專題01等差數(shù)列

目錄

解題知識(shí)必備.......................................................2

壓軸題型講練.......................................................2

類型一、數(shù)列...................................................................3

類型二、等差數(shù)列基本量的運(yùn)算...............................................5

類型三、等差數(shù)列的證明.......................................................9

類型四、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和..................................................11

壓軸能力測(cè)評(píng)（20題）..............................................23

”解題知識(shí)必備”

1.等差數(shù)列的定義

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做

等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定義表達(dá)式為（常數(shù)）

（〃GN*,n>2）.

2.等差中項(xiàng)

若三個(gè)數(shù)a,A,6成等差數(shù)列，則/叫做。與b的等差中項(xiàng)，且有〃+6.

A=------

2

3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為％,公差為“，那么它的通項(xiàng)公式是a,=q+（〃-l）d.

4.等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式

設(shè)等差數(shù)列也,｝的公差為d,其前〃項(xiàng)和Sn="/+%義4=.

5.在等差數(shù)列｛a*｝中，若%>0,一<0,則滿足1%>°的項(xiàng)數(shù)加使得S“取得最大值S,“；若/<0,d>0,

〔限<°

則滿足rm-0的項(xiàng)數(shù)加使得取得最小值乂.

&+i20

2n

6.Sn=y?+~~^）-數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列=S“=A”？+砌（42為常數(shù)）.

7.等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和的最值

公差d>0o｛%｝為遞增等差數(shù)列，與有最小值；

公差d<0o｛%｝為遞減等差數(shù)列，S,,有最大值：

公差d=0o｛%｝為常數(shù)列.

特別地

若/>0，則S”有最大值（所有正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)之和）；

[d<0〃

若[%（0,則S,有最小值（所有負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)之和）.

[d>0〃

??壓軸題型講練”

類型一、數(shù)列

【變式訓(xùn)練1】已知數(shù)列｛凡｝滿足。用=++,，則下列說法正確的是（）

A.｛與｝所有項(xiàng)恒大于等于亞B.若4=1,則｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)列

C.若｛叫是常數(shù)列，則D.若％=2,則鼠+厘是單調(diào)遞增數(shù)列

【答案】D

【詳解】對(duì)于A,因數(shù)列｛氏｝滿足％吟+：,

若%<0,可推得4<0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)q=1時(shí)，代入。用=才+—，解得出=:，

1%2

,3,,%13217

將出=]代入，可得4=虧+[=4+3=12，

11731

易得出-q=5>0，a3-a2=---=-—<0,故｛4“｝不是遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若｛a.｝是常數(shù)列，即有。用=。“，則得其=2,解得為=±及，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若q=2,可得。“>0,且。用故有％2行，

2aliV2

又因一+什氏+：,由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，可得1%+今:是單調(diào)遞增數(shù)列，故D正確.

故選：D.

【變式訓(xùn)練2】已知數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S“,a用+（TF%=sin與（〃eN+）,貝|=（

A.--B.0C.—D.V2

22

【答案】B

【詳解】當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)有％+-si喈,函數(shù)y=sin9（"eN+）的周期為8,

故有a〃+9+%+8="〃+1+4，

.71V2.3兀V2.5兀V2V2

出+Q]=sin———2-，Q4+/=sin+%=sm——，Q&+%=—,.??,

按此規(guī)律循環(huán)重復(fù)下去，\=0，

故有$2024=253*0=0.

故選：B

【變式訓(xùn)練3]若在數(shù)列｛%｝中，%=2,??=1--（?>2）,則出必=（）

an-\

11

A.2B.-C.一一D.-1

22

【答案】D

【詳解】因?yàn)?=2,??=1--（?>2）,

an-\

411?I111c

所以。2=1-----=r>%=1------=T,44=1------=2,.........,

2。2a3

所以｛%｝是以3為周期的周期數(shù)列，所以々2025=^675x3=。3~?

故選：D

【變式訓(xùn)練4]已知數(shù)列｛%｝的第1項(xiàng)和第2項(xiàng)均為1,以后各項(xiàng)由=。用+%（"eN*）給出.若數(shù)列｛a,｝

的各項(xiàng)除以3所得余數(shù)組成一個(gè)新數(shù)列｛"｝,則多儂+打必:（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【詳解】因?yàn)閍"+2=%+%+i（"eN+）,%=出=1,所以數(shù)列｛。“｝為1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,

89,144,…，

此數(shù)列各項(xiàng)除以3的余數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列低｝為1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,…

是以8為周期的周期數(shù)列，

所以62024+62025=。+1=1-

故選：A.

類型二、等差數(shù)列的基本量運(yùn)算

【變式訓(xùn)練1】若在等差數(shù)列|%|中，。1+&+。3=21,%+。5+。6=39.貝1]|。』的公差為（）

A.1B.2C.3D.6

【答案】B

3%+3d=21

【詳解】因?yàn)椋?。2+。3=21,&+。5+。6=39,所以

3q+l2d=39'

解得二，所以等差數(shù)列為正數(shù)等差數(shù)列，所以3

故選：B

【變式訓(xùn)練2】已知等差數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為S”4=匕,S5=55,則數(shù)列｛2｝的公差是()

A.y4B.4C.-4D.-3

【答案】B

【詳解】：｛%｝是等差數(shù)列，$5=55,

...5(%+%)=堊幺=5%=55,解得%=H

22

%=15,，公差d=%-%=4.

故選：B.

【變式訓(xùn)練3】記等差數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為5“，若品,=0,久=2邑-12,則%=()

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為"，由艮=2風(fēng)-12,得6%+15d=2(3%+31)-12,解得9d=-12,

由So=0,得10%+456/=0,貝I」24=—9d=12,所以4=6.

故選：A

【變式訓(xùn)練4】已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”嗎=2,且｛〃'｝為等差數(shù)列，若86+%+%+。6=1，則

()

A.-63B.63C.36D.-36

【答案】A

【詳解】S6+a4+a5+a6=l^S6+(S6-S3)=l,故6s6-3$3=3.

設(shè)｛"SJ的公差為"，則3"=3,解得"=1,又lxS"=%=2,

故｛"S"｝是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列，貝"必“=2+5-1)=〃+1,故S“="L

n

9

則邑=/=■7717r=_63

gS8f9_8'

87

故選：A

【變式訓(xùn)練5]已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，生=9,%+&+%=33.

(1)求數(shù)列｛6｝的通項(xiàng)公式.

⑵若或+。“=19,求數(shù)列｛囚|｝的前?項(xiàng)和Sn.

【答案】(1)%=2〃-1

c[19n-n2,n<10

(2)S=<

'n[H2-19H+180,?>11

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為d,

因?yàn)椤?+4+。9=3。6=33,所以。6=11.

又因?yàn)?=9,則4_。5=4=2,

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式??=%+2(〃-5)=2〃-1.

(2)由(1)知，bn=19-an=20-2n.

當(dāng)“010時(shí)，陽="=20-2〃，

c〃伯+")”(38-2〃).2

3“=--------=---------=[yn—n；

〃22

當(dāng)"211時(shí)，同=-a=2”-20,

二品+(〃_]0)(2*]]_20)+("一]0'_11)*2=19xl0-102+2(?-10)+n2-2k+110=H2-19?+180.

"'"j?2-19n+180,?>ir

類型三、等差數(shù)列的證明

【變式訓(xùn)練1】己知》數(shù)列｛%｝滿足：存在正整數(shù)上,對(duì)任意的〃eN*,n>k,都有a,二°喳;""一上,0：

數(shù)列｛??｝是等差數(shù)歹U.則。是4的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

【詳解】當(dāng)0成立時(shí)，即存在正整數(shù)左，對(duì)任意的“eN*,n>k,都有=,貝九

an+k-an=an-an_k,

若左=2,則%-*-2=%+2-。"，對(duì)任意的〃eN*,">2都成立,即%-4

對(duì)于數(shù)列1』,2,2,3,3,4,4,…，滿足上述條件，但不是等差數(shù)列，故由。不能得到4.

當(dāng)4成立時(shí)，即數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

則a“=%,an+k=aY+(n+k-l)d,an_k=ax+[n-k-l)d,

d?+k+=。]+｛ji+k—\^d+%+（H—A?-1）＜7=1ax+2（〃-1）＜7=2an,即an="+*?~~恒成立,

二由4能得到。.

綜上得，。是4的必要不充分條件.

故選：B.

【變式訓(xùn)練2】（多選）下列說法錯(cuò)誤的有（）

A.若a,b,c成等差數(shù)列，則a?,C?成等差數(shù)列

B.若。，b,c成等差數(shù)列，則log?。，log?6，bg2c成等差數(shù)列

C.若。，b,c成等差數(shù)列，則a+2,b+2,c+2成等差數(shù)列

D.若。，b,c成等差數(shù)列，則2”,2J2。成等差數(shù)列

【答案】ABD

【詳解】A選項(xiàng)，1,2,3顯然成等差數(shù)列，但是1,4,9顯然不成等差數(shù)列，因此A不正確;

B選項(xiàng)，0,0,0顯然成等差數(shù)列，但是log?。，log?6,log2c這三個(gè)式子沒有意義，

因此B項(xiàng)不正確；

C選項(xiàng)，因?yàn)椤?，b,c成等差數(shù)列，所以26=a+c,

因?yàn)?（6+2）-（a+2+c+2）=2b-a-c=0,

所以a+2,b+2,c+2成等差數(shù)列，因此C項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)，1,2,3顯然成等差數(shù)列，但是2"=2，2d=4，2C,=8,

顯然2",2J2。不成等差數(shù)列，因此D項(xiàng)不正確.

故選：ABD.

【變式訓(xùn)練3】設(shè)S”為數(shù)列｛七｝的前力項(xiàng)和，5?=2/r-30?.

⑴求見;

⑵證明｛七｝是等差數(shù)列.

【答案】（1M=4〃-32；（2）證明見解析.

【詳解】（1）數(shù)列｛與｝的前〃項(xiàng)和邑=2〃2-30力，

則當(dāng)”=1時(shí)，4=4=2xF-30xl=-28；

當(dāng)〃22時(shí)，a?==（2?2-30H）-[2（H-1）2-30（?-1）]=4?-32,%=-28滿足上式,

所以4=4”32.

（2）由（1）知％=4〃-32,當(dāng)〃22時(shí)，an_1=4（n-1）-32,

因此%_%=（4〃_32）_[4（"1）_32]=4（常數(shù)），

所以數(shù)列｛0“｝是等差數(shù)列.

【變式訓(xùn)練4】設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若2szi-%=/,〃eN*.

(1)證明:數(shù)列｛%+%+J是等差數(shù)列;

⑵求$20.

【答案】(1)證明見解析(2)210

2

【詳解】(1)V2Sn-an=n,

2

.?.當(dāng)“22時(shí)，2S?_1-??_1=(n-l),

兩式相減得2S"—%—(2S“_1-a“_])=—1)=2??—1,

又1?12Sn--(2S“_]-%_])=2S,-2s,_1-%+an_x

=2%-%+%

=%+%

a?+an_x=2n-\,

故(%+1+?！?一(?！??！啊?)=[2(〃+1)-1]-(2〃-1)=2,且出+q=3,

所以數(shù)列｛。川+?！埃且?為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列.

(2)由(1)知。=2〃-1(“22),

所以,^20=(%+%)+(。3+。4)+(。5---------^(。19+。20)

10x(3+39)

=3+7+11+…+39=——-------^=210.

2

31

【變式訓(xùn)練5】設(shè)S,為數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和，且E=5，S“M=2-丁.

(1)證明：數(shù)列[止是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛0“｝的通項(xiàng)公式.

【答案】(1)證明見解析

‘3,

—,n=1

2

⑵?！?1

------------,n>2

【詳解】(1)由題意，數(shù)列｛%｝滿足Sm=2-3，

所以」_____1_=二-一-二=上1

sn+1-lS?-lS?-lS?-lS?-l

31c

又由岳=彳，所以「=2,

2-1

所以數(shù)列］￡，表示首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列.

(2)由數(shù)列表示首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,

可得力=2+(I)xl=〃+l,所以S〃=a+1,

1

當(dāng)〃之2時(shí)，可得%=S〃-S〃T=—+1--+1

〃+1n+1)

因?yàn)镋=53,可得/MSI：］3,不適合上式,

所以數(shù)列｛對(duì)｝的通項(xiàng)公式為

1

n>2.

n(n+V)'

a+1,〃為奇數(shù)

【變式訓(xùn)練6】已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S〃，且4=1,〃用n

%+2』為偶數(shù)

⑴證明｛%a｝是等差數(shù)歹U；

(2)求同〃;

11112

(3)求證：—+—+----------1-------<一

%%S*2$2"3

【答案】(1)證明見解析

2

(2)S2n=3n

(3)證明見解析

a+1,”為奇數(shù)

【詳解】(1)證明：因?yàn)樵跀?shù)列｛%｝中,n

4+2,”為偶數(shù)'

a

所以2n+l=。2"+2=+1+2=a2n_t+3,

所以｛g"1｝是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列.

(2)由(1)可知｛出1｝是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列,，

所以。2“-1=l+(n-l)-3=3n-2.

同理由??+1=1+2,”為偶數(shù)，可得%="(2"T)M=+1=%一2+3.

又因?yàn)椤?=4+1=2,

所以｛的,｝是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列,

故%=2+（?-1）-3=3?-1,

+a

貝！J12n=3〃-1+3〃-2=6〃-3.

……\/、/、（3+6〃-3）?〃°

以S2n=（4]+a2）+.......++a2n）=3+9+........+（6〃_3）=-----------------=3〃.

（3）證明：因?yàn)橐亍?3",

11

所以用二前.

12222_2<11）

因?yàn)?—3,薪〈3,4〃2一1——1-2〃+J

所以n

1112

即一+一++---<一

$254Si.3,

類型四、等差數(shù)列的前n項(xiàng)

【變式訓(xùn)練。設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為邑，若。5+必<。，配>0,則J的最大值為（）

A.S$B.S6C.SiD.Ss

【答案】B

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛%｝為等差數(shù)列，

由。5+%<0n必+%<0；

由兒>0n11（%+%J>。=%+%]>0=。6>0.

2

所以。7<0.

所以等差數(shù)列｛七｝是首項(xiàng)為正數(shù)的遞減數(shù)列，且前6項(xiàng)為正，從第7項(xiàng)開始為負(fù)數(shù).

所以其最大.

故選：B

【變式訓(xùn)練2】記等差數(shù)列｛%｝的前力項(xiàng)和為S“，公差為d,若由+陽>0，又<0,則（）

A.邑0<0B.06+%7<0C.%>0D.6（-9,-8）

【答案】C

【詳解】由生+4>0有%+電。=%+陽>0=S"=20（"；出。）=10（%+?。）>0，故A錯(cuò)誤；

由幾<0n幾=19（“廣）=”為=]%<°n%。<0,%。+%|=%+%8>0,所以用i>0,故C正確；

a6+a?=atl+al2>0,故B錯(cuò)誤;

a,.=(2.+1Orf>0a

由11皿nn_10<寸<_9,故D錯(cuò)誤.

%o=%+9d<0a

故選：C.

【變式訓(xùn)練3】（多選）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為s“，%>0,%=-%5,則下列說法正確的是（）

A.a9=0B.a?+1<anC.Ss<S9D.當(dāng)S“<0時(shí)，”的最大值為18

【答案】AB

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)閿?shù)列｛%｝為等差數(shù)列，且生=-％5，

可得2a9=%+。15=°，即為=。，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?>0,可知等差數(shù)列｛%｝的公差d<0,

所以等差數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，即。2<見，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)镾g=518+%=$8,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)〃48時(shí)，?！?gt;0；當(dāng)〃210時(shí)，。〃<0;

gpax>???>網(wǎng)>為=0>6z10>-??,

當(dāng)“417時(shí)，S=”（％+""）」（4+%）=0,當(dāng)且僅當(dāng)”=17時(shí)，等號(hào)成立，

22

當(dāng)〃218時(shí)，S”=S17+（a18H---Fa“）=陽H---\-an<0,

所以當(dāng)S“<0時(shí)，"的最小值為18,故D錯(cuò)誤；

故選：AB.

【變式訓(xùn)練4】（多選）等差數(shù)列｛2｝是遞增數(shù)列，滿足%=3%，前"項(xiàng)和為S”，下列選項(xiàng)正確的是（）

A.d>0B./<0

C.S.>o時(shí)〃的最小值為8D.當(dāng)〃=5時(shí)s”最小

【答案】ABC

【詳解】對(duì)A,設(shè)公差為d,因?yàn)榈炔顢?shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，則4>0,故A正確；

對(duì)B,因?yàn)?=3%，則％+6"=3（可+4d）,即％=-3d<0,故B正確；

對(duì)D,Sn=nax+^^-d=^r-^-n,則對(duì)稱軸為〃=g,開口向上，所以當(dāng)〃=3或4時(shí)，S”取得最小值,

故D錯(cuò)誤；

對(duì)C,由S“>0,即日/一弓〃>o,即〃2一7〃>0,解得“<0（舍去）或〃>7,所以S“>0時(shí)，"的最小值

為8,故C正確.

故選：ABC

【變式訓(xùn)練5】已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，出=11,%=5.

(1)求數(shù)列｛勾｝的通項(xiàng)公式；

(2)-100是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)嗎？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請(qǐng)說明理由；

(3)求數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)和的最大值.

【答案】⑴見=-2〃+15

(2)不是，理由見解析

(3)49

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛2｝的公差為d,

,.fa,+d=11

因?yàn)閿?shù)列｛%｝為等差數(shù)列，且的=11，%=5,則1+44=5'

解得q=13,d=-2,

所1以，a”=4+(〃-l)d=13+(〃-1)x(-2)=-2〃+15.

(2)令-100=-2〃+15,得”=口^,

2

又〃=早eN*,故-100不是數(shù)列｛%｝的項(xiàng).

(3)設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為

法1：S"=]3〃+"；1)+(-2)=—M2+14〃=一-7)~+49,

所以當(dāng)〃=7時(shí)，S”取最大值，最大值為49.

法2：因?yàn)閐<0,所以數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減，

令?！?15-2〃20,得〃W—,

又由〃eN*,故前7項(xiàng)均為正數(shù)，且。8=7，

7x6

所以前7項(xiàng)和最大，57=13X7+^-X(-2)=49.

??壓軸能力測(cè)評(píng)”

1.已知數(shù)列｛為｝滿足：①任意相鄰兩項(xiàng)的積不等于1;②任意相鄰的連續(xù)三項(xiàng)相乘之積等于這三項(xiàng)相加之

和；③q=2,七=3.記數(shù)列｛%｝的前項(xiàng)和為5,,貝!]邑025-昆012的值為()

A.27B.26C.25D.24

【答案】C

【詳解】依題總，1且""。用。"+2=%+%+1+"”+2>則an+ian+2an+3=%+1+%+2+%+3，

相減得氏+4+2(%-a“+3)=%-%+3，故(*氏+2T)(a“-a,+3)=0，

因?yàn)?+1。"+2Hl，所以?！耙??！?3=0，故見=。0+3

故數(shù)列｛6｝是周期為3的數(shù)列，由％=2,電=3及4"“+1?！?2=%+。“+1+?！?2可得%=1，

所以

(S，2Q25—S，012=。。013+。，014+'''+。21P5=("1jX4+=(2+3+l)x4+l=25,

故選：C.

2.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著《九章算法?商功》中，有如下圖形狀，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1

個(gè)球，第二層有3個(gè)，第三層有6個(gè)…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛與｝,數(shù)列｛"｝滿足2=。用-?！?，以下

說法錯(cuò)誤的是()

A.%=10

B.bx+b2+b3=9

C.｛，｝是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列

D.設(shè)也｝的前〃項(xiàng)和為5"，則

【答案】D

【詳解】q=1,g=2+4=3,%=3+電=6,%=4+%=1。，故A正確；

4=2也=3,4=44+瓦+b3a9,故B正確；

由圖形可知：a?+l-an=n+l,

b

?+l-b.=an+2-an+l-(a?+1-an)=n+2-n-l=l,故C正確；

Sn=bl+---+bn^(a2-al)+---+(an+l-an)^an+l-al^an,故D錯(cuò)誤.

故選：D.

3.若四個(gè)正數(shù)。，b,c,”成等差數(shù)列，x是。和d的等差中項(xiàng)，y=4bc,則x和7的大小關(guān)系為()

A.x>yB.X"C.x<>D.x"

【答案】B

【詳解】由條件可知，a+d=b+c,(a,b,c,d>0,x=早，夕=而，

因?yàn)?gt;=癡4等=審=》，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)成立，

又。，b,c,4成等差數(shù)列，故a=6=c=d時(shí)，等號(hào)成立，

所以X》.

故選：B

4.“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題,

叫做“物不知數(shù)”.原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？

現(xiàn)有一個(gè)相關(guān)的問題：被3除余1且被4除余2的正整數(shù)，按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛七｝,

則的值為（）

A.24294B.24296C.24298D.24300

【答案】C

【詳解】被3除余1且被4除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，

構(gòu)成首項(xiàng)為10,公差為3x45的等差數(shù)列，

所以%=10+12x（n-l）=12〃一2,

貝！J%025=12*2025-2=24298.

故選：C.

5.（多選）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1,1,2,3,5,8,

13,.…該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩個(gè)數(shù)都是1,從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面相鄰兩個(gè)數(shù)的和，人們把

這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.若記此數(shù)列為｛%｝,有q=%=1，an+2=a?+an+l,前〃項(xiàng)和

為S1，則下列對(duì)“斐波那契數(shù)列”的描述正確的是（）

A.1+$2022=02024B.該數(shù)列的前2024項(xiàng)中能被3整除的有507項(xiàng)

C.。2024是偶數(shù)D."II"。2024=。2024。2025

【答案】AD

【詳解】對(duì)A選項(xiàng)：因?yàn)椤！?2=%+%+1，即氏=%+2-%+1，

a=

所以^2022=%+%+。3---------2022（%—%）+（為一）+（%一。4）----（%024—%023）="2024一02'

a

乂。2=1，所以1+$2022=2024.故A正確；

對(duì)B：因?yàn)椤办巢瞧鯏?shù)列”的前若干項(xiàng)依次為：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…，它們除以3所得的余數(shù)

為：1,120,2,2,1,0,1,1,2,0,…，可以發(fā)現(xiàn)余數(shù)是以1,1,2,022,1,0為周期的，在一個(gè)周期內(nèi)有兩個(gè)能被3整

除的數(shù).

2024

又^=253,所以該數(shù)列的前2024項(xiàng)中能被3整除的有253x2=506個(gè).故B不正確；

O

對(duì)C：因?yàn)閝=。2=1均為奇數(shù)，且奇數(shù)+奇數(shù)為偶數(shù)，所以%=。1+。2為偶數(shù);

因?yàn)槠鏀?shù)+偶數(shù)為奇數(shù)，所以&=。2+。3為奇數(shù)；…

所以“斐波那契數(shù)列”中的項(xiàng)是“奇，奇，偶”規(guī)律出現(xiàn)的，又2024=3x674+2,所以

的024為奇數(shù)，故C不正確;

對(duì)D：因?yàn)?/p>

a2024a2025=42024“2023+。2024)=。2024+。2023〃2024

=02024+。2023(°2022+02023)=fl2024+02023+02022a2023

。2024+。2023+“2022(。2021+°2022)=°2024+°2023+°2022+。2021a2022

^2024+。；023+…+W+

因-為。］二出=1，所以。2024。2025="2024+。2023+…+。2+.故D正確.

故選：AD

6.（多選）意大利著名數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契（Leonard。Fibonacci）在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這

樣一列數(shù)：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,該數(shù)列的特點(diǎn)是：前面?zhèn)€數(shù)都是1,從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它

的前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)稱為“斐波那契數(shù)列”.同時(shí)，隨著〃趨于無窮大，其前一項(xiàng)與后一

項(xiàng)的比值越來越逼近黃金分割避二'■y0.618,因此又稱“黃金分割數(shù)列”，其通項(xiàng)公式為

2

,它是用無理數(shù)表示有理數(shù)數(shù)列的一個(gè)范例.記斐波那契數(shù)列為{6},其前〃

國(guó)）一〔丁,

項(xiàng)和為工，則下列結(jié)論正確的有（）

1012

A.Z%左=°2025B.幾=291

k=l

2024

C.(以+2。左-。

D.Sn=an+2-l

k=l

【答案】BCD

【詳解】選項(xiàng)A：可以發(fā)現(xiàn)生+〃4=。5-1，。2+%+。6-1…，

1012

因此我們歸納，猜想E?。2025T，

k=l

1012

事實(shí)上，Z%左=&++〃6+“8+…+”2024=(“3-1)+〃4+，6+。8+…+。2024

k=l

=-1+%+-----1"。2024=一1+〃7+°8-----1"。2024='''=-1+”2025，故A錯(cuò)誤；

ax=a2=1,%—2,6Z4=3,a5=5,a6=8,6Z7=13,%=21,a9=34,al0=55,

6zn=89,6Z12=144Ml3=233,

選項(xiàng)B：計(jì)算可得品=609=21x29=2948,故B正確；

選項(xiàng)C：由ak+2ak-=(4+]+ak)ak-底=%+ak+1?-ak+i)=~ak+iak_,+%=-(為+~一城)及-雨=1,

===

-d——1,Q5Q3_aj15—Q；-1?**'5^2026^2024—^2025一1，

2024

故23+2以一03）=0，故c正確；

k=[

選項(xiàng)D：可以發(fā)現(xiàn)，S]=%-1,邑=%—1,S3=a5—1,歸納得到S"=?！?2—1,

1

事實(shí)上'Sn=+a2+<23H---\-an=（%—。2）+（。4—。3）+（。5—44）"--^（^?+2—。"+1）

故S"=%+2-。2=?！?2-1，故D正確.

故選：BCD

7.（多選）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為%=2,且對(duì)于任意”>l/eN*,滿足S,,+i

+S?_1=2（S?+1）,則（）

A.旬=17B.?10=18C.59=81D.510=91

【答案】BD

【詳解】因?yàn)閷?duì)于任意〃>l,"eN*,滿足5用+兀=2（5.+1）,

貝1JS"+「Sa=S"-S,_I+2,可得a“+]-a,=2,

數(shù)列｛叫在"22時(shí)是等差數(shù)列，公差為2.

且％=lg=2,則。9=2+7x2=16,%（）=2+8x2=18,故A錯(cuò)誤，B正確；

8x79x8

S9=l+8x2+—x2=73,510=1+9x2+—x2=91,故C錯(cuò)誤，D正確.

故選：BD.

1

8.（多選）設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的公差為“，前〃項(xiàng)和為J.已知弓=5,S24>0,邑5<0，，貝J（）

A.an>0B.d的取值范圍是,：,一[]

ss

C.s”的最大值為耳3D.」?的最小值為」1

an〃13

【答案】AD

【詳解】等差數(shù)列｛〃/的公差為d,前〃項(xiàng)和為S〃，%=5,S24>0,525<0,

對(duì)于A選項(xiàng)，§25=25（%；-5）*q<0,可得/<0，

§24=-=12（6Z12+?13）>0,可得％2+%3>°，貝lj〉一/3〉0，A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，〃13=%+12d=5+12d<0,解得d<—,

an+。]3=%+1ld+/+12（7=10+23d>0,解得d>一詈,

因此，d的取值范圍是B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)閐<0,所以，數(shù)列｛。“｝為單調(diào)遞減數(shù)列，且％2>0>%3，

當(dāng)1OW12且“eN*時(shí)，an>al2>0,

當(dāng)〃213且〃wN*時(shí)，an<al3<0,

所以，工的最大值為句2,C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)閿?shù)列｛%｝為單調(diào)遞減數(shù)列，

且當(dāng)1V〃W12且〃6N*時(shí)，an>ai2>0,此時(shí)，S〃>0,則｝~>。，

an

當(dāng)“213且“wN*時(shí)，％4%3<。，此時(shí)，數(shù)列｛S,｝單調(diào)遞減，

s

當(dāng)13W〃<24且〃eN*時(shí)，>S>0,此時(shí)，^<0,

24an

當(dāng)篦225且〃cN*時(shí)，S〃WS25<0,此時(shí)，3>°，

an

s

所以，要考慮j的最小值，只需考慮〃e｛13,14,15,…,24｝即可，

an

當(dāng)〃e｛13,14,15,…,23｝時(shí)，名紅一葭="￡+L=%（S"+：+J-%+6,

aaaaa

??+ln??+lnn+l

=S'（。用一%）=。“。向一電>。即&<鳥以，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增，

a?an+lanan+i%an+l[a"

ss

所以，行的最小值為」D對(duì).

a

??13

故選：AD.

9.（多選）設(shè)d,S“分別為等差數(shù)列｛%｝的公差與前“項(xiàng)和，若％=$2。，則下列論斷中正確的有（）

A.〃=15時(shí)，S“取最大值B.$30=。

C.若d>0,a10+a22>0D.若d<0時(shí),|a10|>|a22|

【答案】BC

【詳解】等差數(shù)列｛%｝中，

-v.inJ°x9,20x19_29

?J]?！?20，??1。%H——u—2V6Z|H-----——u,角牛%———d,

13y29-1）

對(duì)選項(xiàng)A,因?yàn)镾-naH-------------d=---dnH--------------d，

n｝1222

所以S“=：而2一15赤=；"（"-15）2+言d,

因?yàn)闊o法確定d的正負(fù)性，所以無法確定S,是否有最大值，故A錯(cuò)誤，

30x2929

對(duì)選項(xiàng)B,S3O=3O%+—--d=30x（—萬4）+15、294=0,故B正確，

對(duì)選項(xiàng)C,因?yàn)閐>0f所以《o+22=246=2(弓+15d)=2(——d+15d)=d>0,故C正確，

291811294213

又寸項(xiàng)D,。]0=%+9d=——d+d=——d,a??=4+2Id=——d+d—d,

]]13

d<0,|a10|=—■—d|a22|=—~—d,|a10|<|a22|,故D錯(cuò)誤，

故選：BC.

10.1202年意大利數(shù)學(xué)家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”，又稱斐波那契數(shù)列，即

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…該數(shù)列中的數(shù)字被人們稱為神奇數(shù)，在現(xiàn)代物理，化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.若

此數(shù)列各項(xiàng)被3除后的余數(shù)構(gòu)成一新數(shù)列｛%｝,則數(shù)列｛?！埃那?025項(xiàng)的和為.

【答案】2278

【詳解】由數(shù)列1」,2,3,5,8,13,21,34,55…各項(xiàng)除以3的余數(shù)，

可得數(shù)列｛。“｝為1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,…，所以數(shù)列｛七｝是周期為8的數(shù)列,

一個(gè)周期中8項(xiàng)和為1+1+2+0+2+2+1+0=9,

又因?yàn)?025=253x8+1,

所以｛??)的前2025項(xiàng)的和邑025=253x9+1=2278.

故答案為：2278

11.在等差數(shù)列｛%｝中，%<0,品=品，貝"=，數(shù)列的前“項(xiàng)的和最小.

【答案】10或11

【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為“，

9x812x11

因?yàn)槠范?，所?%+^^=12%+-y-d,

所以〃i=-10d<0,則d>0.

所以?！ǘ?04+(〃一l)d-ndId.

^an=nd-lid<0,貝W(11,其中即=0,

所以當(dāng)〃=10或11時(shí)，S〃有最小值.

故答案為：10或11

12.設(shè)等差數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S.，且S4047>0,S4046<0,則當(dāng)"時(shí)，尺最小.

【答案】2023

【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和性質(zhì)得：

(a.+&4。47)x4047

$4。47=54?---------=4047a23>0=%。24>0，

(q+&046)x4046(、

§4046="=2023(Q[+%046)<°n“2023+“2024<0，

,?。2023<°，“2024>o,?.?｛%｝的前2023項(xiàng)為負(fù)，從2024項(xiàng)開始為正，故前2023項(xiàng)和最小.

故答案為：2023

13.在等差數(shù)列｛%｝中，??=3?-31,記”=㈤，則數(shù)列也,｝的前30項(xiàng)和為.

【答案】755

【詳解】當(dāng)“410時(shí),?！?lt;0,當(dāng)”>11時(shí)，a?>0,

故$30=|%|+|&|+|?|+…+|4()|=一(4+°2+a3+…+%。)+(41+ai2+ai3+-"+a3o)

=10(fl[+a,0)|20(ail+fl30)；10(-28-1)?20(2+59)；⑷+610=755

2222

故答案為：755

14.已知直線x+2y+石=0與直線x-力+11g=0互相平行，等差數(shù)列｛%｝的公差為d,且％網(wǎng)=35,

?4+?10<0>令S"=圖+|出|+同+…+|%|，則Ho的值為.

【答案】52

【詳解】由題意知dwO,因?yàn)閮芍本€平行，所以1=工工下，解得"=-2,

1~d11V5

由%?〃8=%?(%—2)=35,解得%=-5或%=7,

又&+qo=2%<0,貝!J%二-5,

由%=4+6d=—5,解得q=7,

故4=7+(〃-1)x(-2)=-2〃+9,

則Bo=同+|。2|+|。3|+…+|%01

=l7l+l5l+l3l+W+H+H+1-5|+|-7|+|-9|+|-11|=52.

故答案為：52

15.已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和S"滿足后=AT+l(〃N2,〃eN*),且%=1.

(1)求證：數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列；

⑵記”=-1—￡為數(shù)列也,｝的前n項(xiàng)和，求使［2,成立的〃的最小值.

anan+\an

【答案】（1）證明見解析（2）2

【詳解】（1）由底=河+1（〃22,〃€曰）可得｛后｝為等差數(shù)列，且公差為1,首項(xiàng)為1,

故#T=l+（“—1）=〃，即S“=1,

當(dāng)“22時(shí)，S,T=（〃一1）2,故氏=5“一5,1="2-（"-1）2=2〃一1,

當(dāng)〃=1時(shí)，1=1也符合,

故?！?/p>