒子中均為1個白球1個黑

球.現(xiàn)從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒子中任取一球放入第3個盒子，則從第1

個盒子中取到白球的概率是；從第3個盒子中取到白球的概率是.

14.在VABC中，AB=2,AC=6,^BAC=—,若點M為BC中點，點N滿足麗=—祝，點尸

32

為AM與BN的交點，用通和無心表示麗=；則NMPN的余弦值為.

15.已知/(x)=4—忖，若方程|2d+l―/⑺卜/⑴―2/+依+4?！?=0有四個不同的實數(shù)根，則

實數(shù)。的取值范圍為.

三、解答題：本大題共5題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.在VABC中，內(nèi)角A5,C的對邊分別為a,瓦c,且a=2j^,cosA=-L,sinB=2sinC.

4

(1)求邊方的長；

(2)求sinB的值；

(3)求cos[2C—g]的值.

17.如圖，在四棱錐P—A3CD中，平面R4O_L平面=

43=1,4。=2,4。=。￡>=逐,〃為棱"上一點，且AP=4AM.

(1)求證：BM//平面尸CD；

(2)求直線尸3與平面PCD所成角的正弦值；

(3)求平面PCD與平面ABC夾角的余弦值.

18.已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為X軸，y軸，且過兩點.

(1)求E的方程；

(2)過點(—4,0),斜率不為0的直線/與橢圓交于A3兩點，點C(—1』)，直線AC與x軸交于P,與

y軸交于直線3C與X軸交于Q,與y軸交于N.若3S.CMN=S.CPQ，求直線/的斜率.

19.已知公差大于。的等差數(shù)列｛%｝的前九項和為5“，且$3=9,。2+3是%—1，%的等比中項.

(1)求｛4｝的通項公式及5“；

⑵記bm為{%}在區(qū)間［見〃，2=）（加￡N*）內(nèi)項的個數(shù)，T,為數(shù)列出}的前〃項和.

⑴若＜+3＜2025,求〃的最大值；

（ii）設(shè)c=MG,證明：^-＜yc.＜-.

Tn+Sn42r9

20.已知函數(shù)/（“ulnx-f+x.

（1）求曲線丁=/（%）在點（e,〃e））處的切線方程；

（2）若/（尤）＜0在區(qū)間（0,。）上恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

（3）若方程/（%）=（加一1卜2+%（m€2有兩個不同的實數(shù)解%,%（玉＜%），證明:

參考答案

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1若集合U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={2,4,6,8},3={3,6,9},則⑹力cB=

A.{3,9}B,{2,4,8}

C,{1,3,5,6,7,9}D.{1,2,4,5,6,7,8）

【答案】A

【解析】

【分析】應(yīng)用集合的交補運算求集合.

【詳解】由題設(shè)許4={1,3,5,7,9},B={3,6,9},貝可加4）^^6={3,9}.

故選：A

2.設(shè)x,yeR,則“必+產(chǎn)〉0”是“孫＞0”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷條件間的推出關(guān)系，即可得.

【詳解】若必+丁〉0,如X=—l,y=l,但母>0不成立，充分性不成立；

若孫>o,顯然同號且不為o,則f+v〉。成立，必要性成立；

所以“必+/>0”是“孫>0”的必要不充分條件.

故選：B

3.設(shè)a=logo,63,5=0.63,c=3a6,則()

A.b<c<aB.a<c<b

C.b<a<cD.a<b<c

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)指對數(shù)的性質(zhì)判斷大小關(guān)系即可.

【詳解】由a=logo_63<0<6=0.63<l<c=3“，即a<b<c.

故選：D

4.如圖是由一組實驗數(shù)據(jù)得到的散點圖，以下四個回歸方程類型中適合作為y與X的回歸方程類型的是

()

斗

**

?,

**

??*

????????

~OX

A.y=ax+bB.y^ajc2+b

C.y=ae*+6D.y=cAnx+b

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)散點圖的變化趨勢及散點的分布情況判斷回歸方程的類型.

【詳解】由散點圖中各點的變化趨勢：非線性、且無eR上單調(diào)遞增，所以適合指數(shù)型模型.

故選：C.

5.已知/(x)=J2；e是奇函數(shù),則。=()

2—1

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)列方程求參數(shù)即可.

.COSY

【詳解】/(x,c°sx是奇函數(shù),

'''22X-1

m

由/(一%)=—/(%)得2~-cos(-x)2族?cosx

2-2X-122X-1

"-"n?cos》

所以2"'<,sx恒成立,則2一。=。，解得。=1.

-1-22X1-22X

故選：C

6.把函數(shù)y=/(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向左平移三個單

位長度，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，且y=g(無)的圖象關(guān)于點：,0中心對稱，則函數(shù)y=/(x)的解析

式可能是()

x7兀

A./(x)=sinB./(x)=sinX71

-—+一

2l2212

771

C./(x)=sin2x-D./(x)=sinf2x+j|

~L2

【答案】C

【解析】

【分析】依次由各選擇支函數(shù)根據(jù)平移變換求出g。)的解析式，再代值驗證對稱性可知.

x7兀

【詳解】對于選項A,若/(x)=sin2-l2

x7兀

則把函數(shù)y=/(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得到y(tǒng)=sin4-l2

7T717兀尤兀X

再把所得曲線向左平移§個單位長度，得到g(x)=sinX+-=sin=-cos—,

I4-24

71[71]

由gcos—*0,故g(x)圖象不關(guān)于點|二,0|中心對稱，故A錯;

1614)

x兀

對于選項B,若/(x)=sin—+一

212

X71

則把函數(shù)y=/(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變，可得到y(tǒng)=sin—+一

412

7T7171X71

再把所得曲線向左平移y個單位長度，得到g(x)=Sin%+—+—=sin—+—

31246

7171*0,故g。)圖象不關(guān)于點：,0中心對稱，故B錯;

由gsin一+—

166

對于選項C,若/(x)=sin12x-2

771

則把函數(shù)y=/(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得到y(tǒng)=SinX--------

12

再把所得曲線向左平移三個單位長度，得到g(x)=sin[x+g71-7兀

=sinx--

3I4

sinO=O,可知g(x)圖象關(guān)于點；,0中心對稱，故C正確;

由g

對于選項D,若/(x)=sin[2x+5卜

則把函數(shù)y=/(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得到y(tǒng)=sinx+R卜

再把所得曲線向左平移三個單位長度，得到g(x)=sinL+j71+^71|Usin[x+￡571j,

31212

715兀

由gsin—+一=sin—^0,

4123

故g。)圖象不關(guān)于點；,0中心對稱，故D錯.

故選：c.

7.已知函數(shù)/(%)=1。8“(公：—1)(。>0,0/1)在［2,+8)上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.g,"B.(0,1)D.(1,+8)

【答案】A

【解析】

【分析】令g(x)=依-1，得到g(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的

0<a<1

判定方法，列出不等式c,C，求得a的取值范圍，即可得到答案.

【詳解】令g(x)=ax-1，因為a>0且"1,所以函數(shù)g⑺為單調(diào)遞增函數(shù)，

要使得函數(shù)/(x)=log.(ax-\)(a>0,aw1)在［2,+s)上單調(diào)遞減，

0<<2<11<1>

則滿足c,c,解得一<。<1，所以實數(shù)a取值范圍為彳，1.

2a-l>02U)

故選：A.

3

8.如圖，在平行六面體ABC?！狝4GA中，P是線段4。上的一點，且AP=QP￡>,則三棱錐

片—ACP的體積與平行六面體ABC?！狝4GA的體積之比為()

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)已知，先證明A。//面A4C,再由匕-4。=匕^耳。二^D-ABXC=\-ACD及棱錐和棱柱的體積

公式，即可得.

【詳解】由題設(shè)及平行六面體的結(jié)構(gòu)特征易知4。//BQ,4。</面陰€\4Cu面明C,

所以4。//面做C,則A.D上任意一點到面AB.C的距離為定值，

又尸,。,則^Bi-ACP~^P-AByC~^D-AB^C~^B{-ACD，

由4-ACD的底面面積是平行六面體ABCD-A耳GR底面面積S的一半，且高力相等,

1sl1

所以5-ACD=3',3二％hS——匕BCD.gGQ,

故選：D

9.設(shè)雙曲線。：二=l（a>0,）〉0）的左、右頂點分別是A，4,點尸是c的一條漸近線上一點，若

a

\OP\=y/a2+b2,=-,則C的離心率為（）

6

c.V13D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)點P在第一象限，根據(jù)已知條件得到點P在以原點為圓心，。為半徑的圓

解得P（a,b）,從而得到NP4A=',利用正切值得到2a=#b，再轉(zhuǎn)化為

上，聯(lián)立＜b

y=-x

、a

ac的齊次方程求解即可.

【詳解】如圖所示，設(shè)點P在第一象限,

22

\OP\—y/ci+b-c,zL41PA2=~，

因為|OP|=|O司，所以點尸在以原點為圓心，c為半徑的圓上.

%2+J=

<b，解得

y=-x

、a

又因為4（。,0）,所以NP4A二方.

在中，二人，⑶闋=2〃，Z.\PA^=—,

也=立，即2a=立6

所以tan/A尸&=

b33

所以4/=g廿，4a2=；卜2_片），13a2=°2

2

即6~=—7=13,所以e=Ji3.

a"

故選：C

第II卷

注意事項：

1.用黑色黑水的鋼筆或簽字筆答題；

2.本卷共11小題，共105分.

二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的

給3分，全部答對的給5分.

10.i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)2=（1+。（2—山）（。€口）為純虛數(shù)，則。=.

【答案】—2

【解析】

【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘法求復(fù)數(shù)，根據(jù)純虛數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)值即可.

【詳解】由z=（l+i）（2—齒）=2+。+（2-。氏（。€11）為純虛數(shù)，

2+〃=0

所以則a=—2.

2—〃w0

故答案為：-2

11.若的展開式的二項式系數(shù)和為32,且%-2的系數(shù)為

【答案】-80

【解析】

【分析】由二項式系數(shù)和求得〃=5,再由通項公式即可求解.

【詳解】由題意可得2"=32，即〃=5,

S—"(05—3k

通項公式=U(-2)、亍，

5—弘

令-----=-2,可得：k=3,

2

所以x"的系數(shù)為c1—2)3=-80,

故答案為：-80

12.已知圓M:V+(y—4)2=1與拋物線C:V=2Px(p>0)的準(zhǔn)線相切于點E,F為c的焦點，則直線

跖被圓M截得的弦長為.

【答案】正

5

【解析】

【分析】根據(jù)已知可得P=2,進而有尸(1,0)、￡(-1,4),寫出W:2x+y—2=0,求圓心到直線距離,

再應(yīng)用圓中弦長的幾何求法求直線反被圓M截得的弦長.

【詳解】由題設(shè)，拋物線準(zhǔn)線為x=—”=—1,則p=2,故/(1,0),

由準(zhǔn)線與圓相切且圓心加(。,4),易知E(—1,4),

所以EF:y=-2(x-1),即EF:2x+y-2=0,

2

故"(0,4)到￡尸：21+丁一2=。的距離d=忑'

所以直線所被圓/截得的弦長為2,1-(1)2=|百.

故答案為：

ft

13.有編號分別為L2,3的3個盒子，第1個盒子中有2個白球1個黑球，其余盒子中均為1個白球1個黑

球.現(xiàn)從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒子中任取一球放入第3個盒子，則從第1

個盒子中取到白球的概率是;從第3個盒子中取到白球的概率是.

214

【答案】①.一②.

327

【解析】

【分析】應(yīng)用古典概率求法求從第1個盒子中取到白球的概率，再應(yīng)用獨立乘法公式和互斥事件加法求從

第3個盒子中取到白球的概率.

2

【詳解】由第1個盒子中有2個白球1個黑球，則從第1個盒子中取到白球的概率是一，

3

2

當(dāng)從第1個盒子中取到白球且概率為一，則第2個盒子中有2個白球1個黑球，

3

22

從第2個盒子抽到白球概率為一，則第3個盒子中有2個白球1個黑球，故抽到白球概率為一，

33

從第2個盒子抽到黑球概率為工，則第3個盒子中有1個白球2個黑球，故抽到白球概率為‘，

33

所以，對應(yīng)概率為一x(一x---1---X—)=----；

3333327

21

當(dāng)從第1個盒子中取到黑球且概率為1--=-,則第2個盒子中有1個白球2個黑球，

33

從第2個盒子抽到白球概率為,，則第3個盒子中有2個白球1個黑球，故抽到白球概率為3,

33

從第2個盒子抽到黑球概率則第3個盒子中有1個白球2個黑球，故抽到白球概率為工，

33

112214

所以，對應(yīng)概率為一x(—X—+—X—)=----；

3333327

10414

綜上，從第3個盒子中取到白球的概率是一+一=一.

272727

214

故答案為：—；—

327

2幾___,1,

14.在VA5C中，AB=2,AC=6,^BAC=—,若點M為5c的中點，點N滿足麗=—祝，點、P

32

為40與的交點，用通和/表示麗=；則/MPN的余弦值為.

【答案】①.-AC-AB-,②.叵.

37

【解析】

【分析】根據(jù)已知及加減、數(shù)乘的幾何意義可得麗=;蔗-麗、AM=-(AB+AC),再由4田N與

32

而，麗的夾角相等，結(jié)合向量數(shù)量積的運算律及夾角余弦值的求法求的余弦值.

_____I_____1_____>1_____>______

【詳解】由麗k=—祝k，則麗=麗+麗=麗+—恁=—恁—荏,

233

___AM-BN

由/MPN與AM,BN的夾角相等，則COSNMPN=_.一~

|AM||BN|

-?1—??2冗—??27r

y.AM=-(AB+AC),AB=2,AC=6,^BAC=—,則AC=2x6xcos'=—6,

233

----*----?1---*----*1----?---?1---?21---*----?1---*2

所以AM-8N=—(A5+AC)(—AC—AB)=—AC——ABAC——AB=6,

23632

\AM\=^(AB+AC)2=^AB2+2ABAC+AC2=S,

I]--*22----*---?---*2

I麗1==J-AC——ACAB+AB=2小,

V93

所以cos/MPN=

77x26-7

故答案為：-AC-AB,亙

37

15.已知〃x)=4—忖，若方程|2V+1—/⑺/"%)—2/+6+4?！?=0有四個不同的實數(shù)根，則

實數(shù)。的取值范圍為.

A

【答案】4V66-32<tz<-

【解析】

【分析】令g(x)=2/+i,先變形g(W)—/(忖)=(2國+3)(國—1),再分兇>1,04忖41兩種情況討

論g(W)-/(國)的正負(fù)，從而去掉絕對值符號，再分段求解方程的根，即可求出。的取值范圍.

【詳解】令8(%)=2爐+1,則原方程可化為|g(尤)一/(刈一/(尤)—g(x)+依+4a=0,

因為8。)_/(幻=212+]_(4_附=2%2+國_3,

又因為國2=/，所以上式可化為

g(N)-7(忖)=2|X|2+|X|-3=(2|X|+3)(|X|-1).

(1)當(dāng)兇>1時，(2|%|+3)(|x|-1)>0,g(|x|)-/'(|x|)>0,即g(x)-/(%)>0,

所以則原方程可化為g(x)-/(力一/(%)-g(x)+依+4a=0,

整理可得2|%|+ax+4a-8>0.

(i)當(dāng)1>1時，上式可化為(a+2)x+4a—8=0,

(a+2ro6

所以關(guān)于X的一次方程有解必須滿足”_8-4a解得—2<“<=①，

(ii)當(dāng)x<—1時，上式可化為(a—2)x+4a—8=0,解得x=—4,此時aw2②，

(2)當(dāng)04,歸1時,(2|x|+3)(|x|-l)<0,g(|x|)-/(H)<0,即g(x)-/(x)<0,

所以則原方程可化為/(x)-g(x)-/(x)-g(x)+ax+4a=0,

整理可得-4爐+改+4a—2=0.

因為當(dāng)W〉i時，原方程已有兩個不等的實數(shù)根，原方程要有四個不同的實數(shù)根，

方程-4x2+ax+4a—2=0必須有兩個不等的實數(shù)根，

令=4a-2,b⑴的對稱軸為x=旦

8

必須讓二次函數(shù)b(%)在[T』上與x軸有兩個不同的交點,

2=CJ2+16(4a-2)>0fa>4辰_32或a<-4V66-32

所以須滿足1用<1，即|-8<。6<8

F(1)<0a<-

IF(-l)<0Ia<2

A

解得4圾—32<a<g③,

所以，綜上①②③可得實數(shù)a的取值范圍為4^/66—32<。<g,

故答案為：4A/66-32<?<|.

三、解答題：本大題共5題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.在VABC中，內(nèi)角對邊分別為a,b,c,且a=2j^,cosA=1',sinB=2sinC.

4

(1)求邊6的長；

(2)求sinB的值;

(3)求cos12C-芝j的值.

【答案】(1)4(2)叵

4

(3)9、-11

-32

【解析】

【分析】(1)由正弦定理可知b=2c,進而結(jié)合余弦定理求解即可；

(2)根據(jù)平方關(guān)系先求得sinA=巫，再結(jié)合正弦定理求解即可；

4

(3)先求出sin2C,cos2C,再結(jié)合兩角差的余弦公式求解即可.

小問1詳解】

因sinB=2sinC,由正弦定理可知Z?=2c,

,人力…丁田―rZH/+/_/]4c2—241

由余弦定理可得cosA=----------=—,即------------——,

2bc44c24

解得c=2,故6=4.

【小問2詳解】

由cosA=——及A￡（0,7i）,得sinA=，

b巫，

由正弦定理---氤-，得&sie

sinA

4

解得sinjB=.

4

【小問3詳解】

由(2)得sin。='siniS='所以cos。=.

288

所以sin2c=2sinCcosC=------,cos2C=l-2sin2c=一.

1616

（2兀）2兀..2兀

所以cosI2c——I—cos2Ccos——Fsin2Csin

_11C1）3>/15A/3_975-11

16I2）16232

17.如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面R4DJ_平面ABCRABLAD,PA，PD,PA=P￡),

43=1,4￡>=2,4。=?！?gt;=6,“為棱釬上一點，且AP=44W.

(1)求證：5M//平面PCD；

(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;

(3)求平面PCD與平面ABC夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析;

⑵今

(3)

3

【解析】

【分析】(1)構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，求出平面PCD的一個法向量為=(x,y,z),應(yīng)用向量法得

BM-n=O,再由線面平行的判定證明結(jié)論;

(2)(3)根據(jù)(1),應(yīng)用向量法求線面角、面面角的正余弦值.

【小問1詳解】

取中點。，連接。COP,因為AC=CD,B4=P。，所以O(shè)CLAD,OPLAO.

又面面ABC￡>,OPu面HID,面面ABCD=AD,

所以O(shè)P_L平面ABCD.

以。為原點，OC,OA,OP所在直線分別為蒼y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

?JP（0,0,l）,B（l,l,0）,D（0,-l,0）,C（2,0,0）,A（0,l,0）.

所以赤=（0,-1,-1）,無=（2,0,-1）,而=（0,—1,1）,麗=（-1,0,0）,PS=（1,1,-1）,CD=（-2,-1,0）.

/、fn-PD=0（-y-z=0

設(shè)為=（x,y,z）為平面尸8的一個法向量，貝一，得L八，

令x=l,則y=-2,z=2,從而為=（12,2）.

因為AP=4W所以兩=而+戒=麗+1那=T—J

4

因為西?力=0,所以麗_L為，又BAfa平面PCD,則⑻W//平面PCD.

【小問2詳解】

|PB-n|

3

設(shè)尸3與平面PCD的夾角為6,貝！Jsin8=

網(wǎng)■同行3—3

【小問3詳解】

顯然，平面ABC的一個法向量為加=（0,0,1）,

I五。R22

設(shè)平面PCD與平面ABC夾角為（P,則cos。=\|=-=-.

|n|-OP313

18.已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸，y軸，且過（0,-1）,石，5兩點.

（1）求E的方程;

（2）過點（—4,0）,斜率不為。的直線/與橢圓交于A3兩點，點C（—L1）,直線AC與x軸交于P,與

y軸交于直線5c與X軸交于Q,與y軸交于N.若3S.CMN=S-CPQ,求直線/的斜率.

【答案】（1）—+/=1；

4

（2）

7

【解析】

【分析】（1）根據(jù)橢圓所過的點求參數(shù)，即可得方程；

（2）設(shè)直線/:%=a—4,A（%,%）,3（%,%），聯(lián)立橢圓并應(yīng)用韋達(dá)定理，再由直線

AC:y-1="=（％+1）,直線BC:y—1=生［（%+1）求交點坐標(biāo)，根據(jù)面積關(guān)系得

%1+1X2+l

3|%—y/T%—引，進而求得即可得.

【小問1詳解】

設(shè)E的方程為nix2+ny2=l（m>0,〃>0且相?！ǎ?，

（、n=l

將63兩點代入得1,解得機=為=1,

）

2I3m+4-n=l4

故E的方程為工+y2=l.

4

【小問2詳解】

依題意，設(shè)直線/:x=）-4,A（玉,M）,5（々,%），

:―"14,消去x整理得什+4)^2—89+12=0,

聯(lián)立

x+4y~=4、7

則△=(—8/)2—48(?+4)>0,即/>12,且％+%

直線心-王(x+1),直線3C：y-i=^4(x+i),

、/

%-1

令x=0,則M0,+1,N0,

石+171冗2+1,

/、/

石+1玉里-1,0,

令y=o,則P--1,0,Q-

XT71%-1?

X1%1_X]+1%2+1

由3sAeMN=SACPQ,得31yM-%|=|馬-尤J,即3

國+1%+1%一1%一]

[-3)(%-%)3)(%-%)

整理得3

〃％%_3《乂+%)+9%%一(%+%)+—

因為戶＞12,所以3產(chǎn)—36=3（『一8+16），解得仁：，

2

所以直線/的斜率為5.

19.已知公差大于0的等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為5“，且S3=9,4+3是%-1，%的等比中項?

（1）求｛為｝的通項公式及5“；

（2）記"為｛%｝在區(qū)間［見〃，2限）（"eN*）內(nèi)項的個數(shù)，Tn為數(shù)列也｝的前〃項和.

⑴若—025,求〃的最大值;

他加+2,證明：叵工S19

(ii)設(shè)C“=卒<]?

Tn+Sn4

2

【答案】⑴an=2n-l,Sn=n；

(2)(i)5；(ii)證明見解析..

【解析】

【分析】(1)應(yīng)用等差數(shù)列前”項和公式及等差中項的性質(zhì)、通項公式求基本量，進而得到｛%｝的通項公

式及S“；

(2)(i)根據(jù)已知得2根<〃<22加+%,即得2=4"—2"+1,應(yīng)用等差、等比前〃項和公式及分組求和

44

得北=(再由4+S〃<2025能成立求〃的最大值；

(ii)由(i)得的必1)(4"+3),判斷其單調(diào)性即可得孚，應(yīng)用基本不等式及

放縮有"竽=二，應(yīng)用錯位相減法求右側(cè)的前“項和上弋-學(xué)詈，即可證.

44—1499,4

【小問1詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

依題意，$3=3%+3d=9,即。]=3-〃①，

(4+3)=(。3—1)“5，即(q+d+3)=(q+2d-l)(t7]+4d)②，

將①代入②得42+34—10=0，因為d>0,解得d=2,q=l,

所以=2〃-l,S”=”2.

【小問2詳解】

(i)令a2nl<2〃一1<2""向，即4根—1<2“一1<22"+1,解得2m<〃<2?"+%,

n

所以勾=22恒-2m+1,即也｝的通項公式為bn=4-2n+l

所以,.4(1-的”(1+21)_4(4-1)-

“1-423

又SL〃2,所以r+s,=4(4"T).

4(47)

由r+s“=<2025,得4/1<6079,

3

因為46=4096<6079,47=16384>6079,

所以〃的最大值為5.

J(4〃—l)(4〃+3)則0,>0,所以汽q之仇=粵

(ii)由⑴知°=2X

"44"—1?=11=1i=l

、…59134〃一34〃+1

設(shè)"”=不+不+不+…+-----i----1--------①，

4〃T4"

59134〃一34/t+l

則/%=不+不+不+…++

4〃4〃+i

1--

354444__4H+11n4〃+11912n+19

①一②得M“=+4

+不+R=—+n+1

444