甘肅省白銀市會(huì)寧縣第四中學(xué)2025年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從A，B，C，D，E5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、外語(yǔ)競(jìng)賽，其中A不參加物理、化學(xué)競(jìng)賽，則不同的參賽方案種數(shù)為()A．24 B．48C．72 D．1202．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足（是的導(dǎo)函數(shù)），則不等式的解集為（）A． B． C． D．3．拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過(guò)焦點(diǎn)，則過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線，弦過(guò)焦點(diǎn)，為阿基米德三角形，則的面積的最小值為（）A． B． C． D．4．如圖所示的陰影部分由方格紙上3個(gè)小方格組成，我們稱這樣的圖案為形（每次旋轉(zhuǎn)90°仍為形的圖案），那么在個(gè)小方格組成的方格紙上可以畫出不同位置的形需案的個(gè)數(shù)是（）A．36 B．64 C．80 D．965．若a|a|＞b|b|，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)＞b B．|a|＞|b|C．a(chǎn)+b＞0 D．以上都有可能6．若曲線，在點(diǎn)處的切線分別為，且，則的值為（）A． B．2 C． D．7．已知函數(shù)對(duì)任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．8．已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間上方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．9．下列四個(gè)命題中真命題是()A．同垂直于一直線的兩條直線互相平行B．底面各邊相等，側(cè)面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C．過(guò)空間任一點(diǎn)與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條D．過(guò)球面上任意兩點(diǎn)的大圓有且只有一個(gè)10．已知且,則的最大值為()A． B． C． D．11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的k的值為（）A．4 B．5 C．6 D．712．已知線段所在的直線與平面相交于點(diǎn)，且與平面所成的角為，，，為平面內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，，則，兩點(diǎn)間的最小距離為（）A． B．1 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若x，y滿足x+1≤y≤2x，則2y?x的最小值是__________．14．若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是______．15．已知某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值為_(kāi)_________．16．5本不同的書全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù).（1）若在其定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，在上存在兩個(gè)零點(diǎn)，求的最大值.18．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．（12分）如圖，在中，，角的平分線交于點(diǎn)，設(shè),其中是直線的傾斜角．（1）求；（2）若，求的長(zhǎng)20．（12分）為了研究玉米品種對(duì)產(chǎn)量的，某農(nóng)科院對(duì)一塊試驗(yàn)田種植的一批玉米共10000株的生長(zhǎng)情況進(jìn)行研究，現(xiàn)采用分層抽樣方法抽取50株作為樣本，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：高莖矮莖總計(jì)圓粒111930皺粒13720總計(jì)242650（1）現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該樣本所含的圓粒玉米中取出6株玉米，再?gòu)倪@6株玉米中隨機(jī)選出2株，求這2株之中既有高莖玉米又有矮莖玉米的概率；（2）根據(jù)玉米生長(zhǎng)情況作出統(tǒng)計(jì)，是否有95%的把握認(rèn)為玉米的圓粒與玉米的高莖有關(guān)？附：0.050.013.8416.63521．（12分）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)、.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及準(zhǔn)線方程；（2）若為銳角，作線段的中垂線交軸于點(diǎn).證明：為定值，并求出該定值.22．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系中，弧所在圓的圓心分別為，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧.（1）分別寫出的極坐標(biāo)方程；（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，若直線與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并求出的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)題意,分2種情況討論:①不參加任何競(jìng)賽,此時(shí)只需要將四個(gè)人全排列，對(duì)應(yīng)參加四科競(jìng)賽即可；②參加競(jìng)賽,依次分析與其他四人的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理可得此時(shí)參加方案的種數(shù)，進(jìn)而由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】參加時(shí)參賽方案有(種)，不參加時(shí)參賽方案有(種)，所以不同的參賽方案共72種，故選C.本題主要考查分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問(wèn)題，往往是兩個(gè)原理及排列組合問(wèn)題交叉應(yīng)用才能解決問(wèn)題，解答這類問(wèn)題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過(guò)程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí)，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.2、D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，在不等式兩邊同時(shí)乘以化為，即，然后利用函數(shù)在上的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，在不等式兩邊同時(shí)乘以得，即，所以，解得，因此，不等式的解集為，故選：D.本題考查利用構(gòu)造新函數(shù)求解函數(shù)不等式問(wèn)題，其解法步驟如下：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，必要時(shí)分析該函數(shù)的奇偶性；（3）將不等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性求解.3、B【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，可得，即三角形為直角三角形，利用基本不等式，可得當(dāng)直線垂直軸時(shí)，面積取得最小值.【詳解】設(shè)，過(guò)A，B的切線交于Q，直線的方程為：，把直線的方程代入得：，所以，則，由導(dǎo)數(shù)的知識(shí)得：，所以，所以，所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得的最大值為，故選B.本題是一道與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的試題，如果能靈活運(yùn)用阿基米德三角形的結(jié)論，即當(dāng)直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則切線與切線互相垂直，能使運(yùn)算量變得更小.4、C【解析】

把問(wèn)題分割成每一個(gè)“田”字里，求解.【詳解】每一個(gè)“田”字里有個(gè)“”形，如圖因?yàn)榈姆礁窦垉?nèi)共有個(gè)“田”字，所以共有個(gè)“”形..本題考查排列組合問(wèn)題，關(guān)鍵在于把“要做什么”轉(zhuǎn)化成“能做什么”，屬于中檔題.5、A【解析】

利用已知條件，分類討論化簡(jiǎn)可得.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，有，即；當(dāng)時(shí)，則一定成立，而和均不一定成立；當(dāng)時(shí)，有，即；綜上可得選項(xiàng)A正確.故選：A.本題主要考查不等關(guān)系的判定，不等關(guān)系一般是利用不等式的性質(zhì)或者特值排除法進(jìn)行求解，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).6、A【解析】試題分析：因?yàn)椋瑒tf′（1）=，g′（1）=a，又曲線a在點(diǎn)P（1，1）處的切線相互垂直，所以f′（1）?g′（1）=-1，即，所以a=-1．故選A．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．7、D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，將代入函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性選出正確的選項(xiàng).【詳解】構(gòu)造函數(shù)，依題意，故函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，由得，即，排除A選項(xiàng).由得，即，排除B選項(xiàng).由得，即，排除C，選項(xiàng).由得，即，D選項(xiàng)正確，故選D.本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法比較大小，考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念，考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】分析：首先根據(jù)題意，求得函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間上的解析式，之后在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖像，之后將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，結(jié)合圖形，得到結(jié)果.詳解：當(dāng)時(shí)，，，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出的圖像，動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)再過(guò)時(shí)，斜率，由圖象可知當(dāng)時(shí)，兩圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，從而有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故選D.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要先確定函數(shù)的解析式，之后在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)畫出相應(yīng)的曲線，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)解決，非常直觀，在做題的時(shí)候，需要把握動(dòng)直線中的定因素.9、C【解析】

通過(guò)“垂直于同一直線的兩條直線的位置關(guān)系不確定”可判斷A是否正確；通過(guò)“底面各邊相等，側(cè)面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形”可判斷B是否正確；通過(guò)“兩條異面直線的公垂線是唯一的，所以經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條”可判斷C是否正確；通過(guò)“經(jīng)過(guò)球面上任意兩點(diǎn)的大圓有無(wú)數(shù)個(gè)”可判斷D是否正確?！驹斀狻緼項(xiàng)：垂直于同一直線的兩條直線不一定互相平行，故A錯(cuò)；B項(xiàng)：底面各邊相等，側(cè)面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故B錯(cuò)；C項(xiàng)：兩條異面直線的公垂線是唯一的，所以經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條，故C正確；D項(xiàng)：過(guò)球面上任意兩點(diǎn)的大圓有無(wú)數(shù)個(gè)，故D錯(cuò)，故選C項(xiàng)。本題考查了命題真假的判定以及解析幾何的相關(guān)性質(zhì)，考查了推理能力，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題，在進(jìn)行解析幾何的相關(guān)性質(zhì)的判斷時(shí)，可以根據(jù)圖像來(lái)判斷。10、A【解析】

根據(jù)絕對(duì)值三角不等式可知；根據(jù)可得，根據(jù)的范圍可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：當(dāng)，即時(shí)，即：，即的最大值為：本題正確選項(xiàng)：本題考查函數(shù)最值的求解，難點(diǎn)在于對(duì)于絕對(duì)值的處理，關(guān)鍵是能夠?qū)⒑瘮?shù)放縮為關(guān)于的二次函數(shù)的形式，從而根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解得到最值.11、A【解析】試題分析：模擬運(yùn)算：k=0,S=0,S<100成立S=0+2S=1+2S=3+2S=7+2S=15+2S=15+2S=31+2S=63+26=127,k=6+1=7,S=127<100考點(diǎn)：程序框圖．12、D【解析】

過(guò)作面，垂足為，連結(jié)，得到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，在中，利用余弦定理得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，從而得到、兩點(diǎn)間距離的最小值，再得到，兩點(diǎn)間的最小距離.【詳解】如圖，過(guò)作面，垂足為，連結(jié)，根據(jù)題意，因?yàn)椋栽谝詾閳A心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)；以為原點(diǎn)與垂直的方向?yàn)檩S，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)闉槠矫鎯?nèi)動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)在中，根據(jù)余弦定理可得即，整理得，平面內(nèi)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以，兩點(diǎn)間的最小距離為.故選：D.本題考查圓上的點(diǎn)到曲線上點(diǎn)的距離的最值，考查求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，余弦定理解三角形，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】

分析：作可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)與可行域關(guān)系，確定最小值取法.詳解：作可行域，如圖，平移直線，由圖可知直線過(guò)點(diǎn)A(1,2)時(shí)，取最小值3.點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.14、【解析】

利用復(fù)數(shù)模的三角不等式可得出可得出的最大值.【詳解】由復(fù)數(shù)模的三角不等式可得，因此，的最大值是.故答案為.本題考查復(fù)數(shù)模的最值的計(jì)算，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡，利用數(shù)形結(jié)合思想求解，同時(shí)也可以利用復(fù)數(shù)模的三角不等式進(jìn)行計(jì)算，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.15、【解析】

執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的S，i的值，當(dāng)i＝2019時(shí)，不滿足條件退出循環(huán)，輸出S的值為．【詳解】執(zhí)行程序框圖，有S＝2，i＝1滿足條件，執(zhí)行循環(huán)，S，i＝2滿足條件，執(zhí)行循環(huán)，S，i＝3滿足條件，執(zhí)行循環(huán)，S，i＝4滿足條件，執(zhí)行循環(huán)，S＝2，i＝5…觀察規(guī)律可知，S的取值以4為周期，由于2018＝504*4+2，故有：S,i＝2019，不滿足條件退出循環(huán)，輸出S的值為，故答案為．本題主要考查了程序框圖和算法，其中判斷S的取值規(guī)律是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查．16、240.【解析】

先把5本書取出兩本看做一個(gè)元素，這一元素和其他的三個(gè)元素分給四個(gè)同學(xué)，相當(dāng)于在四個(gè)位置全排列，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得出結(jié)果.【詳解】從5本書中取出兩本看做一個(gè)元素共有種不同的取法，這一元素與其他三個(gè)元素分給四個(gè)同學(xué)共有種不同的分法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的分法.故答案為：240本題主要考查了排列組合的綜合應(yīng)用，分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)-2.【解析】分析：（1）由在其定義域上是增函數(shù)，∴恒成立，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，然后進(jìn)行分離參數(shù)求解新函數(shù)的單調(diào)性研究最值即可.（2）當(dāng)時(shí)，，得出函數(shù)的單調(diào)性和極值，然后根據(jù)在上存在兩個(gè)零點(diǎn)，列出等價(jià)不等式求解即可.詳解：（1）∵定義域?yàn)椋?，∵在其定義域上是增函數(shù)，∴，，∵，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）當(dāng)時(shí)，，由得，由得，∴在處取得極大值，在處取得極小值，∴是一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，，故只需且，∵，，∴的最大值為-2.點(diǎn)睛：考查導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用以及零點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)于此類題型求參數(shù)的取值范圍，優(yōu)先要想到能否參變分離，然后研究最值即可，二對(duì)于零點(diǎn)問(wèn)題則需研究函數(shù)圖像和x軸交點(diǎn)的問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合解此類題是關(guān)鍵，屬于較難題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】

（Ⅰ）利用等差數(shù)列公式直接解得答案.（Ⅱ），，利用裂項(xiàng)求和計(jì)算得到答案.【詳解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得∴．（Ⅱ），從而，∴的前項(xiàng)和．本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.19、（1）；（2）5.【解析】試題分析：（1）由直線的傾斜角概念可得，，由二倍角公式可求得，，故而可求得；（2）由正弦定理得，由得，聯(lián)立方程組得結(jié)果.試題解析：（1）∵是直線的傾斜角,，又，故，，則，∴，.（2）由正弦定理，得，即，∴，又，∴，由上兩式解得，又由，得，∴．20、（1）；（2）有的把握認(rèn)為玉米的圓粒與玉米的高莖有關(guān)．【解析】

（1）采用分層抽樣的方式，從樣本中取出的6株玉米隨機(jī)選出2株中包含高桿的2株，矮桿的4株，故可求這2株之中既有高桿玉米又有矮桿玉米的概率；（2）帶入公式計(jì)算值，和臨界值表對(duì)比后即可得答案．【詳解】（1）依題意，取出的6株圓粒玉米中含高莖2株，記為，；矮莖4株，記為，，，；從中隨機(jī)選取2株的情況有如下15種：，，，，，，，，，，，，，，．其中滿足題意的共有，，，，，，，，共8種，則所求概率為．（2）根據(jù)已知列聯(lián)表：高莖矮莖合計(jì)圓粒111930皺粒13720合計(jì)242650得，又，有的把握認(rèn)為玉米的圓粒與玉米的高莖有關(guān)．本題主要考查古典概型的概率和獨(dú)立性檢驗(yàn)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力．21、（1）拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）為定值，證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）利用拋物線的定義結(jié)合條件，可得出，于是可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程求出的值，于此可得出拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程