北師大版數學七年級下學期期末一解答題壓軸題專練

1.(1)如圖bV43C的三條邊相等，三個內角也相等，點￡＞、E、F分別在邊AB、BC、CA

上，且==請寫出圖中一對全等三角形,其全等的理由是；

BECECBE

圖1圖2

(2)如圖2,VA3C中，AB=AC,點。、E、尸分別在邊AB、BC、AC上，且

BD=CE,ZDEF=ZB,請判斷.OE尸的形狀，并說明理由；

(3)如圖3,VA3C中，AB=AC=8,點。在區(qū)4的延長線上，點E在邊BC上，且

AD=CE=2,ZDEF=ZB.延長BC至點使得CM=C4,過點M作AC的平行線MF,

與邊EF交于點、F.若詔=4,請你求出線段8M的長度.

2.【背景材料】

在一次綜合與實踐課上，老師讓同學們以兩個三角形紙片為操作對象，進行相關問題的研

究.已知/54C=ND4E=90。，AB=AC,AD=AE,老師將，ABC和一ADE按如圖1所

示的位置擺放(點及A、8在同一條直線上)，發(fā)現BD=CE.接下來讓同學們以小組為單位

開展進一步的探究.

【初步探究】

(1)志遠小組在老師基礎上進行探究，他們保持ADE不動，將ABC按如圖2位置擺放，

發(fā)現3D=CE仍然成立，請你幫他們完成證明；

【深入探究】

(2)勤學小組剪了兩個大小不同的等腰ASC和等腰ADE,AB^AC,AD=AE,將兩

個等腰三角形按如圖3位置擺放，請問當4BAC和ND4E的大小滿足怎樣的關系時，背景

中的結論=仍成立？請說明理由；

【拓展應用】

(3)創(chuàng)新小組保持老師提供的_4汨不動，另剪一個等腰直角△ABC按如圖4位置擺放，

ZABC=90°,BA=BC,若與關于沿著過點。的某條直線對稱，AC與。E交于點

F,當點8在一ADE的斜邊DE上時，連接C。，請證明&CD尸為等腰三角形.

B

3.【初識圖形】

數學愛好者小明觀察圖形1，并選取圖形的一部分如圖2進行研究，發(fā)現AC=BC,

ZACB=90°,他在NBC4的內部作一條射線C/,過8點作班），CF于點。，過A點作

AELCF于點E,小明猜想△比心會△CE4.請問猜想是否正確，并說明理由;

【遷移應用】

如圖3,VABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,ADLCD,AD=3,求二ADB的面積;

【拓展延伸】

如圖4,在四邊形ABCD中，AB//CD,AD//BC,AB=BC=CD=AD=\Q,過C點作

CP于點尸，CP=8,BP=6,以線段尸￡＞為直角邊構造等腰Rt^PDQ,請直接寫出三

角形△APQ的面積.

4.在學習《三角形》時，某數學學習小組發(fā)現：在一個面積為100的長方形ABCD中，點E,

廠分別在邊AD,CD上，連接BE,EF,BF.當點廠與點C重合時，如圖所示，在不求

出長方形ABCD邊長的情況下，可以根據面積公式或三角形全等的性質求出△時的面積

【提出問題】如圖，點E,尸都不與端點重合，若AE=6,CF=3,..3EF的面積是否為定值?

試卷第2頁，共14頁

E

AD

-----------------'C

【特例分析】（1）給3C和AB分別賦予不同的數值，通過特殊數值的計算判斷△3EF的面

積是否發(fā)生變化.請你根據上述思路，完成下面的表格.

AB105

BC1020

q

Q.BEF41

【得出猜想】（2）通過特例分析，猜想：的面積_定值.（填“是”或“不是”）

【驗證猜想】

（3）①方法1：假設.BC=叫A3=〃，通過計算驗證你的猜想.

②方法2：如圖，過點E作，EGLBC交BC于點、G,EG將長方形ABCD分成了長方形

ABGE和長方形EGCD,連接GF.通過圖形割補的方式也可以驗證猜想，請將下列部分

驗證過程補充完整（填數值）.

SEBG=5S長方形ABGE，EGF=耳$

長方形EGCD

一2四邊形EBGF一0EBG丁°,EGF

+S長方形EGCD

BG=AE,

SBGF=；BG-FC=

??S,BEF=41.

【拓展應用】（4）在學校游園活動中，數學小組成員計劃用三個雪糕簡和彩繩在一個長12

米，寬10米的長方形場地中，圍出一塊三角形區(qū)域作為游戲場地.如圖，在長方形場地

ABCD中，三個雪糕筒分別擺放在點8、E、/處，且鉆、（下的長為整數.若圍出的游戲

場地面積為52平方米，即5班尸=52.請直接寫出所有滿足條件的4萬長.

5.在學習七下課本121頁“三線合一”時羅老師在課堂上進行了探究式教學.

圖1圖2

（1）【問題原型】定理：等腰三角形頂角的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合.如

圖，在VABC中，AB=AC,AD平分ZB4c.根據圖形1用幾何語言寫出該定理

?VAB=AC,平分/3AC,

②在VA3C中，AB=AC,AD1.BC,ABC的周長為32,的周長為23,則4。的長

試卷第4頁，共14頁

(2)【問題提出】羅老師提出：當三角形的一條角平分線恰好也是這個三角形的中線時，這

個三角形是等腰三角形嗎？經過小組合作探究后羅老師發(fā)現了同學們有以下兩種解題思路,

請任選其中一種，完成命題的證明.

已知：在VA2C中，AO平分/BAC,且點。是8c的中點.求證：AB=AC.

方法一：如圖2,延長AD到點E,使=連接CE.

方法二：如圖3,過點。分別作AB,AC的垂線，垂足分別為E,F.

(3)【拓展延伸】如圖4,在VABC中，3c=12,平分/B4C,點E為AC中點，AD與

BE相交于點R過點B作3"工"＞交AD延長線于點X,設：BFH,AEF的面積分別為

%S],若AB—AC=4,試求5「星的最大值.

6.【初步探究】

(1)如圖1,在VABC中，點E、尸分別在邊3C、AB、AC上，ZB=ZEDF.這兩個相

等的角會使圖形中出現其它的等角.請你寫出這組等角(不添加其他輔助線)，并說明理由；

圖1圖2圖3

【深入研究】

(2)如圖1,在上題的條件下，若NB=NC,請你再添加一個條件，使ABDE絲ACFD.先

寫出這個條件，再加以證明.

【變式探究】

(3)如圖2,等邊VABC中，D、E分別為AB、AC邊上的動點，BD=2AE,連接DE,

以DE為邊在VABC內作等邊DEF,連接CF,當。從點A向B運動(不運動到點8)時，

①求/FCE的度數；

②若AC=2,VABC的面積為。，點M為邊AC上(不與A、C重合)的任意一點，連接E4、

FM,直接寫出E4+H0的最小值(用含。的代數式表示).

7.綜合與實踐課上，李老師以“發(fā)現-探究-拓展”的形式，培養(yǎng)學生數學思想，訓練學生數

學思維.以下是李老師的課堂主題展示：

ccA

（1）如圖，在等腰VABC中，AC=3C,點。為線段AB上的一動點（點。不與A,8重

合），以C￡＞為邊作等腰CDE,CD=CE,ZACB=ZDCE=a,連接BE.解答下列問題：

【觀察發(fā)現】

①如圖11T,當々=90。時，線段BE的數量關系為一，ZABE=_。；

【類比探究】

②如圖11-2,當々=60。時，試探究線段AC與BE的位置關系，并說明理由；

【拓展延伸】

（2）如圖11一3,四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD,連接AC,若AC=8,

則四邊形ABC。的面積為多少？（直接寫出結果）.

如圖1,在Rt/XABC中，ZACB=90°,ZA=50°,8。是/ABC的平分線，DEJ.AB,垂

足為點E,點尸為線段3D上一動點.

試卷第6頁，共14頁

AAA

圖1圖2備用圖

(1)若尸E=5,則PC=；

(2)①若點尸為線段BC的垂直平分線與8。的交點，求NCPE的度數；

②如圖2,連接CE,若點P為/BCE的平分線與8。的交點，貝U/CPE=°；

(3)若VPED為等腰三角形，則/3砂=.

9.【閱讀理解】

中線是三角形中的重要線段之一.在利用中線解決幾何問題時，當條件中出現“中點”、”中

線”等條件時，可以考慮做輔助線，即把中線延長一倍，通過構造全等三角形，把分散的已

知條件和所要求的結論集中到同一個三角形中，從而運用全等三角形的有關知識來解決問

題，這種作輔助線的方法稱為“倍長中線法”

(1)如圖1,在VABC中，AB=6,AC=10,。是BC的中點，求3C邊上的中線AD的

取值范圍.小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E,使

DE=AD,連接BE.可以判定VADC絲VEDB,從而得到AC=EB=10.這樣就能把線

段A3、AC、2AD集中在中，利用三角形三邊的關系，即可求出中線AD的取值范

圍是(請直接寫出答案)

【實踐應用】

(2)為了測量學校旗桿48和教學樓CE頂端之間的距離，學習小組設計了如圖2所示的測

量方案，他們首先取地面BC的中點。，用測角儀測得此時NAZ汨=90。，測得旗桿高度

AB=10.8m,教學樓高度C￡=20.2m,求AE的長.

【拓展探究】

(3)如圖3,△ABD和AACE均為等腰直角三角形，連接OE,BC,點F是BC的

中點，連接E4并延長，與DE相交于點G.試探究：DE和AF的數量關系和位置關系

并說明理由.

10.【初步感知】

⑴如圖1,已知AASC為等邊三角形，點。為邊BC上一動點(點。不與點8,點C重合).以

AD為邊向右側作等邊AADE,連接CE.求證：AABD^AACE；

(2)如圖2,若點。在邊BC的延長線上，隨著動點。的運動位置不同，猜想并證明:

①w與CE的位置關系為：；

②線段EC、AC、CO之間的數量關系為：；

【拓展應用】

(3)如圖3,在等邊AABC中，AB=3,點尸是邊AC上一定點且AP=1,若點。為射線上

動點，以OP為邊向右側作等邊ADPE,連接CE、8E.請問：PE+8E是否有最小值？若

有，請直接寫出其最小值；若沒有，請說明理由.

試卷第8頁，共14頁

圖3

11.“等面積法”是解決三角形內部線段長度的常用方法.如圖1,在Rt^ABC中，ZBAC=90°,

1117

作AHL3C,若AB=4,AC=3,BC=5,可列式：—AC=—AH,解得=—

225

圖1

圖3

(1)在題干的基礎上,

①如圖2,點尸為BC上一點，作尸M_LAB,PN_LAC,設PAf=《，PN=&,求證：4&+34=12；

②如圖3,當點尸在CB延長線上時，猜想4、&之間又有什么樣的數量關系，請證明你的

猜想；

(2)如圖4,在VABC中，AB=AC=IO,BC=12,SAABC=4S,若點。是BC延長線上一點，

且CD=2,過點3作鹿，3c，點尸是直線BE上一動點，點。是直線AC上一動點,連接PD、

PQ,求QP+尸。的最小值.

12.已知：如圖所示，直線MA〃NB,與4B4的平分線交于點C,過點C作一條

直線/與兩條直線AM、分別相交于點“E.

(1)如圖1,當直線/與直線M4垂直時，猜想線段AZXBE、AB之間的數量關系，請直接寫

出結論，不用證明；

(2)當直線/與直線不垂直，且交點ZXE在的異側時，(1)中的結論是否仍然成立？

如果成立，請說明理由；如果不成立，那么線段AD、BE、AB之間還存在某種數量關系嗎？

如果存在，請直接寫出它們之間的數量關系；

(3)如圖2,當直線M4與直線相交于點尸時，延長AC,BC,分別交BN,AAf于點E,

D,直線M4與直線NB所夾的銳角為多少度時，線段AD、BE、A3之間仍滿足(1)間中的

數量關系？請說明理由.

13.(1)如圖1,在VABC中，。是邊上一點，入。=8且皿^7=々，若筋=5,

貝l」AC=.

(2)如圖2,在VA3C中，。是BC邊上一點，AD=CD,點E在線段AO上且NDEC=ZB,

求證：AB=CE.

(3)如圖3,在VABC中，。是CB延長線上一點，AD=CD,點E在射線D4上且

/DEC=ZABC,請畫出E點的位置，此時A3和CE滿足怎樣的數量關系，請說明理由

圖1

圖2圖3

14.【問題背景】VABC中，ZABC=90°,AB=3C,點。為直線BC上一點.

【初步探究】

(D如圖，當點。在線段BC上時，連接A￡>,過點A作于點A,S.AD=AE,過點

E作于X點，交A3于尸點.

試卷第10頁，共14頁

求證：EF=AC.

請將證明過程補充完整:

證明：AE±AD,:.ZEAD=90°,即NE4"+NG4D=90°.

EH^AC,：.ZAHE=90°,

:.ZEAH+ZAEH=90°(),

:.ZAEH=().

ABC為等腰直角三角形，ZASC=90°,,-.ZSAC=ZACS=45°,

在中，

ZAFE=180°-ZAHF-ZHAF=180°-90°-45°=45°,

:.ZAFE=ZDCA=45°.

NAEF=ZDAC

在與△D4C中，］ZAFE=ZDCA

:.^AEF^Z\DAC,EF=AC().

【推廣探究】

(2)如圖，若點。為邊8c延長線上一點，其他條件不變，則(1)中的結論是否仍然成立?

若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由.

【拓展應用】

(3)若AC=6,AH=2,其它條件不變時，EH=.

15.【材料閱讀】小明在學習完全等三角形后，為了進一步探究，他嘗試用三種不同方式擺

放一副三角板(在VABC中，ZABC=9Q°,AB=CS；。石尸中，ZDEF=90。,ZEDF=30°),

并提出了相應的問題.

【發(fā)現】(1)如圖1,將兩個三角板互不重疊地擺放在一起，當頂點3擺放在線段。方上時,

過點A作AM，。7,垂足為點過點。作CN_L。尸，垂足為點N,

①請在圖1找出一對全等三角形，在橫線上填出推理所得結論；

ZABC=90%

ZABM+ZCBN=90°f

9：AM±DF,CN1DF,

:.ZAMB=90°,ZCNB=90°,

:.ZABM+ZBAM=9(),

:"BAM=/CBN,

*：ZBAM=ZCBN

ZAMB=/CNB=9(f

AB=BC,

試卷第12頁，共14頁

@AM=2,CN=1,貝l|MV=:

【類比】(2)如圖2,將兩個三角板疊放在一起，當頂點8在線段上上且頂點A在線段所

上時，過點C作CPLDE,垂足為點P,猜想AE,PE,CP的數量關系，并說明理由；

【拓展】(3)如圖3,將兩個三角板疊放在一起，當頂點A在線段DE上且頂點2在線段E尸

上時，若AE=5,BE=1,連接CE,則"方的面積為.

16.在VABC中，AB=AC,ABAC=90°.

⑴【特例感知】如圖1,如果即平分ZABC交AC于點。，CE1BD,垂足E在的延

長線上，則線段CE和8￡>有怎樣的數量關系？請說明理由；

(2)【問題探究】如圖2,點。是邊AC上一點，連接80,過點A作于點E,過點

C作CFL8。，交8。的延長線于點R則線段3RAE和CP有怎樣的數量關系？請說明

理由；

(3)【拓展應用】如圖3,點。是邊AC上一點，連接2￡>,過點C作CELBD,交8￡)的延

長線于點E,連接AE,若AE=6,貝I]SAABD-SACDE=.

17.在小學，我們知道正方形具有性質“四條邊都相等，四個內角都是直角”，請適當利用上

述知識，解答下列問題：

已知：如圖，在正方形中，AB=4,點G是前繾上的一個動點，以DG為邊向右

作正方形。G￡F,作EH_LAB于點H.

(1)填空：/AGD+NEGH=°；

(2)若點G在點8的右邊.

①求證：DAG名..GHE；

②試探索：的值是否為定值，若是，請求出定值；若不是，請說明理由.

(3)連接￡B,在G點的擎?zhèn)€塔利(點G與點A重合除外)過程中，求NEBH的度數；

18.如圖，已知VA3C是等腰直角三角形，ZBAC=90°,AB=AC,3c=10cm,點尸以lcm/s的

速度從點B出發(fā)沿著射線BC運動，連接AP.以AP為直角邊向右作等腰直角△4尸。，其中

ZPAQ=90°,連接C。，設運動時間為f秒.

(1)當/=2時，則。。=cm,ZACQ-°；

(2)在點尸的運動過程中，能否使△PCQ為等腰三角形？若能，求出此時r的值；若不能,

請說明理由；

(3)請用含t的代數式直接寫出△AP。的面積.

試卷第14頁，共14頁

北師大版數學七年級下學期期末…解答題壓軸題專練參考答案

1.（1）ADF^.BED（答案不唯一），SAS；（2）等腰三角形，理由見解析；（3）14

【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質、等邊三角形的判

定和性質等知識，找條件證明全等三角形是解題的關鍵.

（1）由題意得：AB=AC=BC,NA=NB=NC及AD=BE,即可證明ADF=BED（SAS）；

（2）證明一歷史絲CEF（ASA）,則=即可證明結論；

（3）證明一。班絲￡MF（ASA）,則3石="F=4,EM=BD=AB+AD=10,則

BD=BE+EM=4+10=14.

【詳解】解：（1）由題意得：AB=AC=BC,NA=N5=NC,

?:BD=CE=AF,

AD=BE,

在△ADb和工5團中，

AF=BD

<ZA=ZB,

AD=BE

_ADF—BED（SAS）,

故答案為：一ADFgBED（答案不唯一），SAS；

（2）為等腰三角形，

理由如下：'：AB=ACf

；?ZB=NC,

?；/DEC=/B+/BDE=/DEF+/CEF,NDEF=NB,

；?NBDE=/CEF,

在（和△CEF中，

NBDE=NCEF

<BD=CE,

ZB=ZC

???BDE-CEF（AS0,

DE=EF,

答案第1頁，共41頁

???DEF為等腰三角形；

（3）VAB=AC,

：.NB=ZACB,

?/AC//FM,

ZM=ZACB,

/.NB=ZM,

VAB=AC,CM=CA,

：.AB=CM,

:AD=CE,

：.AB+AD=CM+CE,^BD=ME,

由（2）可知：=時，ZD=ZMEF,

在一一DBE和V/小'中，

"ZB=ZM

<BD=EM,

ZD=NMEF

DBE冬EMF（AS0,

ABE=MF=4,EM=BD=AB+AD=10,

：.BD=BE+EM=4+10=14.

2.（1）見解析（2）成立，理由見解析（3）見解析

【分析】本題考查全等三角形的綜合問題，掌握SAS證明全等是解題的關鍵.

（1）由NSAC=NZME得NB4D=/E4C,再用SAS證明ABD^ACE,繼而得證；

（2）根據第（1）問的證明過程可知，只需保證/54C=NZME即可，從而得解；

（3）證明.ASE咨3CD（SAS）,得到NCC?=ZAEB=45。，再分別求出NCFD、ZFCD,

繼而得到它們相等，從而得到car為等腰三角形.

【詳解】解：（1）

答案第2頁，共41頁

AE

D

（圖2）

證明：

'：ZBAC=ZDAE=90°,

：./BAD+ADAC=ZEAC+ZDAC,

ZBAD=ZEAC.

在，ABD和ACE中

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

Afi￡^z.ACE（SAS）,

：.BD=CE；

（2）當NB4c=時，BD=CE仍成立.

理由：

?；NBAC=/DAE,

：.ABAC+Z.CAD=NDAE+ACAD,

/BAD=/CAE,

在，ABD和ACE中，

答案第3頁，共41頁

AB=AC

</BAD=NCAE,

AD=AE

：.ABD^ACE(SAS),

JBD=CE,

(3)如圖，在等腰直角三角形和ABC中，DA=EA,BA=BC,ZBAC=45°,

(圖4)

???D4與03關于沿著過點。的某條直線對稱,

:.DA=DB,

AEA=DB,NDAB=NDBA,

VZDAE=ZABC=90°f

JNDAB+/BAE=NDBA+NCBD=90。,

：./BAE=NCBD,

在Z.ABE和，一BCD中,

'EA=DB

<ZBAE=ZCBD,

BA=BC

??..ABE^.BCD(SAS),

???ZCDB=ZAEB=45°,

,/ZDAB=ZDBA,

???ZDBA=(180°-45°)-2=67.5°,

JZAFB=180°-ABAC-/DBA=180°-45°-67.5°=67.5°,

JZCFD=ZAFB=67.5°f

JZDCF=180°-ZCDB-/CFD=180。一45°-67.5°=67.5°,

答案第4頁，共41頁

NCFD=/FCD,

，尸為等腰三角形.

9

3.【初識圖形】正確，理由見解析；【遷移應用】，,二萬；【拓展延伸】△APQ的面積

為4或20或36.

【分析】【初識圖形】由NACB=90。，則/BCD+NEC4=90。，通過BDLCF,AE±CF,

得ZDBC=ZECA,然后證明即可；

【遷移應用】過8點作于點E,同理可證BEA^ADC(AAS),然后用面積公式

即可求解；

【拓展延伸】分三種情況討論即可；

本題考查了全等三角形的判定與性質，同角的余角相等，垂直的定義，勾股定理的應用，熟

練掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】【初識圖形】如圖，

A

?/ZACB=9Q°,

：.ZBCD+ZECA=90°,

:BDLCF,AE±CF,

：.ZBDC=ZCEA=90°ZBCD+NDBC=90°,

ZDBC^ZECA,

在一BDC和CE4中，

ZBDC=ZCEA

<ZDBC=ZECA,

BC=AC

：.BDC^ACE4(AAS)；

【遷移應用】如圖，過B點作于點E,

答案第5頁，共41頁

A

???VABC是等腰直角三角形，ABAC=90°,

：.AB=AC,ZBAE^ZDAC=90°,

VADLCD,BE_LAD,

ZBEA=ZADC=90°fZBAE+ZEBA=90°f

:.NEBA=NDAC,

在△⑶以和△ADC中，

/BEA=ZADC

<NEBA=NDAC

AB=AC

：.BEA^AZ)C(AAS),

:?BE=AD=3,

119

：.SADB=-ADXBE=-X3X3=-；

【拓展延伸】①如圖，當ZPDQ=90。時，

過。作使得DH=CD,連接QH,過。作QGLB4交延長線于點G,84交

DH于點、/,

PI±DH,

同上理：DPC"DQH（SAS）,

：.DH=CD=10,

答案第6頁，共41頁

CPYAB,

：.CP=DI=8,NBPC=90。,

：.HI=QG=2,BP=RBC。-CP2=J10?-8?=6,

AP=AB-BP=10-6=4,

/.S=^APxQG=1x4x2=4；

②如圖，過。作于點M交C￡＞于點N,

/.QN=CD=IO,

又MN=CP=8,

：.QM=QN+MN=10+8=18,

：.S"2=gx4xl8=36，

③如圖，過。作加交朋延長線于點M,過。作DN_LAB交BA延長線于點N,

貝ljZDNP=NQMP=90°

QM=PN,ND=PM=8,

'：A。=10,

；?由勾股定理得：AN=yjAD2-ND2=A/102-82=6-

PN=AP+PN=4+6=10,

答案第7頁，共41頁

.?.QM=PN=10,

S=—APxQM=—x4xl0=20,

綜上可知：△APQ的面積為4或20或36.

4.(1)41；(2)是；(3)①見解析；②見解析；(4)AE長為2或4或8

【分析】題目主要考查三角形面積的計算及二元一次方程的應用，理解題意，結合圖形求解

是解題已關機

(1)根據題意利用長方形的面積減去三角形的面積即可求解；

(2)結合表格即可得出結果；

(3)①根據長方形的面積減去三個三角形的面積即可證明;②根據題意結合圖形即可求解；

(4)根據題意及(3)①證明方法得出然后結合題意求解即可

【詳解】解：(1)當AS=10,BC=10時，AE=6,CF=3,

：.DE=W-6=4,。尸=10—3=7,

S=10xl0--x4x7--x6xl0--xl0x3=41,

BRFEF222

故答案為：41；

(2)通過特例分析，猜想：跖的面積是定值；

故答案為：是；

⑶@BC=m,AB=n,AE=6,CF=3,

/.DE=m-6,DF=n—3,mn=100,

②解：??,等底等高,

.形ABGE+S長方形EGCD

,:BG=AE,

??SBGF=-BGFC=9.

答案第8頁，共41頁

故答案為：50；9；

(4)由(3)①得：SB￡F=12xlO--xA￡,xlO-|x(12-A￡)xDF-|xl2xFC=52,

整理得：AE^5-1D^=8,

；AE、的長為整數.

Q

...當DF=2時，AE=2；當DF=4時，AE=-(舍去)；當=6時，AE=4；當=8

時，AE=8；

...AE長為2或4或8.

5.⑴①BD=CD,AD,LBC-,②7；

(2)證明見解析；

(3)5「邑的最大值為12.

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的性質，三角形中線的性質等知識，

掌握相關知識是解題的關鍵.

(1)①由A5=AC,AD平分/3AC,直接得出3D=CD,ADJ.BC；

②設AB=AC=a,BD=CD-b,AD=c,由VABC的周長為32,得出a+6=16,由/\ABD

的周長為23,得出a+>+c=23,即可求解；

(2)方法一，延長AD到點E,使4￡>=上，連接CE,可證明，ADBWaC,得出AB=CE,

NBAD=NCED,再由角平分線的性質得到NB4r>=NC4。，進而得到/皿>=NC4￡),得

出AC=CE,即可求證；方法二，過點。分別作AB,AC的垂線，垂足分別為E,F,通

過HL分別證明VADEMMDF,NBED^NCFD,從而得到BE=CF,即可求證；

(3)延長交AC的延長線為點G,可證明,四AHG,進而得到CG=4,根據題

意得到S「S2='BCG，當以CG=4為底邊，3c=12為高時，S^BCG有最大值，即5-S?有

最大值，即可求解.

【詳解】(1)解：①如圖：

答案第9頁，共41頁

VAB=AC,AD平分2R4C,

:.BD=CD,AD±BC,

故答案為：BD=CD,ADJ.BC；

②設AB=AC=a,BD=CD=b,AD=c,

???VABC的周長為32,

2a+2Z?=32,

a-\-b=16,

△ABD的周長為23,

〃+b+c=23,

c=7,

故答案為：7.

(2)證明：方法一：

如圖2,延長AZ)到點E,使AD=D石，連接CE,

??,點。是5C的中點，

???BD=CD,

在和，EDC中，

BD=CD

:[ZADB=ZEDC,

AD=DE

???一AZ?2AEDC(SAS),

AAB=CE,ZBAD=ZCED,

丁AO平分/RAC,

???ZBAD=ZCAD,

：./CED=/CAD,

答案第10頁，共41頁

:.AC=CE,

：.AB=AC;

方法二：

如圖3,過點。分別作AB,AC的垂線，垂足分別為E,F,

???人。平分一班。，DE1AB,DFLAC,

DE=DF,

在RtADE和RtA"中，

[DE=DF

\AD=ADf

二ADE^ADF（HL）,

AE=AF,

??,點。是BC的中點，

:.BD=CD,

在Rt和RtCFD中,

[DE^DF

\BD=CD'

；?_BEDMCFD（HL）,

:?BE=CF,

?：AB=AE+BE,AC=AF+CF,

AB=AC；

（3）解：延長5"交AC的延長線為點G,如圖:

答案第11頁，共41頁

AD平分NR4C,

：./BAH=/GAH,

:BHJ.AD,

：.ZAHB=ZAHG=90。,

在」和AHG中，

NBAH=ZGAH

?：\AH=AH,

NAHB=ZAHG

：.AHB/AHG(ASA),

???AG=AB,

'：AB-AC=4,

???CG=AG-AC=AB-AC=4,

,/瓦H,AE廠的面積分別為“S2,

SBFH+SABF)(，.AEF+S./W尸)二,ABH-S.ABE，

??$一§2=SBFH—S他尸二

??,點E為AC中點，

?v=J-v

,,2AABE_2AABC9

?；、AHB金.AHG,

?S-1

,?0ABH~25ABG'

BCG

??S1—S2=—SMG—5SABC=5(SABG—ABC)二萬'

當以CG=4為底邊，5c=12為高時，S刈CG有最大值，即A-邑有最大值,

ST的最大值為：E-邑=：S皿-；S?c=；S,G=；x4xl2x；=12,

乙乙乙乙乙

1-邑的最大值為12.

答案第12頁，共41頁

6.(1)/BED=/CDF,理由見解析

(2)BE=CD(答案不唯一)，證明見解析

(3)@ZFCE=30°；②E4+FN的最小值是。

【分析】(1)利用三角形內角和等于180度得/%見+/8+/8即=180。，再根據平角定

義得到N3DE+N￡E>F+Na4=180。，又由干//?=/「力",即可得出結論；

(2)若添加條件：BE=CD,利用ASA可證明△BDEZZXCFD；

(3)①方法一：在AC上截取CW=AE,連接網.證明ADE空HEF(SAS).得到

AE=FH,ZEHF=ZA=60°,從而得到切=C〃，且/mC=120。，即可求解；

方法二：過點尸作/G〃BC,交BD于點、G,交AC于點H.證明ADE%.HEF(AAS).同

理可證明△HEF四△GED,得到FH=DG=AE,EH=DA,從而得到AG=AH.即可得出

CH=BG.再根據又3￡>=2AE,則3￡>=2r>G,從而得到少G=3G,CH=DG=FH.然

后根據N"E=60。，求得NFHC=120。,即可求解；

②NFCE=30?？芍?，點廠在等邊VABC的角平分線CN上運動.點A關于線段CN的對稱點

是點3,所以況1+引11=/^8+珂/NBA/,當點8、點產、點Af三點共線且3M_LAC時，

E4+Rh取最小值，即轉化為求等邊VABC的高.因為VABC的面積是。，根據三角形面積

公式可求得=即可求解.

【詳解】解：(1)這組等角是：/BED=/CDF

理由如下：在,BED中，ZBDE+ZB+ZBED=180°.

圖1

:.NBDE+ZEDF+NCDF=180°.

ZB=ZEDF

:.ZBED=NCDF

(2)若添加條件：BE=CD

證明：ZBED=/CDF(已證)

答案第13頁，共41頁

A

F

BDC

圖1

"ZB=ZC

在.BED和VCD尸中，＜BE=CD

ABED=NCDF

BDEg.CFD(ASA)

(3)①,ABC是等邊三角形，

:.ZA=ZB=ZC=60°,AB=AC=BC.

DEF是等邊三角形，

:.DE=EF,ZDEF=60°

:.ZDEF^ZA

據(1)可知/CEF=NA￡)E

方法一：

在AC上截取CW=AE,連接切.

:.AE+CH=2AE=BD.

又AB=AC,

:.AD=EH.

AD=EH

在VADE和_HEF中，＜^ADE=ZHEF,

DE=EF

ADE^HEF(SAS).

AE=FH/EHF=ZA=60°,

:.FH=CH,且/mC=120°,

答案第14頁，共41頁

:.NFCE=30。

方法二：

過點歹作/G〃3C,交BD于點、G,交AC于點H.則N%E=ZBC4=60。,

:.ZA=ZFHE.

ZA=ZFHE

在VADE和尸中，JDE=EF

/ADE=NHEF

/.ADE式HEF(AAS).

同理可得AHEF^AGFD

FH=DG=AE,EH=DA,

:.AG=AH.

又?AB=AC,

:.AB-AG=AC-AH,

即CH=3G.

又BD=2AE,

:.BD=2DG,

:.DG=BG,

:.CH=DG=FH.

又ZFHE=60°,

.?.NFHC=120。，

ZFCE=30。.

②E4+H/的最小值是〃?如圖,

答案第15頁，共41頁

由ZFCE=30?？芍c尸在等邊VA3C的角平分線CN上運動.點A關于線段CN的對稱點

是點B,

所以E4+FM=FB+FM25M,

當點3、點產、點M三點共線且時，E4+WW取最小值，

即轉化為求等邊VABC的高.

因為VABC的面積是。，

所以LaW.AC=a,

2

所以BM=a.

即E4+F70的最小值是a.

【點睛】本題屬于三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性

質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，三角形三邊關系，垂線段最短，熟練掌握利用

垂線段最短求最短路徑問題是解題的關鍵.

7.（1）@AD=BE,90；②4cBE,理由見解析；（2）32

【分析】（1）①先證明/ACD=/3CE,再利用SAS證明VACC^VBCE,由全等三角的

性質可得出=ZCAD=ZCBE,由等腰三角形的性質以及三角形內角和定理可得出

/DBC=/CBE=45。,再根據角的和差關系即可得出/ABE=90。.②同①，由等腰三角形

的性質以及三角形內角和定理可得出/A=NCB4=60。，用SAS證明VACgVBCE,用全

等三角形的性質可得出NA=NCBE=60。，即可得出NACB=NCBE,根據內錯角相等，兩

直線平行得出ACBE.

（2）過A作47,4。交08延長線于3,先證明NADC=ZABG,再根據角的和差關系得

出NR4c=-54G,利用ASA證明ACD^AGB,由全等的性質得出S=SAGB，

AG=AC,根據SACD+sABC=SAGB+sABC得出S四邊形Me。=SACG，計算即可.

【詳解】解：（1）①；NACBuNDCEng。。，

ZACB-CDB=Z.DCE-ZCDB,

答案第16頁，共41頁

即ZACD=/BCE,

XVAC=BC,CD=CE,

：.ACD^,BCE(SAS),

AAD=BE,ZCAD=ZCBE,

VZACB=ZDCE=90°,AC=BC,CD=CE,

：.ZDBC=ZCBE=45°

：.ZABE=NDBC+/CBE=90°,

故答案為：AD=BE,90.

②ACBE,理由如下：

ZACB=NDCE=60。,

：.ZACB-/DCB=ZDCE-/DCB

即ZACD=ZBCE,

*：CA=CB

：.ZA=NCBA=g(180。—60。)=60°,

在-ACD和.5CE中，

AC=BC,

<ZACD=/BCE,

CD=CE,

：.ACD烏BCE(SAS),

???ZA=ZCBE=60°

：.ZACB=ZCBE

：.ACBE,

(2)如圖，過A作47,47交。3延長線于6,

VZABC+ZACB+Zfi4C=180°,ZACD+ZCDA+ZCAD=180°

ZABC+Z.BCD+ZCDA+ZDAB=360°

答案第17頁，共41頁

,?ZBAD=ZBCD=90°

：.ZABC+ZADC=180°

又：ZABC+ZABG=180°

：.ZADC=ZABG

,：ZDAB=ZCAG=90°

：.Z.DAB-NBAC=ZCAG-ABAC

即/R4C=/B4G

在，AGO和AGB中，

ADAC=/BAG,

,AD=AB,

ZADC=NABG,

ACDgAGB(ASA)

SACD=S.AGB，AG=AC

??SACD+SABC=S.AGB+SMC

11,

,,$四邊形ABCD=S,ACG=/X4C*4G=34C~=32.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定以及性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定

理，以及平行線的判定，掌握全等三角形的判定以及性質是解題的關鍵.

8.(1)5

⑵①80。；②110

(3)20?；?0°或35。

【分析】(1)根據題中給出的結論，根據已知可得=DE=DC從而證明

EPD^,CPD即可求出最后結果；

(2)①根據三角形內角和以及角平分線定義求出NABC=40。，Z￡DP=70°,再根據直角

三角形斜邊中線等于斜邊一半可得鏟=6尸=DP,利用等邊對等角可求出

NPED=ZPDE=70。,結合(1)中EPD會&CPD即可求出結果；②先證明，EP尸會(2?尸，

根據題中1結論可得BE=3C,PE=PC,利用三角形內角和以及角平分線定義即可求出結

果；

(3)根據等腰三角形定義分三種情況：①當尸E=PD時；②當EP=ED時;③當DE=DP

時，利用三角形內角和以及三角形外角性質即可求出結果.

答案第18頁，共41頁

【詳解】（1）解：Q應）是NABC的平分線，

；.ZEBD=NCBD,

\DELAB,即NOE3=90。，ZACB=90°,

:.ZBDE=ZBDC,DE=DC,

PD=PD,

EPD^CPD（AAS）,

/.PC=PE=5,

故答案為：5；

（2）解：①.RtZSABC中，ZACB=90°,NA=50。，

/.ZABC=90°-50°=40。,

QB。是/ABC的平分線，

:.ZEBD=ZCBD=20°,

/.ZE?P=90°-20°=70°,

若點尸為線段BC的垂直平分線與BD的交點,

:.BP=DP,

/BED=90。,

,\EP=BP=DP,

:.ZPED=ZPDE=70°f

ZEPD=180°-2ZPDE=40°,

由（1）可知一￡PZ）之二CPQ,

:.ZEPD=ZCPD=40°,

:"CPE=/EPD+/CPD=80°；

②如圖，50與EC相交于點尸，

圖2

由（1）可知：EPD咨二CPD,

:.EP=CP,/EPD=/CPD,