2025年高考數學復習難題速遞之常用邏輯用語(2025年4月)

選擇題(共8小題)

1.(2025?江西模擬)已知命題p：VxGR,2工>/,命題q：Bx,yeR,x+y<2啊,則()

A.p和q都是真命題B.-'p和q都是真命題

C.p和「q都是真命題D.「p和「q都是真命題

2.(2024秋?仁壽縣校級期末)設xCR,則“xel”是“%2-尤20”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

3.(2023秋?袁州區(qū)校級期末)己知命題p：VxG[l,2],都有/日1,4],則「p為()

A.V.rg[l,2],都有/任口，4]

B.3xg[L2],使得4]

C.Vx￡[l,2],都有/e(-8,1)u(4,+8)

D.3xe[l,2],使得/e(-8,1)u(4,+8)

4.(2024?寧波模擬)己知％是公比不為1的等比數列｛金｝的前〃項和，則”S2,S6,S3成等差數列”是

“存在不相等的正整數租，n,使得anm,即成等差數列”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

1

5.(2024秋?鎮(zhèn)康縣校級月考)命題“VxeR,使得2%2+似-1)%+*>0"成立的一個充分不必要條件可

以是()

A.(0,1)B.(-3,+8)C.(-1,3)D.(-3,1)

6.(2024秋?浦東新區(qū)期末)設函數y=P(x),y=G(x)的定義域均為R,值域分別為A、B,且ACB

=0.若集合S滿足以下兩個條件：

(1)AU8US；

(2)Cs(AUB)是有限集，

則稱>=尸(%)和y=G(x)是S-互補函數.給出以下兩個命題:

①存在函數y=f(x),使得y=2/%"和y=log2f(無)是［0,16］-互補函數；

②存在函數y=g(x),使得y=sing(尤)和y=tang(x)是［0,+°°)-互補函數.

則()

A.①②都是真命題

B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題

D.①②都是假命題

7.(2024秋?梅里斯區(qū)校級期中)定義在R上且都不恒為零的函數y=/(x)與y=g(x)進行下列運算,

正確的是()

A.若y=/(x),y=g(x)均為奇函數，則>=/(g(x))為奇函數

B.若y=/(x),y=g(x)單調性相同，則y=/(xAg(x)為增函數

C.若/(g(尤))—f(g(~x)),則g(x)—g(-x)

c-/(一(血))-/(。(>2))、八而。。1)-9(尢2)

D.右.U,火！J

Xr-X2%i-%2

8.(2024秋?進賢縣校級期中)命題p"3x6(0,+8),/-120"，則它的否定「p是()

A.aBxe(0,+8),B.aBxe(0,+8),7-1W0”

c.“Vxe(0,+8),D.“Vxe(0,+8),/-120”

二.多選題(共4小題)

(多選)9.(2025春?廣安區(qū)校級月考)下列說法正確的是()

A.若｛斯｝為等差數列，曲為其前"項和，則St,S2k-Sk,S3k-S2k,…仍為等差數列(在N*)

B.若｛斯｝為等比數列，％為其前W項和，則SbS2k-Sk,S3k-S2k,…仍為等比數列(任N*)

C.若｛斯｝為等差數列，>0,d<0,則前"項和，有最大值

111

D.右數列｛斯｝滿足a九+i=謚—5czn+9,a1=4,則++,,,+VI

a1—2a2—2an—2

(多選)10.(2024秋?安慶期末)已知函數/(x)=/gsinx,貝lj()

A.函數/(x)是周期函數，最小正周期為2TC

B.函數/(%)是奇函數

C.函數/(%)有最大值，無最小值

D.函數/(%)在(2/CTT,2/CTT+今eZ)上單調遞增

（多選）11.（2024秋?鄢陵縣期末）已知x,yGR,4?+6盯+9/=3,貝！J（）

A.\/x,yER,-2V3<4%+3y<2V3

B.3x,yGR,4%+3yW-3

C.Xfx,yER,1W4/+9/-6盯W8

D.3x,yER,4/+9/-6盯21

(多選)12.(2024秋?淮安期末)已知函數/(%)=sinxV2—cos?x,下列說法正確的有()

A.函數y=/(x)為奇函數

B.函數y=/(x)的周期為h

C.函數y=/(x)在區(qū)間[―芻，身上為增函數

D.當尤e(0,+8)時，函數了=/(無)的圖象恒在直線丫=魚X的下方

三.填空題(共4小題)

13.(2024秋?海淀區(qū)校級期末)已知函數/(x)的定義域為R,下列命題中

①若VxCR,f(x+1)>/(無)，則函數/(x)在R上單調遞增；

②若Vxi,X26R,(xi)+f(X2)|^|siRri+sinx2|,則函數了(無)是奇函數；

③若Wxi,X26R,[/(XI)(X2)閆sinu-sirml，則函數/(尤)是周期函數；

④若V%i，久26(—.且為#孫-/(X2)|<|sinri-sinx2|>則函數/(x)+sinx在(-今,今上

單調遞增，函數/(無)-sinx在(-機當上單調遞減.

所有正確命題的序號是.

14.(2024春?房山區(qū)校級期中)高斯是德國著名數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”稱號,

他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設xCR,用印表示不

超過x的最大整數，則y=[x]稱為高斯函數，例如[-2.1]=-3,[2.1]=2.已知函數/(x)=sin|x|+|sin_x|,

函數g(x)=[/(%)],則下列命題正確的是.

①函數g(x)是周期函數；

②函數g(x)的值域是｛0,1,2)；

③函數g(x)的圖象關于x=*對稱；

71

④方程y-g(x)=x只有一個實數根.

15.(2024秋?嘉定區(qū)校級期中)如圖，正方體ABC。-481C1D1則下列四個命題：

①點尸在直線3。上運動，三棱錐A-O1PC的體積不變；

②點P在直線BC1上運動，直線AP與平面ACDi所成角的大小不變；

③點P在直線BCi上運動，二面角P-AD1-C的大小不變；

④點P是平面ABCD上到點D和Ci距離相等的動點，則P的軌跡是過點B的一條直線.

其中的真命題是.(請在橫線上填上正確命題的序號)

16.(2024秋?廣州校級期中)已知命題“VxCR,4/+(a-2)%+1〉0”是假命題，則實數a的取值范

圍為.

四.解答題(共4小題)

17.(2024秋?青浦區(qū)期末)已知p；0,q：x2-2x+l-m2^0(m>0),且p是q的必要不充分條

件.求實數優(yōu)的取值范圍.

18.(2025?仁壽縣模擬)已知“6R,命題p：VAG[-1,2],不等式機？--2x-1恒成立；命題“：

3xoGRr尤()2+4〃a0+1<0成立.

(1)若"為真命題，求實數機的取值范圍；

(2)若命題p、q有且只有一個是真命題，求實數機的取值范圍.

19.(2024秋?寧波期末)設全集U=R,集合A={x|lWxW4},集合8={x|a+2WxWa+10},其中a€R.

(1)若AC8=0,求a的取值范圍；

(2)若“x&l”是“x&B”的充分條件，求a的取值范圍.

20.(2024秋?玉溪校級期末)已知集合4={加區(qū)2廠<4},集合B={x|log3(2x+l)<2}.

1

(1)當a=2，求(CRA)ns；

(2)已知"x&T是“尤68”的充分不必要條件，求a的取值范圍.

2025年高考數學復習難題速遞之常用邏輯用語（2025年4月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

題號12345678

答案BADAAAAC

二.多選題（共4小題）

題號9101112

答案ACDACDADACD

一.選擇題（共8小題）

1.（2025?江西模擬）己知命題p：VxGR,2x>x2,命題q：3x,yeR,x+y<2^[xy,則（）

A.p和q都是真命題B.-'p和q都是真命題

C.p和「q都是真命題D.「p和都是真命題

【考點】復合命題及其真假.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；不等式的解法及應用；簡易邏輯；邏輯思維；運算求解.

【答案】B

【分析】直接利用不等式的性質和賦值法判斷命題的真假.

【解答】解：命題P：VxeR,2工>/,當尤=-1時，2工>/顯然不成立，所以P是假命題，是真命

題.

命題4：3x,yGR,x+y<2y/xy,當尤=y=-1時，K+顯然成立，所以q是真命題，

「q是假命題.

故選：B.

【點評】本題考查的知識點：不等式的性質，賦值法，命題真假的判定，主要考查學生的運算能力，屬

于中檔題.

2.（2024秋?仁壽縣校級期末）設尤6R,則“尤21”是“，-后0”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點】充分條件與必要條件.

【專題】整體思想；綜合法；不等式；運算求解.

【答案】A

【分析】根據一元二次不等式的解法解x2-x20,結合充分條件和必要條件的定義即可求解.

【解答】解：由/-x20,可得龍21或xWO,

二“G1”是“，-尤川”的充分不必要條件，

故選：A.

【點評】本題考查了不等式，簡易邏輯，學生的數學運算能力，屬于基礎題.

3.(2023秋?袁州區(qū)校級期末)已知命題p：VxG[l,2],都有/日1,4],則1°為()

A.Vxg[l,2],都有/至口,4]

B.3xg[l,2],使得/土1,4]

C.V.re[l,2],都有fe(-8,1)u(4,+8)

D.2x￡[l,2],使得/e(-8,i)u(4,+8)

【考點】全稱量詞命題的否定；全稱量詞和全稱量詞命題.

【專題】轉化思想；轉化法；簡易邏輯；運算求解.

【答案】D

【分析】根據全稱命題的否定判斷即可.

【解答】解：命題pVxG[l,2],都有7日1,4],所以Y為八日1,2],使得/€(-8,1)u(4,

+8).

故選：D.

【點評】本題主要考查特稱命題的否定，屬于基礎題.

4.(2024?寧波模擬)已知S是公比不為1的等比數列｛斯｝的前"項和，則"S2,S6,S3成等差數列”是

“存在不相等的正整數相，n,使得麗，amn,初成等差數列”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點】充分條件與必要條件；等差數列的性質；等比數列的性質；等差數列與等比數列的綜合.

【專題】整體思想；綜合法；等差數列與等比數列；簡易邏輯；運算求解.

【答案】A

【分析】由已知結合等比數列的求和公式，等差數列的性質分別檢驗充分必要性即可判斷.

【解答】解：對于公比不為1的等比數列｛珈｝,

.。e0rf■生*物司CC2fli(l-q6)CliCl-q2)difl-q3)

右S2,S6,S3成等差數列，則2S6=S2+S3,H即---------=---------+---------,

1-q1-q1-q

整理得/(2/-q-1)=0,結合qWO得2/-鄉(xiāng)-1=0,

若存在不相等的正整數出n,使得即，amn,即成等差數列，貝U根+〃〃，

不妨設施>〃，則2嚴""=丁廠〃+1,即為""廠11=0,

所以]=0,

當力(機-1)=4,加-w=l時，772=3,n=2,

所以S2,S6,S3成等差數列時，存在不相等的正整數根=3,〃=2,使得加，amn,即成等差數列，

但所，amn,。"成等差數列時，1=0成立，但2q4-4-1=0不一定成立，

故"S2,S6,S3成等差數列”是“存在不相等的正整數m,“，使得am,amn,即成等差數列”的充分

不必要條件.

故選：A.

【點評】本題以充分必要條件為載體，主要考查了等比數列的求和公式，等差數列的性質的應用，屬于

中檔題.

5.(2024秋?鎮(zhèn)康縣校級月考)命題“VxCR,使得2/+9-1)久+義〉0”成立的一個充分不必要條件可

以是()

A.(0,1)B.(-3,+8)C.(-1,3)D.(-3,1)

【考點】充分不必要條件的判斷.

【專題】整體思想；綜合法；函數的性質及應用；簡易邏輯；運算求解.

【答案】A

【分析】先將命題轉化為二次函數在R上恒成立問題，然后求出a的范圍，最后利用集合法得出答案.

11

【解答】解：VxGR,使得2M+(a-l)x+2>0,等價于2M+(a-1)%+-〉0在R上恒成立，

1

故/=(a-1)2-4x2x*V0,解得-l<a<3,

要想是命題“VxeR,使得2/+m-1)K+*〉0”成立的一個充分不必要條件，

只需要滿足為(-1,3)的子集即可，選項A滿足題意.

故選：A.

【點評】本題主要考查了全稱量詞命題的真假關系的應用，還考查了充分必要條件的判斷,屬于基礎題.

6.(2024秋?浦東新區(qū)期末)設函數y=F(無)，y=G(x)的定義域均為R,值域分別為A、B,且AC8

=0.若集合S滿足以下兩個條件：

(1)AUBCS；

(2)Cs(AUB)是有限集，

則稱(x)和y=G(無)是S-互補函數.給出以下兩個命題：

①存在函數>=/(尤)，使得〉=2人》和y=k>g球(無)是[0,16]-互補函數；

②存在函數y=g(x),使得y=sing(無)和>=12118(x)是[0,+°°)-互補函數.

則()

A.①②都是真命題

B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題

D.①②都是假命題

【考點】命題的真假判斷與應用.

【專題】新定義；集合思想；構造法；集合；邏輯思維；數學建模；新定義類.

【答案】A

【分析】命題①只需選擇函數/G)的值域為(1,4)或(1,4]或[1,4)即可，命題②需根據tawv和

siiu的值域逐步取值，從而找到合乎條件的g(x).

【解答】解：對于命題①：不妨取f0)=4-4.定義域為R,易得值域為[1,4),

所以y=2^x>的值域A=[2,16),y=log2/(x)的值域B=[0,2),當$=[0,16]時，

容易驗證AC8=0,AU8US,且Cs(AUB)={16}為有限集，故命題①正確；

7171

對于命題②：構造函數g(尤)，其定義域為R,值域為CUu+8n=1口”其中c=[,

、、、1111

Di=[a〃，即)，滿足a〃邛〃均為銳角且汝九仇九二:2幾+]'tan6n=y2—,故s譏a九=-^====,sin/3n=-j====f

!U!jy=sing(x)的值域A=AoUu+8=IA〃，其中Ao=[孝，1),A=[^^

rln2+2/2n+l^

y=tang(x)的值域為5=3oUu+°°九=13”,其中瓦=3+8),%=[號存，卷)'

取5=[0,+8),則An5=0,AUBCS,Cs(AUB)={0}為有限集，故命題②正確.

故選：A.

【點評】本題是關于集合與函數的新定義問題，關鍵在于根據需要逐步構造出合適的函數，屬于難題.

7.(2024秋?梅里斯區(qū)校級期中)定義在R上且都不恒為零的函數y=/(x)與y=g(x)進行下列運算,

正確的是()

A.若y=/(x),y=g(x)均為奇函數，則y=/(g(x))為奇函數

B.若y=f(x),y=g(x)單調性相同，則y=/(x),g(x)為增函數

C.若/(g(尤))—f(g(-尤))，則g(x)—g(-x)

c右f(g(%i))-f(g(久2))、八』

D.右則

Xi-%2Xr-X2

【考點】命題的真假判斷與應用；定義法求解函數的單調性；奇函數偶函數的判斷.

【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；函數的性質及應用；運算求解.

【答案】A

【分析】根據題意，由奇函數的定義分析A，舉出反例可得2、C、。錯誤，綜合可得答案.

【解答】解：根據題意，依次分析選項:

對于A,若y=/(x),y=g(x)均為奇函數，貝Ug(-無)=-g(x),

則/(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x)),則函數y=/(g(尤))為奇函數，A正確;

對于8,設/(x)=x,g(x)=3x,在R上都是增函數，則/(xAg(x)=3?,在R上不具有單調性，

2錯誤；

對于C,設/(無)=7,g(x)=3x,滿足/'(g(x))=/(g(-x)),但g(無)=g(-x)不成立，C

錯誤；

對于D,設/(x)—-x3,g(無)=-2x,f(g(尤))=-(-2無)3=8彳3,

c//、、**rV田口f(g(xi))—f(g/、uiL出(久i)—g(^2)

f(g(x))在R上遞增1t，滿足----------------->0,但/rig(x)為減函數，胸足------------<0,D

久1一%2久］一久2

錯誤.

故選：A.

【點評】本題考查命題真假的判斷，涉及函數的奇偶性和單調性，屬于中檔題.

8.(2024秋?進賢縣校級期中)命題曲"3x￡(0,+8),/-120”，則它的否定「p是()

A."3x6(0,+8),X2-KO"B.u3x￡(0,+°°),x2-1W0”

C.“v無e(0,+8),7-1<0"D."Vxe(0,+8),d-12?！?/p>

【考點】求存在量詞命題的否定.

【專題】轉化思想；轉化法；簡易邏輯；運算求解.

【答案】c

【分析】存在改任意，將結論取反，即可求解.

【解答】解：p-(0,+8),--1解0”,則它的否定一>是："vxe(0,+°°),%2-1<0),.

故選：C.

【點評】本題主要考查存在量詞命題的否定，屬于基礎題.

多選題(共4小題)

(多選)9.(2025春?廣安區(qū)校級月考)下列說法正確的是()

A.若｛板｝為等差數列，S"為其前〃項和，則叫S2k-Sk,S3k-S2k,…仍為等差數列aeN*)

B.若｛斯｝為等比數列，S"為其前”項和，則8,S2k-Sk,S3k-S2k,…仍為等比數列(住N*)

C.若｛?。秊榈炔顢盗校珿1>O,d<0,則前"項和8有最大值

111

D.右數列｛〃〃｝￥兩足a九+i=謚-5a九+9,a1=4,則++,,,+VI

a1—2a2—2an—2

【考點】命題的真假判斷與應用；等差數列的前n項和；等比數列的性質.

【專題】轉化思想；轉化法；等差數列與等比數列；點列、遞歸數列與數學歸納法；邏輯思維；運算求

解.

【答案】ACD

【分析】根據等差數列的定義，可判定A正確；當夕=-時，取左=2,得到52=0,可判定B錯

111

誤；根據等差數列的性質，可判定C正確；化簡得到一；=--------------利用裂項法，可判

口九一2Ctn-3an+1-3

定D正確.

【解答】解：對于A中，設數列｛礪｝的公差為d,

因為Sk=ai+?2+?3+,?,+ab

S2k-或+1+以+2+或+3+…+。2匕

S3k-S2%=〃2左+1+Q2左+2+。2k+3+一?+。3左，

可得：(Szk-Sk)-Sk=(S3女-S2Q-QS2k-Sk)=,,?=后d(ZEN*),

所以Sk,Slk~SkfS3k~S2kf…仍為等差數列(依N*),故A正確；

對于B中，設數列｛劭｝的公比q(qNO),

當9=-1時，取左=2,此時S2=ai+〃2=o,此時不成等比數列，故B錯誤;

對于C中，當m>0,dVO時，等差數列為遞減數列，

此時所有正數項的和為品的最大值，故C正確；

對于。中，由a九+i=W-5an+9,%=4,可得a九+1-3=嫌—5ctn+6=(dn-2)(cin—3),

所以Cln72或

1111

所以?

3(an-2)(an-3)的1-3(1九一2

111

所以，——,

a九一2ctn—3an+1—3

111

所以-?----+------+…+-----

ct]—2g—2Q九一2

111111

(Z]_3a?_3+a?_3Q3_3++ctfi—3Q?i+]—3

11

——=1--------——

?3冊+1-3

因為。1=4,所以％i+i=ci^i—5cin+可得：

所以故「正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查等差數列、等比數列及其前〃項和，考查學生的邏輯思維能力和計算能力，屬中檔題.

(多選)10.(2024秋?安慶期末)已知函數/(x)=lgsinx,則()

A.函數/(x)是周期函數，最小正周期為如

B.函數/(%)是奇函數

C.函數/(%)有最大值，無最小值

D.函數/(x)在(2/CTT,2/CTT+今(々EZ)上單調遞增

【考點】命題的真假判斷與應用；復合函數的單調性；三角函數的最值.

【專題】轉化思想；綜合法；簡易邏輯；運算求解.

【答案】ACD

【分析】對于函數f(x)=/gsinx,需要根據對數函數的定義域、三角函數的周期性、奇偶性、單調性

以及最值等性質來逐一分析每個選項.

【解答】解：對于A,因為sinx>0.

所以2加VxV(24+1)11,蛇Z.

因為y=sinx的最小正周期是2m所以/(%)是周期函數，最小正周期為2mA選項正確.

對于5,函數/(%)=/gsiiix的定義域為(2加，(2Z+1)11),蛇Z,定義域不關于原點對稱.

根據奇函數的定義，對于函數y=/(x),如果對于定義域內的任意x,都有/(-%)=-/(元)，

且定義域關于原點對稱，而/(%)定義域不關于原點對稱，所以/(x)不是奇函數，5選項錯誤.

對于C,因為0<K=sinxWl,當作(2E,(2H1)n),依Z時.

而〉=值〃在(0,1］上單調遞增，當sinx=l時，f⑺取得最大值/gl=0,無最小值，。選項正確.

對于￡),令/=sinx,y=lgt.y=/g/在(0,+°°)上單調遞增.

/=sinx在(2/C7T,2kn+今(keZ)上單調遞增，且siar>0在此區(qū)間成立.

所以函數/(x)=/gsinx在2/CTT+GZ)上單調遞增，。選項正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查命題真假的判斷，屬中檔題.

(多選)11.(2024秋?鄢陵縣期末)已知％,yGR,4^+6盯+9/=3,貝!j()

A.Yx,yGR,-2v5<4%+3y<2v5

B.3x,yER,4x+3yW-3

C.Vx,yER，1W4?+9y2-6孫<8

D.3x,y￡R,4/+9y2-6盯21

【考點】全稱量詞命題真假的應用；存在量詞命題真假的應用.

【專題】轉化思想；綜合法；不等式的解法及應用；簡易邏輯；運算求解.

【答案】AD

-1*771

【分析】對于AB,4%2+6xy+9y2=^(4%+3y)2+~^y2=3,則］(4x+3y)2<3,從而可求出4x+3y

的范圍進行判斷，對于C,利用2(2x+3y)220化簡變形結合已知條件可判斷，對于D,利用2(2x

-3y)220,化簡變形結合已知條件可判斷.

-1DI1

【解答】解：對于A8,因為4/+6xy+9y2=］(4x+3y)2+彳丫2=3,所以工(4x+3y)?W3,當

且僅當y=0時取等號，所以(4x+3y)2^12,所以一2gW4x+3yW2百，所以A正確，B錯誤；

對于C,因為2(2x+3y/'0,所以2(4?+12xy+9j2)20,當且僅當2x=-3y時取等號，所以8?+24xy+18y2

》0,所以12x2+18孫+27/24/-6盯+9/,所以3(4/+6盯+9y2)-6孫+9y2,所以4x2-6盯+9/

W9,當且僅當2x=-3y時取等號，所以C錯誤，對于因為2(2x-3y)220,所以2(4?-12xj+9y2)

20,當且僅當2x=3y時取等號，所以8/-24孫+189》0,所以12?-18xy+27y224/+6xy+9y2,所以

4■久2_6盯+9y2《4尤+6y+9y=當且僅當2x=3y時取等號，所以。正確.

故選：AD.

【點評】本題考查不等式性質的應用，解題的關鍵是對己知的等式進行恰當的變形，利用完全平方的非

負性可求得結果，考查數學轉化思想，屬于較難題.

(多選)12.(2024秋?淮安期末)已知函數/'(x)=sinxV2—cos2x,下列說法正確的有()

A.函數y=/(x)為奇函數

B.函數y=/(%)的周期為n

C.函數y=/(無)在區(qū)間［―*,身上為增函數

D.當尤e(0,+8)時，函數了=/(無)的圖象恒在直線？=的下方

【考點】命題的真假判斷與應用；函數的單調性；奇函數偶函數的判斷；函數的周期性.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；函數的性質及應用；三角函數的求值；運算求解.

【答案】ACD

【分析】根據題意，由奇函數的定義分析A,由函數周期性的定義分析8,由函數單調性的性質分析C,

由不等式的性質分析。，綜合可得答案.

【解答】解：根據題意，依次分析選項：

對于A,函數/(%)=S譏%，2-COS?',其定義域為R,有/(-X)=-f(x),則/(X)為奇函數，A正

確；

對于5,f(x)=sinx&'—cos2x,有/(x+n)=-sinx\/2—cos2x,

則n不是函數/G)的周期，B錯誤；

對于C,f(x)=sinxV2—cos2x=sinxVl+sin2x,

在區(qū)間［0,$上，y=sinY為增函數且y=sinx20,y=+sin?%也是增函數,

._________n

則/(x)+si*%在［o,］］上遞增，

又由y=f(x)為奇函數，則/(無)在區(qū)間［―￡,芻上為增函數，C正確；

對于Df(x)=sinrV2—cos2x=sinxVl+sin2x,

當xe(0,+8)時，由于sinxWx,41+siv7xW魚恒成立,故/(x)<V2x,

則函數了=/(無)的圖象恒在直線y的下方，D正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查函數三角函數的奇偶性，涉及函數的最值，屬于基礎題.

三.填空題(共4小題)

13.(2024秋?海淀區(qū)校級期末)己知函數了(無)的定義域為R,下列命題中

①若VxCR,f(x+1)>/(無)，則函數/(x)在R上單調遞增；

②若Vxi,X2GR,(xi)+f(%2)|<|sinxi+sinA-2|,則函數/(尤)是奇函數；

③若X2CR,|f(xi)-f(X2)|^|siiu-i-sinx2|,則函數/(x)是周期函數；

④若x2E,￡)且xi=x2,|f(xi)-/(%2)|<|sinxi-sinx2|,則函數/(x)+sinx在(-左,芻上

單調遞增，函數/(無)-sinx在(―齊芻上單調遞減.

所有正確命題的序號是②③④.

【考點】命題的真假判斷與應用；奇偶性與單調性的綜合；函數的周期性.

【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；函數的性質及應用；運算求解.

【答案】②③④.

【分析】令f(X)=sin(2KX)+x可判斷①；用奇函數的定義可判斷②；用周期函數的定義可判斷③;

用函數單調性的定義判斷④，綜合可得答案.

【解答】解：根據題意，依次分析4個命題：

對于①，令/'(x)=sin(2TTX)+X,滿足/'(X+1)>f(x),

但函數/(無)在R上不是增函數，故①錯誤；

對于②，令xi=尤，X2=-x,則，(x)4/(-尤)IWkinx+sin(-尤)|=0,

可得尤)+f(-x)=0，即滿足/(-X)=-/(尤)，則函數/(X)是奇函數，可知②正確；

對于③，若Vxi,X2￡R,|f(xi)-f(%2)l^lsinxi-sinx2|,

所以(x)-f(X+2TT)|W|sinr-sin(X+2TT)|=0,BP/(x)-f(X+2TT)=0,

滿足/(x)=/(無+2TT),可得函數/(x)是周期為T=2ir的周期函數，即③正確；

對于④，取Vxi,X2,滿足—5?尤2<冷，因為函數〉=5加在區(qū)間(-專—)上單調遞增，所以silLVl

<sinx2,

可得Isinri-sin_x2|=sinx2-sinn,所以，(xi)-f(%2)|<sinx2-sinxi,

即sinxi-sinx2</(xi)-f(%2)<sinx2-sinxi,

可得了(尤1)+sinxi</(%2)+sinx2且/(xi)-sinxi>/(%2)-sinx2,

所以函數八x)-Situ在區(qū)間(-缶-)上單調遞減，函數/(x)+sinx在區(qū)間(-宏-)上單調遞增，

即④正確.

故答案為：②③④.

【點評】本題考查函數單調性、奇偶性的性質和應用，涉及全稱量詞命題真假的判斷，屬于中檔題.

14.(2024春?房山區(qū)校級期中)高斯是德國著名數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”稱號,

他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設XER,用國表示不

超過工的最大整數，則尸印稱為高斯函數，例如[-2.1]=-3,[2.1]=2.已知函數/(%)=sin|x|+|sinx|,

函數g(x)=，(x)],則下列命題正確的是②④.

①函數g(x)是周期函數；

②函數g(x)的值域是｛0,1,2｝；

③函數g(x)的圖象關于久=5對稱；

TI

④方程3-gQ)=x只有一個實數根.

【考點】命題的真假判斷與應用.

【專題】分類討論；數形結合法；三角函數的圖象與性質；直觀想象；運算求解.

【答案】②④.

【分析】先研究函數/(X)的奇偶性，作出函數/(X)的圖象，作出函數g(X)的圖象判斷①②的正

71

確性，由特值判斷③的正確性，再分類討論判斷方程5-g(%=*的根的個數得解.

【解答】解：由題得函數/(無)=sin|x田sinx|的定義域為R,

/(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=/(x),

所以函數/(x)為偶函數，

當OWxWlt時，f(X)=$皿-+$111￥=25加，；

當H<X<2TT時，f(x)=siiu--sinx=O；

當2itWxW37t時，f(x)=siiu+siiu=2sin.r；

所以函數/(x)的圖象如圖所示，

所以函數g(無)的圖象如圖所示,

由,g（—T/T）='（-/TT）]=[VL2]=bg（7'Dll）=V（7）]=[O]=o,

所以函數g（無）的圖象不關于x=*對稱，故選項③不正確；

71

對于方程]?g（%）=x,

當g（x）=0時，x=0,方程有一個實數根；

當g（x）=1時，x=-*TT,此時g（-TC）=2W1,此時方程沒有實數根；

當g（x）=2時，X=1T,止匕時g（IT）=0W2,此時方程沒有實數根；

7T

故方程號?g（x）=久只有一個實數根，故選項④正確.

故答案為：②④.

【點評】本題性新概念題，考查了函數的奇偶性、對稱性及值域，也考查了數形結合思想、分類討論思

想，作出圖象是關鍵點，屬于中檔題.

15.（2024秋?嘉定區(qū)校級期中）如圖，正方體ABC。-AiBiCiDi則下列四個命題：

①點尸在直線8。上運動，三棱錐A-D1PC的體積不變；

②點P在直線BC1上運動，直線AP與平面ACDi所成角的大小不變；

③點P在直線BC1上運動，二面角尸-AOi-C的大小不變；

④點P是平面ABCD上到點D和C1距離相等的動點，則尸的軌跡是過點B的一條直線.

其中的真命題是①③④.（請在橫線上填上正確命題的序號）

【考點】命題的真假判斷與應用；棱柱的結構特征.

【專題】轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離；邏輯思維；運算求解.

【答案】見試題解答內容

【分析】直接利用等體積轉換法，線面的夾角，二面角，直線和平面的位置關系判斷①②③④的結論.

【解答】解：對于①，點尸在直線BC1上運動，由于8C1〃平面AD1C,

所以2Q上任意的點到平面ADC的距離相等，所以三棱錐A-O1PC的體積不變，故①正確；

對于②；點P在直線8cl上運動，直線和平面AC/力所成的角和直線AC1與平面4C￡h所成的角不

相等，故②錯誤；

對于③；點尸在直線BC1上運動，AP的軌跡是平面小。1,二面角P-ADi-C的大小不受影響，故③

正確；

對于④；點P是平面A8C。上到點。和Ci距離相等的動點，故點尸的軌跡為一條與直線8C平行的直

線，故④正確；

故答案為：①③④.

【點評】本題考查的知識要點：等體積轉換法，線面的夾角，二面角，直線和平面的位置關系，主要考

查學生的運算能力和數學思維能力，屬于中檔題.

16.(2024秋?廣州校級期中)已知命題“VxeR,4/+(a—2)x+*>0"是假命題，則實數。的取值范

圍為(-8,0154,+8).

【考點】全稱量詞和全稱量詞命題；命題的真假判斷與應用.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；函數的性質及應用；不等式的解法及應用；簡易邏輯；邏輯思維；

運算求解.

【答案】(-8,0]U[4,+8).

【分析】直接利用全稱命題和特稱命題的轉換，命題真假的判斷和一元二次不等式有根的充要條件求出

實數。的取值范圍.

1

【解答】解：命題“VxER,4/+(。—2)%+4>0”是假命題，

1

則命題FXER,4x2+(。一2)%+彳<0”為真命題，

故/=(a—2)2—4x4X*0,整理得a2-4a20,

解得aN4或aWO,

故實數。的取值范圍為(-8,0]U[4,+8).

故答案為：(-8,o]U[4,+8).

【點評】本題考查的知識要點：全稱命題和特稱命題，命題真假的判斷，一元二次不等式有根的充要條

件，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題.

四.解答題(共4小題)

17.(2024秋?青浦區(qū)期末)已知p：茄金20,q：/-2x+l-rMwo(m>0),且p是q的必要不充分條

件.求實數優(yōu)的取值范圍.

【考點】充分條件與必要條件.

【專題】轉化思想；定義法；簡易邏輯.

【答案】見試題解答內容

【分析】先化簡p,q利用P是g的必要不充分條件，確定實數，”的取值范圍.

【解答】解：由p：券NO得黑+2)(1/X)20,

即『2*1°,即-2Wx<10,

1%H10

2

由x-2x+l-徵2WO(m>0),得[x-(1-m)][x-(1+m)]W0,即1-機WxW1+m,

即q：1-

若p是q的必要不充分條件，

m>0m>0

貝小1-THN―2,得，m<3,即0<MW3,

kl+m<10\m<9

即實數GH取值范圍是(0,3].

【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的應用，求出不等式的等價條件，結合充分條件和必要條件

的定義是解決本題的關鍵.

18.(2025?仁壽縣模擬)已知“zeR,命題p：VxG[-1,2],不等式機2-3〃運_?-2x-1恒成立；命題g：

3xo￡R,x(?+4優(yōu)xo+l<O成立.

(1)若"為真命題，求實數機的取值范圍；

(2)若命題0、q有且只有一個是真命題，求實數機的取值范圍.

【考點】全稱量詞命題真假的應用；存在量詞命題真假的應用.

【專題】轉化思想；轉化法；簡易邏輯；運算求解.

【答案】(1)［1,2］；

11

(2)(—8,-2)U(2/+8)U(2，1).

【分析】(1)當在［-1,2］時，求出函數>=7-2%-1的值域，可得出關于實數機的不等式，即可求

解；

(2)求出當命題q為真命題時，實數M的取值范圍，分兩種情況討論：p真q假、p假q真，綜合可

得出實數機的取值范圍.

【解答】解：(1)當1,2］時，?-2x-1=(x-1)2-2￡［-2,2］,

若p為真命題，貝Um2--2,即m2-3m+2W0,解得1

因此實數機的取值范圍是［1,2］；

(2)若q為真命題，貝!J△=16根2-4>0,解得mV-*或租〉±，

(1<m<2

(i)若p真q假，貝叼11,可得g0,

m<lS&n>2ii

(為)若p假q真，貝"11，解得zn或機>2或二<%<1,

m<-4>n>422

'LL

綜上所述，實數機的取值范圍是(-8,u(2,+oo)U(i,1).

【點評】本題主要考查命題的真假判斷與應用，考查轉化能力，屬于中檔題.

19.(2024秋?寧波期末)設全集U=R,集合A={x|lWxW4},集合B={x|a+2WxWa+10},其中“6R.

(1)若4口8=0,求a的取值范圍；

(2)若“xeA”是"B”的充分條件，求。的取值范圍.

【考點】充分條件的應用與判定定理；求集合的交集.