計(jì)數(shù)原理測(cè)試題及答案解析

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.從A地到B地有3條路，從B地到C地有2條路，則從A地經(jīng)B地到C地的不同走法數(shù)為（）A.5B.6C.9D.122.一件工作可以用2種方法完成，有3人會(huì)用第1種方法完成，另外5人會(huì)用第2種方法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是（）A.8B.15C.16D.303.某班有男生30人，女生20人，現(xiàn)從中選1名男生和1名女生參加社區(qū)服務(wù)，則不同選法種數(shù)為（）A.50B.600C.30D.204.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，則所選3人中至少有1名女生的選法共有（）A.12種B.16種C.20種D.24種5.用數(shù)字1，2，3，4，5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.15B.60C.120D.246.5個(gè)人排成一排，其中甲、乙兩人不相鄰的排法有（）A.12種B.24種C.72種D.96種7.某城市的電話號(hào)碼由7位數(shù)字組成，每位數(shù)字可以是0，1，2，…，9這10個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，則電話號(hào)碼是由7個(gè)不同數(shù)字組成的概率為（）A.\(A_{10}^7\div10^7\)B.\(C_{10}^7\div10^7\)C.\(7^7\div10^7\)D.\(10^7\div7^7\)8.從5名志愿者中選出3人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購三項(xiàng)不同工作，若其中甲不能從事翻譯工作，則不同的選派方案有（）A.24種B.36種C.48種D.60種9.用0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.36B.48C.72D.12010.某小組有8名男生，4名女生，要從中選取2名男生1名女生參加三項(xiàng)不同的活動(dòng)，不同的選法有（）A.\(C_{8}^2C_{4}^1A_{3}^3\)B.\(C_{8}^2C_{4}^1\)C.\(A_{8}^2A_{4}^1\)D.\(A_{8}^2A_{4}^1A_{3}^3\)答案：1.B2.A3.B4.B5.B6.C7.A8.C9.A10.A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列屬于分類加法計(jì)數(shù)原理的有（）A.從北京到上海，可以乘火車，也可以乘飛機(jī)B.從甲地到乙地，中間要經(jīng)過丙地，從甲地到丙地有2條路，從丙地到乙地有3條路C.完成一件事有兩類不同方案，第一類有m種方法，第二類有n種方法D.一個(gè)班級(jí)有30名男生，20名女生，從中選一名學(xué)生當(dāng)班長有50種選法2.從1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)相加，和為偶數(shù)的情況有（）A.1和3B.1和5C.2和4D.3和53.用數(shù)字0，1，2，3組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，下列說法正確的是（）A.可以組成18個(gè)三位數(shù)B.其中偶數(shù)有10個(gè)C.其中奇數(shù)有8個(gè)D.百位是1的有6個(gè)4.下列關(guān)于排列組合的說法正確的是（）A.\(A_{n}^m=\frac{n!}{(n-m)!}\)B.\(C_{n}^m=C_{n}^{n-m}\)C.\(A_{n}^n=n!\)D.\(C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)5.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個(gè)新節(jié)目，如果將這2個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)有（）A.\(A_{6}^2\)B.\(A_{7}^2\)C.42D.306.7個(gè)人站成一排，其中甲、乙兩人必須站在一起的排法有（）A.\(A_{6}^6\timesA_{2}^2\)B.\(2\timesA_{6}^6\)C.\(A_{7}^7\divA_{2}^2\)D.\(A_{7}^7-A_{6}^6\)7.從3名男生和2名女生中選出2人去參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中至少有1名女生的選法有（）A.\(C_{3}^1C_{2}^1+C_{2}^2\)B.\(C_{5}^2-C_{3}^2\)C.\(C_{2}^1\timesC_{4}^1\)D.\(C_{3}^1\timesC_{2}^1\)8.用5種不同顏色給圖中A、B、C、D四個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法有（）A.\(5\times4\times3\times3\)B.\(5\times4\times1\times3+5\times4\times2\times2\)C.\(5\times4\times3\times2-5\times4\times2\times1\)D.\(A_{5}^4\)9.從10名大學(xué)生中選3人擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為（）A.\(C_{2}^1C_{7}^2+C_{2}^2C_{7}^1\)B.\(C_{9}^3-C_{7}^3\)C.\(C_{10}^3-C_{7}^3\)D.\(C_{7}^2\timesC_{2}^1\)10.下列問題中，屬于排列問題的有（）A.從10名學(xué)生中選2名學(xué)生分別擔(dān)任正、副班長B.從10名學(xué)生中選2名學(xué)生參加座談會(huì)C.從1，2，3，4中選2個(gè)數(shù)字組成兩位數(shù)D.從5個(gè)人中選2個(gè)人去完成同一項(xiàng)工作答案：1.ACD2.ABCD3.ABCD4.ABCD5.BC6.AB7.AB8.ABC9.AB10.AC三、判斷題（每題2分，共10題）1.分類加法計(jì)數(shù)原理中各類方法相互獨(dú)立。（）2.分步乘法計(jì)數(shù)原理中各步相互依存。（）3.\(A_{n}^m\)與\(C_{n}^m\)的關(guān)系是\(A_{n}^m=C_{n}^m\timesA_{m}^m\)（）4.從5個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)是\(A_{5}^3\)（）5.從5個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)是\(C_{5}^2\)（）6.6個(gè)人站成一排，甲不能站在兩端，則排法有\(zhòng)(A_{5}^1A_{5}^5\)種。（）7.用數(shù)字1，2，3組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，偶數(shù)有\(zhòng)(A_{2}^2\)個(gè)。（）8.從4名男生和3名女生中選出3人，至少有1名女生的對(duì)立事件是選出的3人都是男生。（）9.3個(gè)人坐在8個(gè)座位上，要求每人左右都有空位，則有\(zhòng)(A_{4}^3\)種坐法。（）10.\(C_{n}^0+C_{n}^1+C_{n}^2+\cdots+C_{n}^n=2^n\)（）答案：1.√2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.√四、簡答題（每題5分，共4題）1.用1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)奇數(shù)？答案：個(gè)位從1，3，5中選有3種選法，百位從剩下4個(gè)數(shù)字選有4種選法，十位從剩下3個(gè)數(shù)字選有3種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有\(zhòng)(3×4×3=36\)個(gè)。2.從6名男生和4名女生中選出3名學(xué)生參加比賽，要求至少有1名女生，有多少種選法？答案：用間接法，從10名學(xué)生選3人的選法有\(zhòng)(C_{10}^3\)種，全是男生的選法有\(zhòng)(C_{6}^3\)種。所以至少有1名女生的選法有\(zhòng)(C_{10}^3-C_{6}^3=120-20=100\)種。3.5個(gè)人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，有多少種排法？答案：先排另外3人，有\(zhòng)(A_{3}^3\)種排法，3人排好后形成4個(gè)空位，從4個(gè)空位中選2個(gè)排甲、乙，有\(zhòng)(A_{4}^2\)種排法。所以共有\(zhòng)(A_{3}^3×A_{4}^2=6×12=72\)種排法。4.某小組有7人，從中選3人分別擔(dān)任學(xué)習(xí)委員、勞動(dòng)委員、體育委員，其中甲不能擔(dān)任學(xué)習(xí)委員，有多少種不同的選法？答案：分兩類，第一類，不選甲，有\(zhòng)(A_{6}^3\)種選法；第二類，選甲，甲從勞動(dòng)、體育委員中選有2種選法，另外從6人中選2人全排列有\(zhòng)(A_{6}^2\)種選法，則此類有\(zhòng)(2×A_{6}^2\)種選法。共有\(zhòng)(A_{6}^3+2×A_{6}^2=120+10=130\)種選法。五、討論題（每題5分，共4題）1.在計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用中，如何區(qū)分分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理？答案：關(guān)鍵看完成一件事的方式。分類加法計(jì)數(shù)原理是“類與類”之間相互獨(dú)立，各類方法都能獨(dú)立完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理是“步與步”相互依存，只有各個(gè)步驟都完成才能完成這件事。2.排列和組合的區(qū)別在哪里？在實(shí)際解題中如何準(zhǔn)確判斷是排列問題還是組合問題？答案：排列與順序有關(guān)，組合與順序無關(guān)。解題時(shí)，看元素取出后順序變化對(duì)結(jié)果有無影響，有影響是排列問題，無影響是組合問題。如選班干部是排列，選代表是組合。3.舉例說明在解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，間接法的使用思路和優(yōu)勢(shì)。答案：比如求“至少有一個(gè)滿足條件”的情況。直接求較復(fù)雜時(shí)，可先求