人教版八年級上冊數(shù)學(xué)期末動點(diǎn)問題壓軸題專題訓(xùn)練

1.如圖，平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)6（1,0）和），軸上一動點(diǎn)40,-幻，其中。＞0,以點(diǎn)A為

直角頂點(diǎn)在第四象限內(nèi)作等腰直角設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（Gd）.

（2）動點(diǎn)4在運(yùn)動的過程中，試判斷c+d的值是否發(fā)生變化，若不變，請求出其值；若

發(fā)生變化，請說明理由.

⑶當(dāng)〃=3時，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)尸（不與點(diǎn)C重合），使..Q48與..43C全等？

若存在，請直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，點(diǎn)4（4,4）,46_1,），軸于點(diǎn)？，點(diǎn)（7在線段。8

上運(yùn)動（點(diǎn)。不與點(diǎn)。4重合）.

（I）如圖①，當(dāng)CO_L4C,且CO=AC,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,3）時.

①求證；/BAC=NOCD;

②求點(diǎn)。的坐標(biāo);

(H)如圖②，當(dāng)C是。B的中點(diǎn)時，過點(diǎn)"作于點(diǎn)E8/與0人交于點(diǎn)尸.求

i正：ZAFB=NOFC.

3.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(T,O),點(diǎn)3(4,0)均在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C是)，軸負(fù)半軸上

的一動點(diǎn)，連接C4,CB.

⑴若4ABe的面積為16,在線段AC上存在點(diǎn)間；

①如圖1,填空：6Aoe的面積為,點(diǎn)。的坐標(biāo)為；

②如圖2,點(diǎn)P在丁軸負(fù)半軸上.連接P￡>,BD,若PD=BD,求點(diǎn)P坐標(biāo)；

⑵如圖3,若C4=A8,在第四象限內(nèi)有一動點(diǎn)Q,連接QA,Q8,QC,.且NCQ4=60。.求

證CQ+8Q=AQ.

4.如圖1,A（—l,3）,C（3,l）,A3_Ly軸于點(diǎn)8,C/〃x軸于點(diǎn)O.

⑴求證：XAOB沿XCOD?、

(2)如圖2,連接AC,BD交于點(diǎn)、P,連接OP,求證：點(diǎn)戶為AC中點(diǎn)；

(3)如圖3,點(diǎn)E為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)/為了軸正半軸上一點(diǎn)，連接AF,EF,EFLCE

且EF=CE,點(diǎn)G為4、中點(diǎn).連接EG,E0,求證：NOEG=45。.

5.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(肛0),點(diǎn)4(0,〃)，連接AB,OC平分NAO8交48

⑴如圖1,過點(diǎn)石作OE〃。。交A3于點(diǎn)。，若點(diǎn)D為A3中點(diǎn),且m=一2,〃=4：

求0E的長度；

(2)如圖2,連接CE,過點(diǎn)C作CNLCE且CN=CE,CN交x軸于點(diǎn)F,連接4V,若

m=—4\/2?n=4^2?求S>CFE~~S公人松的值;

⑶如圖3,連接8E,過點(diǎn)A作/W_L交BE的延長線7點(diǎn)M交>>軸于點(diǎn)M,連接ME,

若30=249,^ABE=45°,求證：ZAMB=^NME.

②求產(chǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)將/8C沿x軸向左平移，AC邊與y軸交于一點(diǎn)P(P不同于A和C兩點(diǎn))，過尸作

一直線與人8的延長線交于。點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)M,且8=8。，在平移過程中，

求證：OC+BM=OM.

⑴如圖1,已知4七分別是440和ZA80角的平分線，點(diǎn)A點(diǎn)在運(yùn)動的過程中，

ZAE8的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求

出的大小.

⑵如圖2,已知A3不平行CDAD.分別是NBA尸和448W的角平分線，又

DE、CE分別是N4Z)C和N3CO的角平分線，點(diǎn)AJ?在運(yùn)動的過程中，NC。的大小

是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由：若不發(fā)生變化.試求出其值.

⑶如圖3,延長加至G,已知/的O、NO4G的角平分線與N8OQ的角平分線及延長

線相交于區(qū)F,在△A"'中，如果有一個角是另一個角的3倍，試求乙48。的度數(shù).

9.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xQv中，為等腰直角三角形，BC=AC,直角頂點(diǎn)

。在軸上，點(diǎn)8在丁軸上，點(diǎn)A在第二象限，OC>OB.

⑴在線段0C上找一點(diǎn)

(2)將A4C繞點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)C落在x軸正半軸上.

①如圖2,丁軸恰好平分/ABC,AC與〉軸交于點(diǎn)0,過點(diǎn)A作AE_L>軸于點(diǎn)E,則

與A石有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由，

②如圖3,直角邊8c在兩坐標(biāo)軸上滑動，使點(diǎn)A在第四象限內(nèi)，過點(diǎn)A作A/_Ly軸

于點(diǎn)下，在滑動的過程中，是否為定值？若是，請直接寫出答案；若小是，

B二O

請說出理由.

10.在平面直角坐標(biāo)系中有一等腰三角形ABC,點(diǎn)4在)，軸正半軸上，點(diǎn)8在x軸負(fù)

半軸上.

⑴如圖1,點(diǎn)C在第一象限，若/8AC=90。，48兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是40,4),8(-2,0),

求C點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如圖2,點(diǎn)C在x軸上半軸上，點(diǎn)、E、尸分別是邊8。、A8上的點(diǎn)，若

ZAEF=ZACB=2ZOAE.求證：BF=CE；

(3)如圖3,點(diǎn)。與點(diǎn)。重合時點(diǎn)E在第三象限，BEL4E,連接OE,求N8EO的度數(shù).

11.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)八在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)8在），軸正半軸上，設(shè)48=力,

3且NB4O=600.

圖3

（1）請寫出。和b的數(shù)量關(guān)系;

⑵如圖2,點(diǎn)。為A8的中點(diǎn)，點(diǎn)。為），軸負(fù)半釉上一點(diǎn)，以A尸為邊作等邊三角形4PQ,

連接。。并延長交x軸于點(diǎn)M,若AB=6,求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

⑶如圖3,點(diǎn)C與點(diǎn)人關(guān)于），軸對稱，點(diǎn)E為0C的中點(diǎn)，連接的，過點(diǎn)3作

NCBF=ZAEB,且BF=BE,連接從'交8C于點(diǎn)P,過點(diǎn)F作后W〃x軸交C8的延長

線于點(diǎn)M，

①求證：。為心的中點(diǎn).；

②求竺的值.

12.在x軸正半軸上有一定點(diǎn)4,A（a,O）.

⑴若多項(xiàng)式V+4x+。恰好是某個整式的平方，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)為：

⑵如圖1,點(diǎn)P為第三象限角平分線上一動點(diǎn)，連接4尸，將射線A"繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)

30。交），軸于點(diǎn)Q,連接尸Q,在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，當(dāng)NAPQ=45。時，求/OQA的度

⑶如圖2,已知點(diǎn)仄點(diǎn)。分別為），軸正半軸，k軸正半軸上的點(diǎn)，C在A右側(cè)，在線

段0B上取點(diǎn)E（。，,AC=n,且/8CE=45。，過點(diǎn)4做A0J_x軸，且AZ）=OC,求

。產(chǎn)的長.（結(jié)果用機(jī)，〃表示）

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（-2,0）,8（0,3）.

（1）如圖1,以A為直角頂點(diǎn)在第二象限內(nèi)作等腰直角三角形AAE,過點(diǎn)E作斯_Lx軸

于點(diǎn)尸，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑵如圖2,點(diǎn)P（0,%）為y軸正半軸上一動點(diǎn)，以AP為直角邊作等腰直角三角形APC,

點(diǎn)。（今,丹）在第一象限，ZAPC=90°,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，X，一汽的值是否發(fā)生變化？

若不變，求出其值；若變化，請說明理由.

⑶如圖3,點(diǎn)P在丁軸負(fù)半軸上，以AP為直角邊作等腰直角三角形APC,ZAPC=90%

點(diǎn)。在第一象限，點(diǎn)〃在4c延長線上，作〃G_Lx軸于G,當(dāng)，（機(jī),2）,探究線段產(chǎn)〃、

AG、。夕之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

14.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4?())在x軸正半軸上，點(diǎn)8是第四象限內(nèi)一點(diǎn),

圖1圖2圖3

(1)求點(diǎn)8的坐標(biāo);

⑵如圖2,。點(diǎn)是線段。。上一動點(diǎn)，DE〃AB交BC于前E,NODE的角平分線與

N8A/的角平分線交于第四象限的一點(diǎn)G,AB與DG交于點(diǎn)H,求N4G。的度數(shù)；

(3)如圖3,將點(diǎn)C向左平移4個單位得到點(diǎn)“，連接A"，A”與y軸交于點(diǎn)。.

①求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②)，軸上是否存在點(diǎn)M,使三先形A”時和三角形的面積相等？若存在，求出點(diǎn)M

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

15.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(0M),8S，0),且m2滿足

”+3尸-2）+（/、"T）=y<y.

⑴求A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如圖2,連接/W,若。(0,-6),力石146于點(diǎn)E,點(diǎn)。與點(diǎn)8關(guān)于)，軸對稱，點(diǎn)M

是線段OE上的一點(diǎn)，且OM=A8,連接AM,求證：AC±AM；

（3）如圖3,在（2）的條件下，若點(diǎn)N是線段DW上的一個點(diǎn)，點(diǎn)f是M4延長線上的

一點(diǎn)，且=連接PN交），軸于點(diǎn)Q,過點(diǎn)N作M7_Ly軸于點(diǎn)從求MQ"的

面積.

16.在平面直角坐標(biāo)系中，A,P分別是x軸、），軸正半軸上的點(diǎn)，8是線段。4上一點(diǎn),

①求證：ZDBO=ZCBA；

②若OP=OA,求證：BD+BC=BP；

⑵如圖2,A（5,0）,3（2,0）,G是9的中點(diǎn)，連接4G,M是入?軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，

PM=2AG,當(dāng)點(diǎn)。在），軸正半軸上運(yùn)動時，點(diǎn)M的坐標(biāo)是否會發(fā)生變化？若不變,

求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若改變，求出其變化的范圍.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，點(diǎn)A在丁軸正半軸上，點(diǎn)8（-1,0）,點(diǎn)C（〃7,〃）

在第二象限，AB=AC,ZBAC=90°.

⑴求〃?+〃的值;

⑵當(dāng)A（0,2）時.

①求三角形人BC的面積；

②在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P(不與點(diǎn)C重合)，使一/<44與JWC全等？若存在，求出

所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

18.如圖1,平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4(8,0),動點(diǎn)。從A出發(fā)以每秒2

個單位長度的速度沿線段AO向終點(diǎn)O運(yùn)動，同時動點(diǎn)。從。出發(fā)以相同速度沿)，軸正

半軸運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O,兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動.

OAx

備用圖2

(1)用含f的式子表示OP

(2)如圖2,過點(diǎn)。作且QM=PQ,點(diǎn)M在第一象限，求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用含

，的式子表示);

⑶點(diǎn)R為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且OR=；OP,坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)N(4-2/,2r-4),若q\7?

為等腰直角三角形，則，=

19.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸上有兩點(diǎn)A、M,在V軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)〃,

人加=人2=4,/84M=6O，以A為頂點(diǎn)作等腰直角”8C,點(diǎn)C在第三象限，

ZBAC=90,AC=AB.

y

⑴填空：M點(diǎn)的坐標(biāo)為：；C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：；

⑵如圖2,連接BM,CM,求/8CM的度數(shù)；

(3)如圖3,過點(diǎn)A作A尸工5C于點(diǎn)尸，交CM于點(diǎn)N,點(diǎn)E在CM上且￡M=AN,連

接BE.

①求證：Z\ACN/MBE；

②直接寫出線段CM、BE、AN之間的數(shù)量關(guān)系為：.

20.如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，4。，0),C0,2),且滿足(a+2>+>/^^=0,過。

(1)求三角形ABC的面積；

(2)如圖②，若過ZT作用)〃4c交1y軸于。，且AE,DE分別平分/C4A,NODB.

求的度數(shù)；

⑶在x軸上是否存在點(diǎn)P,使得三角形ACP和三角形八的面積相等？若存在，求出P

點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，清說明理由.

參考答案:

1.(1)(2,-3)

⑵動點(diǎn)A在運(yùn)動的過程中，。+〃的值不變,

(3)(41)或(-3,-2)或(-2,1)

【分析】本題考查全等三角形判定及性質(zhì).

(1)根據(jù)題意過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)E,證明出_ACE0一840,利用全等性質(zhì)即可得到

本題答案；

(2)由(1)得ACE^BAO,利用全等性質(zhì)及點(diǎn)坐標(biāo)表示線段長即可得到本題答案；

(3)根據(jù)題意分3種情況討論P(yáng)點(diǎn)位置，利用全等三角形性質(zhì)及判定即可得到本題答案.

【詳解】⑴解：如下圖，過點(diǎn)C作CE”軸于點(diǎn)￡,則NCE4=ZA0"

???ABC是等腰直角三角形，

.?.AC=BAZfi4C=90°,

JZACE+ZCAE=90°=ZBAO+ZCAE,

:.ZACE=Z13AO.

在zMCE和.一曲。中，

ZCE4=Z.AOB

NACE=NBA0

AC=BA

，一AC四一8Ao(AAS),

V8(0.1),4(0,-2),

BO=AE=l,AO=CE=2,

，OE=l+2=3,

JC(2,-3)；

(2)解：動點(diǎn)A在運(yùn)動的過程中，c+d的值不變.理由如下:

由(1)知，^ACE^^BAO,

??,8(0,1),A(0,-a),

BO=AE=1,AO=CE=a,

OE=\+a,

C(a,~l-a),

又丁點(diǎn)。的坐標(biāo)為(cd),

??c+d=a-\-a=-\y即c+d的值不變；

(3)解：存在一點(diǎn)P,使二期6與_/3。全等，

符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是(4,-1)或(-3,-2)或(-2,1),

分為三種情況討論：

①如卜圖，過點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)E,則NPBAMZAOBMNAEBMQO。,

.../EPR+/PRE=90°,/PRE+ZABO=90°,

：?/EPB=ZABO,

在△PEB和△30A中，

NEPB=ZOBA

</PEB=NBOA,

PB=BA

：?APE噲ABQA(AAS),

:.PE=BO=\,EB=AO=3f

/.OE=3+1=4,

即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(4.-1),

②如下圖，過點(diǎn)C作CM_Lx軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)尸作尸EJLx軸于點(diǎn)E,

?「Z\C4點(diǎn)△/MB,

?.NPBA=ZCBA=45°,BC=BP,

???ZCBP=90°,

/MCB+NCBM=90°,ZCB/W+/PBE=90°,

???/MCB=/PBE,

在.CM8和ABEP中,

/MCB=NEBP

,NCMB=NBEP,

BC=PB

:?ACMB9ABEP(AAS),

PE=BM,CM=BE.

???PE=2,OE=BE-BO=4-1=3,

即點(diǎn)。的坐標(biāo)是(-3,-2)；

③如下圖，過點(diǎn)。作PE_Lx軸于點(diǎn)，則N5樣=N2OA=90。.

??.AB=BP,ZCAB=NABP=90°,

???ZABO+NPBE=90°,NPBE+NBPE=90°,

ZABO=NBPE.

在△804和APEB中,

4AB0=NBPE

<NBQ4=NPEB,

BA=PB

:.ZXBOA/APEB(AAS),

JPE=B0=T,BE=0A=3,

：.OE=BE-BO=3-\=2,

即點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(-2,1),

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是(4,-1)或(-3,-2)或(-2,1).

2.(I)①見詳解；②點(diǎn)。的坐標(biāo)為(L-D；(H)見詳解

【分析】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等

腰直角三角形的判定，解決本題的關(guān)鍵是得到VOGr名

(I)①根據(jù)直角三角形兩個銳角互余即可得ZZMC=N0C。；

②過點(diǎn)。作力石工了軸于點(diǎn)E,證明/8AC0_ECZ)(A4S),得AB=CE,BC=DE,進(jìn)而根據(jù)

線段的和差即可求點(diǎn)。的坐標(biāo)：

(II)如圖②，延長林交x釉于點(diǎn)G,證明一840RBG(AS4),得BC=OG,然后證明

一OGFaOCF(SAS),得NOFG=NOFC,再根據(jù)對頂角相等可得NAFE=NOFC.

【詳解】(I)①證明：??,COJ_AC,A8JL.y,

：.ZACD=ZABC=90°,

ABAC=90°-ZACB=NOCD;

②解：如圖①，過點(diǎn)。作。石工了軸于點(diǎn)E,

NC￡O=Z/WC=90°,

QCD=AC,ZBAC=NOCD,

.&8A&一ECZ)(A45),

AB-CE,BC—DE,

QA(4,4),

/.AB=OB=CE=4,

.C(0,3),

:.OC=3,

BC=OB-OC=4-3=K

:.DE=LOE=CE-OC=^-3=\,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,7)；

(ID證明：如圖②，延長8尸交x軸于點(diǎn)G,

圖②

QBFrAC,ABLy,

ZCEB=ZABC=90°,

ABAC=90°-ZACB=￡EBC,

QA4=OB、

、BAgOBG(ASA),

BC=OG,

。是。8中點(diǎn)，

BC—OC,

：.oG=oa

QA(4,4),

AB=OB,

.??VA8O是等腰直角三角形,

/BOA=45。，

/GO/=45。，

ZGOF=ZCOF=45°,

QOF=OF,

.\.OGF^OCF(SAS),

/.乙OFG="FC、

Q4OFG=ZAFB,

：.ZAFB=^OFC.

3.(1)08；(-2,-2)；②(0,-8)

(2)見解析

【分析】(1)①根據(jù)三角形的面積公式得出C(0,M),維而根據(jù)三角形的面積公式，得出

.4OC的面積，過點(diǎn)。分別作x，y軸的垂線，垂足分別為G,",證明，AQG0..C，。，得出

AD=DC,進(jìn)而得出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②過點(diǎn)。作"N〃)，軸，交x軸于點(diǎn)N,過點(diǎn)P作月WJLMN于點(diǎn)M,證明

RtBDV絲RJOAM(HL),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出尸(0,-8)

(2)先證明乂"C是等邊三角形，在AQ上取點(diǎn)E,QE=CQ,根據(jù)NCQA=60°則△CQE

是等邊三角形，證明-48絲&3CQ,即可得出AE=8Q,即可得證.

【詳解】(1)解：???點(diǎn)4?0),點(diǎn)8(4,0)均在坐標(biāo)軸上,

???&4=O8=4,則A8=8

,/ABC的面積為16,

oC=-=^=4.貝lJC(0,-4)

^S^AOC=^AOXOC=^4X4=S,

如圖所示，過點(diǎn)。分別作x，y軸的垂線，垂足分別為G,H,

圖1

*/0(〃?,"7)

DG=HB=-m

又ZAGD=ZCHD=90。,/GAD=Z/7CD=45°

???一ADGaCHD

/.AD=DC

???點(diǎn)A(-4,0),點(diǎn)3(4,0)

/.7)(-2,-2),

故答案為：8；(-2,-2)；

②如圖所示，過點(diǎn)。作MN〃y軸，交x軸于點(diǎn)N,過點(diǎn)尸作于點(diǎn)M,

圖2

???點(diǎn)味2,-2）；

???MP=DN=2

又PD=BD

???RtBDNWRt0PM(HL),

DM=BN=6,MP=DN=2

:?MN=MD+DN=8,

???P(O,-8)

(2)-：OA=OB,CO1AB

：,CA=CB,

又???C4=A8,

???AB=AC=BC

???58C是等邊三角形，

如圖所示，在4Q上取點(diǎn)E,Q^=CQ,???/。。4=60。則△CQE是等邊三角形,

圖3

:.CQ=CE,NECQ=60。

JZACE=ZBCQ=60°-NECB

在“CJBCQ中，

AC=BC

■ZACE=NBCQ

CE=CQ

:...ACE-BCQ

：.AE=BQ

???AQ=AE+EQ=BQ+CQ

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全

等三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

4.(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，等腰直角三角形的性質(zhì)與判

定，利用做輔助線作全等三角形是解決本題的關(guān)健.

(1)根據(jù)SAS即可證明△力如gAuSW：

(2)過點(diǎn)C作“〃x軸，交于點(diǎn)〃，得出入B〃C斤〃OD,由平行線的性質(zhì)得

/BAP=/HCP,由CO_Lx軸得NOCH=NODC=90。，證明NO/M=45。，從而得出

NCHD=NCDH=45。,推出C”=8=A8,根據(jù)A4S證明AABP/ACHP,得出AP=CP,

再由全等三角形的性質(zhì)得到。4=OC,即可得證；

(3)延長EG到M,使GM=GE,連接AM,OM,延長E/交AO于點(diǎn)J,根據(jù)女證

明力GAfq/GE,得出AM=￡F,ZAMG=NGEF,故A用〃E/,由平行線的性質(zhì)得出

ZMA()=ZAJE,進(jìn)而推出NM4O=NECO,根據(jù)SAS證明MAg.ECO,故OM=OE,

ZAOM=NEOC,即可證明NOEG=45。.

【詳解】(I)證明：軸于點(diǎn)CO_Lx軸于點(diǎn)D,

:.ZABO=ZCDO=90°f

???4(-1,3),C(3,l),

:.AB=CD=\,OB=OD=3,

.;AO的二COD(SAS)；

(2)證明：如圖2,過點(diǎn)。作C〃〃x軸，交BD于點(diǎn)H,

AB//CH//OD,

：.NBAP=/HCP,

CO_Lx軸，

NDCH=ZODC=90。,

?：OB=OD,

/.NODB=45。,

???ZCHD=NODB=45°,ZCDH=90°-45°=45°,

4CHD=/CDH,

:.CH=CD=AB,

在「AB尸與VC〃P中，

NAPB=NCPH

<NBAP=NHCP,

AB=CH

:cABP^CHP(AAS),

：.AP=CP,即點(diǎn)/，為AC中點(diǎn):

圖2

證明：如圖3,延長EG到時,使GM=G￡,連接AM,OM,延長石尸交AO于點(diǎn)J,

?/AG=GFtZAGM=/FGE,GM=GE,

.工4GM-R7E(SAS),

：.AM=EF,ZAMG=/GEF,

AM〃EJ、

:.ZMAO=ZAJE,

;EF=EC,

???NEAO+NECO=180。，

ZA/E+ZE/O=180°

:.ZAJE=4ECO,

:.ZMAO=^ECO,

AO=CO,

MAO^ECO(SAS),

??.OM=OE,ZAOM=ZEOC,

：.ZMOE=ZAOC=90Q,

Z.MEO=45°,即ZOEG=45°.

5.(1)1

(2)8

(3)見解析

【分析】本題屬「三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，

添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

(1)由三角形中位線定理可求A〃=O”=1,DH〃BO,DH=；BO=2,由等腰直角三角

形的性質(zhì)可求鹿=?！?2,即可求解；

(2)由“SAS”可證△ACNdCOE,可得S“N=S?°E，由面積和差關(guān)系可求解；

(3)li|△A?A/^AA/AH(ASA),可得八M=HN,ZAMB^ZAHN,由△AOB/ZXN必(AAS),可

得AO=BV,由作△HNE(SAS),可得的W=即可得NAMB=N7WE.

【詳解】(1)解：如圖1,取AO的中點(diǎn)〃，連接O”，

「.04=2,08=4,

,點(diǎn)。為AB中點(diǎn),點(diǎn)，是A0的中點(diǎn),

AH=OH=-OA=\,DH〃RO.DH=-BO=2,

22

/.ZDHE=ZBOE=90°,

OC平分NAO8,

：.ZAOC=450,

?.DE//CO,

..ZDEA=ZAOC=45°t

I/)”“是等腰直角二角形,

;.DH=HE=2,

:.OE=HE-OH=\,

(2)解：,.,〃?=-4夜>n=4^2，

/.A(-4V2,0),8(0,4揚(yáng)

；.OA=OB=4C，

:,AB=ylO#+OB2=8,

又??OC平分NAOB,

:.AC=BC=CO=-AB=4,OCLAB,

2

.?.ZACO=Z7VCE=90°，

ZACO-ZNCO=乙NCE-ANCO

ZACN=/OCE,

;CN=CE,"N=NOCE,AC=OC

..△ACNqZ\OCE(SAS),

S"GV=S20cE,

SCFE—S.AEN=S0cE+SCF()一1S&CN-SACF)=SAC/,-+SCf.o=SACO=-x4x4=8；

(3)證明：如圖3,過點(diǎn)N作M/JLAN交x軸于〃，F(xiàn)Nlx軸于產(chǎn),

圖3

ZABE=45°,AN工AB,

「.△4所V是等腰直角三角形,

/.AB=AN,ZBAN=9(r=ZANH,

ZABO+ABAO=9(F=ABAC)+ZNAH,

:.ZABO=ZNAH,

VZABO=Z/W7,AB=NA,NfiAM==90°,

.,△ABMgANWASA),

：.AM=NH,ZAMB=ZAHN，

ZABO=ZNAF,AB=NA,ZAOB=ZNFA=90°,

..△40噲△NE4(AAS),

:.AO=FNtBO=AF

,/BO=2AO,

：,OF=AF-AO=BO-AO=AO,

過點(diǎn)N作NPJ.)，軸于點(diǎn)p,則加=。/=49,根〃.1軸

???ZAOM=/NPO=90°,LOAM=4PNM,

ZAOM=NNPO=90°,ZOAM=4PNM,NP=AO,

?L.AQW竺NPM,

AM=MN,

XVAM=NH

：.MN=NH,

?：NH上AN,ANLAB,

???NH//AB

.?.^ENH=ZABN=A5°

，4ENM=90°-NENH=45°

■:MN=NH,NENH=/ENM=45。，EN=EN,

:△NME^AHNEGAS),

ZLEMN=ZNHA,

:.ZAMB=ZNME.

6.(l)A(6,0),8(0,6)

(2)d=t

(3)產(chǎn)的橫坐標(biāo)是4

【分析】（1）先證明三角形BAO是等腰直角三角形，再根據(jù)面積即可求出邊長，即可得到

答案；

(2)過點(diǎn)。作OH_Lx軸，垂足為從證明Rt.BOC%RlCHO(/〃)，再證明

8。慮DC同SAS),最終通過證明四邊形OEDH為矩形求得答案；

(3)在x軸負(fù)半軸上取一點(diǎn)K,使OK=OC,連接8K,在8K上取一點(diǎn)〃，使BH=CG,

連接?！?，過萬作QW_L4C,垂足為M,通過證明△AOEVACEO進(jìn)一步證明

△C8H絲△4GC(SAS),從而證得CK=AC求得答案.

【詳解】(I)解：?.?3OJ.AO,

...NAOB=90°,

?/ZABO=45°,

/.ZBAO=45°,

：.ZBAO=ZABO,

:.OA=OB

:.S,=-OAOB=-OA1=\S,

c'(Q)li22

.?.0A=6或O4=-6(舍)，

：.OA=OB=6

/.A(6,0),8(0,6)；

(2)解：「點(diǎn)C在x軸上，橫坐標(biāo)為J,

/.C(r,O),

OC=t,E(0,—J)

過點(diǎn)。作?！╛Lx軸，垂足為〃，如下圖所示，

?：ADAH=ZBAO=45°,

/HAD=NHDA=45°,

:.AH=HD,

。點(diǎn)縱坐標(biāo)為T,

AH=DH=t

：.OC=DH=AH=t,

.\(X：+CA=AH+CA,

：.OA=CH,

:.BO=CH,

\BO=CH

在RZBOC和RlKHD中《八廠—“八，

C/L=rl1J

RtBOC^RtCHD(HL),

:.BC=DC,

在*CE和△OCE中，

BC=DC

-NBCE=/DCE,

CE=CE

BCEWDCE(SAS),

:.BE=DE,

:"DBE=/BDE=45。,

在.BED中，ABED=180O-Z.DBE-ZBDE=90°,

:.BE工DE,

ZOED=90°,

-OE1AO,

..ZAOE=9(r,乙DHO=W,

.?四邊形O￡DH中，ZOED+ZHOE+ZDHO+ZEDH=360°,

/.NEO"=90。，

???四邊形0mH為矩形，

DE=OH=OA+AH=6+f,

.，.BE=BO+OE=6+”,

(3)解：在％軸負(fù)半軸上取一點(diǎn)K,使OK=OC,連接歐,

..8。是.BCK的中線，

BOLCK,

80是CK的垂直平分線,

/.BC=BK,

4BCO=4BKO,

?.BO工CK,

..B0是,8CK的角分線，

ZCBO=ZKBO,

BO=OA

???/BOC=4AOE

OC=OE

???8cgA￡O(SAS),

:.AE=BC,NEAO=NCBO,

0E=ND

??,?NEOC=ZAND

OC=AN

???八OCE經(jīng)△A￡W(SAS),

：.CE=AD,

OE=ND

?：\NAOE=NCND

AO=CN

???AAOE^ACND(SAS),

???AE=CD

EC=AD

?：＜CD=AE

DE=DE

:uADE^CED(SSS),

ZAED=/CDE,

ED//OA,

:.NCAF=NFED,ZACF=NFDE,

:.^FAC=ZFCA,

/.ZAFD=2ZCAD,

???/CBK=24EAO,

ZAFD=ZCBK,

NA/：D=ZAGC,

;.ZAGC=NCBK,在AK上取一點(diǎn)〃，使BH=CG,連接C",

BH=CG

,：<NAGC=NCBK

4G=AC

/.△CBH芻△人GC(SAS),

:.CH=AC,

■:/BCK=/KHC,ZBCK=/BKC,

???/KHC=/BKC

:,CH=CK,

.\CK=AC,

-OC=t,

CK=21,

AC=2t,

OA=OC+AC=6,

:.t=2,

AC=4,

過/作fM_LAC,垂足為M,

VAF=CF,

:.CM=AM=2,

...OM=4,

萬的橫坐標(biāo)是4

y

B

-4-

【點(diǎn)睛】本題考查全等三第形、等腰直角三角形和矩形的性質(zhì)，屬于全等三角形綜合題，解

題的關(guān)鍵是靈活添加輔助淺，構(gòu)造全等三角形.

7.(1)證明見解析

⑵①證明見解析，②尸(0,2)

(3)證明見解析

【分析】(I)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得的值，即可得出48的坐標(biāo)，進(jìn)而求得08=57,

根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出A8=AC,根據(jù)等邊對等角即可得證：

(2)①證明DOF^.AOS(ASA),得出OF=QB,可得結(jié)論；②由①的結(jié)論可得尸(0,2)；

(3)過點(diǎn)P作孫〃A3交8c于點(diǎn)N,證明△QBW/ZkPNM,得H1MN=8W,根據(jù)

PC=PN,PO【CN,得出ON=OC,從而可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：??1，L6|+W+2)2=0,

n=6,m=-2,

.?.A（0,6）I（—2,0）.

???C（2,0）,

：,OB=OC,

又IAO18C,

，AB=AC,

/.NABC=ZACB；

(2)①如圖,

，Zl+ZC=Z2+ZC=90°,

:.Z1=Z2,

AI3=AC,

，4。平分NB4C,

???/2=/3,

/.Z1=Z3,

JA(0,6),D(-6,0),

???DO=AO.

在QO產(chǎn)與/O8中，

Zl=N3

<OD=OA,

〃0。=403=90。

???DO"g"0網(wǎng)ASA),

：?OF=OB,

'：OB=OC

：?OF=OC,

②?：OF=OB,8(-2,0),

AF(0,2);

(3)過點(diǎn)、P作PN〃AB交BC于點(diǎn)N,

V/ABC=ZACB,

，乙PNC=4PCB、

，PN=PC,

，：CP=BQ,

：.PN=BQ,

在.QBM和APNH中,

NQ=N1

，Z2=Z3,

BQ=PN

???QBM^.PNM(AAS)

/.MN=BM,

VPC=PN,PO1CN,

：.ON=OC,

，BM+OC=MN+ON=OM.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的

性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

8.(1)ZA￡B=135°

⑵NE=67.5。

(3)60?；?5。

【分析】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角性質(zhì)的運(yùn)用，

解題時注意：三角形內(nèi)和為180。：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.解題時

注意分類思想的靈活運(yùn)用.

（I）根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算，即可得到NAE4的大小不變；

（2）根據(jù)延長人力、8c交于點(diǎn)尸.根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理，可得

N尸=45。，再根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到NE=67.5。；

（3）先根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理，得到

ZE=Z.EOQ-ZEAO=-ZBAO）=1ZABO,再根據(jù)人￡人廠分別是NR4O和

/Q4G的角平分線，可得NE4尸=90。.最后根據(jù)4A片中，有一個角是另一個角的3倍,

分四種情況進(jìn)行討論，即可得到480的度數(shù).

【詳解】（1）ZAE8的大小不變.

???直線MN與直線PQ垂直相交于0,

：.ZAOB=90°,

.,.NOA3+NO/M=90°,

VAE、BE分別是N84O和乙430角的平分線，

NBAE=-ZOAB、NABE=-ZABO,

22

；.NBAE+ZAI3E=；（^OAB+NAB。）=45°

（2）如圖2,延長八力、6。交丁點(diǎn)尸.

陽2

???直線MN與直線PQ垂直相交于0,

:.ZAOB=90°,

.?.N0A8+N。8A=90。，

/.^PAB+ZMBA=270°,

,/AD.8。分別是44尸和NABW的角平分線，

:"BAD=-NBAP,AABC=-NA8M,

22

ABAD+ZABC=-(ZPAB+NABM)=135°

2

/.ZF=45°,

，NFDC+NFCD=135。,

，Z.CDA+ZDCB=225°,

,:DE、CE分別是NADC和NBC。的角平分線，

NCDE+NDCE=112.5。,

JZE=67.5°；

(3)???N84O與NBOQ的角平分線相交于E,

/.Z.EAO=gZBAO,NEOQ=1N8OQ,

ZE=ZEOQ-NEAO=-(NBOQ-ZBAO)=-ZABO

22

VAE.■分別是N84O和/Q4G的角平分線，

ZE4F=90°.

在△?1￡?尸中，有一個角是另一個角的3倍，故有：

①ZEAF=3/E,ZE=30°,ZABO=60°;

②NE4尸=3NF,NE=60。，N4BO=120。(舍去)

③=3ZE,ZE=22.5°,Z1ABO=45°;

@ZE=3ZF,ZE=67.5°,ZABO=\350(舍去)

480=60?；?5°.

cn-AF

(2)①%>=2AE,理由見解析；②是定值，f=1.

DBZO

【分析】(1)證明.ACD^CBO(AAS)，推導(dǎo)出AO=OM,得到ZAMD=45。，又由。"=03

得到N8MO=45。，求出ZAMB=90。，即可求證；

(2)①延長8C、AE交于點(diǎn)尸，可證.ACFBCD,AABE名/\FBE，即可求得8。=2AE；

②作AE_LOC,則A尸=0E,ZAEC=90。，可證..8。8一ACE,可得A/+O8=OC,即

可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，過點(diǎn)A作AO_Lx軸于點(diǎn)O,則NAZ)C=90。，

圖1

???乂BC為等腰直角三角形，BC=AC,

???48=90。，

/.ZACD+ZBCO=90°,

ZACD+ZC4D=90°,

???4BCO=/CAD,

在,A8和ACBO中，

Z.ADC=ZCOB=90Q

</CAD=NBCO,

4C=4c

???ACD^CAO(AAS),

/.AD=CO,CD=BO,

?：OM=OB,

:.CD=OM,

/.DM=CO,

AD=DM,

?'△AZ泌為等腰直角三角形，

/.ZAMD=45°,

VZBOM=90°,OM=OB,

.??NBMO=45。,

???=180°-45°-45°=90°,

/.AM1MB；

(2)解：①BD=2AE.

理由：如圖，延長3C、AE交于前F,

???ZACF=90°,

VAC=BC,

ZBAC=ZABC=45°,

?IBD平分/ABC,

???ZCBD=ZABD=22.5°.

???AE_Ly軸,

ZAEB=/FEB=W,

工ADAE=90°-ZABD-ABAD=22.5°,

，ZDAE=ZCBD,

在△AC/和△8CO中，

NDAE=NCBD

<AC=BC,

NAC尸=N8CO=90°

A4CF^A/?CD（ASA）,

/.AF=BD,

在，ABf和./BE1中，

NABE="BE

<BE=BE,

ZAEB-2FEB

??.“8?FB￡（ASA）,

：-AE=EF,

,AF=2AE,

,BD=2AE；

②是定值，C°~^F=1.

oC/

???ZACO=NCBO,

在.8CO和A4CE中,

ZB0C=AEC=90°

<NCBO=ZACO

BC=AC

???BCO^ACE(AAS),

:?CE=OB,

：,OB+AF=CE+OE=OC,

.CO-AFOH+AF-AFBO.

"BOBO~BO~'

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，余角性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是作出正確的輔助線，構(gòu)造出全等三角形.

10.⑴。(4,2)

(2)見解析

(3)135°

【分析】(1)過點(diǎn)C作CM_LOA垂足為利用AAS證明AABOgA。"，問題即可解決;

(2)設(shè)NOAE=a,則=NACB=2a,由三角形內(nèi)角和及三角和為平角，可得

/BEF=/EAC,由？BAE?FAO?OAE%+?E4C及

ZAFE=/FBE+/BEF=2a+/BEF,即NE4￡=NAEF,從而得到AE=￡F,證明

..AEC四一EF8,問題即解決；

(3)過點(diǎn)。作OGJ.AE于點(diǎn)G,OH1BE,交段:的延長線于點(diǎn)"，AE與OB交于點(diǎn)、M,

則可證明AAOGg.BO”,得OG=OH,即OE平分4七〃，即可求得結(jié)果.

【詳解】(1)解：如圖1中，過點(diǎn)C作CM_LOA垂足為"則NAMC=90。，

圖1

VZBAC=Zz4OB=90°,

A?BAOCAM90靶BAO+？ABO90?,

工ZAI3O=ZCAM,

在一AAO和VC4M中,

ZABO=ZCAM

-NAOB=ZCMA,

AB=AC

.?」A8O包CAM(AAS),

：,MC=AO,AM=BO,

???A(0,4),8(-2,0),,

???AO=4,BO=2,

:?MC=4,AM=2,MO=AO-AM=2,

，點(diǎn)。坐標(biāo)(4,2)；

(2)解：設(shè)N3E=a,則ZA斤=ZAC8=2a,

,；?AEF?BEF?AEC180KACB+2EAC2AEC180?,

；?/BEF=/EAC,

,/AB=AC,

???NABC=ZACB,

*：OA1.BC,

，NR4O=NC4O,

,:Z.FAE=ZFAO+ZOAE

=Z.OAC+a

=ct+Z￡4C+(z

=2a+ZEAC,

ZAFE=ZFBE+ZBEF=2a+ZBEF,

：?NFAE=ZAEF,

JAE=EF,

???AEC^EFB(AAS),

ABb=CEx

(3)解：過點(diǎn)。作0GJ_4￡于點(diǎn)G,OHLBE,交的的延長線于點(diǎn)從A￡與。8交于點(diǎn)

ZAEB=90°,

?AOB90靶AMO=°BME,

ZMAO=NOBH,

又：？AGO2BHO90?.OAOB,

.?._AOG，BO”(AAS),

：.OG=OH,

又?..OG人AE,OHBE,

JOE平分NAE”，

???ZOEH=ZAEO=45°,

/.ZBEO=/?!￡?+ZAEO=900+45°=135°.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角

平分線的判定定理，三角形內(nèi)角和等知以，其中構(gòu)造輔助線證明兩個三角形全等是關(guān)鍵.

11.(l)b=2a

(2)M(3.0)

3

(3)①見解析；②w

【分析】(1)由題意得出4480=30°,則則可得出結(jié)論；

(2)連接4M,證明”0)g?PO(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出乙4OQ=ZAOP=90。，

證明MAM為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出OM=548=3,則可得出答案;

(3)過點(diǎn)“作尸用〃x軸交C8的延長線于點(diǎn)M,則N8C4=NFA/4,證明

上EC0j'BM(S),由全等三角形的性質(zhì)得出EC=8M,4C=M/"證明

一PACWFM(AAS),得出PM=PC,計(jì)算線段的比值即可得出答案.

【詳解】(1)解：vAB=b,OA=a,N8AO=60。，

在RtZXAOA中，

/.NAB。=30。，

:.-AB=OA

2t

:.—b=a,BPb=2a；

2

(2)解：連接5M,如圖2所示：

圖2

.APQ是等邊三角形，

ZPAQ=60°,AQ=AP,

-.?ZBAO=60°,

ZPAQ-ZOAQ=ZBAO-NOAQ,

ZOAP=ZDAQ,

。為/W的中點(diǎn)，

AD=-AB

2t

?,480=30，

A0=—AB,

2

:.AD=AO,

在_AQ。和△APO中,

AQ=AP

<Z.DAQ=^OAP,

AD=AO

..?QD^/PO(SAS),

.?.N4QQ=NAOP=90,

即DQ±AB,

MA8W為等邊三角形，

;.OM=-AB=3,

2

/.A/(3,0)；

(3)解：①過點(diǎn)尸作QM〃x軸交C8的延長線于點(diǎn)M,如圖3所示:

則NBCE=NFMB,

???NCBF=ZAEB,

/./BEC=NMBF,

在,8￡C和aFBM中，

NBCE=NFMB

?NBEC=NMBF,

BE=BF

8E&./6M(AAS),

:.EC=BM'BC=MF,

.?點(diǎn)。與點(diǎn)A關(guān)于)，軸對稱，NBAO=60°,

???/8C是等邊三角形，

二.AC=%C,

\AC=MF,

：.OC=OA=a,

:.AC=BC=2a,

又后是oc的中點(diǎn)，

OE=EC=-a=BM,

2

MF//AC,

：.ZACP=/FMP,

在△PAC和△PfM中，

/APC=/FPM

<NACP=NFMP,

AC=MF

.?.%8/FM(MS),

:.CP=MP、AP=PF,

尸為A尸的中點(diǎn),

②-：MC=BC+BM=2a^-a=-a,

22

3

BP=-MC-BM=-x-a--a—aCP=-MC=-a

222424

3

BP2a3

---=---=一

CP兄5

4

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換琮合題，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，軸對稱

的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定與

性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.(1)(4.0)

(2)30°

⑶m+〃

【分析】⑴由丁+4.1+“=(工+2)2=父+4彳+4,從而可得答案;

(2)如圖，連接。P,過P作PG_LPQ交x軸于G,過P作軸于M,作PNly軸

于N,證明-MPGg-NPQ,可得PG=PQ,NMPG=NQ/W,再證明AAPGZ-APQ,而

NP4Q=30。，可得/尸AQ=N24G=30