課時規(guī)范練46利用空間向量求空間角1.(15分)(2024·全國甲,理19)如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中,四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形,EF∥AD,BC∥AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=10,FB=23,M為AD的中點.(1)證明:BM∥平面CDE;(2)求二面角F-BM-E的正弦值.2.(15分)(2024·浙江杭州模擬)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=5,BC=2,側(cè)面BB1C1C是正方形,P是平面A1B1C1上一點,且AP⊥BC.(1)證明:點P到直線A1B1和A1C1的距離相等;(2)已知二面角A-BC-B1的大小是2π3,求直線AB與平面ACC1A13.(15分)(2024·湖南常德三模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD=4,PA=PD.(1)證明:BD⊥平面PAD;(2)已知三棱錐B-PAD的體積為423,點N為線段AP的中點,設(shè)平面NCD與平面PBD的交線為l,求直線l與平面PAB4.(15分)(2024·江西宜春模擬)現(xiàn)有一個多面體如圖所示,四邊形ABCD為矩形,四邊形ABFE,CDEF為兩個全等的等腰梯形,EF∥AB,AB=4,EF=AD=2,P是線段AD上一點.(1)若點P是線段AD上靠近點A的三等分點,Q為線段CF上一點,且FQ=25FC,證明:PF(2)若點E到平面ABCD的距離為32,PF與平面BCF所成角的正弦值為23913,求答案：1.(1)證明因為M為AD的中點,且AD=4,故MD=2=BC,又因為BC∥AD,所以四邊形BCDM為平行四邊形,所以BM∥CD.因為BM?平面CDE,CD?平面CDE,所以BM∥平面CDE.(2)解取AM的中點O,連接OF,OB,由題意,易知OF⊥AM,OB⊥AM,且OF=3,OB=3,故OF2+OB2=FB2,所以O(shè)F⊥OB.以O(shè)為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則F(0,0,3),B(3,0,0),M(0,1,0),E(0,2,3).所以FB=(3,0,-3),BM=(-3,1,0),ME=(0,1,3),設(shè)平面FBM的法向量為n=(x,y,z),則n令z=1,得n=(3,3,1).同理,可求得平面BEM的法向量m=(3,3,-1),則cos<m,n>=m·n|m||n|=1113,所以sin<2.(1)證明當(dāng)P和A1重合時,顯然符合題意.當(dāng)P和A1不重合時,連接A1P,延長A1P交B1C1于點M1,因為四邊形BB1C1C是正方形,所以BB1⊥BC,又因為BB1∥AA1,所以AA1⊥BC,又AP⊥BC,AP∩A1A=A,AP,A1A?平面AA1P,所以BC⊥平面AA1P.又A1P?平面AA1P,所以BC⊥A1P,則B1C1⊥A1M1.因為AB=AC,所以M1為B1C1的中點,且A1M1為∠C1A1B1的角平分線.所以點P到直線A1B1和A1C1的距離相等.(2)解取BC的中點M,連接MM1,AM,所以MM1⊥BC,AM⊥BC,所以∠AMM1為二面角A-BC-B1的平面角,因為二面角A-BC-B1的大小是2π3,所以∠AMM1=2π3.又在三棱柱ABC-A1B1C1中,M1為B1C1的中點,取BC的中點M,所以A1M1∥AM,所以A1,M1,A,M四點共面.又MM1⊥BC,AM⊥BC,MM1∩AM=M,MM1,AM?平面AA1M1M,所以BC⊥平面AA1M1M.又BC?平面ABC,所以平面ABC⊥平面AA1M1M,過點M作平面ABC的垂線,交A1M1于點N,分別以MA,MB,MN的方向為由題可得A(2,0,0),A1(1,0,3),C(0,-1,0),B(0,1,0),所以AC=(-2,-1,0),AA1=(-1,0,3),AB=(-2,1,0).設(shè)平面ACC1A1的一個法向量為n=(x,y,z),則AA1·n=0,AC·n=0,即-x+3z=0,-2x-y=0,令x=3,則y=-23,z=1,所以n=(3,-23,1),設(shè)直線AB與平面ACC3.(1)證明取AD的中點O,∵PA=PD,∴PO⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD.又BD?平面ABCD,∴PO⊥BD.∵AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD=4,∴BD=AD=22,∴BD2+AD2=AB2,∴BD⊥AD.又PO∩AD=O,PO,AD?平面PAD,∴BD⊥平面PAD.(2)解VB-PAD=VP-ABD=13S△ABD·PO=13×12AD·BD·PO=43PO=423,∴PO=2.取PB的中點M,∵N為AP的中點,∴MN∥AB,又AB∥CD,∴MN∥CD,∴平面NCD即為平面MNDC,∴DM為平面NCD與平面PBD的交線l.取AB的中點Q,連接OQ,由(1)可知,OA,OP則P(0,0,2),A(2,0,0),D(-2,0,0),B(-2,22,0),M(-22,則PA=(2,0,-2),PB=(-2,22,-2),DM=(22,2,22),設(shè)平面PAB的一個法向量為n=(x,y,z),由n·PA=0,n·PB設(shè)直線l與平面PAB的夾角為θ,則sinθ=|cos<DM,n>|=22+2+2214.(1)證明連接CP交BD于點H,連接HQ,因為AD∥BC,且PD=23AD,所以PH因為FQ=25FC,所以FQQC=23,又HQ?平面BDQ,PF?平面BDQ,所以PF∥平面BDQ.(2)解分別取AD,BC的中點I,J,連接EI,IJ,FJ,則IJ∥AB,且IJ=AB,因為四邊形ABFE與四邊形CDEF為全等的等腰梯形,所以EA=ED=FB=FC,四邊形EIJF為等腰梯形,且EF∥IJ,EF=12AB=12IJ,EI⊥AD,FJ⊥BC,又AD∥BC,所以FJ⊥AD.因為EI,FJ?平面EIJF,且EI,FJ為兩條相交直線,所以AD⊥平面EIJF,又AD?平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面EIJF.平面ABCD∩平面EIJF=IJ,過E在平面EIJF內(nèi)作IJ的垂線,垂足為M,則EM⊥平面ABCD,EM=32,IM=12(IJ-EF)=1.過M作MK∥AD,易得MK,MJ,ME兩兩垂直,以M為坐標原點,MK,MJ,ME所在直線分別為x軸、y軸、z則F(0,2,32),B(1,3,0),C(-設(shè)P(a,-1,0)(-1≤a≤1),所以PF=(-a,3,32),FB=(1,1,-32),FC=(-1,1,-3設(shè)平面BCF的一個法向量n=(x,y,z),則n令z=2,解得x=0,y=3,所以n=(0,3,2),設(shè)PF與平面BCF所