2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試模擬07一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別求集合，，再求它們的交集.【詳解】因?yàn)榧?，，所以．故選：C2.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域的求法進(jìn)行求解.【詳解】由題意可知，要使有意義，則解得所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬x：D．3.奇函數(shù)對(duì)任意都有，且，則（）A.－1 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)周期性的定義可知的周期為12，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性即可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意都有，又為奇函數(shù)，所以，所以，所以函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為12，所以．故選：A4.已知命題“成立”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】原命題為假命題，則其否定為真命題，轉(zhuǎn)化成恒成立問題，然后分離參數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，可得問題的答案.【詳解】由命題“成立”是假命題，則命題“，成立”是真命題，即恒成立．令，，則，因?yàn)樗院瘮?shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以．故選：A5.在等比數(shù)列中，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則的值為（）A.8 B.9 C.16 D.24【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)，得，，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則是方程的兩個(gè)相異正根，結(jié)合韋達(dá)定理求的值．【詳解】為等比數(shù)列，則有，解得，所以．函數(shù)，定義域?yàn)?，有．令，即．由題意得，是方程的兩個(gè)相異正根，則，此時(shí)符合題意．此時(shí)，兩正根為2和8，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意，故選：C．6.已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)解析式分析函數(shù)的奇偶性，得為偶函數(shù)，再分析函數(shù)的單調(diào)性，然后把自變量都轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間，比較自變量的大小可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以．同理，當(dāng)時(shí)，成立，所以函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，且，，即，于是，即．故選：B7.已知數(shù)列滿足，若為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.408 B.672 C.840 D.1200【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件得到和，再分組求和，即可求出結(jié)果.【詳解】由，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相加，得，所以．當(dāng)時(shí)，．由，兩式相減，得，所以，所以．故.故選：D．8.已知函數(shù)的定義域?yàn)闉槠鋵?dǎo)函數(shù)，若對(duì)，，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到的取值情況，從而得到的取值情況，即可得解.【詳解】令，則，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．由于當(dāng)時(shí)，且，所以；當(dāng)時(shí)，且，所以；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋睿?，所以在上恒成立．故選：C．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且，則下列說法正確的是（）A. B.C.當(dāng)時(shí)，取得最小值 D.使成立的的最大值為62【答案】AC【解析】分析】由題意可知，，，結(jié)合等差數(shù)列求和公式可判斷A，B，D；由可判斷C.【詳解】由題意可知，故A正確；又，所以，故B不正確；即，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故正確；因?yàn)?，所以，所以使成立的的最大值?1，故D不正確．故選：AC．10.下列命題是真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為4【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，由，得即可；對(duì)于B，將不等式化簡(jiǎn)為即可；對(duì)于C，利用基本不等式求解即可；對(duì)于D，將變形為，代入并使用基本不等式求解即可.【詳解】對(duì)于，由，得，所以，故正確；對(duì)于，要證成立，只需證，即證．因?yàn)?，?dāng)時(shí)，顯然，故B不正確；對(duì)于，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故正確；對(duì)于，由，可得，所以．由為正實(shí)數(shù)且，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)的定義域?yàn)槭桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，則（）A.B.C.D.不等式的解集為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，得到關(guān)于對(duì)稱，且，令，可判定A正確；令，求得，結(jié)合關(guān)于對(duì)稱，可判定B不正確；根據(jù)題意，得到，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可判定正確；令函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，求得在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為，求得不等式的解集，可判定正確．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即，令，可得，所以A正確；令，則，所以，因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以，所以，所以B不正確；因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，即，由，可得，所以，所以正確；因?yàn)?，令，再令，可得，?dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，且單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，則在單調(diào)遞減，且，所以不等式等價(jià)于，則，即或，解得或，故該不等式的解集為，所以正確．故選：ACD．第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)解析式，可求得解析式，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.【詳解】函數(shù)可視為函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)函數(shù)為，所以，∴.故答案為：.13.已知函數(shù)在上的值域?yàn)?，則的值為______．【答案】6【解析】【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)得，解得，則在上單調(diào)遞增，所以可得為方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可求．【詳解】函數(shù)的圖像拋物線開口向上，對(duì)稱軸方程為，則，解得，所以在上單調(diào)遞增，所以即所以為方程的兩個(gè)根，即為方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理有．故答案為：614.若正整數(shù)集的非空子集滿足：至少含有2個(gè)元素，且任意兩個(gè)元素之差的絕對(duì)值大于1，則稱為數(shù)集的超子集．對(duì)于集合，記的超子集的個(gè)數(shù)為，則______，與的關(guān)系為______．【答案】①.7②.【解析】【分析】由超子集的定義，列舉法求出；的超子集可以分為兩類，第一類是超子集中不含，這類超子集有個(gè)，第二類是超子集中含，這類超子集個(gè)，從而求得的遞推關(guān)系.【詳解】由題意知，，則超子集只有，所以；，則超子集有，所以；，則超子集有，所以.由此可以分析，對(duì)于，的超子集可以分為兩類：第一類是超子集中不含，這類超子集有個(gè)；第二類是超子集中含，這類超子集同樣也包含兩類，一類在中取一個(gè)元素，個(gè)數(shù)；另一類在中取兩個(gè)或兩個(gè)以上個(gè)元素，任意兩個(gè)元素之差的絕對(duì)值大于1，個(gè)數(shù)為，所以．故答案為：7；.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù)在處取得極小值0．（1）求的值，并說明的單調(diào)性；（2）若的一條切線恰好經(jīng)過點(diǎn)，求切線的方程．【答案】（1）見解析（2）或【解析】【分析】（1）由題意可得，列方程組可求出，然后由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)切點(diǎn)為，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，再將代入切線方程可求出，從而可求出切線方程.【小問1詳解】由題可得．因函數(shù)在處取得極小值0，所以，即，解得所以．當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【小問2詳解】由（1）知．設(shè)切點(diǎn)為，則，切線方程為因?yàn)榍芯€經(jīng)過點(diǎn)，故，所以，整理得，解得，或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即過點(diǎn)的切線方程為或16.已知等差數(shù)列的前9項(xiàng)和，且．若數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）．（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式列出條件，解出即可求得，根據(jù)條件可得當(dāng)時(shí)，，作差可求得.（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為．由，得，化簡(jiǎn)得．又，即，解得，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為因?yàn)?，①所以?dāng)時(shí)，，②①②得，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為故．【小問2詳解】由于，則，又，兩式相減，得故17.2023年12月28日工業(yè)和信息化部等八部門發(fā)布了關(guān)于加快傳統(tǒng)制造業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)的指導(dǎo)意見，某機(jī)械廠積極響應(yīng)決定進(jìn)行轉(zhuǎn)型升級(jí)．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研，轉(zhuǎn)型升級(jí)后生產(chǎn)的固定成本為300萬元，每生產(chǎn)萬件產(chǎn)品，每件產(chǎn)品需可變成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時(shí)，；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時(shí)，．每件產(chǎn)品的售價(jià)為200元，通過市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品可以全部銷售完．（1）求利潤(rùn)函數(shù)的解析式；（2）求利潤(rùn)函數(shù)的最大值．【答案】（1）（2）1000萬元．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分段表示銷售利潤(rùn)，即得利潤(rùn)函數(shù)；（2）對(duì)利潤(rùn)函數(shù)分段討論，利用求導(dǎo)、基本不等式等方法求函數(shù)的最大值即得.【小問1詳解】由題意得，銷售收入為萬元．當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時(shí)，，利潤(rùn)為：；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時(shí)，，利潤(rùn)為：.所以利潤(rùn)函數(shù)為【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立又，故當(dāng)時(shí)，所獲利潤(rùn)最大，最大值為1000萬元．18.已知函數(shù)，其中．（1）直接寫出的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（3）證明：．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是和，無單調(diào)遞減區(qū)間（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）先求出函數(shù)定義域，然后由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，則問題轉(zhuǎn)化為證明恒成立，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，再次構(gòu)造函數(shù)，然后分和討論，使成立即可求出的取值范圍；（3）由（2）可得，令，則可得，然后利用累加法可證得結(jié)論.【小問1詳解】定義域?yàn)?，由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和，無單調(diào)遞減區(qū)間；【小問2詳解】解：令．要證明，即證明恒成立，且，設(shè)，其中①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，所以在上，，即，則在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，故滿足題意；②當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)．設(shè)的兩根為，解得（舍），．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則，與題意矛盾，故不滿足題意．綜上，取值范圍是【小問3詳解】證明：由（2）可知當(dāng)時(shí)，恒成立，整理得．令，即所以，整理得所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，第（3）問解題的關(guān)鍵是由（2）得恒成立，化簡(jiǎn)后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題.19.意大利畫家列奧納多·達(dá)·芬奇曾提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，后人給出了懸鏈線的函數(shù)表達(dá)式，其中為懸鏈線系數(shù)，稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式，相反地，雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為．（1）證明：①；②．（2）求不等式：的解集．（3）已知函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合指數(shù)式的運(yùn)算，化簡(jiǎn)即可證明；（2）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式；（3）利用導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)單調(diào)性，分類討論求解函數(shù)零點(diǎn)問題.【小問1詳解】①．②【小問2詳解】因?yàn)楹愠闪?，故是奇函?shù)．又因?yàn)樵谏蠂?yán)格遞增，在上嚴(yán)格遞減，故是上的嚴(yán)格增函數(shù)，所以，即，所以，解得，即所求不等式的解集為【小問3詳解