田莘耕中學(xué)七年級數(shù)學(xué)競賽試卷考試時間：60分鐘；總分：100分注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上一、單項選擇題（本大題共5小題，每題3分，共15分）1．已知x為實數(shù)，且的值是一個確定的常數(shù)，則這個常數(shù)是（

）．A．5 B．10 C．15 D．752．如圖，在數(shù)軸上標(biāo)出若干點，每相鄰兩點長為1，P，Q，R，S，T對應(yīng)的整數(shù)分別為p，q，r，s，t，且，則原點對應(yīng)的點是（

）A．P B．Q C．R D．S3．某大學(xué)畢業(yè)生為自主創(chuàng)業(yè)于2021年8月初向銀行貸款360000元，與銀行約定按“等額本金還款法”分10年進行還款，從2021年9月初開始，每個月月初還一次款，貸款月利率為，現(xiàn)因經(jīng)營狀況良好，準備向銀行申請?zhí)崆斑€款，計劃于2026年8月初將剩余貸款全部一次還清，則該大學(xué)畢業(yè)生按現(xiàn)計劃的所有還款數(shù)額比按原約定所有還款數(shù)額少（

）（注：“等額本金還款法”是將本金平均分配到每一期進行償還，每一期所還款金額由兩部分組成．一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)；另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．1年按12個月計算）A．18300元 B．22450元 C．27450元 D．28300元4．由1、2、3、4這四個數(shù)字組成四位數(shù)（數(shù)字可重復(fù)使用），要求滿足．這樣的四位數(shù)共有（

）A．36個 B．40個 C．44個 D．48個5．方程的解是x＝（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題，每題4分，共24分）6．如圖，，BF，DF分別平分和，，與互補，則的度數(shù)為______．7．如圖所示：已知，，現(xiàn)有點和點分別從，兩點出發(fā)相向運動，點速度為，點速度為，當(dāng)?shù)竭_點后掉頭向點運動，點在向的運動過程中經(jīng)過點時，速度變?yōu)?，，兩點中有一點到達點時，全部停止運動，那么經(jīng)過____后的距離為．8．已知等邊△ABC的高為6，在這個三角形所在的平面內(nèi)有一點P，若點P到直線AB的距離是1，點P到直線AC的距離是3，則點P到直線BC的距離可能是_______．9．如圖，直線分別與直線，相交于點，，且．點在直線，之間，連接，，射線是的平分線，在的延長線上取點，連接，若，，則的度數(shù)為___________．10．如圖，在三角形中，，，，，將三角形沿方向平移得到三角形，且與相交于點，連接．（1）陰影部分的周長為______；（2）若三角形的面積比三角形的面積大，則的值為______．11．現(xiàn)有濃度不同的A、B、C三種鹽水，其中B種鹽水質(zhì)量為10千克，A、C兩種鹽水的質(zhì)量都為整數(shù)．如果從A、B兩種鹽水中倒出2m千克，將倒出的A種鹽水與B種鹽水余下的部分混合，將倒出的B種鹽水與A種鹽水余下的部分混合，那么混合后兩種鹽水濃度相同；如果從A、C兩種鹽水中各倒出m千克，將倒出的A種鹽水與C種鹽水余下的部分混合，將倒出的C種鹽水與A種鹽水余下的部分混合，那么混合后兩種鹽水濃度相同．則A種鹽水原來的質(zhì)量為________千克．三、解答題（本大題共5小題，共61分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟)12．（本題10分）解方程：（1）（2）13．（本題10分）將1，2，3，…，16這16個數(shù)分成8組若．求的最小值．必要時可以利用排序不等式（又稱排序原理）：設(shè)，為兩組實數(shù)，是的任一排列，則．14．（本題10分）下列m個整數(shù)中恰有69個不同的整數(shù)，問自然數(shù)m的最大值和最小值分別是多少？.15．（本題15分）將一副直角三角板如圖1擺放在直線上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不動，將三角板繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)直至邊第一次重合在直線上，旋轉(zhuǎn)時間記為秒．(1)當(dāng)___________秒時，平分；(2)①如圖2，旋轉(zhuǎn)三角板，使得、同時在直線的異側(cè)，則與數(shù)量關(guān)系為___________；②如圖3，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，使得、同時在直線的右側(cè)，猜想與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．(3)若在三角板開始旋轉(zhuǎn)的同時，另一個三角板也繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至直線上時同時停止．請直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中，與的數(shù)量關(guān)系．16．（本題16分）如圖，直線PQMN，一副直角三角板中，∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．(1)若△DEF如圖1擺放，當(dāng)平分時，證明：平分．(2)若如圖2擺放時，則(3)若圖2中△ABC固定，將△DEF沿著方向平移，邊與直線相交于點，作和的角平分線相交于點（如圖3），求的度數(shù)．(4)若圖2中△DEF固定，（如圖4）將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，2分鐘轉(zhuǎn)半圈，旋轉(zhuǎn)至與直線首次重合的過程中，當(dāng)線段與△DEF的一條邊平行時，請求出旋轉(zhuǎn)的時間.田莘耕中學(xué)七年級數(shù)學(xué)競賽參考答案一、單項選擇題（本大題共5小題,每題3分，共15分）12345ABCCC二、填空題（本大題共6小題，每題4分，共24分）6、36°7、0.9或1.1或或8、2、4、8、109、45°10、12；4.511、5三、解答題（本大題共5小題，共61分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟)12.解：（1）方程變形為，去分母得，去括號合并同類項得-10x+60=0,移項得-10x=-60,系數(shù)化為1得x=6.（2）方程變形為，∴∴∴，∴.13.由對稱性，不妨設(shè)，，2，…，8，且，則，∴，∵，，…，，∴，若，則，不符合要求，∴，于是，，，，，，，，，，…，是8，10，11，12，13，14，15，16的一個排列，且，∵．根據(jù)排序不等式，當(dāng)，，…，從小到大排列時，的值最大，的值最?。弋?dāng)，，…，從小到大排列時，，∴的最小值為482．或：∵，當(dāng)，，…，從小到大排列時，，．∴的最小值為482．14.解:由于,故只要確定的值即可.做帶余除法:(k為整數(shù)),可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)m取1-47時,k的值都是一一對應(yīng),相互不同的;當(dāng)m取48和49時,k的值都是41,此時第一次出現(xiàn)重復(fù);此后,若m再增大,k就會減少,故k下一個不同的值應(yīng)為40,再下一個為39，…，也就是說,第48個商為41,那么第69個商應(yīng)為.因此,只要找到中,m的最大值與最小值即可.因為,,即m的最大值為100;因為,,即m的最小值為96.答:自然數(shù)m的最小值是96,最大值是100.15.（1）∵，平分，∴，∵根據(jù)運動特點可知：，∴，解得：（秒），故答案為：；（2）①，理由如下：∵，，∴，∴，∴；②，理由如下：∵，，∴，∴，∴；（3），理由如下：分類討論，第一種情況：、同時在直線的異側(cè)，如圖，根據(jù)運動的特點：，，∴，，∴，∴；第二種情況：、同時在直線的右側(cè)，如圖，根據(jù)運動的特點：，，∴，，∴，∴；綜上：．16.（1）解：如圖1，在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，∵ED平分∠PEF，∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°，∵PQMN，∴∠MFE＝180°?∠PEF＝180°?120°＝60°，∴∠MFD＝∠MFE?∠DFE＝60°?30°＝30°，∴∠MFD＝∠DFE，∴FD平分∠EFM；（2）解：如圖2，過點E作EKMN，∵∠BAC＝45°，∴∠KEA＝∠BAC＝45°，∵PQMN，EKMN，∴PQEK，∴∠PDE＝∠DEK＝∠DEF?∠KEA，又∵∠DEF＝60°．∴∠PDE＝60°?45°＝15°，故答案為：15°；（3）解：如圖3，分別過點F、H作FLMN，HRPQ，∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH，∵FLMN，HRPQ，PQMN，∴FLPQHR，∴∠QGF＋∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA?∠LFA，∵∠FGQ和∠GFA的角平分線GH、FH相交于點H，∴∠QGH＝∠FGQ，∠HFA＝∠GFA，∵∠DFE＝30°，∴∠GFA＝180°?∠DFE＝150°，∴∠HFA＝∠GFA＝75°，∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA?∠LFA＝75°?45°＝30°，∴∠GFL＝∠GFA?∠LFA＝150°?45°＝105°，∴∠RHG＝∠QGH＝∠FGQ＝（180°?105°）＝37.5°，∴∠GHF＝∠RHG＋∠RHF＝37.5°＋30°＝67.5°；（4）解：設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒，由題意旋轉(zhuǎn)速度為2分鐘轉(zhuǎn)半圈，即每秒轉(zhuǎn)1.5°，分三種情況：①當(dāng)BCDE時，如圖5，此時ACDF，∴∠CAE＝∠DFE＝30°，∴1.5t＝30，解得：t＝20；②當(dāng)BCEF時，如圖6，∵BCEF，∴∠BAE＝∠B＝45°，∴∠BAM＝∠BAE＋∠EAM＝45°＋45°＝90°，∴1.5t＝90，解得：t＝60；③當(dāng)BCDF時，如圖7，延長BC交MN于K，延長DF交MN于R，∵PQMN，∠PDE=15°,∠EDF=90°,∴∠DRM+(∠PDE+