高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省2025屆高三4月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（新課標(biāo)卷）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由解得，由解得，所以，，所以，故選：A2.已知為直線，為平面，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】根據(jù)題意易知當(dāng)時(shí)，可判斷“”推不出“”，如下圖：當(dāng)時(shí)，可知垂直于平面內(nèi)的所有直線，因此可以推出，因此“”是“”的必要不充分條件.故選：B3.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C.1 D.-1【答案】B【解析】由已知得，所以，其共軛復(fù)數(shù)為i．故選：B．4已知向量，，，若，則（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，解得，故選：B5.如圖所示，一個(gè)正四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)相等，且為下底邊長(zhǎng)的一半，一個(gè)側(cè)面的面積為，則該正四棱臺(tái)的高為（）A. B.2 C.6 D.3【答案】A【解析】設(shè)，則，因?yàn)樵撍睦馀_(tái)為正四棱臺(tái)，所以各個(gè)側(cè)面都為等腰梯形，上?下底面為正方形，如圖1，在四邊形中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，所以，所以，解得，在平面中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則為正四棱臺(tái)的高，則，所以，即該正四棱臺(tái)的高為.故選：A.6.已知函數(shù)值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，注意到，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為，且注意到趨于負(fù)無(wú)窮時(shí)，也會(huì)趨于負(fù)無(wú)窮，若函數(shù)的值域?yàn)?，則當(dāng)且僅當(dāng)，解得.故選：A.7.已知函數(shù)為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱(chēng)軸，且在單調(diào)，則的最大值為（）A.13 B.11 C.9 D.7【答案】C【解析】函數(shù)，，為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱(chēng)軸，，，且，，相減可得，，即，即奇數(shù)．在單調(diào)，①若在單調(diào)遞增，則，且，，即①，且，②，把①②可得：，，故有奇數(shù)的最大值為11．當(dāng)時(shí)，，，，．此時(shí)在上不單調(diào)，不滿足題意．當(dāng)時(shí)，，，，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，不滿足題意；故此時(shí)無(wú)解．②若在單調(diào)遞減，則，且，，即③，且，④，把③④可得：，，故有奇數(shù)的最大值為11．當(dāng)時(shí)，，，，．此時(shí)在上不單調(diào)，不滿足題意．當(dāng)時(shí)，由①在上單調(diào)遞減，滿足題意；故的最大值為9．故選：C8.函數(shù)滿足：，若，，則（）A.1 B. C.5 D.【答案】D【解析】由題意可得：，用代替可得：，兩式相加得：.所以，所以函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù).所以.又，所以.所以.所以.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.若隨機(jī)變量，則B.將總體劃分為2層，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為，和，，若，則總體方差C.某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，越大，該物理量在一次測(cè)量中在的概率越大D.已知某4個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為3，現(xiàn)又加入一個(gè)數(shù)據(jù)5，此時(shí)這5個(gè)數(shù)據(jù)的方差為【答案】AD【解析】對(duì)于A，由，得，則，故A正確;對(duì)于B，由題意，總體均值為，若兩層樣本容量依次為m，n，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)誤;對(duì)于C，越大，該物理量在一次測(cè)量中在的概率越小，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，加入數(shù)據(jù)5后，平均數(shù)為，則這5個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，故D正確.故選：AD．10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.存在實(shí)數(shù)a，使得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.任意的實(shí)數(shù)a，b，函數(shù)恒有兩個(gè)極值點(diǎn)C.設(shè)為的極值點(diǎn)，則D.當(dāng)時(shí)，若（其中），則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，，因?yàn)?，所以有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即恒有兩個(gè)極值點(diǎn)，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，易知，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由（其中）可知，，即，所以，所以，所以，D選項(xiàng)正確；故選：ABD．11.已知橢圓，，分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，分別為它的左右頂點(diǎn)，已知定點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（）A.直線與直線斜率乘積為定值B.存在點(diǎn)，使得C.有最小值D.的范圍為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由橢圓，可得，則，設(shè)，則，可得，所以，故A正確；對(duì)于B，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為C，由，可得，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由橢圓的定義，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，即有最小值，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋瑒t點(diǎn)Q在橢圓外，由如圖所示，設(shè)直線與橢圓相交于，又，則，因?yàn)椋?，可得，即，所以，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且點(diǎn)到軸的距離為，則________．【答案】【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)到軸的距離為，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，由拋物線定義可得．故答案為：.13.在中，，，，則_____.【答案】【解析】在中，，，由正弦定理得，所以，所以得出，再應(yīng)用余弦定理得則

.故答案為：.14.如圖，有一個(gè)觸屏感應(yīng)燈，該燈共有9個(gè)燈區(qū)，每個(gè)燈區(qū)都處于“點(diǎn)亮”或“熄滅”狀態(tài)，觸按其中一個(gè)燈區(qū)，將導(dǎo)致該燈區(qū)及相鄰（上、下或左、右相鄰）的燈區(qū)改變狀態(tài)．假設(shè)起初所有燈區(qū)均處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，若從中隨機(jī)先后按下兩個(gè)不同燈區(qū)，則燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)的概率為_(kāi)_____．【答案】【解析】從9個(gè)燈區(qū)中隨機(jī)先后按下兩個(gè)燈區(qū)，共有種按法．與相鄰的燈區(qū)為；與相鄰的燈區(qū)為，故將9個(gè)燈區(qū)分為三類(lèi)：第一類(lèi)燈區(qū)，第二類(lèi)燈區(qū)，第三類(lèi)燈區(qū)．若要使得燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，則需在同類(lèi)燈區(qū)中隨機(jī)先后按兩個(gè)不同燈區(qū)．①若先后按下的是兩個(gè)燈區(qū)，則燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，共有種按法；②若先后按下的是燈區(qū)中的兩個(gè)，則燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，共有種按法；③若先后按下的是燈區(qū)中的兩個(gè)，則燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，共有種按法．故燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)的概率為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.某地區(qū)課改時(shí)實(shí)行高考新方案試點(diǎn)，規(guī)定：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和英語(yǔ)是必考科目，考生還要從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個(gè)科目中選取三個(gè)科目作為選考科目.為了解某校學(xué)生選科情況，現(xiàn)從高一、高二、高三學(xué)生中各隨機(jī)選取了100名學(xué)生作為樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表，用頻率估計(jì)概率.選考情況第1門(mén)第2門(mén)第3門(mén)第4門(mén)第5門(mén)第6門(mén)物理化學(xué)生物歷史地理政治高一選科人數(shù)807035203560高二選科人數(shù)604555404060高三選科人數(shù)504060404070（1）已知該校高一年級(jí)有400人，估計(jì)該學(xué)校高一年級(jí)學(xué)生中選考?xì)v史的人數(shù)；（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從樣本中隨機(jī)抽取三個(gè)年級(jí)中選擇歷史學(xué)科的5名學(xué)生組成興趣小組，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取2名同學(xué)參加知識(shí)問(wèn)答比賽，求這2名參賽同學(xué)來(lái)自不同年級(jí)的概率；（3）假設(shè)三個(gè)年級(jí)選擇選考科目是相互獨(dú)立的.為了解不同年級(jí)學(xué)生對(duì)各科目的選擇傾向，現(xiàn)從高一、高二、高三樣本中各隨機(jī)選取1名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，求這3名學(xué)生均選擇了第1門(mén)科目的概率.解：（1）由題意知，樣本中高一學(xué)生共有100人，其中選擇歷史學(xué)科的學(xué)生有20人，故估計(jì)高一年級(jí)選歷史學(xué)科學(xué)生有人.（2）由表格數(shù)據(jù)可知應(yīng)從樣本中三個(gè)年級(jí)選歷史的學(xué)生中分別抽取人數(shù)為1，2，2，編號(hào)依次為，，，，，從這5名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2名參加比賽，所有可能的結(jié)果為，，，，，，，，，，共10種，設(shè)事件“這2名參賽同學(xué)來(lái)自不同年級(jí)”，則為事件“這2名參賽同學(xué)來(lái)自相同年級(jí)”有，共2種，所以事件發(fā)生的概率.（3）樣本中三個(gè)年級(jí)選第一門(mén)科目的學(xué)生分別為80，60，50，所以樣本中三個(gè)年級(jí)選第一門(mén)科目的概率分別為，所以現(xiàn)從高一、高二、高三樣本中各隨機(jī)選取1名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則這3名學(xué)生均選擇了第1門(mén)科目的概率為.16.如圖1所示，在平面圖形中，已知，，，，現(xiàn)在將梯形沿著折起到空間一個(gè)新位置使得，連接，得到直觀圖，如圖2所示．（1）求證：；（2）試在線段上求一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，由題意可知：∥，且，可知為平行四邊形，則∥，且，因?yàn)?，則，又因?yàn)?，，則，即，則，且，則，即，又因?yàn)?，平面，可得平面，且平面，可得，由∥可得，且，平面，可得平面，由平面，所?（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，由題意可知：平面的法向量，則，解得或（舍去），所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn).17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域是，，令，得，解得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是，令，得，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，綜上，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）由任意，知恒成立.因，故，在上恒成立.設(shè)，則，令，得，（舍去），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，且，所以若在上恒成立，則，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知雙曲線的左，右頂點(diǎn)分別為的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，過(guò)點(diǎn)的直線與的右支交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），直線與交于點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）證明：點(diǎn)在定直線上；（3）記的面積分別為，若，求直線的方程.（1）解：雙曲線的漸近線為，設(shè)，則，而，所以雙曲線的方程為.（2）證明：由（1）知，，直線不垂直于軸，設(shè)方程為，由消去得，設(shè)，，，則，，直線：，直線：，聯(lián)立得，解得，所以直線與交于點(diǎn)在定直線上.（3）解：由（2）知，，則，即，于是，解得，即，所以直線的方程為，即.19.北宋數(shù)學(xué)家沈括博學(xué)多才，善于觀察.據(jù)說(shuō)有一天，他走進(jìn)一家酒館，看見(jiàn)一層層壘起的酒壇，不禁想到：“怎么求這些酒壇的總數(shù)呢？”，沈括“用芻童（長(zhǎng)方臺(tái)）法求之，常失于數(shù)少”，他想堆積的酒壇、棋子等雖然看起來(lái)像實(shí)體，但中間是有空隙的，應(yīng)該把他們看成離散的量.經(jīng)過(guò)反復(fù)嘗試，沈括提出對(duì)上底有ab個(gè)，下底有cd個(gè)，共n層的堆積物（如圖），可以用公式求出物體的總數(shù)，這就是所謂的“隙積術(shù)”，相當(dāng)于求數(shù)列ab，，，…，的和，“隙積術(shù)”給出了二階等差數(shù)列的一個(gè)求和公式.現(xiàn)已知數(shù)列為二階等差數(shù)列，其通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的前10項(xiàng)和；（2