2024-2025學(xué)年浙江省杭州市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末檢測(cè)試題

（含答案）

1.已知集合A={°J23,4},殷{#2-5x+4訓(xùn)，則AWo

A.{1,2,3,4}B.{2,3}C.{1,4}D.{0,1,4）

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合B,利用交集的定義可求得集合AcB.

【詳解】因?yàn)?=卜,2—5%+4訓(xùn)={小《1或x刊，A={o,l,2,3,4},

則人。5={0,1,4}.

故選：D.

2.已知（2+i）z=i,i為虛數(shù)單位，則忖=（）

A.-B.-C.6D.好

5353

【答案】C

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得目的值.

【詳解】因?yàn)椋?+W=】，則［二白:^^^^+事，故|z“f|；岑

故選：C.

3.已知平面向量W=（2,0）,^=（-1,1）,且（ma—B）〃（萬(wàn)+S）,則m=（）

A.-1B.0C.1D.］土Q

2

【答案】A

【解析】

【分析】首先求出加4-3、萬(wàn)+方的坐標(biāo)，再根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.

【詳解】因?yàn)閍=（2,0）,B=（一1,1）,

所以〃應(yīng)—B=和（2,0）_（—1,1）=（2加+1,—1）,?+^=（2,0）+（-1,1）=（1,1）,

因?yàn)椴枫琛狟）〃（萬(wàn)+5）,所以（2m+l）xl=—1x1,解得機(jī)=-1.

故選：A

22

4.已知雙曲線*—2=1.〉0]〉0）左，右焦點(diǎn)分別為耳（―c,O），E（c,O）,若雙曲線左支上存在點(diǎn)尸

3

使得|呀|=5。—2a,則離心率的取值范圍為（）

A.[6,+<30）B.（1,6]

C.[2,+oo）D.[4,-KO）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)：雙曲線左支上的點(diǎn)P到右焦點(diǎn)B的距離：|尸耳|?a+c可確定雙曲線離心率

的取值范圍.

31c

【詳解】由題意：一c-2〃2〃+cn—c23a=>e=—N6.

22a

故選：A

5.已知2cos2。一cos。=1，8e（。,兀）,則sin"（）

A.0B.1C.3或0D.是

222

【答案】D

【解析】

【分析】由已知可得出-1<COS9<1,解方程2cos2?！猚os6=l，可得出cos。的值，再利用同角三角函

數(shù)的基本關(guān)系可求得sin8的值.

【詳解】因?yàn)?。€（0,兀），貝Ij-l<cos0<l,由已知可得2cos2e—cos，—l=0，解得cos￡=—g,

故sin6=J1—cos2夕=J1一[—g]=-^--

故選：D.

6.數(shù)學(xué)家歐拉研究調(diào)和級(jí)數(shù)得到了以下的結(jié)果：當(dāng)x較大時(shí)，1+1+!+…+J_=inx+/（xeN*，常數(shù)

23x

Y—0.557...）.利用以上公式，可以估算訪+102+…+300的值為（）

A.ln30B.In3C.—ln3D.-In30

【答案】B

【解析】

[1----11■…H------=In300+Y,1H1----1■…H-------=In100+y,兩式相減，根據(jù)

2330023100

對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【詳解】依題意可得1+工+工+…+二一=ln300+y,

23300

1H----1----F???H-------In100+Y

23100

兩式相減可得----1-------F...H-------=In300—Ini00=In3.

101102300

故選：B

7.已知0苫，則“cos(tz—/?)<，”是“cosa+sin/？V"1~”的()

2)44

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】依題意可得cos(a-0=cosacos/?+sinasin/?<cos<z+sinP,利用充分條件、必要條件的定義判

斷可得答案.

【詳解】,則0<cos，<l,0<sintz<l,

所以cos(a—4)=cosacos/7+sinasin4vcosa+sin4,

所以由cos(c-")v，不能推出cos6Z+sin/?<—,充分性不成立；

44

反之，cosc+sin/?〈工=>cos(c-尸)〈工成立，即必要性成立；

44

0,^|,則“cos(a—4)<!”是“cosa+sin/?<!”的必要不充分條件.

I2；44

故選：B.

8.已知圓C:x2-2x+y2=。與直線/：丁=初氏+2相(7a>0)，過(guò)/上任意一點(diǎn)尸向圓C引切線，切點(diǎn)為A

和8,若線段A5長(zhǎng)度的最小值為0,則實(shí)數(shù)加的值為()

A

近R/14V14

DR.---------u.-----

727

【答案】D

【解析】

【分析】推導(dǎo)出PC垂直平分A3,分析可知，當(dāng)|PC|取最小值時(shí)，|AB|取最小值，此時(shí)，PC，/,利用

點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于切的等式，解之即可.

【詳解】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x—l）2+y2=l,圓心為C（l,o）,半徑為1,如下圖所示：

由圓的幾何性質(zhì)可知ACLK4,BCLPB,

因?yàn)閨叫=|尸石，|4'=忸。|,|PC|=|PC|,所以,APAC'PBC,

所以，ZAPC=ZBPC,則PCLAB,

設(shè)A3nPC=E,則E為A3的中點(diǎn)，

由勾股定理可得|PA|=JPC|2-|AC|2=JPC|2-I，

由等面積法可得|

11=12|A1E|=即\PC\:0=2』產(chǎn)\PC\J=2X）1-\p-c^f,

所以，當(dāng)|PC|取最小值時(shí)，|AB|取最小值，由211一份\=拒，可得|PC|=J5,

所以，|PC|的最小值為血，當(dāng)PC與直線/垂直時(shí)，|PC|取最小值，

|3mlr-J77

則=因?yàn)榧樱?,解得m='匕.

Vm2+17

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查圓的切點(diǎn)弦長(zhǎng)的計(jì)算，一般方法有如下兩種：

（1）求出切點(diǎn)弦所在直線的方程，然后利用勾股定理求解；

（2）利用等面積法轉(zhuǎn)化為直角三角形斜邊上的高，作為切點(diǎn)弦長(zhǎng)的一般求解.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選

對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知一組數(shù)據(jù)：3,3,4,4,4,x,5,5,6,6的平均數(shù)為4.7,貝U（）

A.x=7

B.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4

C.若將這組數(shù)據(jù)每一個(gè)都加上0.3,則所有新數(shù)據(jù)的平均數(shù)變?yōu)?

D.這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為5.5

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)求出x值，再根據(jù)百分位的性質(zhì)求出結(jié)果.

【詳解】由題意得而(3+3+4+4+4+x+5+5+6+6)=4.7,解得％=7,故A正確；

4+5

將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為3,3,4,4,4,5,5,6,6,7,則中位數(shù)——=4.5,故B錯(cuò)誤；

2

若將這組數(shù)據(jù)每一個(gè)都加上0.3,則所有新數(shù)據(jù)的平均數(shù)變?yōu)?.7+0.3=5,故C正確；

因?yàn)?0x70%=7,所以這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為(5+6)+2=5.5,故D正確.

故選：ACD.

10.在443C中，角A、8、C所對(duì)的邊分別為。、b、c,且。=5,b=6,c=7,下面說(shuō)法正確的是

()

A.sinA:sinB:sinC=5:6:7

B.cosA:cosB:cosC=5:6:7

C.“BC是銳角三角形

D.AABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍

【答案】AC

【解析】

【分析】利用正弦定理可判斷A選項(xiàng)；利用余弦定理可判斷BC選項(xiàng)；利用二倍角的余弦公式可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,由正弦定理可得sinA:sin3:sinC=a:6:c=5:6:7,A對(duì)；

TTcU-,7krm―rZB.》_+—以-36+49—255

對(duì)于B,由余弦JE理可得cosA=----------=----------=一,

2bc2x6x77

222222

na+c-b25+49-3619「a+b-c25+36-491

lac2x5x7352ab2x5x65

所以，cosA:cosB:cosC5:6:7,B錯(cuò)；

對(duì)于C,因?yàn)椤?lt;6<c,則。為最大角，又因?yàn)閏osC=g〉0,則C為銳角，故AABC為銳角三角形，C

對(duì)；

對(duì)于D,由題意知，A為最小角，則cos2A=2COS?A-1=2x[9]-1=—^cosC,

⑴49

因?yàn)锳w［。,1｝則2Ae（O,兀），則C#2A,D錯(cuò).

故選：AC.

11.如圖，在四棱錐P—A3CD中，底面A3CD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PDJ_面A3CD,PD=2日

點(diǎn)￡是棱產(chǎn)3上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），尸是平面尸C。內(nèi)一點(diǎn)，則（）

P

A.一定不存在點(diǎn)￡,使AE//平面尸CD

B.一定不存在點(diǎn)￡,使平面ACE

兀

C.以〃為球心，半徑為2的球與四棱錐的側(cè)面24。的交線長(zhǎng)為一

3

D.|4目+忸8的最小值g

【答案】ACD

【解析】

【分析】建立坐標(biāo)系，利用空間向量判斷A,B,把APAB/PCB展開(kāi)到同一平面內(nèi)計(jì)算判斷D,求出球面

與APAD,*AB的交線，再借助對(duì)稱計(jì)算判斷C即可.

【詳解】對(duì)于A,在四棱錐P—A3CD中，PD上面A3CD,因?yàn)?。A,。。u面A3CD,

所以

因?yàn)榈酌姊?CD是正方形，所以ZM_LDC,

以。為原點(diǎn)，射線八4,。。,。尸分別為x，%z軸非負(fù)半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4（2,0,0）,3（2,2,0）,。（0,2,0）,。（0,0,2班卜

設(shè)麗=/I麗=2（2,2,—26）=（242尢一2&）,2e（0,1）,

AE=PE-PA=（2A,2A,-2732）-（2,0,-273）=（22-2,22,2/-2732）,

顯然面PCD的一個(gè)法向量為礪=（2,0,0）,而方川.南=44—4<0，

即場(chǎng)，而不垂直，所以屏與平面PCD不平行，故A正確；

對(duì)于B,又需=（—2,2,0）,而=（2,2,—26），

所以就?方=—4+4+0=0，即ACLP5，

若樂(lè).麗=42—4+4/1—2月（2石一2后）=202—16=0,則；l=：e（0,l）,

所以存在點(diǎn)E，使得AELQB,

又AEcAC=A,AE,ACu平面AC￡,所以尸3,平面ACE,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由題意球面與Rtz\B4D的交線如圖中圓弧〃，

兀71

而“=￡>/=ZM=2,NPAD=—,所以N/DJ=—,

36

TTTT

所以圓弧〃的弧長(zhǎng)為一x2=—,故C正確；

63

對(duì)于D,由于。D上面ABCD,ABu面ABCD,所以PDLAB,

而ABLAD,尸。尸。,AOu面B4。，所以AB上面PAD,

又？Au面PA。，所以

同理CB_LPD,且PA=PC=J12+4=4,

把△尸A3,APCB展開(kāi)到同一平面內(nèi)，要使|4q+忸司取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)R在PC上，且AFLPC,

如圖,

p.

因?yàn)锳3=2，所以由勾股定理得PB=J16+4=2，？,

所以sin/BB4=3="^,cosZBPA=j-g=2

A/55

而/BPA=NBPC,所以sinZAPF=sin2/BPA=2x——x----=—，

555

所以(|AE|+|跖IL=|AF|=|PA|-sinZAPF=4x|=y,故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及空間圖形中幾條線段和最小的問(wèn)題，把相關(guān)線段所在的平面圖形展開(kāi)并放在同

一平面內(nèi)，再利用兩點(diǎn)之間線段最短解決是關(guān)鍵.

12.已知函數(shù)/(x)=」——el(x>l),g(x)=———lnx(x>l)的零點(diǎn)分別為々，則下列結(jié)論正

X~1X~1

確的是()

111

A.%=In%B.一+——=1

x1x2

<

C.%!+x2>4D.e

【答案】ABC

【解析】

【分析】分析可知，函數(shù)y=告的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，利用圖象的對(duì)稱性可判斷A選項(xiàng)；由

叢:=]'=%2化簡(jiǎn)可判斷B選項(xiàng)；由基本不等式可判斷C選項(xiàng)；利用不等式的基本性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).

X,-1

詳解】對(duì)于函數(shù)丁=言，可得(X—l)y=x,可得x(y—l)=y,則x=

所以，函數(shù)y=/r的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

X—I

XX

由、—e'得

YY

由g(x)=------lnx=O(x>l),得lnx=----,

JC1X1

作出函數(shù)丫=二、y=lnx、y=*?的圖象如下圖所示:

X—1

由對(duì)稱性可知，點(diǎn)（石,爐）、（zjn%）關(guān)于直線y=兀對(duì)稱,

1

對(duì)于A選項(xiàng)，%[=In%2,x2=e',A對(duì)；

X,

對(duì)于B選項(xiàng)，由-----=ex1=x,可得的工2=玉，所以，石工2=々+為，

玉一]2

11X.+X,,

故一+—==----=1,B對(duì);

X]x2X1%2

對(duì)于C選項(xiàng)，若%=X2〉1，由=%+西可得X：=2%,則占=%2=2,

這與=%即e?=2矛盾，所以，斗片々，

(11)

-----1------=2+2+土=4,C對(duì);

I為X2yx2%

X1

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?>1,x2=e>e,由不等式的基本性質(zhì)可得X1X2>e,D錯(cuò).

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵分析出函數(shù)，=后的圖象關(guān)于直線丁=%對(duì)稱，以及同底數(shù)的指數(shù)函

數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的對(duì)稱性來(lái)得出等量關(guān)系，再利用不等式的基本性質(zhì)求解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.過(guò)P（l,6+1）、Q（3,36+1）兩點(diǎn)的直線的斜率為.

【答案】6

【解析】

【分析】利用兩點(diǎn)間的斜率公式可得出直線PQ的斜率.

【詳解】由已知可得kpQ=（3用1）-（百+1）=也.

故答案為：5

14.在直三棱柱A3C-4與￡中，AB=2，AC=2?，BC=4,A&=8,則該直三棱柱的外接球的

表面積為.

【答案】8071

【解析】

【分析】將直三棱柱ABC-A3cl補(bǔ)成長(zhǎng)方體ABDC-求出該直三棱柱的外接球的直徑，利

用球體的表面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)锳B=2，AC=273-BC=4,則A5?+AC?=臺(tái)。2,則他工人。，

將直三棱柱ABC-431G補(bǔ)成長(zhǎng)方體MDC-44AG，如下圖所示:

所以，直三棱柱ABC-45c的外接球直徑為2R=ylAB2+AC2+AA^=,4+12+64=475,

因此，該直三棱柱的外接球的表面積為4兀爐=兀、（2火）2=80兀.

故答案為：8071.

15.已知函數(shù)/（￡）=5苗1。%+野+5吊。_雙?！?）在［0,可上的值域?yàn)楹?，、回，則實(shí)數(shù)口的取值范圍

是.

「12一

【答案】

【解析】

【分析】先把函數(shù)化成/（x）=Asin（的+。）的形式，再根據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間上的值域求。的取值范圍.

.7171

【詳解】因?yàn)?（x）=sina)x+-]+smcDx=sinoxcos—+coscoxsm—+sincox

333

=sin①定+co如%-6sin

22

71717c

又0<X<?！?lt;COXH---<CDTl~\-----.

666

因?yàn)?^</1(x)<5/3=>—^sinf<yx+—^<1^>—<atn+—<—=>—<o<—.

2—J')2I6j26633

故答案為:

16.已知雙曲線C：三―方=1（。〉0］〉0）右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)分別為4凡過(guò)點(diǎn)/的直線/與C的一條

漸近線交于點(diǎn)?，直線即與C的一個(gè)交點(diǎn)為。，OA-（OP+OF）OA+OPOF=0,且爐=5彷，

則，的離心率為.

［答案］4+痘

5

【解析】

【分析】先根據(jù)條件：OA-［OP+OF）OA+OPOF=0,可確定尸點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)條件：QP=5FP

可確定。點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)Q在雙曲線上可求出雙曲線的離心率.

【詳解】如圖:

因?yàn)锳(a,0),F(c,0),設(shè)

由

OA-^OP+OpyOA+OPOF=0=>OP\OF-OA^=a(c-a)=>fx0,^-x0Vc-a)-a(c-a)

所以：(c-a)/=a(c-a)n/=a.

所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(。力).，所以。軸.

過(guò)P作x軸的垂線，過(guò)。作24軸的垂線，相交于E點(diǎn).

則△QAF~APEQ,又@戶=5而，所以(a-x°力一%)=5(?-。/)，可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(5c—4a,-4Z?),

因?yàn)镼在雙曲線C上，所以(5c-甸_(kāi)I。)==25e2-40e-l=0=>e=包2^或6="一歷

a2b255

(舍去).

故答案為4+g.

5

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率，常見(jiàn)的方法有兩種：

(1)求出。，c,利用e=￡求出離心率；

a

(2)根據(jù)條件得到關(guān)于。，b,C齊次式，結(jié)合6=儲(chǔ)一°2和0=二，解方程可得e的值.

a

四、解答題：本題共6小題，第17題10分，第18-22題每題12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明

過(guò)程或演算步驟.

17.設(shè)函數(shù)/(X)=sinx-cosx(xeR).

(1)求函數(shù)y=+的最小正周期；

JT

(2)求函數(shù)y=/(x)在0,-上的最大值.

【答案】(1)2兀

(2)1

【解析】

【分析】(1)化簡(jiǎn)函數(shù)/(%)的解析式，可得出函數(shù)y=+的解析式，利用正弦型函數(shù)的周期公式

(兀、

可求得函數(shù)y=/元+^的最小正周期；

k2J

(2)由0<x<］求出x-：的取值范圍，再利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)/(x)在上的最大

值.

【小問(wèn)1詳解】

兀

解：因?yàn)?(%)=sinx-cosx=V2sin%--

則小+今71兀

二拒sinX+-2Sisinx+-,

44

（兀、

故函數(shù)y=/x+彳的最小正周期為2兀.

V2）

小問(wèn)2詳解】

7T兀,兀/兀

解：當(dāng)0<x（一時(shí),——<x——<—,

2444

所以，函數(shù)〃無(wú)）在0,.上單調(diào)遞增，故/（x）max=/0sin烏=1.

4

18.如圖，在中，已知A3=2，AC=4,ZBAC=60°,M,N分別為AC,3C上的兩點(diǎn)

AN=-AC,BM=\BC,AM，5N相交于點(diǎn)P.

23

A

(1)求|而|的值;

(2)求證：AM1PN.

【答案】（1）拽

3

（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）用荏、氐心表示謝，再根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計(jì)算可得;

（2）用血、衣表示㈤彳、兩，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出夜.麗，即可得證.

【小問(wèn)1詳解】

,t—?1—?

因?yàn)?M=§3C，

所以麗=池+麗=通+:配=通+已固—砌=:荏+3恁,

\4->24—>—>1—2441116

=—AB+—AB-AC+—AC=—x4+—x2x4x—+—xl6=一

I*99999293

所以|加卜手；

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)辂?,正，

2

所以麗=麗+麗=_荏+工/，

2

所以加.麗=1|福+：菽)[—荏+<*)=_[通2=_|X4+[X]6=0,

所以國(guó)7,前，即4WL5N,所以AMLPN.

19.樹(shù)人中學(xué)從參加普法知識(shí)競(jìng)賽的1000同學(xué)中，隨機(jī)抽取60名同學(xué)將其成績(jī)(百分制，均為整數(shù))分

成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六組后得到部分頻率分布直方圖(如圖)，觀察圖

形中的信息，回答下列問(wèn)題:

頻率

0.035-

0.030

(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖，并估計(jì)本次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù);

(2)如果確定不低于88分的同學(xué)進(jìn)入復(fù)賽，問(wèn)這1000名參賽同學(xué)中估計(jì)有多少人進(jìn)入復(fù)賽;

(3)若從第一組，第二組和第六組三組學(xué)生中分層抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，求所抽取的2

人成績(jī)之差的絕對(duì)值小于25的概率.

【答案】(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖見(jiàn)解析；估計(jì)眾數(shù)為75.

(2)100

⑶工

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中各矩形的面積之和為1,求出[70,80)組的頻率，可補(bǔ)全頻率分布直方

圖，由此估計(jì)本次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)；

(2)由頻率分布直方圖求出成績(jī)不低于88的頻率，由此估計(jì)進(jìn)入復(fù)賽的人數(shù)；

(3)根據(jù)分層抽樣求出各組抽取的人數(shù)，再用古典概型求出所抽取的2人成績(jī)之差的絕對(duì)值小于25個(gè)概

率.

【小問(wèn)1詳解】

[70,80）組的頻率為：1—（001+0.015+0.015+0.025+0.005）xl0=0.3.

所以補(bǔ)全頻率分布直方圖為：

頻率

0.035-

0.030--------------------------

0.025-------------------------------

0.020-

0.015-----------I■—―

0.010----------

0.005------------------------------------

405060708090100^數(shù)

因?yàn)閇70,80）組對(duì)應(yīng)的小矩形最高，

所以估計(jì)本次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為出義=75.

2

【小問(wèn)2詳解】

由頻率分布直方圖得分?jǐn)?shù)不低于88分的頻率為：

90-88

------x0.025X10+0.005x10=0.1.

10

所以這1000名參賽同學(xué)中估計(jì)進(jìn)入復(fù)賽的人數(shù)為：1000x0.1=100.

【小問(wèn)3詳解】

從第一組，第二組和第六組三組同學(xué)中分層抽取6人，

因?yàn)榈谝弧⒍?、六組的頻率之比為2:3:1,

231

所以第一組抽取6x—=2人，第二組抽取6x—=3人，第六組抽取6x—=1人.

666

設(shè)這6人分別為：％,生，偽力2力3，。，從這6人中任選2人的抽法有：

a1a2,,。也，口也，4。，a2bl,a2b2,a2b3,a2c,bQ2,,bxc,b2b3,b2c,b3c

基本事件總數(shù)"=15,

所抽取的2人成績(jī)之差的絕對(duì)值小于25包含的基本事件有：

a

，i^i，。也2，。也，a2bl,a2b2,a2b3,1）也,6也,b力?,

基本事件個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)加=10.

m102

所以所抽取的2人成績(jī)之差的絕對(duì)值小于25的概率為「=—='=—.

n153

20.如圖，在多面體A3CDEF中，四邊形A3CD是邊長(zhǎng)為2的正方形，EF//AD,AE=2EF=2,

/FAD=120°-平面ADEE，平面ABCD.

（1）求證：BDLCF-,

（2）求平面ABE與平面5DF所成銳角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵回

4

【解析】

【分析】（1）連接AC、AF>推導(dǎo)出AFLAD，利用面面垂直的性質(zhì)可得出AB工平面ADEE，可得出

AF±AB,推導(dǎo)出平面A3CD,可得出利用正方形的性質(zhì)可得出3。J_AC,可得出

1平面ACF,再利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；

（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.AD.”所在直線分別為尤、,、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間

向量法可求得平面ABE與平面BDF所成銳角的余弦值.

【小問(wèn)1詳解】

證明：連接AC、AF>

因?yàn)樗倪呅蜛3CD為正方形，則3。，AC,AB±AD,

因?yàn)槭疐=l，AE=2,ZEAD=120°-EF//AD,則NAE尸=60°，

由余弦定理可得AF~=EF~+AE2-2AE-EFcos600=l+4-2xlx2x-=3,

2

所以，AF2+EF2=AE->則AF_LEF，則AF_LAD,

因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC。，平面AD廠EPI平面ABCD=AD，ABLAD,

ABu平面ABC。，則AB工平面ADEE，

因?yàn)锳Pu平面ADFE，則AFLAB，

因?yàn)锳3cAD=A,AB、ADu平面ABC。，則AF,平面ABC。，

因?yàn)?Du平面ABCD，則

因?yàn)锳FnAC=A,AF>ACU平面ACF,則皮）上平面ACF,

因?yàn)镃￥u平面ACF,則BDLCF.

【小問(wèn)2詳解】

解：因?yàn)槠矫鍭3CD,ABrAD,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),

AB，AD.■所在直線分別為x、>、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4（0,0,0）、5（2，。，。）、0（。，2,0）、F（0,0,73）,E（0,-1,⑹,

設(shè)平面ABE的法向量為克=（4口，4）,AB=（2,0,0）,AE=（0,-1,6）,

m?AB=2/=0

則取Z1=l,可得歷=（o,百,11

m-AE=-y1+A/3ZJ=0

設(shè)平面5DF的法向量為。=（X2，％，Z2），麗=（2,—2,0）,DF=（0,-2,V3）,

n-DB=2X—2y2=0

則2取%=A/3,可得為=（6,退,2卜

n-DF--2y2+A/3Z2=0

m-n_5_V10

所以COS身，元二

網(wǎng)同一2加一4

因此平面ABE與平面BDF所成銳角的余弦值為

4

21.如圖，在圓Y+y2=4上任取一點(diǎn)「，過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線段PQ,。為垂足，且滿足

\PD\=42\MD\.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M的軌跡為Q.

（'1）求曲線Q的方程;

（2）點(diǎn)A（2,0）,過(guò)點(diǎn)A作斜率為左伏。0）的直線/交曲線Q于點(diǎn)B,交V軸于點(diǎn)C.已知G為A3的中

點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)Q,對(duì)于任意左（左。0）都有。G_LCQ,若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

22

【答案】(1)L+匕=1

42

（2）存在，Q（l,0）

【解析】

X—X

【分析】（1）設(shè)點(diǎn)尸（％，%）、則。（毛,0）,根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出1°一廠，代

、y°=、2y

入等式君+$=4化簡(jiǎn)可得出曲線Q的方程；

（2）記根=,。0,則直線/的方程可化為無(wú)=e+2,將該直線方程與曲線Q的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)B的

k

坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，求出左OG及點(diǎn)c的坐標(biāo)，根據(jù)CQLOG可求出直線CQ的方程，即可得出直

線CQ所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，即為所求的點(diǎn)Q.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)點(diǎn)尸（~,%）、M（x,y）,則。（％,0）,

因?yàn)樗远?拒標(biāo),

fV2(x-%)=0

0XQ=X

則（0,—%）=夜（九0-蒼_耳，則,所以《

[-%=-yj2y%=岳

22

因?yàn)辄c(diǎn)尸在圓—+y2=4,則焉+y；=4,所以/+2/=4,整理可得上+匕=1,

"42

22

因此曲線。的方程為匕+匕=1.

42

【小問(wèn)2詳解】

存在定點(diǎn)。(1,0)滿足題意，理由如下:

記根=工。0,則直線/的方程為%=my+2,

k

x=my+2

聯(lián)立<d+2y2=4,得2+2)y2+4磔=0,

"0

解得膽一怒’則行一關(guān);c4-2m2

+2=———

m2+2

42m

，則左OG=—5

m2+2m2+2

I2

因?yàn)?。G_LCQ,則自°=一7一=一

化OGm

2即點(diǎn)c(o,----

在直線%=“y+2中，令％=0,可得y=——

m\m

2?2

所以直線的方程為了=一九——=—(尤—1)

mmm

所以存在定點(diǎn)Q(l,o),使得CQLOG.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下:

(1)”特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明;

(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程,

再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn);

(3)求證直線過(guò)定點(diǎn)(％,%)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程y-y0=k(x-xQ)或截距式y(tǒng)=履+6來(lái)證明.

22.已知函數(shù)和g(x)的定義域分別為"和。2，若對(duì)任意「eR,恰好存在“個(gè)不同的實(shí)數(shù)

xl,x2---,xneD2,使得8(%)=/(%)(其中，=1,2,…，凡〃eN*),則稱g(x)為〃x)的“"重覆蓋函

數(shù)”.

(1)判斷g(x)=V—2x+l,(xe[0,4])是否為/(x)=x+4(xe[0,5])的“〃重覆蓋函數(shù)”，如果是，

求出〃的值；如果不是，說(shuō)明理由.

(2)若g(x)=]依+(2a—3)x+l,―/(x)=lOg2^-t^)的“2重覆蓋函數(shù)”，求實(shí)數(shù)4的

、,[x-l,x>l」')622X+1

取值范圍；

(3)函數(shù)國(guó)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，[1.2]=1,[2]=2,[-1.2]=-2.若秋工)=◎—[時(shí),4?0,2)為

/"(x)=F^,xe[O,+e)的“2023重覆蓋函數(shù)”請(qǐng)直接寫出正實(shí)數(shù)。的取值范圍(無(wú)需解答過(guò)程).

【答案】(1)n=l

(2)|a<-|j

、<404520231

(3)—

I4