創(chuàng)新方案高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)人教新課標(biāo)函數(shù)asinωxφ?qǐng)D象及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用高中數(shù)學(xué)一、函數(shù)asinωx+φ的圖象及性質(zhì)1.函數(shù)圖象對(duì)于函數(shù)y=asinω(x+φ)，該函數(shù)的自變量x在[-1/ω-φ,1/ω-φ]內(nèi)取遍定義域?yàn)閇-∞,+∞]的所有值，因此我們可以通過(guò)對(duì)[0,2π]中若干個(gè)特殊點(diǎn)進(jìn)行分析，從而得到它的圖象。特殊點(diǎn)的選擇方法：選擇一些滿(mǎn)足x+φ=kπ（k∈Z）的x值，例如：當(dāng)k=0,±1,±2……時(shí)，x+φ分別為0,±π,±2π，此時(shí)，y的值分別為0,±π/2,±π。以k=0,1,2,3,4為例，下面給出函數(shù)y=asinω(x+φ)的圖象：當(dāng)ω＞0時(shí)，函數(shù)y=asinω(x+φ)的圖象為兩支曲線(xiàn)，中心對(duì)稱(chēng)于x=φ，最高和最低點(diǎn)在y=1和y=-1，如果ω<0，則圖象上下翻轉(zhuǎn)。2.函數(shù)性質(zhì)①定義域：[-∞,+∞]②值域：[-π/2,π/2]③奇偶性：當(dāng)φ=0時(shí)，y=asinωx是奇函數(shù)，即具有對(duì)稱(chēng)中心原點(diǎn)；當(dāng)φ≠0時(shí)，y=asinω(x+φ)是偶函數(shù)，即對(duì)稱(chēng)中心為x=-φ。④單調(diào)性：當(dāng)ω＞0時(shí)，y=asinω(x+φ)在[-1/ω-φ,1/ω-φ]上單調(diào)遞增；當(dāng)ω＜0時(shí)，y=asinω(x+φ)在[-1/ω-φ,1/ω-φ]上單調(diào)遞減。⑤周期性：函數(shù)y=asinω(x+φ)的周期為2π/|ω|。二、三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用解題思路：首先通過(guò)實(shí)際問(wèn)題，明確要用到的三角函數(shù)模型，然后利用已知條件列出方程，進(jìn)而解出未知量。1.例題1一個(gè)直徑為6cm的輪子半徑穿過(guò)一淺水槽，水深1.5cm，如果輪子每秒轉(zhuǎn)3/min，求輪子到水面的距離隨時(shí)間的變化率。解析：輪子離水面的距離始終為半徑r，因此該問(wèn)題可以利用正弦函數(shù)模型求解：sinθ=1.5/r，其中θ為輪子一周轉(zhuǎn)過(guò)的角度。又因?yàn)棣扰c時(shí)間t的關(guān)系式：θ=6πt。因此sinθ=1.5/r可轉(zhuǎn)化為r=1.5/sin(6πt)根據(jù)題目所求，距離隨時(shí)間的變化率為r'(t)，因此有：r'(t)=-1.5cos(6πt)/[sin(6πt)]^2*6π化簡(jiǎn)后得r'(t)=-9πcos(6πt)/[sin(6πt)]^2cm/min2.例題2一個(gè)炮手從地面發(fā)射炮彈，仰角為30°，發(fā)射速度為600m/s。炮彈擊中目標(biāo)時(shí)，其下降角度為45°，求目標(biāo)到發(fā)射點(diǎn)的距離。解析：該問(wèn)題可以利用正弦函數(shù)模型求解：h=v0^2sin^2θ/2g，其中v0為發(fā)射速度，θ為仰角。又因?yàn)榕趶椩诳罩械臅r(shí)間與下降時(shí)間之和等于炮彈總飛行時(shí)間，故可利用余弦函數(shù)模型求解水平距離D