2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2.3.1平面向量基本定理一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解平面向量基本定理；2．理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實(shí)際問題的重要思想方法；3．能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá).二、自學(xué)導(dǎo)引問題1.向量加法與減法有哪幾種幾何運(yùn)算法則？問題2.怎樣理解向量的數(shù)乘運(yùn)算λ？（1）模：|λ|=|λ|||；（2）方向：λ>0時(shí)λ與方向相同；λ<0時(shí)λ與方向相反；λ=0時(shí)λ=問題3.向量、是共線的兩個(gè)向量，則、之間的關(guān)系可以表示為______________.向量基本定理是什么？問題4.什么是向量的基底？當(dāng)基底確定后，平面內(nèi)任一向量的表示都是唯一的嗎？為什么？問題5.同一非零向量在不同基底下的分解式相同嗎？請(qǐng)舉例說明.三、合作探究探究1.給定平面內(nèi)任意兩個(gè)向量、，請(qǐng)同學(xué)們作出向量、.探究2：由探究1可知可以用平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的非零向量、來表示向量,.那么平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如的向量表示呢？如下圖，設(shè)、是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，是這一平面內(nèi)的任一向量，作圖表示.探究3：平面中的任意兩個(gè)非零向量之間存在夾角嗎？若存在,向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？1、非零向量、的夾角的定義：。當(dāng)=0o時(shí)，、當(dāng)=90o時(shí)，、記做當(dāng)=180o時(shí)，、2、兩非零向量的夾角的范圍：在區(qū)間[0°,180°]內(nèi).四、典例精析例1已知向量，求作向量2.5+3.例2如圖的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)，且=，=，用，表示，，和.變式訓(xùn)練：如圖：在平行四邊形中,分別為,的中點(diǎn),已知試用表示.例3已知的兩條對(duì)角線與交于，是任意一點(diǎn)，求證：+++=4例4已知向量，，其中、不共線，向量，問是否存在這樣的實(shí)數(shù)、，使與共線？五、自主反饋1.設(shè)是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，則以下各組向量中，不能作為基底的是（）A.+和-B.2-3和4-6C.+2和2+D.+和2.已知是的邊上的中線，若＝，＝，則＝（）Ａ．（－）Ｂ．－（－）Ｃ．－（＋）Ｄ．（＋）3.已知不共線，=+，=4+2，并且，共線，則下列各式正確的是（）A.=1，B.=2，C.=3，D.=44.如圖，是的邊的中點(diǎn)，且ABCDEFABCDEF①②③④A.①②B.①③C.②③④D.①②③④5.設(shè)與是兩個(gè)不共線向量,=3+4,=-2+5,若實(shí)數(shù)λ、μ滿足λ+μ=5-,求λ、μ的值.6.已知G為△ABC的重心,設(shè)=,=,試用、表示向量.2.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示2.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解向量的坐標(biāo)表示法，掌握平面向量與有序?qū)崝?shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；2．能正確地用坐標(biāo)表示向量，對(duì)起點(diǎn)不在原點(diǎn)的平面向量能利用向量相等的關(guān)系來用坐標(biāo)表示；3．掌握兩向量的和、差，實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)表示法。二、自學(xué)導(dǎo)引問題1什么叫向量的正交分解？問題2在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)（即它的坐標(biāo)）表示，那么對(duì)平面直角坐標(biāo)內(nèi)的每一個(gè)向量，可否用實(shí)數(shù)對(duì)來表示？又如何表示呢？問題3設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個(gè)單位向量，若設(shè)=(x1,y1)，=(x2,y2)，則＝x1i＋y1j，＝x2i＋y2j，根據(jù)向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，向量＋，－，λ（λ∈R）如何分別用基底i、j表示？問題4根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，向量＋，－，λ的坐標(biāo)分別如何？問題5已知點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)如何？問題6一個(gè)向量平移后坐標(biāo)不變，但起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生了變化，這是否矛盾呢？三、合作探究探究一：已知表示有向線段的向量及始點(diǎn)的坐標(biāo)，求它的終點(diǎn)的坐標(biāo).（1）；（2）；（3）探究二：已知,,，，若,求的值.探究三：已知平行四邊形中,,求點(diǎn)的坐標(biāo).探究四：設(shè)則=_________________四、典例精析例1如圖，已知，，求的坐標(biāo).小結(jié)：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的減去的坐標(biāo).變式：你能在上圖中標(biāo)出坐標(biāo)為的點(diǎn)嗎？標(biāo)出點(diǎn)后，你能發(fā)現(xiàn)向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系嗎？例2已知，，求和.例3已知平行四邊形的頂點(diǎn)，，，試求頂點(diǎn)的坐標(biāo).變式：若與的交點(diǎn)為，試求點(diǎn)的坐標(biāo).例4已知，是直線上一點(diǎn)，且（-1），求點(diǎn)的坐標(biāo)。五、自主反饋1.若向量與向量相等，則（）A.B.C.D.2.已知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.3.已知，，則等于（）A.B.C.D.4.設(shè)點(diǎn)，，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.5.若點(diǎn)、、，且，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為多少？點(diǎn)的坐標(biāo)為多少？向量的坐標(biāo)為多少？6.已知向量，，，試用來表示.2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解向量共線的概念，并會(huì)應(yīng)用坐標(biāo)表示向量共線；2.通過自主學(xué)習(xí)、合作討論、探究出向量共線的坐標(biāo)條件、等分點(diǎn)坐標(biāo)及應(yīng)用；3.通過學(xué)習(xí)向量共線的坐標(biāo)表示，認(rèn)識(shí)事物之間的相互聯(lián)系，培養(yǎng)辨證思維能力.二、自學(xué)導(dǎo)引問題1（復(fù)習(xí)）（1）若點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，那么向量的坐標(biāo)為.（2）若，則，問題2我們知道，假設(shè)，其中，若共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)，使，用坐標(biāo)該如何表示這兩個(gè)向量共線呢？三、合作探究探究一：求證：設(shè)線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則其中點(diǎn)的坐標(biāo)公式是：探究二：當(dāng)是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)。探究三：已知求適合下列條件的點(diǎn)的坐標(biāo)：（1）點(diǎn)在線段上；（2）點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上；四、典例精析例1已知，，且，求．變式訓(xùn)練1已知平面向量，，且，則等于_________.例2已知，，，求證:、、三點(diǎn)共線．例3若向量與共線且方向相同，求.例4設(shè)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是.（1）當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).變式訓(xùn)練2：當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？五、自主反饋1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（）A.6B.5C.7D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點(diǎn)共線，則x的值為（）A.-3B.-1C.1D.33.若=i+2j，=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).與共線，則x、y的值可能分別為（）A.1，2B.2，2C.3，2D.2，44.已知與平行且方向相反的向量的是（）A．B．C．D．5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b與2a-b平行，則x的值為.6.已知□ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，則x=.2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.在物理中功的概念的基礎(chǔ)上，理解向量數(shù)量積的概念及幾何意義；2.體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，并能運(yùn)用性質(zhì)和運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)的判斷和運(yùn)算；3．體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力。二、自學(xué)導(dǎo)引問題1功是一個(gè)標(biāo)量，它由力和位移兩個(gè)向量來確定，這給我們一種啟示，能否把“功”看成是這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢？1、平面向量數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)______向量，我們把______________叫的數(shù)量積。（或________）記作_________即＝___________________其中是的夾角。__________叫做向量方向上的______。我們規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為____。問題2：向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它什么時(shí)候?yàn)檎渴裁磿r(shí)候?yàn)樨?fù)？2、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)均為非零向量：①___________②當(dāng)同向時(shí)，＝________當(dāng)反向時(shí)，＝________，特別地，=______或___________。③____________④___________⑤.的幾何意義：_____________________。問題3：運(yùn)算律和運(yùn)算緊密相連，引進(jìn)向量數(shù)量積后，自然要看一看它滿足怎么樣的運(yùn)算律，同學(xué)們能推導(dǎo)向量數(shù)量積的下列運(yùn)算律嗎？3、向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律：已知向量與實(shí)數(shù)。①＝___________；②＝___________；③＝___________。問題4：我們知道，對(duì)任意，恒有，對(duì)任意向量，是否也有下面類似的結(jié)論？⑴；⑵.三、典例精析例1、已知，，且與的夾角，求.變式1：若，，且，則是多少？變式2：若，，且，則是多少？變式3：若，，且與的夾角，求。變式4：若，，且，求與的夾角。例2、在平行四邊形中，，，，求.變式：判斷下列命題的真假，并說明理由.（1）中，若，則是銳角三角形；（2）中，若，則是鈍角三角形；（3）為直角三角形，則.例3已知，且與不共線，為何值時(shí)，向量與互相垂直？四、自主反饋1.已知與的夾角為，且，則為（）A.B.C.D.2.已知，且與垂直，則與的夾角為（）A.B.C.D.3.若a·b<0，則a與b的夾角θ的取值范圍是()．A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))4已知|a|＝|b|＝2，a·b＝2，則|a－b|＝()．A．1B.eq\r(3)C．2D.eq\r(3)或25.已知，則=，=.6.已知|a|＝4，a與b的夾角為30°，則a在b方向上的投影為________．7.已知，，與的夾角為，求：（1）；（2）；（3）；（4）.2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．在坐標(biāo)形式下，掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算公式及其變式（夾角公式）；2．掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件，以及平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式；3．能用所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)綜合問題。二、自學(xué)導(dǎo)引問題1已知兩個(gè)非零向量，怎樣用與的坐標(biāo)表示呢？1.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個(gè)非零向量（坐標(biāo)形式）。這就是說：（文字語(yǔ)言）兩個(gè)向量的數(shù)量積等于。問題2如何求向量的模和兩點(diǎn)，間的距離？2.平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式（1）設(shè)則________________或________________。（2）若，，則=___________________（平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式）。問題3如何求的夾角和判斷兩個(gè)向量垂直？3．兩向量夾角的余弦：設(shè)是與的夾角，則＝_________＝_______________向量垂直的判定：設(shè)則_________________三、典例精析例1已知，，，試判斷的形狀，并給出證明.變式：已知四點(diǎn)，，，求證：四邊形是直角梯形.例2已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），則a與b的夾角是多少?變式：已知______________.例3在中，=(2，3)，=(1，)，且的一個(gè)內(nèi)角為直角，求值.變式：已知，當(dāng)為何值時(shí)，（1）垂直？（2）平行嗎？平行時(shí)它們是同向還是反向？四、自主反饋1．已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，則a·b＝()．A．5B．4C2．已知向量a＝(－2,1)，b＝(1，x)，a⊥b，則x＝()．A．－1B．1C．－23．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，則a與b的夾角為()．A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)