nn曲線運(yùn)動(dòng)萬(wàn)有引力與宇宙航行

［高考備考指南1

命題分析核心素養(yǎng)

1.本章命題熱點(diǎn)集中在運(yùn)動(dòng)的合成與

分解、平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)、萬(wàn)有引力

物理觀念：合運(yùn)動(dòng)、分運(yùn)動(dòng)、向心力、

與宇宙航行。

向心加速度、線速度、角速度、萬(wàn)有引

2.試題多貼近生活實(shí)際，如汽車過彎

力、宇宙速度。

道、乒乓球的運(yùn)動(dòng)軌跡等；試題多涉及

科學(xué)思維：運(yùn)動(dòng)的合成與分解、平拋斜

平拋運(yùn)動(dòng)的合成與分解，位移、速度等

面模型、豎直平面圓周運(yùn)動(dòng)模型、萬(wàn)有

物理量，圓周運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律的考查，

引力定律、開普勒定律、多星運(yùn)動(dòng)模型。

以及圓周運(yùn)動(dòng)的綜合題目。

科學(xué)態(tài)度與責(zé)任：離心現(xiàn)象與行車安

3.實(shí)驗(yàn)題的考查注重實(shí)驗(yàn)原理與操作

全、萬(wàn)有引力與衛(wèi)星發(fā)射、變軌、回收。

及以拓展創(chuàng)新形式考查實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Φ倪w

移應(yīng)用。

區(qū)曲線運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的合成與分解

［走進(jìn)教材?夯實(shí)屏礎(chǔ)］回顧知識(shí)?激舌技能

?梳理-必備知識(shí)

一、曲線運(yùn)動(dòng)

1.速度的方向：質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的速度方向，沿曲線在該點(diǎn)的切線方向。

2.運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)：做曲線運(yùn)動(dòng)的物體，速度的方向時(shí)刻在改變，所以曲線運(yùn)

動(dòng)一定是變速運(yùn)動(dòng)。

3.物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條件：物體所受合處力的方向跟它的速度方向不在同

一條直線上或它的加速度方向與速度方向不在同一條直線上。

二、運(yùn)動(dòng)的合成與分解

1.基本概念

(1)運(yùn)動(dòng)的合成：已知分運(yùn)動(dòng)求合運(yùn)動(dòng)。

(2)運(yùn)動(dòng)的分解：已知合運(yùn)動(dòng)求分運(yùn)動(dòng)。

2.分解原則：根據(jù)運(yùn)動(dòng)的實(shí)際效果分解，也可采用正交分解。

3.遵循的法則：，立移、速度、加速度都是矢量，故它們的合成與分解都遵

循平行四邊形定則。

?激活-基本技能

一、易錯(cuò)易誤辨析（正確的打，錯(cuò)誤的打“X”）

（1）曲線運(yùn)動(dòng)的速度大小可能不變。（/）

（2）曲線運(yùn)動(dòng)的加速度可以為零。（X）

（3）合運(yùn)動(dòng)的速度一定大于分運(yùn)動(dòng)的速度。（X）

（4）只要兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)，合運(yùn)動(dòng)一定是直線運(yùn)動(dòng)。（X）

（5）船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)即為船的合運(yùn)動(dòng)，其軌跡與水流速度和船在靜水中的速度

有關(guān)。（J）

（6）船頭指向的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)榇陟o水中的速度方向。（J）

二、教材習(xí)題衍生

1.（粵教版必修第二冊(cè)P4實(shí)驗(yàn)與探究改編）如圖所示，水平桌面上一小鐵球

沿直線運(yùn)動(dòng)。若在鐵球運(yùn)動(dòng)的正前方A處或旁邊B處放一塊磁鐵，下列關(guān)于小

鐵球運(yùn)動(dòng)的說(shuō)法正確的是（）

A.磁鐵放在A處時(shí)，小鐵球做勻速直線運(yùn)動(dòng)

B.磁鐵放在4處時(shí)，小鐵球做勻加速直線運(yùn)動(dòng)

C.磁鐵放在8處時(shí)，小鐵球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

D.磁鐵放在8處時(shí)，小鐵球做變加速曲線運(yùn)動(dòng)

D［磁鐵放在A處時(shí)，小鐵球受磁力作用向前加速，逐漸靠近磁鐵，磁力

增大，加速度增大，故A、B均錯(cuò)誤；磁鐵放在B處時(shí)，小鐵球受到的磁力與

速度方向不共線，做曲線運(yùn)動(dòng)，因磁力的大小和方向均隨距離的變化而變化，故

加速度大小是變化的，故C錯(cuò)誤，D正確。］

2.（魯科版必修第二冊(cè)P39Tl改編）（多選）雨滴由靜止開始下落，遇到水平方

向吹來(lái)的風(fēng)，下述說(shuō)法中正確的是（）

A.風(fēng)速越大，雨滴下落時(shí)間越長(zhǎng)

B.風(fēng)速越大，雨滴著地時(shí)速度越大

C.雨滴下落時(shí)間與風(fēng)速無(wú)關(guān)

D.雨滴著地速度與風(fēng)速無(wú)關(guān)

BC［將雨滴的運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向分解，兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)相互獨(dú)立，雨

滴下落時(shí)間與豎直高度有關(guān)，與水平方向的風(fēng)速無(wú)關(guān)，A錯(cuò)誤，C正確；風(fēng)速越

大，落地時(shí)，雨滴水平方向分速度越大，合速度也越大，B正確，D錯(cuò)誤。］

3.（人教版必修第二冊(cè)P9T4改編）如圖所示，豎直放置的兩端封閉的玻璃管

中注滿清水，內(nèi)有一個(gè)紅蠟塊能在水中勻速上浮。在紅蠟塊從玻璃管的下端勻速

上浮的同時(shí)，使玻璃管以速度。水平向右勻速運(yùn)動(dòng)。紅蠟塊由管口上升到頂端,

所需時(shí)間為。相對(duì)地面通過的路程為L(zhǎng)則下列說(shuō)法正確的是（）

A.。增大時(shí)，L減小B.u增大時(shí)，L增大

C.。增大時(shí)，，減小D.。增大時(shí)，，增大

B［紅蠟塊沿玻璃管上升的高度和速度不變，運(yùn)動(dòng)時(shí)間不變，由合運(yùn)動(dòng)與分

運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性知，玻璃管勻速運(yùn)動(dòng)的速度越大，則合速度越大，合位移越大，選

項(xiàng)B正確3］

［細(xì)研考點(diǎn)-突破題型］空難解密直擊高考

考點(diǎn)1曲線運(yùn)動(dòng)的理解使組通關(guān)

1.曲線運(yùn)動(dòng)的條件及特點(diǎn)

條件特點(diǎn)情景

（1）軌跡是一條曲線

⑵某點(diǎn)的瞬時(shí)速度的方

質(zhì)點(diǎn)所受合外力的方向

向，就是通過這一點(diǎn)的切

跟它的速度方向不在同

線的方1可

一直線上⑺oWO,尸NO）

⑶曲線運(yùn)動(dòng)的速度方向

時(shí)刻在改變，所以曲線運(yùn)

動(dòng)是變速運(yùn)動(dòng)，一定有加

速度

（4）合外力尸始終指向運(yùn)

動(dòng)軌跡的內(nèi)（或凹）側(cè)

2.合力方向與速率變化的關(guān)系

-------------/麗）一（物體的速率增大）

-------------物體的速率不變］

［題組突破］

1.關(guān)于物體的受力和運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法中正確的是（）

A.物體在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小可能一直不變

B.物體做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，某點(diǎn)的加速度方向就是通過這一點(diǎn)曲線的切線方向

C.物體受到變化的合力作用時(shí)，它的速度大小一定改變

D.做曲線運(yùn)動(dòng)的物體，一定受到與速度不在同一直線上的外力作用

D［如果合力與速度方向不垂直，必然有沿速度方向的分力，速度大小一

定改變，故A錯(cuò)誤；物體做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過某一點(diǎn)的曲線的切線方向是該點(diǎn)

的速度方向，而不是加速度方向，比如平拋運(yùn)動(dòng)，故B錯(cuò)誤；物體受到變化的

合力作用時(shí)，它的速度大小可以不改變，比如勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故C錯(cuò)誤；物體

做曲線運(yùn)動(dòng)的條件是一定受到與速度不在同一直線上的外力作用，故D正確。］

2.（2021?江蘇如皋中學(xué)高三檢測(cè)）一輛汽車在水平公路上轉(zhuǎn)彎，沿曲線由M

向N行駛，速度逐漸漕大。小王分別畫出汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)的四種加速度方向，則正

確的是（）

ABCD

A［汽車從"運(yùn)動(dòng)到N,做曲線運(yùn)動(dòng)，速度增大，所以沿切向方向有與速

度方向相同的分力，所以加速度方向與速度方向的夾角要小于90。，并且加速度

的方向指向軌跡的內(nèi)我I,故B、C、D錯(cuò)誤，A正確。］

3.（多選）（2021?山東濟(jì)南章丘區(qū)高三檢測(cè)）光滑水平面上一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)以速度

。。通過點(diǎn)O,如圖所示，與此同時(shí)給質(zhì)點(diǎn)加上沿X軸正方向的恒力乙和沿y軸

正方向的恒力馬,貝！1（）

A.因?yàn)橛衋,質(zhì)點(diǎn)一定做曲線運(yùn)動(dòng)

B.如果FjV入，質(zhì)點(diǎn)向y軸一側(cè)做曲線運(yùn)動(dòng)

C.如果a=Frtan”，質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)

D.如果尸工＞意，質(zhì)點(diǎn)向x軸一側(cè)做曲線運(yùn)動(dòng)

Idll（/,

CD［如果片、4二力的合力沿處方向，即尸產(chǎn)凡tana,則質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)

Fy

動(dòng)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，C正確；若凡＞加工，則合力方向在如與x軸正方向之間，

Fy

則軌跡向x軸一側(cè)彎曲，質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)，若吊V嬴力，則合力方向在如與y

軸之間，所以運(yùn)動(dòng)軌跡必向y軸一側(cè)彎曲，質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)，因不知a的大小和

打、石的大小關(guān)系，不能確定廣合是偏向x軸還是y軸，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，D正確。］

考點(diǎn)2運(yùn)動(dòng)的合成與分解4師生共研

1.合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系

等時(shí)性各分運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間與合運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間相等

獨(dú)立性各分運(yùn)動(dòng)獨(dú)立進(jìn)行，不受其他分運(yùn)動(dòng)的影響

等效性各分運(yùn)動(dòng)疊加起來(lái)與合運(yùn)動(dòng)有完全相同的效果

2.合運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)判斷

變化:非勻變速運(yùn)動(dòng)

加速度（或合外力），

不變:勻變速運(yùn)動(dòng)

加速度（或合外力）（共線：直線運(yùn)動(dòng)

方向與速度方向［不共線：曲線運(yùn)動(dòng)

加速度（或合外力）為0：勻速直線運(yùn)動(dòng)

3.兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的判斷

標(biāo)準(zhǔn)：看合初速度方向與合加速度（或合外力）方向是否共線。

兩個(gè)互成角度的分運(yùn)動(dòng)合運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)

兩個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)勻速直線運(yùn)動(dòng)

一個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)、

勻變速曲線運(yùn)動(dòng)

一個(gè)勻變速直線運(yùn)動(dòng)

兩個(gè)初速度為零的

勻加速直線運(yùn)動(dòng)

勻加速直線運(yùn)動(dòng)

兩個(gè)初速度不為零的勻變速如果。合與〃合共線，為勻變速直線運(yùn)動(dòng)

直線運(yùn)動(dòng)如果。合與〃合不共線，為勻變速曲線運(yùn)動(dòng)

［典例1］如圖所示，從」上海飛往北京的波音737客機(jī)在上午10點(diǎn)10分到

達(dá)首都國(guó)際機(jī)場(chǎng)。若飛機(jī)在水平分速度為60m/s,豎直分速度為6m/s時(shí)開始降

落，降落過程中飛機(jī)在水平方向做加速度大小等于2m/s?的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，在

豎直方向做加速度大小等于0.2m/s2的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，則飛機(jī)落地之前（）

A.飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線

B.經(jīng)20s飛機(jī)水平方向的分速度與豎直方向的分速度大小相等

C.在第20s內(nèi)，飛機(jī)在水平方向的分位移與豎直方向的分位移大小相等

D.飛機(jī)在第20s內(nèi)，水平方向的平均速度為21m/s

思路點(diǎn)撥：解本題的關(guān)鍵是掌握合運(yùn)動(dòng)軌跡和性質(zhì)的判斷方法，利用分解思

想，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性分方向進(jìn)行計(jì)算。

D［由于初速度的方向與合加速度的方向相反，故飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線,

A錯(cuò)誤；由勻減速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，飛機(jī)在第20s末的水平分速度為20m/s,

豎直方向的分速度為2m/s,B錯(cuò)誤；設(shè)水平方向與豎直方向上加速度大小分別

為aXfay,飛機(jī)在第20s內(nèi)，水平位移工=伙”2021m,

豎直位移y=次"20-；1與治一（初）“19—5^勾

=2.1m,C錯(cuò)誤；飛機(jī)在第20s內(nèi),

水平方向的平均速度為21m/s,D正確。］

令規(guī)律方法合運(yùn)動(dòng)軌跡和性質(zhì)判斷的技巧

（1）分析運(yùn)動(dòng)的合成與分解問題時(shí)，一般情況下按運(yùn)動(dòng)效果進(jìn)行分解。

(2)要注意分析物體在兩個(gè)方向上的受力及運(yùn)動(dòng)規(guī)律，分別在兩個(gè)方向上列

式求解。

(3)兩個(gè)方向上的分運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，這常是處理運(yùn)動(dòng)分解問題的關(guān)鍵總。

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.2021年8月為抗擊“德爾塔(Delta)毒株”疫情，保障百姓的基本生活，

某快遞公司推出了“無(wú)接觸配送”?？爝f小哥想到了用無(wú)人機(jī)配送快遞的方法,

某次配送快遞無(wú)人機(jī)在飛行過程中，水平方向的速度以及豎直方向的速度巧，與

飛行時(shí)間，的關(guān)系圖像如圖甲、乙所示。關(guān)于無(wú)人機(jī)的運(yùn)動(dòng)說(shuō)法正確的是()

甲乙

A.0?力時(shí)間內(nèi)，無(wú)人機(jī)做曲線運(yùn)動(dòng)

B.￡2時(shí)刻，無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)

C.白?〃時(shí)間內(nèi)，無(wú)人機(jī)做勻變速直線運(yùn)動(dòng)

D.時(shí)刻，無(wú)人機(jī)的速度為:加+加

D［0?力時(shí)間內(nèi)，無(wú)人機(jī)在水平方向做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，在豎直

方向也做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，則合運(yùn)動(dòng)為勻加速直線運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

0?白時(shí)間內(nèi)，無(wú)人機(jī)豎直方向速度一直為正，即一直向上運(yùn)動(dòng)，則時(shí)刻，無(wú)

人機(jī)還沒有運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；白?門時(shí)間內(nèi)，無(wú)人機(jī)水平方向做速度

為次)的勻速運(yùn)動(dòng)，豎直方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，則合運(yùn)動(dòng)為勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)

C錯(cuò)誤；￡2時(shí)刻，無(wú)人機(jī)的水平速度為V0,豎直速度為V2t則合速度為比0(?+蘇,

選項(xiàng)D正確。］

2.(2021?泰安模擬)路燈維修車如圖所示，車上帶有豎直自動(dòng)升降梯。若車

勻加速向左沿直線運(yùn)動(dòng)的同時(shí)梯子勻加速上升，則關(guān)于站在梯子上的工人的描述

正確的是()

9

A.工人相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)軌跡一定是曲線

B.工人相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)軌跡一定是直線

C.工人相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)軌跡可能是直線，也可能是曲線

D.工人受到的合力可能是恒力，也可能是變力

C［工人運(yùn)動(dòng)的合速度v=7笳+*合加速度a=q忌+*如果合速度

方向與合加速度方向在一條直線上，工人就做直線運(yùn)動(dòng)，不在一條直線上，工人

就做曲線運(yùn)動(dòng)，由于車和梯子的初速度未知、加速度未知，所以工人相對(duì)地面的

運(yùn)動(dòng)軌跡可能是曲線，也可能是直線，故A、B錯(cuò)誤，C正確；由于車勻加速向

左沿直線運(yùn)動(dòng)的同時(shí)梯子勻加速上升，加速度恒定，則合外力恒定，故D錯(cuò)誤。］

考點(diǎn).3.關(guān)聯(lián)速度問題?多維探究

1.模型特點(diǎn)

沿繩（桿）方向的速度分量大小相等。

2.四種常見分解示例

卜角度1“繩”關(guān)聯(lián)模型

［典例2］（多選）（2021?福建廈門市一模）如圖所示，一不可伸縮、質(zhì)量不計(jì)的

細(xì)線跨過同一高度處的兩個(gè)光滑輕質(zhì)定滑輪連接著質(zhì)量相同的物體A和8,4

套在固定的光滑水平桿上，物體、細(xì)線、滑輪和桿都在同一豎直平面內(nèi)，水平細(xì)

線與桿的距離為〃=0.2m。當(dāng)傾斜細(xì)線與桿的夾角”=53。時(shí)，同時(shí)無(wú)初速度釋

放A和及關(guān)于A、〃此后的運(yùn)動(dòng)，下列判斷正確的是（cos53°=0.6,sin53°

=0.8,重力加速度g取10m/s2)()

h/?□

A

A.當(dāng)53°vav900時(shí)，A.B的速率之比vA：以=1：cosa

B.當(dāng)53。<〃<90。時(shí)，A、B的速率之比vA：^=cosa：1

C.A獲得最大速率時(shí)a=90。

D.8獲得最大速率時(shí)“=90。

AC［將4的速度分解為沿細(xì)線方向和垂直于細(xì)線方向，在沿細(xì)線方向上，

A的分速度等于8的速度大小，有51COSG=O8,則。人：狽=1：cos”，故A正

確，B錯(cuò)誤；當(dāng)“<90。時(shí)，細(xì)線對(duì)A有沿運(yùn)動(dòng)方向的力的作用，A的速率增大，

當(dāng)〃>90。時(shí)，細(xì)線對(duì)A有與運(yùn)動(dòng)方向相反的力的作用，A的速率減小，可知在以

=90。時(shí)A的速率最大，同理，對(duì)3進(jìn)行分析可知，a=90。時(shí)，8的速率為零，

故C正確，D錯(cuò)誤。］

?角度2“桿”關(guān)聯(lián)模型

［典例3］（2021?山東濟(jì)南市3月模擬）曲柄連桿結(jié)構(gòu)是發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)現(xiàn)工作循環(huán),

完成能量轉(zhuǎn)換的主要運(yùn)動(dòng)零件，如圖所示，連桿下端連接活塞。，上端連接曲軸

P。在工作過程中，活塞。在汽缸內(nèi)上下做直線運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)曲軸繞圓心O旋轉(zhuǎn),

若尸做線速度大小為『。的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)。尸與。。垂直時(shí)，活塞運(yùn)動(dòng)的速度等于內(nèi)

B.當(dāng)。尸與。。垂直時(shí)，活塞運(yùn)動(dòng)的速度大于次）

C.當(dāng)。、P、。在同一直線時(shí)，活塞運(yùn)動(dòng)的速度等于5

D.當(dāng)0、P、。在同一直線時(shí)，活塞運(yùn)動(dòng)的速度大于內(nèi)

A［當(dāng)OP與。。垂直時(shí)，設(shè)NPQO=〃，此時(shí)活塞的速度為以將產(chǎn)的速

度分解為沿桿方向和垂直于桿方向的速度；將活塞的速度v分解為沿桿方向和

垂直于桿方向的速度，則此時(shí)DOCOS，=vcos/即D=UO,選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤;

當(dāng)O、尸、。在同一直戰(zhàn)時(shí)，尸沿桿方向的速度為零，則活塞運(yùn)動(dòng)的速度等于0,

選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤。］

令規(guī)律方法繩（桿）端速度的分解思路

更多生姿自典.沿著繩（桿）竺強(qiáng)巴

方向分解

沿繩或桿

繩4物或?接觸點(diǎn)

桿與物的的運(yùn)動(dòng)垂直繩（桿）的分速度

接觸點(diǎn)方向分解大小相等

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.一輕桿兩端分別固定質(zhì)量為，幅和"3的兩個(gè)小球A和W均可視為質(zhì)點(diǎn)）。

將其放在一個(gè)光滑球形容器中從位置1開始下滑，如圖所示，當(dāng)輕桿到達(dá)位置2

時(shí)球4與球形容器球心等高，其速度大小為切，已知此時(shí)輕桿與水平方向成夕

=30。角，3球的速度大小為也，貝！1（）

C［因球A與球形容器球心等高，則此時(shí)其速度

方向豎直向下，將速度s分解如圖所示。由圖可知：

Pii=^isin30。=品，對(duì)球B分析知，球3此時(shí)速度

方向與桿所在直線夾角為〃=60。，如圖所示，將球5

的速度。2分解，由圖可知。21=O2COS600=502,又mi=O21,所以。1=。2,故選

項(xiàng)C正確。］

2.（2021?福建省福州市高三月考）質(zhì)量為機(jī)的物體P置于傾角為仇的固定

光滑斜面上，輕細(xì)繩跨過光滑定滑輪分別連接著P與小車，尸與滑輪間的細(xì)繩平

行于斜面，小車以速率。水平向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)小車與滑輪間的細(xì)繩和

水平方向成夾角仇時(shí)（如圖），下列判斷正確的是（）

A.尸的速率為oB.P的速率為osin(h

C.尸處于超重狀態(tài)D.「處于失重狀態(tài)

C［將小車的速度。進(jìn)行分解如圖所示：則有Dp=vcos02,

選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；小車向右運(yùn)動(dòng)，傷減小，。不變，則0P逐漸增

大，說(shuō)明物體尸沿斜面向上做加速運(yùn)動(dòng)，處于超重狀態(tài)，選項(xiàng)C

正確，D錯(cuò)誤。］

考點(diǎn)4小船渡河問題《師生共研

1.船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是水流的運(yùn)動(dòng)和船相對(duì)靜水的運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。

2.三種速度：初(船在靜水中的速度)、S(水流速度)、”船的實(shí)際速度％

3,小船渡河的兩類問題、三種情境

當(dāng)船頭方向垂直河岸時(shí)，渡河時(shí)間最短，

渡河時(shí)間最下

短F￡最短時(shí)間外加一丁

)，，，，，，，，，，i

如果D1>D2,當(dāng)船頭方向與上游夾角，滿

1

v.G1足01cos夕=改時(shí)，合速度垂直河岸，渡

渡河位移最河位移最短，等于河寬d

短

、、、、、、、邛如果切<。2,當(dāng)船頭方1可與合速度方向垂

，落d直時(shí)，渡河位移最短，等于^

4.解決小船渡河問題的注意要點(diǎn)

(1)正確區(qū)分分運(yùn)動(dòng)和合運(yùn)動(dòng)，船的航行方向也就是船頭所指方向的運(yùn)動(dòng)，

是分運(yùn)動(dòng)，船的運(yùn)動(dòng)也就是船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)，是合運(yùn)動(dòng)，與船頭所指方向一般情況

下不共線。

(2)按實(shí)際效果分解，一般用平行四邊形定則沿水流方向和船頭所指方向分

解。

(3)渡河時(shí)間只與船垂直河岸的分速度有關(guān)，與水流速度無(wú)關(guān)。

(4)求最短渡河位移時(shí)，根據(jù)船速5與水流速度02的大小情況，用三角形定

則處理。

［典例4］小船勻速橫渡一條河流，當(dāng)船頭垂直對(duì)岸方向航行時(shí)，在出發(fā)后

10min到達(dá)對(duì)岸下游120m處：若船頭保持與河岸成々角向上游航行，航程最

短，出發(fā)后12.5min到達(dá)正對(duì)岸，sin37°=0.6,cos37°=0.8o求:

(1)水流的速度大小；

⑵小船在靜水中的速度大小、河的寬度以及船頭與河岸間的夾角服

審題指導(dǎo)：

關(guān)鍵語(yǔ)句獲取信息

船頭垂直對(duì)岸方向航行時(shí)，在垂直河岸航行，過河最短時(shí)間為lOmin

出發(fā)后1()min到達(dá)對(duì)岸下游

可求水流速度

120m處

若船頭保持與河岸或a角向上航程最短時(shí)，過河時(shí)間為12.5min

游航行，航程最短，出發(fā)后12.5

最短航程為運(yùn)流的寬度，可求合速度

min到達(dá)正對(duì)岸

［解析］(1)船頭垂直對(duì)岸方向航行時(shí)，如圖甲所示。

x［20

由x—02力得02—,一“nm/s—02m/so

41OUU

⑵船頭保持與河岸成以角向上游航行時(shí)，如圖乙所示。

V2=vicosa,J=Pisina*ti

由圖甲可得

聯(lián)立解得“=53°,m/s,d=200m。

J

［答案］(1)0.2m/s(2)|m/s200m53°

令規(guī)律方法小船渡麗題解題版

渡河時(shí)間最短，船頭垂直河岸時(shí)］

模皿渡河位移最小水的情猊)I|建模型|

［渡河位移鼓小(.<”木的情況)I—

二L正交分解(沿河岸、垂直于河岸)

他嘮欠一三角形(常用于分析限值)

i.在抗洪搶險(xiǎn)中，戰(zhàn)士駕駛摩托艇救人，假設(shè)江岸是平直的，洪水沿江向

下游流去，水流速度為相，摩托艇在靜水中的航速為戰(zhàn)士救人的地點(diǎn)A離

岸邊最近處。的距離為d,如戰(zhàn)士想在最短時(shí)間內(nèi)將人送上岸，則摩托艇登陸的

地點(diǎn)離。點(diǎn)的距離為（）

dvidv\dvi

A.i,B.0C.----D.—

C［摩托艇要想在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)江岸，其航行方向要垂直于江岸，摩托

艇實(shí)際的運(yùn)動(dòng)是相對(duì)于水的航行運(yùn)動(dòng)和水流的運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，垂直于江岸方向的

運(yùn)動(dòng)速度為改，到達(dá)江岸所用時(shí)間￡=導(dǎo)；沿江岸方向運(yùn)動(dòng)速度是水速在相

同的時(shí)間內(nèi)，被水沖向下游的距離即為登陸點(diǎn)距離。點(diǎn)的距離§=0"=三丁故

選C。］

2.一小船過河時(shí)，船頭與上游河岸夾角為a,其航線恰好垂直于河岸。已

知小船在靜水中的速度為熱現(xiàn)水流速度稍有增大，為保持航線不變，且能準(zhǔn)時(shí)

到達(dá)河對(duì)岸，下列措施中可行的是（）

A.減小a角，減小船速oB.減小tz角，增大船速v

C.增大“角，增大船速vD.增大a角，減小船速0

B［由題意可知，小船相對(duì)水的速度為。，其航線恰好垂直于n

河岸，如圖所示，當(dāng)水流速度小稍有增大，為保持航線不變，且一7始

準(zhǔn)時(shí)到達(dá)對(duì)岸，則船速變化如圖”所示，可知B正確。］

3.（2021?江淮十校第二次聯(lián)考）一艘船以內(nèi)的速度用最短的時(shí)間渡河，另一

艘船以。"的速度從同一地點(diǎn)以最短的路程過河，兩船軌跡恰好重合（設(shè)河水速度

保持不變），則兩船過河所用的時(shí)間之比是（）

A.VA:VBB.VBIVAC.vi:viD.vn:v}

D［兩船抵達(dá)的地點(diǎn)相同，知合速度方向相同，A船靜水工工

...戔/冬位移

速度垂直于河岸，8船的靜水速度與合速度垂直，如圖所示，以酷飛

兩船的合位移相等，則渡河所用時(shí)間之比等于兩船合速度之反

比，則：段=北=當(dāng)產(chǎn)=普，故選項(xiàng)D正確，A、B、C錯(cuò)誤°］

sin0

人拋體運(yùn)動(dòng)

［走進(jìn)教材?務(wù)實(shí)基礎(chǔ)］回顧知識(shí)?激舌技能

◎梳理-必備知識(shí)

一、平拋運(yùn)動(dòng)

1.定義

將物體以一定的初速度沿水血包拋出，物體只在重力作用下所做的運(yùn)動(dòng)。

2.性質(zhì)

加速度為W的勻變速曲線運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線。

3.條件：。。#0,沿水平方向;只受重力作用。

二、平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律

1.研究方法

平拋運(yùn)動(dòng)可以分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)。

2.基本規(guī)律

(1)位移關(guān)系

三、斜拋運(yùn)動(dòng)

1.定義：將物體以初速度。。斜向上方或斜向下方拋出，物體只在重力作用

下的運(yùn)動(dòng)。

2.性質(zhì)：斜拋運(yùn)動(dòng)是加速度為工的勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線。

3.研究方法：運(yùn)動(dòng)的合成與分解

（1）水平方向：勻速直線運(yùn)動(dòng)；

⑵豎直方向：勻變速直線運(yùn)動(dòng)。

4.基本規(guī)律（以斜上拋運(yùn)動(dòng)為例，如圖所示）

（1）水平方向：POx=^（）COS0,尸合x=0；

（2）豎直方向：i；ov=posin3,尸合y=/〃g。

?激活-基本技能

一、易錯(cuò)易誤辨析（正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”）

（1）以一定的初速度水平拋出的物體的運(yùn)動(dòng)是平拋運(yùn)動(dòng)。（X）

（2）平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡是拋物線，速度方向時(shí)刻變化，加速度方向也可能時(shí)刻

變化。（X）

（3）兩個(gè)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體，初速度大的落地時(shí)速度大。（X）

（4）做平拋運(yùn)動(dòng)的物體初速度越大，在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越短。（X）

（5）無(wú)論初速度是斜向上方還是斜向下方的斜拋運(yùn)動(dòng)都是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。

（V）

二、教材習(xí)題衍生

1.（人教版必修第二冊(cè)Pu參考案例改編）（多選）為了驗(yàn)證做平拋運(yùn)動(dòng)的小球

在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，用如圖所示的裝置進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。小錘打擊彈性金屬

片后，A球水平拋出，同時(shí)B球被松開，自由下落。關(guān)于該實(shí)驗(yàn)，下列說(shuō)法中

正確的是（）

A.兩球的質(zhì)量應(yīng)相等

B.兩球應(yīng)同時(shí)落地

C.應(yīng)改變裝置的高度，多次實(shí)驗(yàn)

D.實(shí)驗(yàn)也能說(shuō)明A球在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)

BC［兩球從同一高度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，豎直方向均做自由落體運(yùn)動(dòng)，落地時(shí)

間一定相等，不需要兩球質(zhì)量相等，為了驗(yàn)證平拋運(yùn)動(dòng)在豎直方向的分運(yùn)動(dòng)為自

由落體運(yùn)動(dòng)，應(yīng)改變高度多次實(shí)驗(yàn)才能驗(yàn)證猜想，故A錯(cuò)誤，B、C正確；本實(shí)

驗(yàn)無(wú)法說(shuō)明平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向的運(yùn)動(dòng)是勻速直線運(yùn)動(dòng)，D錯(cuò)誤。］

2.（魯科版必修第二冊(cè)P44T2改編）一架投放救援物資的飛機(jī)在某個(gè)受援區(qū)域

的上空水平勻速飛行，從飛機(jī)上每隔1s投下1包救援物資，先后共投下4包，

若不計(jì)空氣阻力，則4包物資落地前（）

A.在空中任何時(shí)刻總是排成拋物線，它們的落地點(diǎn)是等間距的

B.在空中任何時(shí)刻總是排成拋物線，它們的落地點(diǎn)不是等間距的

C.在空中任何時(shí)刻總在飛機(jī)正下方排成豎直的直線，它們的落地點(diǎn)是等間

距的

D.在空中任何時(shí)刻總在飛機(jī)正下方排成豎直的直線，它們的落地點(diǎn)不是等

間距的

C［勻速飛行的飛機(jī)上落下的物資做平拋運(yùn)動(dòng)，在水平方向做勻速直線運(yùn)

動(dòng)，且與飛機(jī)的速度相同，因此，4包物資在空中任何時(shí)刻總在飛機(jī)正下方排成

豎直線，因各物資落地間隔時(shí)間相等，落地點(diǎn)是等間距的，故選項(xiàng)C正確，A、

B、D均錯(cuò)誤。］

3.（人教版必修第二冊(cè)P21T3改編）為踐行新形勢(shì)下的強(qiáng)軍目標(biāo)，在某次軍事

演習(xí)中，水平勻速飛行的無(wú)人機(jī)在斜坡底端4的正上方投彈，炸彈垂直擊中傾

角為，=37。、長(zhǎng)為L(zhǎng)=300m的斜坡的中點(diǎn)P,如圖，若01137。=0.6,cos37°

=0.8,g取10m/s2,則無(wú)人機(jī)距A點(diǎn)的高度h和飛行的速度。分別為（）

A./?=170mv=30m/s

B./z=135my=40m/s

C.Zr=80m0=30m/s

D.A=45m0=40m/s

DPI

A［根據(jù)速度的分解有：tan0=—=—x=rcos37°=p/,聯(lián)立解得1=4s,

vygi/

p=30ni/s;則炸彈豎直位移為產(chǎn)JgP=80m,故無(wú)人機(jī)距A點(diǎn)的高度力=y+J

sin0=170m,故選項(xiàng)A正確。］

［細(xì)研考點(diǎn)-突破題型］空難解感好高考

考點(diǎn)1平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律及應(yīng)用?師生共研

1.平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間和水平射程

⑴運(yùn)動(dòng)時(shí)間：由片時(shí)間取決于下落高度兒與初速度。。無(wú)關(guān)。

(2)水平射程：x=vat,即水平射程由初速度5和下落高度h共同

決定。

2.速度和位移的變化規(guī)律

(1)速度的變化規(guī)律

①任一時(shí)刻的速度水平分量均等于初速度5。

②任一相等時(shí)間間隔Nt內(nèi)的速度變化量方向豎直向下，大小Ao=Ap，=

gAf(如圖所示)。

⑵位移變化規(guī)律

①任一相等時(shí)間間隔內(nèi)，水平位移相同，即Ax=wAf。

②連續(xù)相等的時(shí)間間隔At內(nèi)，豎直方向上的位移差不變，即Ay=g(AfP。

3.兩個(gè)重要推論

⑴做平拋(或類平拋)運(yùn)動(dòng)的物體任一時(shí)刻的瞬時(shí)速度的反向延長(zhǎng)線一定通

過此時(shí)水平位移的中點(diǎn)，如圖甲所示，B是。。的中點(diǎn)，即皿=于。

VA

推導(dǎo):

甲乙

（2）如圖乙所示，做平拋（或類平拋）運(yùn)動(dòng)的物體在任一時(shí)刻（任一位置處），設(shè)

其速度方向與水平方向的夾角為伍位移與水平方向的夾角為“，則tan〃=2tan

推導(dǎo):ftan，=2tana

［典例1］（多選）如圖所示，從某高度處水平拋出一小球，經(jīng)過時(shí)間，到達(dá)地

面時(shí)，速度方向與水平方向的夾角為伍不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g。下列

說(shuō)法正確的是（）

A.小球水平拋出時(shí)的初速度大小為島

idnu

B.小球在，時(shí)間內(nèi)的位移方向與水平方向的夾角為§

C.若小球初速度增大，則平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間變長(zhǎng)

D.若小球初速度增大，則。減小

AD［如圖所示，由tan〃=短可得小球平拋的初速度大小

劭）=潦選項(xiàng)A正確；由tana=2=%7=^=；tan〃可知，”老，選項(xiàng)B

錯(cuò)誤；小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間￡=、/m，與小球初速度大小無(wú)關(guān)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

由tan〃=總可知，次）越大，〃越小，選項(xiàng)D正確。］

令規(guī)律方法分解思想在平拋運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用

（1）解答平拋運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，一般的方法是將平拋運(yùn)動(dòng)位移沿水平和豎直兩個(gè)

方向分解，這樣分解的優(yōu)點(diǎn)是不用分解初速度也不用分解加速度。

（2）畫出速度（或位移）分解圖，通過幾何知識(shí)建立合速度（合位移）、分速度（分

位移）及其方向間的關(guān)系，通過速度（位移）的矢量三角形求解未知量。

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.在地面上方某點(diǎn)將一小球以一定的初速度沿水平方向拋出，不計(jì)空氣阻

力，則小球在隨后的運(yùn)動(dòng)中（）

A.速度和加速度的方向都在不斷改變

B.速度與加速度方向之間的夾角一直減小

C.在相等的時(shí)間間隔內(nèi)，速率的改變量相等

D.在相等的時(shí)間間隔內(nèi)，動(dòng)能的改變量相等

B［由于不計(jì)空氣阻力，小球只受重力作用，故加速度為g,方KUWA”

向不變；小球做平拋運(yùn)動(dòng)，速度的方向不斷變化，在任意一段時(shí)間內(nèi)

速度的變化量Ao=gM,如圖所示，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；設(shè)某時(shí)刻速度與豎

直方向的夾角為名則tan9=,=3，隨著時(shí)間工的變大，tan。變小，選項(xiàng)B

vygi

正確；由圖可以看出，在相等的時(shí)間間隔內(nèi)，速度的改變量Au相等，但速率的

改變量03—sWs—VlWvi一g，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；在豎直方向上位移人=%產(chǎn)，可

知小球在相同的時(shí)間內(nèi)下落的高度不同，根據(jù)動(dòng)能定理，動(dòng)能的改變量等于重力

做的功，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。］

2.（2021?陜西省咸陽(yáng)市高三第二次月考）如圖所示，〃、b兩個(gè)小球從不同高

度同時(shí)沿相反方向水平拋出，其平拋運(yùn)動(dòng)軌跡的交點(diǎn)為P,則以下說(shuō)法正確的是

b

A.4、〃兩球同時(shí)落地

B.〃、方兩球落地速度相等

C.〃、力兩球在尸點(diǎn)相遇

D.無(wú)論兩球初速度大小多大，兩球總不能相遇

D兩個(gè)小球從不同高度同時(shí)沿相反方向水平拋出，豎直分運(yùn)動(dòng)為自

由落體運(yùn)動(dòng)，故落地前任意時(shí)刻高度不同，不可能相遇，力球的高度較小，根據(jù)

。球一定先落地，A、C錯(cuò)誤，D正確；由于兩球的初速度大小未

知，則無(wú)法比較兩球落地的速度大小，B錯(cuò)誤。］

3.如圖所示，從傾角為。且足夠長(zhǎng)的斜面的頂點(diǎn)A,先后將同一小球以不

同的初速度水平向右拋出，第一次初速度為相，小球落到斜面上前一瞬間的速

度方向與斜面的夾角為依，第二次初速度為。2,小球落在斜面上前一瞬間的速

度方向與斜面間的夾角為"2,若。2＞。1,則仰和02的大小關(guān)系是（）

A

A.（pl＞（p2B.（pi＜（p2C.（pl=（p2D.無(wú)法確定

C［根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的推論，做平拋或類平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任一時(shí)刻或任一

位置時(shí)，設(shè)其速度方向與水平方向的夾角為“，住移與水平方向的夾角為4則

tana=2tanpo由上述關(guān)系式結(jié)合題圖中的幾何關(guān)系可得：tan（s+，）=2tan氏

此式表明小球的速度方向與斜面間的夾角°僅與9有關(guān)，而與初速度無(wú)關(guān)，因

此仲=02,即以不同初速度平拋的物體，落在斜面上各點(diǎn)的速度方向是互相平

行的，故C正確。］

4.（2021?河北卷）鈍原子鐘是精確的計(jì)時(shí)儀器，圖1中鈉原子從。點(diǎn)以100

m/s的初速度在真空中做平拋運(yùn)動(dòng)，到達(dá)豎直平面所用時(shí)間為組圖2中跑

原子在真空中從尸點(diǎn)做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)。（未畫出）再返回尸點(diǎn)，整個(gè)

過程所用時(shí)間為4O點(diǎn)到豎直平面MN、尸點(diǎn)到。點(diǎn)的距離均為0.2m,重力

加速度g取10m/s2,則h:在為（）

M

04~?

I

N

圖1

圖2

A.100：1B.1：10()C.1：200D.200：1

C［鈍原子做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，即工=。必解得力

x0.2ti

=^=100s,匏原子做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，拋至最高點(diǎn)用時(shí)5,逆過程可視為自由落

0.2

1御函/8X0,2￡i100J_

體，即“=皿R，解得匕=\］g=\10=0.4s,則l=0.4=200,故選項(xiàng)

C正確。］

考點(diǎn)2有約束條件的平拋運(yùn)動(dòng)(多維探究

1.對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)的約束條件常見的有“斜面”約束和“曲面”約束，解此類

問題的關(guān)鍵：

(1)靈活運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)的位移和速度分解方法。

(2)充分運(yùn)用斜面傾角，找出斜面傾角與位移偏向角、速度偏向角的關(guān)系。

(3)“曲面”約束類要靈活應(yīng)用平拋運(yùn)動(dòng)的推論。

1離斜面報(bào)遠(yuǎn)

Vygtvotan0

tan0——-*I-

VODOg

落到斜面上時(shí)合速度與水平方向的夾角為如tan

Qtpf22y

———2tan0,a—（p—O

>POvotxy

1切個(gè).弧形凹槽1

Vygtvotan0

tan0—/--*/—e

.?部VOV()g

V

在半圓內(nèi)的平拋運(yùn)動(dòng)，力牛一

_也0R=ggF,R+R242=

V（）t

角度1斜面約束的平拋運(yùn)動(dòng)

［典例2］（2021?浙江省嘉興市高三月考）如圖所示，傾角為，的斜面體固定

在水平面上，兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球甲和乙分別沿水平方向拋出，兩球的初速度

大小相等，己知甲的拋出點(diǎn)為斜面體的頂點(diǎn)，經(jīng)過一段時(shí)間兩球落在斜面上的A、

B兩點(diǎn)后不再反彈，落在斜面上的瞬間，小球乙的速度與斜面垂直。忽略空氣的

阻力，重力加速度為g。則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.甲、乙兩球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為taM〃：1

B.甲、乙兩球下落的高度之比為2tan4。：1

C.甲、乙兩球的水平位移之比為tan。：1

D.甲、乙兩球落在斜面上瞬間的速度與水平面夾角的正切值之比為2tan2

0：1

思路點(diǎn)撥：解此題關(guān)鍵是將兩小球在斜面上的落點(diǎn)進(jìn)行分析，利用斜面夾角

和初速度相等的條件，獲取兩小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系,

gg產(chǎn)

V巾F2i?otan0,._

D［由小球甲的運(yùn)動(dòng)可知tan0=*=解得---,小球乙落

vot2。。't=

到斜面上的速度與豎直方向夾角的正切值為tan。=二，解得￡'="力，則甲、

乙兩球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為；=2tan2，：1,故A錯(cuò)誤；由力可知甲、

I/

乙兩球下落的高度之比為合七一=4tan4^：1,故B錯(cuò)誤；由x=oof可知甲、

洌2

乙兩球水平位移之比為弓=巖=2tan2。：1,故C錯(cuò)誤；甲球落在斜面上瞬間的

人"C/UC

速度與水平面夾角的正切值為tana=~~=^=2tan0,乙球落到斜面上的速度與

Vx00

水平方向夬角的正切值為匕11/?=套=系，甲、乙兩球落在斜面上瞬間的速度

與水平面夾角的正切值之比為普號(hào)=2tan2〃：1,故D正確。］

IdllP

?角度2曲面約束的平拋運(yùn)動(dòng)

［典例3］(2021?四川宜賓市第二次診斷)如圖所示，一豎直圓弧形槽固定于

水平地面上，。為圓心，48為沿水平方向的直徑。若在A點(diǎn)以初速度初沿

方向平拋一小球，小球?qū)糁胁郾谏系淖畹忘c(diǎn)D點(diǎn)；若A點(diǎn)小球拋出的同時(shí)，

在C點(diǎn)以初速度s沿BA方向平拋另一相同質(zhì)量的小球并也能擊中D點(diǎn)，已知

ZCOD=60°,且不計(jì)空氣阻力，貝lj()

A.兩小球同時(shí)落到D點(diǎn)

B.兩小球初速度大小之比為^6：3

C.兩小球落到D點(diǎn)時(shí)的速度方向與OD線夾角相等

D.兩小球落到。點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速率之比為啦：1

B［由于4、C兩點(diǎn)到O點(diǎn)的豎直高度不同，兩球在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間不同，

H1?

選項(xiàng)A錯(cuò)誤；設(shè)圓弧形槽半徑為R,對(duì)從A點(diǎn)拋出的小球，R=v\tAt

,對(duì)從C點(diǎn)拋出的小球，Rsin600=V2tc,tc=

B正確；設(shè)在O點(diǎn)速度方向與。。線夾角為名豎直分速度為馬，水平分速度為

PO,則tan0=~,由v\*。2=#:3和vi:vi=tA:必=啦：1知tanWtan（h,

vyvy

選項(xiàng)C錯(cuò)誤；設(shè)A、C兩點(diǎn)拋出球落到O點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速率分別為內(nèi)、vc,vA=

yjvf+vfi,vc=74+說(shuō)=弋（gR,則VA:vc=yflO:S，選項(xiàng)D錯(cuò)

誤。］

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.（2021?江西省上饒市廣信二中高三上學(xué)期第二次月考）如圖所示，斜面固

定在水平面上，兩個(gè)小球分別從斜面底端。點(diǎn)正上方4、B兩點(diǎn)向右水平拋出,

8為4。連線的中點(diǎn)，最后兩球都垂直落在斜面上，A、B兩球擊中斜面位置到

。點(diǎn)的距離之比為（）

A?啦:1B,2：1C?4：啦D.4：1

B［設(shè)任一小球的初速度為ro,拋出點(diǎn)離。點(diǎn)的高度為hf平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)

間為f,斜面的傾角為仇據(jù)題小球垂直擊中斜面，速度與斜面垂直，由速度分

解可知Ojtan夕=5；又馬=g￡可得:f=二:a,根據(jù)幾何關(guān)系得:A+Mtan

0c

夕=2二加,據(jù)題有OA=2OBt則得VA=yf2vBo擊中斜面位置到O

點(diǎn)的距離為5=^=癡深晟78.卮故得A、8兩球擊中斜面位置到。點(diǎn)的

距離之比為2：1,故選項(xiàng)B正確。］

2.（多選）（2021?河南鄭州市第二次質(zhì)量檢測(cè)）如圖所示為一半球形的坑，其

中坑邊緣兩點(diǎn)M,N與圓心等高且在同一豎直平面內(nèi)?，F(xiàn)甲、乙兩位同學(xué)分別

站在M、N兩點(diǎn)，同時(shí)將兩個(gè)小球以0、汝的速度沿圖示方向水平拋出，發(fā)現(xiàn)

兩球剛好落在坑中同一點(diǎn)0,已知NMOQ=60。，忽略空氣阻力。則下列說(shuō)法中

正確的是（）

A.兩球拋出的速率之比為1:3

B.若僅增大小，則兩球?qū)⒃诼淙肟又兄跋嘧?/p>

C.兩球的初速度無(wú)論怎樣變化，只要落在坑中的同一點(diǎn)，兩球拋出的速率

之和不變

D.若僅從M點(diǎn)水平拋出小球，改變小球拋出的速度，小球可能垂直坑壁

落入坑中

AB［由于兩球拋出的高度相等，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，x\=vit9X2=v2t,由幾

何關(guān)系可知M=3XI,所以兩球拋出的速率之比為1：3,故A正確；由2K=(s

+也)￡可知，若僅增大0,時(shí)間減小，所以兩球?qū)⒃诼淙肟又兄跋嘧?，故B

正確：要使兩小球落在坑中的同一點(diǎn)，必須滿足必與久之和與時(shí)間的乘積等于

半球形坑的直徑，即(3+辦"=2尺落點(diǎn)不同，豎直方向位移就不同，f也不同，

所以兩球拋出的速度之和不是定值，故C錯(cuò)誤；由平拋運(yùn)動(dòng)速度的反向延長(zhǎng)線

過水平位移的中點(diǎn)可知，若僅從M點(diǎn)水平拋出小球，改變小球拋出的速度，小

球不可能垂直坑壁落入坑中，故D錯(cuò)誤。］

考點(diǎn)3平拋運(yùn)動(dòng)中的臨界、極值問題，師生共研

1.臨界點(diǎn)的確定

(1)若題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼，明顯表明題述的過程中

存在著臨界點(diǎn)。

(2)若題目中有“取值范圍”“多長(zhǎng)時(shí)間”“多大距離”等詞語(yǔ)，表明題述

的過程中存在著“起止點(diǎn)”，而這些“起止點(diǎn)”往往就是臨界點(diǎn)。

(3)若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過

程中存在著極值點(diǎn)，這些極值點(diǎn)也往往是臨界點(diǎn)，

2.求解平拋運(yùn)動(dòng)臨界問題的一般思路