1《自動控制原理》

時域分析法3.1典型輸入信號和時域性能指標3.2一階系統(tǒng)的時域分析3.3二階系統(tǒng)的時域分析3.4高階系統(tǒng)的時域分析3.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.6系統(tǒng)的穩(wěn)定特性分析3.1典型輸入信號的時域性能指標3.1.1典型輸入信號1、單位階躍信號數(shù)學(xué)表達式為：

它表示一個在t=0時出現(xiàn)的，幅值為1的階躍變化函數(shù)，如圖所示。在實際系統(tǒng)中，如指令的突然轉(zhuǎn)換、電源的突然接通、符號的突變等，均可以近似看成階躍函數(shù)的形式。單位階躍信號的拉氏變換為2、單位斜坡信號數(shù)學(xué)表達式為：斜坡函數(shù)從t=0時刻開始，隨時間以恒定速度增加，如圖所示。單位斜坡信號的拉氏變換為3、單位加速度信號數(shù)學(xué)表達式為：

該信號相當于系統(tǒng)中加入一個按定加速度變化的信號。單位加速度信號的拉氏變換為4、單位脈沖信號數(shù)學(xué)表達式為：單位脈沖信號的積分面積為1。理想的單位脈沖信號在現(xiàn)實中是不存在的，只在數(shù)學(xué)上有意義。實際中有很多信號與脈沖信號相似，如脈沖電壓信號、沖擊力和陣風等。單位脈沖信號的拉氏變換為15、正弦信號數(shù)學(xué)表達式為：式中A為振幅，為角頻率。

用正弦信號作輸入信號，可以求得系統(tǒng)在不同頻率下正弦信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，可間接判斷系統(tǒng)的性能。正弦信號的拉氏變換為系統(tǒng)的時間響應(yīng)，可分為暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩個過程。時域中評價系統(tǒng)的暫態(tài)性能，通常以系統(tǒng)對單位階躍輸入信號的暫態(tài)響應(yīng)為依據(jù)。此時系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)曲線稱為單位階躍響應(yīng)或單位過渡特性。3.1.2階躍響應(yīng)的性能指標為了評價系統(tǒng)的暫態(tài)性能，規(guī)定指標如下：1、延遲時間

：指系統(tǒng)輸出響應(yīng)從零時刻首次到達穩(wěn)態(tài)值一半所需的時間。2、上升時間

：指系統(tǒng)響應(yīng)從零時刻首次到達穩(wěn)態(tài)值的時間，即單位階躍響應(yīng)曲線從t=0開始第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需要的時間（振蕩系統(tǒng)）。3、峰值時間

：指系統(tǒng)響應(yīng)從零時刻到達峰值的時間，即單位階躍響應(yīng)曲線從t=0開始上升到第一個峰值所需要的時間。4、調(diào)節(jié)時間

ts

：指系統(tǒng)響應(yīng)曲線進入允許的誤差帶，并不再超出此范圍的最小時間，稱為調(diào)節(jié)時間（或過渡過程時間）。5、最大超調(diào)量Mp

：指系統(tǒng)響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值的差與穩(wěn)態(tài)值之比的百分數(shù)，即6、振蕩次數(shù)N：在調(diào)節(jié)時間ts內(nèi)響應(yīng)曲線振蕩的次數(shù)。7、穩(wěn)態(tài)性能指標只有一個，即穩(wěn)態(tài)誤差ess

：系統(tǒng)輸出實際值與期望值之差。以上各性能指標中，峰值時間tp、上升時間tr和延遲時間td評價系統(tǒng)的響應(yīng)速度，反映了動態(tài)過程的快速性；調(diào)節(jié)時間ts是同時反映系統(tǒng)快速性和平穩(wěn)性的綜合指標；最大超調(diào)量Mp和振蕩次數(shù)N評價系統(tǒng)的阻尼特性或相對穩(wěn)定程度，反映了動態(tài)過程的平穩(wěn)性；穩(wěn)態(tài)誤差ess反應(yīng)了系統(tǒng)的準確性。

3.2一階系統(tǒng)的時域分析一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的標準形式為：式中，T

為時間常數(shù)，表征系統(tǒng)慣性的重要參數(shù)，一階系統(tǒng)就是典型環(huán)節(jié)中的慣性環(huán)節(jié)。3.2.1單位階躍響應(yīng)當輸入為信號時，，系統(tǒng)輸出的拉氏變換為：則單位階躍響應(yīng)為：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值為1。由系統(tǒng)輸出響應(yīng)可得到如下性能：1、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為0；2、當t=T時，；3、根據(jù)暫態(tài)性能指標的定義可以求得：調(diào)節(jié)時間為：（的誤差帶）

（的誤差帶）延遲時間為：上升時間為：3.2.2單位斜坡響應(yīng)當輸入信號，時，則系統(tǒng)輸出的拉氏變換為：對其進行反拉氏變換，得單位斜坡響應(yīng)為：第一項為穩(wěn)態(tài)分量，第二項為暫態(tài)分量。由一階單位斜坡響應(yīng)可得，系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。其穩(wěn)態(tài)誤差為。因此為了提高斜坡響應(yīng)的精度，應(yīng)要求一階系統(tǒng)的時間常數(shù)T要小。3.2.3單位脈沖響應(yīng)對于單位脈沖輸入，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為：進行反拉氏變換，對應(yīng)單位脈沖響應(yīng)為：對于單位脈沖響應(yīng)，時間常數(shù)T越小，系統(tǒng)響應(yīng)速度越快。沒有穩(wěn)態(tài)誤差。3.3二階系統(tǒng)的時域分析3.3.1典型的二階系統(tǒng)當系統(tǒng)輸出與輸入之間特性由二階微分方程描述時，稱為二階系統(tǒng)。從理論上講，二階系統(tǒng)總包含兩個儲能元件，能量在兩個元件之間交換，當阻尼不大時，系統(tǒng)呈現(xiàn)出振蕩特性，故二階系統(tǒng)也稱為二階振蕩環(huán)節(jié)。

它在控制工程中應(yīng)用極為廣泛，例如，RLC網(wǎng)絡(luò)、電樞電壓控制的直流電動機轉(zhuǎn)速系統(tǒng)等。此外，許多高階系統(tǒng)，在一定條件下，常常可以近似為二階系統(tǒng)來研究。典型二階系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下。其開環(huán)傳遞函數(shù)為：或

其中，

為系統(tǒng)的阻尼比；

為無阻尼自然振蕩頻率；

為時間常數(shù)。

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：是什么？系統(tǒng)的特征方程為：其特征根是：當

，稱為欠阻尼狀態(tài)，特征根為一對負實部的共軛復(fù)數(shù)根：當

，稱為臨界阻尼狀態(tài)，特征根為兩個相等的負實根：當

，稱為過阻尼狀態(tài)，特征根為兩個不相等的負實根：當

，稱為無阻尼狀態(tài)，特征根為一對純虛根：系統(tǒng)的特征根完全由和兩個參數(shù)來描述，下面就不同參數(shù)下系統(tǒng)響應(yīng)加以討論。特別注意3.3.2二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)1、欠阻尼情況在欠阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)的兩個閉環(huán)極點為一對共軛復(fù)極點，即其中，稱為阻尼振蕩頻率。系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為：

欠阻尼時的極點分布0進行反拉氏變換，得到欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：其中該響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量組成，是一個幅值按指數(shù)規(guī)律衰減的有阻尼的正弦信號，振蕩角頻率為。28Time(sec)05101520253000.20.40.60.811.21.41.61.8StepResponseAmplitude典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)292、臨界阻尼情況在臨界阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)的兩個閉環(huán)極點為兩個相等的負實根，即系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為：臨界阻尼時極點的分布0進行反拉氏變換，得到臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為1的非周期上升過程，響應(yīng)特性不產(chǎn)生振蕩。3、過阻尼情況在過阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)的兩個閉環(huán)極點為兩個不相等的負實根，即系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為：j0過阻尼時極點分布進行反拉氏變換，得到過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)含有兩個單調(diào)衰減的指數(shù)項，響應(yīng)為非振蕩的。C(t)t01

過阻尼響應(yīng)4、無阻尼情況在無阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)的兩個閉環(huán)極點為一對純虛根，即系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為：0無阻尼時的極點分布進行反拉氏變換，得到無阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：無阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為不衰減振蕩，其振蕩頻率為，系統(tǒng)屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。3.3.3系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標對于二階系統(tǒng)，欠阻尼情況是最有意義的，因此我們重點討論其暫態(tài)特性指標。1、上升時間tr根據(jù)定義，令c(tr)=1，得由于所以于是上升時間為由上式可知，增大或減小均能減小，從而加快系統(tǒng)的初始響應(yīng)速度。2、峰值時間tp

令c(t)對時間求導(dǎo)并令其為零，可得峰值時間tp

則必有即所以又因峰值時間tp

對應(yīng)于出現(xiàn)第一個峰值的時間，所以峰值時間恰好等于阻尼振蕩周期的一半，當一定時，極點距離實軸越遠，越小。3、最大超調(diào)量Mp將峰值時間表達式代入欠阻尼情況的單位階躍響應(yīng)中，得輸出的最大值所以最大超調(diào)量為由上式可見，超調(diào)量Mp僅與阻尼比ξ

有關(guān)，ξ

越大，則

Mp越小。4、調(diào)節(jié)時間ts根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義，得采用近似的方法，忽略正弦函數(shù)的影響，認為指數(shù)函數(shù)衰減到或時，暫態(tài)過程結(jié)束。得到：即：解出：可見，近似與成反比。通常在設(shè)計過程中，由決定，而調(diào)節(jié)時間由決定。即在不改變超調(diào)量得條件下，通過改變來改變調(diào)節(jié)時間。參數(shù)對性能的影響分析阻尼比ξ

越大，超調(diào)量越小，響應(yīng)的平穩(wěn)性越好。反之，阻尼比ξ越小，振蕩越強，平穩(wěn)性越差。當ξ

=0時，系統(tǒng)為具有頻率為

n的等幅振蕩。過阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)響應(yīng)遲緩，過渡過程時間長，系統(tǒng)快速性差；ξ

過小，響應(yīng)的起始速度較快，但因振蕩強烈，衰減緩慢，所以調(diào)節(jié)時間ts亦長，快速性差。當ξ=0.707時，系統(tǒng)的超調(diào)量Mp<5％，調(diào)節(jié)時間ts也相對較短，即平穩(wěn)性和快速性最佳，故稱ξ=0.707為最佳阻尼比。當阻尼比ξ為常數(shù)時，

n越大，調(diào)節(jié)時間ts就越短，快速性越好。系統(tǒng)的超調(diào)量Mp僅由阻尼比ξ

決定，它們反映了系統(tǒng)的平穩(wěn)性。工程實際中，二階系統(tǒng)多數(shù)設(shè)計成0<ξ<l的欠阻尼情況，并且經(jīng)驗取ξ=0.4

0.8之間。例3.1開環(huán)傳遞函數(shù)的單位反饋隨動系統(tǒng)如圖所示。若求：（1）典型二階系統(tǒng)的特征參數(shù)和（2）暫態(tài)特性指標和（3）欲使，當不變時，應(yīng)取何值。解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：令：比較上式得到：且：為使，由求得因此即K應(yīng)減少4倍。減小系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K（也稱開環(huán)增益），可以降低系統(tǒng)的超調(diào)量。例3.2

當，滿足單位階躍響應(yīng)下系統(tǒng)超調(diào)量為的要求，令加入微分負反饋。求微分時間常數(shù)。解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：為了使得，令則求得此時的開環(huán)放大系數(shù)由例題可以看出，當系統(tǒng)加入局部微分負反饋時，相當于增加了系統(tǒng)的阻尼比，提高了系統(tǒng)穩(wěn)定性，并降低了系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。例3.3系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，確定其的值。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為當輸入為單位階躍信號時，輸入為：穩(wěn)態(tài)輸出為：因此根據(jù)單位階躍響應(yīng)曲線可得：解得因此寫出二階系統(tǒng)標準表達式為：求得3.4高階系統(tǒng)的時域分析在控制工程中，幾乎所有的控制系統(tǒng)都是用高階微分方程描述的，即所謂的高階系統(tǒng)。對于不能用一、二階系統(tǒng)近似的高階系統(tǒng)來說，其動態(tài)性能指標的確是比較復(fù)雜的。工程上常采用閉環(huán)主導(dǎo)極點的概念對高階系統(tǒng)進行近似分析，從而得到高階系統(tǒng)動態(tài)性能指標的估算公式。n階（冗余）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為如果分子和分母可分解因式，則可以寫成當輸入信號為單位階躍信號時，輸出為部分分式展開式中，q+2r=n。對其進行拉氏反變化得由上式可以看出，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由閉環(huán)極點pi及系數(shù)Ai、Bk、Ck決定，而系數(shù)Ai、Bk、Ck也與閉環(huán)零、極點分布有關(guān)。

如果系統(tǒng)的閉環(huán)極點均位于根s平面左半平面，則階躍響應(yīng)的瞬態(tài)分量將隨時間而衰減，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。只要有一個極點位于右半平面，則對應(yīng)的響應(yīng)將是發(fā)散的，系統(tǒng)不能穩(wěn)定運行。結(jié)論：1、高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)各分量衰減的快慢由決定，即由閉環(huán)極點在s

平面左半平面離虛軸的距離決定。2、高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量的系數(shù)不僅和極點的位置有關(guān)，還和零點的位置有關(guān)。3、如果所有的閉環(huán)極點都具有負實部，則系統(tǒng)穩(wěn)定。4、高階系統(tǒng)的極點離虛軸越近，對系統(tǒng)的影響越大，主導(dǎo)極點在很大程度上決定系統(tǒng)的暫態(tài)性能。3.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一個控制系統(tǒng)能夠正常工作的首要條件；穩(wěn)定的直觀理解：由于控制系統(tǒng)在實際運行中，不可避免地會受到外界或內(nèi)部一些擾動因素的影響，從而會使系統(tǒng)偏離原來的工作狀態(tài)。如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么隨著時間的推移，系統(tǒng)的各物理量就會恢復(fù)到原來的工作狀態(tài)。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，即使擾動很微弱，也會使系統(tǒng)中的各物理量隨著時間的推移而發(fā)散；

不穩(wěn)定的系統(tǒng)無法正常工作。3.5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念和穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定性的定義：系統(tǒng)在受到擾動作用后，其輸出量會偏離原來的工作狀態(tài)產(chǎn)生偏差，而當擾動消除后，隨著時間的推移，該偏差逐漸減小并趨于零，即輸出量又能逐漸回到原來的工作狀態(tài)，則稱系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定；

從上節(jié)的分析看：如果所有的極點都在s平面的左側(cè)，則系統(tǒng)的暫態(tài)分量將逐漸衰減到零，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。3.5.2勞斯判據(jù)根據(jù)穩(wěn)定的充分必要條件判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要求出系統(tǒng)的全部特征根，但對于高階系統(tǒng)，求解特征方程的解將會非常困難。于是人們希望尋求一種不必求解系統(tǒng)的特征方程，而直接根據(jù)特征方程的根與其系數(shù)間的關(guān)系，來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定與否的方法；根據(jù)特征方程的根與其系數(shù)間的關(guān)系，產(chǎn)生了一系列代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)勞斯判據(jù)（Routh判據(jù)）和古爾維茨判據(jù)（Hurwitz判據(jù)）。勞斯判據(jù)的步驟1、首先列出系統(tǒng)特征方程式其中，各式系數(shù)均為實數(shù)，且2、根據(jù)特征方程式列出勞斯數(shù)組表勞斯陣列中的前兩行元素直接根據(jù)特征方程式中的系數(shù)而得，第三行及以下各行的元素均由其上兩行的參數(shù)根據(jù)公式計算得到，且各行一直要計算到值等于零時為止。這種過程一直進行到第行的元素被計算出為止。3、若勞斯表第一列中的系數(shù)均為正，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若第一列符號發(fā)生了變化，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列元素正負號改變的次數(shù)就是特征方程的根在s平面右半平面的個數(shù)。例3.4三階系統(tǒng)的特征方程為使用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。解：列出勞斯表得因此系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是例3.5設(shè)系統(tǒng)的特征方程為使用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列出勞斯表勞斯表第一列中有負數(shù)，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。而且第一列的符號變動了兩次，因此系統(tǒng)有兩個根在s平面的右半部分。練習1假設(shè)系統(tǒng)的特征方程為試利用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。4、兩種特殊情況（1）如勞斯陣列中某一行的第一個元素為零，而該行其它元素并不全為零，則在計算下一行第一個元素時，該元素必將趨于無窮大，以至勞斯陣列的計算無法進行。為了解決這一問題，可用一個無窮小正數(shù)

來代替第一列的零元素，使勞斯陣列可繼續(xù)下去。若

上面的元素和下面的元素符號相反，則表示第一列元素的符號改變了一次。例3.6設(shè)系統(tǒng)的特征方程為使用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列出勞斯表由于是很小的正數(shù)，因此勞斯表得第一列符號變換了兩次，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個位于右半s平面的根。練習2假設(shè)系統(tǒng)的特征方程為

試利用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（2）

如果勞斯陣列中某一行的元素全為零，則表示在s平面內(nèi)存在一些大小相等符號相反的實根或一些大小相等而實部符號相反的共軛復(fù)根或共軛純虛根，此時系統(tǒng)將是不穩(wěn)定的或臨界穩(wěn)定的。為了將勞斯陣列繼續(xù)列下去，則可用該零行的上一行的各元素構(gòu)成輔助多項式P(s)，并利用這個多項式的導(dǎo)數(shù)的各項系數(shù)來代替全零一行的各元素，使勞斯陣列可繼續(xù)下去。系統(tǒng)大小相等而方向位置相反的這些根，可以由輔助方程P(s)=0求出。輔助方程的階數(shù)通常為偶數(shù)，并且等于那些大小相等而方向位置相反根的個數(shù)。例3.7系統(tǒng)的特征方程為：試利用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：該系統(tǒng)的勞斯表如下：表中出現(xiàn)了全零行。為了求出s

各行的元素，將行的各行組成輔助方程式：對其求導(dǎo)，得到：因此得到新的勞斯表為：勞斯表第一列沒有變號，說明系統(tǒng)沒有特征根在s平面右半平面。由輔助方程求得系統(tǒng)有兩對共軛虛根，因此系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。3.5.3代數(shù)判別的應(yīng)用1、代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

利用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)可確定系統(tǒng)個別參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響，以及為使系統(tǒng)穩(wěn)定，這些參數(shù)應(yīng)取值的范圍。若討論的參數(shù)為開環(huán)放大系數(shù)，為使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)放大系統(tǒng)的臨界值稱為臨界方法系數(shù)，用Kl

表示。例3.8已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，是確定系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解：閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：閉環(huán)特征方程為勞斯表為：為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使得因此，K的取值范圍是而臨界方法系數(shù)為：2、穩(wěn)定裕量上面所討論的穩(wěn)定性，指的是系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，具有絕對穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定的系統(tǒng)。對于一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，還可以用相對穩(wěn)定性來進一步衡量系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。

如果一個系統(tǒng)的特征根具有負實部，且非?？拷撦S，盡管系統(tǒng)滿足穩(wěn)定條件，但動態(tài)過程將具有過大的超調(diào)量或過于緩慢的響應(yīng)，甚至會由于系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)變化，使特征根轉(zhuǎn)移到s平面的右半平面，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。為此，需研究系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，相對穩(wěn)定性的大小，用系統(tǒng)的特征根在s左半平面與虛軸的距離，也稱為穩(wěn)定裕量來衡量。

穩(wěn)定裕量越小，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性越低，系統(tǒng)的靈敏性和快速性越強，當然系統(tǒng)的振蕩也越激烈。勞斯判據(jù)或赫爾維茨判據(jù)不僅可以判定系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且也可以判定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。為了能應(yīng)用上述的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)，通常將s平面的虛軸左移一個距離

，得新的復(fù)平面s1，即令s=s1-

得到以s1為變量的新特征方程式D(s1)=0，再利用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判別新特征方程式的穩(wěn)定性，若新特征方程式D(s1)的所有根均在s1平面的左半平面，則說明原系統(tǒng)不但穩(wěn)定，而且所有特征根均位于-

的左側(cè)，

稱為系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量。例3.9已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為其中，如果要求閉環(huán)系統(tǒng)的極點全部落在垂線的左側(cè)，求的取值范圍？解：系統(tǒng)的特征方程為令，代入方程得到：整理得到勞斯表為：因此求得取值范圍是：3.6系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，是系統(tǒng)控制準確度（控制精度）的一種度量，通常稱為穩(wěn)態(tài)性能。在控制系統(tǒng)的設(shè)計中，穩(wěn)態(tài)誤差是一項重要的技術(shù)指標。

只有當系統(tǒng)穩(wěn)定時，研究穩(wěn)態(tài)誤差才有意義。因此，在計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差之前，必須判斷系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，計算穩(wěn)態(tài)誤差是沒有意義的。3.6.1

誤差與穩(wěn)態(tài)誤差的定義

對于如圖所示的反饋控制系統(tǒng)，系統(tǒng)的誤差一般定義為系統(tǒng)被控量的期望值與實際值之差，即或

但是實際控制系統(tǒng)的參考輸入信號R(s)與輸出信號C(s)通常是不同量綱或不同量程的物理量。比如在溫度控制系統(tǒng)中，輸入信號為電壓或電流量綱，而輸出信號為溫度量綱。有些時候，實際系統(tǒng)中的輸出無法有效測量，因此只有數(shù)學(xué)上的意義。從輸出端定義從輸入端定義對于單位反饋系統(tǒng)，這兩種定義是相同的。本書中采用從系統(tǒng)輸入端定義系統(tǒng)的誤差，因此系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為則誤差傳遞函數(shù)為由此誤差的拉氏變換為：則穩(wěn)態(tài)誤差為：由此可見，決定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素包括開環(huán)傳遞函數(shù)和輸入信號。系統(tǒng)的的結(jié)構(gòu)以及輸入信號的差異，都會引起系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的變化。下面就從這兩個方面對穩(wěn)態(tài)誤差進行研究。3.6.2系統(tǒng)的分類

假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)可表示為式中，K為開環(huán)增益（開環(huán)放大倍數(shù)）；v為積分環(huán)節(jié)個數(shù)。

系統(tǒng)常按開環(huán)傳遞函數(shù)中所含有的積分環(huán)節(jié)個數(shù)v來定義系統(tǒng)的類型。即，當v=0時，稱為0型系統(tǒng)；v=1時，稱為I型系統(tǒng)；v=2時，稱為II型系統(tǒng)；等等。3.6.3給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差1、單位階躍輸入當輸入時，得到的穩(wěn)態(tài)誤差為：定義Kp為位置誤差系統(tǒng)函數(shù)。對于0型系統(tǒng)：Kp=K，ess=1/(1+K)；對于I型系統(tǒng)：Kp=

，ess=0；對于II型系統(tǒng)：Kp=

，ess=0。由此可見，對于單位階躍響應(yīng)，只有0型系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)誤差，其大小與系統(tǒng)的開環(huán)增益成反比。而I型以及以上的系統(tǒng)，系統(tǒng)的位置誤差系統(tǒng)均為無窮大，穩(wěn)態(tài)誤差為零。由上面分析可以看出：（1）Kp的大小反映了系統(tǒng)在階躍輸入下消除誤差的能力。Kp越大，穩(wěn)態(tài)誤差越??；

（2）0型系統(tǒng)對階躍輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差為一常值，其大小與K有關(guān)，K越大，ess越小，但總有差，所以把0型系統(tǒng)常稱為有差系統(tǒng)；（3）在階躍輸入時，若要求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為零，則系統(tǒng)至少為I型或高于I型的系統(tǒng)。2、單位斜坡輸入當輸入為，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為定義Kv為速度誤差系數(shù)。對于0型系統(tǒng)：Kv=0，ess=

I型系統(tǒng)：Kv=K，ess=1/K；

II型或II型以上系統(tǒng)：Kv=，ess=0。由此可見，對于單位斜坡輸入，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大，I型系統(tǒng)可以跟蹤輸入信號但有穩(wěn)態(tài)誤差，II以及以上系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差為零。由上述結(jié)果可得：（1）Kv的大小反映了系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入信號的能力，Kv越大，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差越??；（2）0型系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時，無法跟蹤斜坡輸入信號；（3）I型系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時，輸出與輸入在速度上相等，但有一個與K成反比的常值位置誤差；（4）II型或II型以上系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時，可完全跟蹤斜坡信號。3、單位加速度輸入當輸入為，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：定義Ka為加速度誤差系數(shù)。對于0型系統(tǒng)：Ka=0，ess=

；對于I型系統(tǒng)：Ka=0，ess=；對于II型系統(tǒng)：Ka=K，ess=1/K；對于III型以及以上系統(tǒng)：Ka=，ess=0。由此可見，0型和I型系統(tǒng)都不能跟蹤加速度輸入；II型系統(tǒng)可以跟蹤加速度輸入，但存在誤差；III型以及以上系統(tǒng)，能準確跟蹤加速度輸入信號。上述分析表明：（1）Ka的大小反映了系統(tǒng)跟蹤加速度輸入信號的能力。Ka越大，系統(tǒng)跟蹤精度越高；（2）0型和I型系統(tǒng)輸出不能跟蹤加速度輸入信號，在跟蹤過程中誤差越來越大，穩(wěn)態(tài)時達到無限大；（3）II型系統(tǒng)能跟蹤加速度輸入，但有一常值誤差，其大小與K成反比；（4）要想準確跟蹤加速度輸入，系統(tǒng)應(yīng)為III型或高于III型的系統(tǒng)。下表概括了0型、I型和II