大一數(shù)學(xué)b期中考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\geq0\)B.\(x\geq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\gt0\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)3.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=\)（）A.\(3x^2\)B.\(x^2\)C.\(3x\)D.\(3\)4.曲線\(y=x^2\)在點\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.45.若\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)=\)（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{2}x^2\)D.\(4x\)6.\(\intx^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^3+C\)D.\(3x^3+C\)7.函數(shù)\(y=\cosx\)的周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(3\pi\)D.\(4\pi\)8.當(dāng)\(x\to0\)時，\(x^2\)是比\(x\)（）的無窮小。A.高階B.低階C.同階D.等價9.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x-1}\)的間斷點是（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=-1\)D.無間斷點10.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)是\(f(x)\)的（）A.駐點B.極值點C.最值點D.拐點二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim_{x\to0}\sinx\)C.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)的充要條件是（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在該點連續(xù)4.下列函數(shù)中，其導(dǎo)數(shù)為\(\cosx\)的有（）A.\(\sinx+C\)B.\(-\sinx+C\)C.\(\cosx+C\)D.\(-\cosx+C\)5.下列積分計算正確的有（）A.\(\int0dx=C\)B.\(\int1dx=x+C\)C.\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq-1)\)D.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)6.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\((-\infty,-1)\)B.\((-1,1)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((-\infty,+\infty)\)7.下列函數(shù)中，是初等函數(shù)的有（）A.\(y=\sqrt{x^2+1}\)B.\(y=e^{\sinx}\)C.\(y=\begin{cases}x+1,x\geq0\\x-1,x\lt0\end{cases}\)D.\(y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)8.當(dāng)\(x\to0\)時，與\(x\)等價無窮小的有（）A.\(\sinx\)B.\(\tanx\)C.\(e^x-1\)D.\(\ln(1+x)\)9.函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上滿足羅爾定理的條件有（）A.在\([a,b]\)上連續(xù)B.在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)C.\(f(a)=f(b)\)D.\(f(x)\)為多項式函數(shù)10.下列說法正確的有（）A.可導(dǎo)函數(shù)一定連續(xù)B.連續(xù)函數(shù)一定可導(dǎo)C.函數(shù)的極值點一定是駐點D.駐點不一定是極值點三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）2.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定有定義。（）3.函數(shù)\(y=|x|\)在\(x=0\)處不可導(dǎo)。（）4.若\(f^\prime(x)\gt0\)，則\(f(x)\)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。（）5.\(\intf^\prime(x)dx=f(x)\)。（）6.函數(shù)\(y=\sin^2x\)的周期是\(\pi\)。（）7.當(dāng)\(x\to0\)時，\(x\)與\(x^2\)是同階無窮小。（）8.函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處的切線方程為\(y-f(x_0)=f^\prime(x_0)(x-x_0)\)。（）9.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）10.函數(shù)\(y=x^3\)的拐點是\((0,0)\)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=\ln(1+x^2)\)的導(dǎo)數(shù)。-答案：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，令\(u=1+x^2\)，則\(y=\lnu\)。先對\(y\)關(guān)于\(u\)求導(dǎo)得\(y^\prime_{u}=\frac{1}{u}\)，再對\(u\)關(guān)于\(x\)求導(dǎo)得\(u^\prime_{x}=2x\)，所以\(y^\prime=\frac{2x}{1+x^2}\)。2.計算\(\intxe^xdx\)。-答案：用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。根據(jù)分部積分公式\(\intudv=uv-\intvdu\)，可得\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C=e^x(x-1)+C\)。3.求極限\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)。-答案：對分子因式分解，\(x^2-1=(x+1)(x-1)\)，則原式\(=\lim_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)\)，將\(x=1\)代入得\(2\)。4.函數(shù)\(y=x^3-3x^2+2\)的極值點和極值分別是多少？-答案：先求導(dǎo)\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x\lt0\)，\(y^\prime\gt0\)；\(0\ltx\lt2\)，\(y^\prime\lt0\)；\(x\gt2\)，\(y^\prime\gt0\)。所以極大值點\(x=0\)，極大值\(y(0)=2\)；極小值點\(x=2\)，極小值\(y(2)=-2\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的單調(diào)性與漸近線。-答案：求導(dǎo)\(y^\prime=-\frac{1}{(x-1)^2}\lt0\)，定義域\(x\neq1\)，所以在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞減。當(dāng)\(x\to1\)時，\(y\to\infty\)，所以\(x=1\)是垂直漸近線；當(dāng)\(x\to\pm\infty\)時，\(y\to0\)，\(y=0\)是水平漸近線。2.說明導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值之間的關(guān)系。-答案：導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)單調(diào)遞增；導(dǎo)數(shù)小于零，函數(shù)單調(diào)遞減。導(dǎo)數(shù)為零的點（駐點）可能是極值點，當(dāng)函數(shù)在駐點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號改變時為極值點，左正右負(fù)是極大值點，左負(fù)右正為極小值點。3.比較不定積分與定積分的聯(lián)系與區(qū)別。-答案：聯(lián)系：定積分計算可借助不定積分，牛頓-萊布尼茨公式將定積分與不定積分聯(lián)系起來。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)的集合，結(jié)果是函數(shù)；定積分是一個數(shù)值，與積分區(qū)間和被積函數(shù)有關(guān)，計算時需考慮積分上下限。4.舉例說明無窮小在極限計算中的應(yīng)用。-答案：例如求\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)，當(dāng)\(x\to0\)時，\(\sinx\)與\(x\)是等價無窮小，所以\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)。利用等價無窮小替換可簡化極限計算，如\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)，\(\tanx\)與\(x\)等價無窮小，極限值為\(1\)。