2025年高考押題預(yù)測卷

數(shù)學(xué)（新高考I卷01）?全解全析

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合A={-1,0,2},8={尤|尤（％-1）=0},則AU8=（）

A.{0}B.{0,1,2}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,2}

【答案】C

【解析】解：由已知集合3={NX（XT）=°}={0，1}，所以AuB={T0,l,2}.

故選：C

2.復(fù)數(shù)z滿足zi=2z-l,則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

12+i21.（2n

【解析】z=^T（2_i）（2+i廣丁。復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為［于］，位于第一象限.

故選：A.

3.已知向量亍=（小+1,2）,B=（l，根）.若M_L石，則加的值為（）

A.1B.—2C.—D.—

33

【答案】D

【解析】由￡_1B，得m+1+2機=0,解得m=一；

故選：D.

3

4.已知sin(<z+/?)=-,tana=2tan4,則sin(a_0=)

13

AB.-cD.

-45-t5

【答案】B

sinexsinB

【解析J由tana=2tan^=>-------=2---------=sintzcos(3=2cos?sin(3.

'costzcosP'

33

由sin(a+/?)=ynsinacos[3+cosasin〃=g.

?c2

3sinacosP=~

sinacos/3+cosasin￡=§

由＜

.?r

sinacos(3=2cosasinf}cosasmp=—

211

所以sin(a-；0)=sinacos[3-cosasin(3=.

故選：B

5.如圖，桌面上放置著兩個底面半徑和高都是R的幾何體，左邊是圓柱挖去一個倒立的圓錐（以圓柱的上

底面為底面，下底面圓心為頂點）剩余的部分，右邊是半球，用平行于桌面的平面截這兩個幾何體，截得

左邊幾何體的截面面積為岳，截得半球的截面面積為S2,則（）

A.St<S2

C.岳＞邑D.岳與S?的大小關(guān)系不確定

【答案】B

【解析】設(shè)截面與圓柱底面的距離為6,

該平面截半球所得圓面的半徑為7F二廬，圓的面積為邑=兀（4

由于圓柱的底面半徑與高相等，所以，圓環(huán)的內(nèi)圓半徑為”,

所以，圓環(huán)的面積為耳=兀（犬-外），故耳=$2,

故選：B.

6.已知｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列，其前〃項和為九則“V〃eN*,5彥59”是“生40”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】若V〃eN*,S.2S9,這意味著S9是數(shù)列｛S,｝中的最小值.

因為｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列，所以該數(shù)列的前鼠項和S”是關(guān)于〃的二次函數(shù)(且二次項系數(shù)不為

0),其圖象是一條拋物線.

當Sg是最小值時，說明從第10項開始數(shù)列的項變?yōu)檎龜?shù)，即且％。N。.

所以由“eN",S"2s9”可以推出“生(0”，充分性成立.

若gWO,僅知道第9項是非正的，但無法確定S9就是S”的最小值.

例如，氏=〃-11,%=-2<0,Sg就不是最小值，即不能推出V-eN'SJSg,必要性不成立.

因為充分性成立，必要性不成立，所以“▽〃€z,5“259”是“%40”的充分不必要條件.

故選：C

7.若函數(shù)，(無)nZsirw+cosx-A/^xe(0,兀)的兩個零點分別為X]和X?,則85(占+%)=()

A.-之B.」C.iD.°

5555

【答案】A

【解析】8^/(-x)=2sinx+cosx-V3=75sin(x+^)-^/3,其中sin9=(^cos9=^^,

由/(不)=/(九2)=0，得sin(玉+e)=sin(%2+9)=T，而%+。,馬+°￡(0,兀+0)，

因此司+?+尤2+0=兀，即夕」--2則siQ-土注]=且,即cos文衛(wèi)=好，

22(22J525

所以cos(%+%2)=2cos2%_]=2x[^^J-1=.

故選：A.

8.已知/(%)是定義在R上的增函數(shù)，且存在函數(shù)g(x)使得/(g(%))=%,若超分別是方程

/(工一1)+%=4和g(x+l)+%=2的根，貝1］西+工2=()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】?.?王是—1)+尤=4的根，，/(%一1)+%=4,即/(占一1)+%—1=3,①

??,x?是g(尤+1)+尤=2的根，:.g(x2+I)+x2=2,即g(%+1)+/+1=3,

:存在函數(shù)g(x)使得/(g(x))=x,，g(%+l)+/(g(x2+l))=3，②

f")是定義在R上的增函數(shù)，.?"(x)+尤在R上單調(diào)遞增，

，由①②可得，+=，

又gOz+D+x?=2,gpg(x2+l)=2-x2,

:.2-x2=x1-1,即％+%=3.

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.下列說法中，正確的命題是()

A.兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)『的絕對值越接近于1

B.口袋中有大小相同的7個紅球、2個藍球和1個黑球.從中任取兩個球，記其中紅球的個數(shù)為隨機變

量X,則X的數(shù)學(xué)期望E(x)=：

C.若隨機變量X~N(〃Q2),當〃不變時，(7越小，該正態(tài)分布對應(yīng)的正態(tài)密度曲線越矮胖

D.對標有不同編號的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進行檢測，從中任取2件，已知其中一件為正品，則

另一件也為正品的概率是椅.

【答案】ABD

【解析】對于A,若兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強，則線性相關(guān)系數(shù)廠的絕對值越接近于

1,故A正確；

對于B,隨機變量X服從幾何分布，所以E(X)=〃§,其中〃=2,M=7,N=10,

7147

即E(X)=2X「=1=M，故B正確；

對于C,根據(jù)正態(tài)分布參數(shù)的意義，越大表示隨機變量的分布越分散，

則該正態(tài)分布對應(yīng)的正態(tài)密度曲線越矮胖，故C錯誤；

對于D,取出兩件中至少有一件正品的概率尸=1-工=1-

c2

取出兩件都是正品的概率尸=優(yōu)由條件概率的意義可知,

jo

1

從中任取2件，已知其中一件為正品，則另一件也為正品的概率是尸=魯="，

15

故D正確.

故選：ABD.

10.若實數(shù)羽丫滿足4x2+y2=l+xy,則()

A.xy<-

3

B.xy>1

C.x+y<\

D.x+y<-1^/10

【答案】AD

【解析】由平方不等式可得：4x2+y2>2-2x-y=4xy,代入4/+產(chǎn)=心孫，

則1+孫24孫二孫4；,取等號條件是2x=y=母，故A正確；B錯誤；

令%+y=/=、=，一%,

則4x2+(z-x)2=1+%?-%)=>6%2-^tx+t2-1=0,

由于存在X滿足上式成立，則△=9產(chǎn)-24(r-1"0n?<|,

即一2叵4鵬2叵，故D正確，C錯誤；

55

故選：AD.

H.如圖，在直三棱柱的兩條棱上分別取點上，4,4，,4,4+”男,鳥,四,一,紇,旦1+],使得4鳥〃4+田川

。=1,2,3,…，小，且直線為鳥與直線A川與+1之間的距離均為2,分別過直線為約作垂直于該三棱柱底面

的截面，得到n個四棱柱，若該三棱柱的高為1,記4片=4，刈2=%,則()

A.A與=24+(%-4)J

B.3+島1=4+(%-6))

C.第j個四棱柱的體積為3al-%+2(4-4)j

D.前j個四棱柱的體積之和為2卬+3-

【答案】BCD

【解析】由題意可得｛4%｝是首項為％,公差為g-q的等差數(shù)列，

a=

所以A/,=%+(j—l)(a2~i)2q—a2+(%—卬)/，故A錯誤；

又卅網(wǎng)=%+(%-q)九故B正確；

對于C選項，第，個四棱柱的體積為

]…一嗎+%+(…"xZx1…"2(…J),故C正確；

對于D選項，由第1/個四棱柱的體積為3q-%+2(%-4)j可知，四棱柱的體積是首項為％+外,公差

為2(%-%)的等差數(shù)列，

所以前j個四棱柱的體積之和為

j(q+g)+?1)X2(g_《)=2%/+(g-4)『，故D正確.

故選：BCD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.有4輛車停放在5個并排車位上，客車甲車體較寬，停放時需要占兩個車位，并且乙車與客車甲相鄰

停放，則共有種不同的停放方法.

【答案】12

【解析】因為客車甲占兩個車位且乙車與客車甲相鄰?fù)７?

所以將乙車與客車甲捆綁，看成一個車有A；種排法，與余下的兩輛車全排有A；種排法,

所以共有A>A；=12種不同的停放方法.

故答案為：12.

13.拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的

軸.如圖，拋物線C:/=4x的焦點為B，由點A發(fā)出的光線經(jīng)點8反射后經(jīng)過點P,若點P在A3上，且

3兩，則

7T

所以N3P4=NP43=—,

6

又因為BP//x軸，所以=因此左的=tang=G,

y=A/3X-V3/

故直線AB的方程為y=6(x-1),聯(lián)立2,，得3f—10x+3=0,

y=4x

設(shè)4(百,%),8(%,%)，則%+々=/，由拋物線的定義知|AB|=X]+無2+P=g

而耳聲=3萬，所以忸司=jA創(chuàng)=4,在△R5尸中，NABP=g,\BP\=\AB\=~~>

由余弦定理，得|尸殲=忸殲+忸斤一2忸司忸p|cosg=16+--2x4xgxW=1,

解得「川=生詈.

故答案為：晅.

3

14.函數(shù)〃%)的定義域為。，若滿足：①〃4)在。上是單調(diào)函數(shù)，

②存在---￡。使得〃切在上的值域為［a,6］,那么函數(shù)y=〃x)為“優(yōu)美函數(shù)”.若函數(shù)

y=logcGT)(c>0,cwl)是“優(yōu)美函數(shù)”，貝也的取值范圍是.

【答案】1。，：］

【解析】當0<c<l時，內(nèi)層函數(shù)”=/一為減函數(shù)，外層函數(shù)y=log。"為增函數(shù)，

由復(fù)合函數(shù)法可知，函數(shù)曠=1。8,(/-。在定義域上為增函數(shù)；

當c>l時，內(nèi)層函數(shù)比=。*一為增函數(shù)，外層函數(shù)y=iog0〃為增函數(shù),

由復(fù)合函數(shù)法可知，函數(shù)y=iog/c'-。在定義域上為增函數(shù).

綜上所述，函數(shù)y=iogcG-)(c>0,cw1)在定義域上為增函數(shù),

〃a/7bK)

根據(jù)題意，存在存在口。使得〃到在---上的值域為k回,

22

2

logcc-t二a

則\7

(b>

log,1C?-t=b

所以，關(guān)于X的方程logck'T)=2x至少有兩解，即C，T=*,可得°2，一/+，=0,

令m=c*>0,f(ni)=n^-m+t,

由題意可知，函數(shù)/(加)有兩個不等的正零點叫、m2,

A=l-4r>0

mj+m=1>0,解得0</<:.

所以,2

m1m2=/〉0

因此，實數(shù)/的取值范圍是1。,11

故答案為：

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）

在VABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、6、C.已知2a-6=2ccos3.

⑴求角C；

（2）若6=4,點。在邊上，CD為N4CB的平分線，且CO=2豆，求邊長。的值.

【答案】（1）C=：;

（2）4

【解析】（1）2a-b=2ccosB,由正弦定理得2sinA-sin3=2sinCcos5,

又sinA=sin［兀一（5+C）］=sin（5+C）=sinBcosC+cos5sinC,

所以2sinBcosC+2cosBsinC—sinB=2sinCeosB,即2sinBcosC—sinB=0,

因為3￡（0,7i）,所以sin5>0,故2cosc-1=0,即cosC=；,

又Ce（O,7r）,所以C=g；（6分）

IT

（2）由（1）知，C=-,

71

又CO為NACB的平分線，^ZACD=ZBCD=-

6f

其中CD=26,由三角形面積公式得S，As=gA°CZ）sin/ACD=；x4x2^xg=2e,

S-=-BCCDsinZBCD=-a-2^x-=—a,

，BCD2222

又S=-AC-BCsinZACB=-x4a--=y/3a，

“ABRCr222

顯然=^AACD+SABCD>即V3a=2石+a，

2

解得a=4.（13分）

16.（15分）

如圖，在四棱錐尸-ABCD中，三角形PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC//AD,CDLAD,

AD=2DC=2CB=2,E為尸。的中點.

(2)若ZPAB=60°,求直線CE與平面PBC的夾角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析；

(2)叵.

6

【解析】(1)取P4中點為尸，連接ERFB,則EF//AD//BC,

且砂=』AO=8C,從而四邊形正CB為平行四邊形.

2

則EC〃FB,又EC<Z平面E48,FBu平面PAB,貝UCE〃平面PAB；(6分)

(2)如圖取AD中點為O,連接OP,OB.

因三角形上位>是以AO為斜邊的等腰直角三角形，AD=2,

JjliJPA=\/2?尸O=—A。=1.因AO=OD=3C=—AD=1,OD/IBC,

22

則四邊形。DC3為平行四邊形，則30=1,BO//CD,結(jié)合CDLAD,

則30J_A0,AB=近,結(jié)合NB4B=60。，則△上鉆為等邊三角形，

得PB=C..又BO=1,PO=1,貝UPOZ+BO?=92,故尸O_LOB.

又尸AD^OB=O,AD,O3u平面ADC8,則PO_L平面ADC8.(9分)

故如圖建立以。為坐標原點的空間直角坐標系.

則0(0,0,0),5(1,0,0),P(0,l,0),4(0,TO),C(l,l,0),P(0,0,l),

因E為尸。的中點，則

從而由PB=(1,O,-1),定=(1,1,-1).(11分)

設(shè)平面P5C法向量為為=(x,y,z),貝"—,,

PC-n=x+y-z=0

取為=。,0,1),設(shè)直線CE與平面P5C的夾角為氏

則sinO=|cos元,屈|=5-=g,從而cos6=Jl—sin24=叵.(15分)

66

17.(15分)

為了響應(yīng)國家“雙減”政策，某高中將周六的作息時間由上課調(diào)整為自愿到校自主自習，經(jīng)過一個學(xué)期的實

施后，從參加周六到校自主自習和未參加周六到校自主自習的學(xué)生中各隨機選取75人進行調(diào)查，得到如下

2x2列聯(lián)表：

成績有進步成績沒有進步合計

參加周六到校自主自習552075

未參加周六到校自主自習304575

合計8565150

(1)依據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有99.9%的把握認為該校學(xué)生“周六到校自主自習與成績進步”有關(guān)聯(lián)？

(2)從調(diào)查的未參加周六到校自主自習的學(xué)生中，按成績是否進步采用分層隨機抽樣的方法抽取10人.若從

這10人中隨機抽取2人，記X為成績有進步的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

2n(ad-be)"

附：/=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'“=

a=P(Z22人)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1)有99.9%的把握認為該校學(xué)生“周六到校自主自習與成績進步”有關(guān)聯(lián);

4

(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為1

【解析】⑴經(jīng)計算得小拿提吸—>1。吠（4分）

所以有99.9%的把握認為該校學(xué)生“周六到校自主自習與成績進步”有關(guān)聯(lián).（5分）

（2）按分層隨機抽樣，成績有進步同學(xué)抽取4人，成績沒有進步同學(xué)抽取6人

X的所有可能取值是的所有可能取值為0,1,2,（6分）

P(x=o)=*g,

Jo°

C1C18

尸(X=l)=/

jo15

c

尸(X=2)=

C^~15

X的分布列為：（12分）

X012

￡82

P

31515

1Q24

所以X的期望為：E（X）=Ox-+lx—+2X—=-.（15^）

18.（17分）

r2V2_1

已知橢圓C：「+J=l（a>b>0）的離心率6=彳，過點（L0）的動直線/與橢圓相交于兩點，當直線/與x軸

ab2

垂直時，直線/被橢圓E截得的線段長為3.

⑴求橢圓C的方程；

⑵直線y=&與橢圓C交于A,8兩點，P是橢圓C上一動點（不同于A,B）,記憶OP，kPA,怎B分別為

直線OP,PA,尸3的斜率，且滿足入勺「二左隊山加，求點P的坐標（用人表示）；

（3）過左焦點《的直線交橢圓于M,N兩點，是否存在實數(shù)2,使|旃|=幾麗■?麗恒成立？若存在，求此

時|麗|的最小值；若不存在，請說明理由.

22

【答案】⑴

，/4k3、t'P4k

()[J4/+3,j4/+3.或/,，-其中ArO.

“4r+3

⑶存在，3

【解析】（1）解：由題意，可得點［1，|］在橢圓C上，且橢圓的離心率e=。,

19

/=4

c122

所以＜e=—=7解得/=3,所以橢圓c的方程為土+匕=1.（4分）

a243

c2=1

a2=b2+c2

22§

（2）解：設(shè)點P（%,另），因為點尸在橢圓上，所以〃+a=1,即"3-m

同理，設(shè)點A（%,%），則我=3-1考，且無產(chǎn)±々，

又因為直線A8：＞=行過原點，所以AB關(guān)于原點對稱，所以點3（-孫-%）,

所以%入土匹=一方”；—，）：：3,可得左.壇.=一］,

（6分）

再一元2%+%丫2_2_2_2-44

y=kx

聯(lián)立方程組尤2,整理得（3+4公卜2=12,

［43

2732限-273一2麻

解得尤=或犬=，y=/—q

《3+4/,3+4左213+4左2y/3+4k2

3

用世代替上述坐標中的看，

可得Tk'kWk'-kJ，其中左rO.（9分）

（3）解：由⑴知，左焦點/（-1,0）,

當直線MN斜率為零時，不妨設(shè)/(-2,0),N(2,0),

則麗'=(—1,0),布=(3,0),可得砸?取=一3,|麗|=4,

存在幾=~4，使?麗1=幾率乙鼻可成立；

當直線MN的斜率不為零時，設(shè)直線方程為x=my-l,且“國,％)，可匕,％)，

x=my-1

聯(lián)立方程組*y2_,整理得(3/+4尸-6沖-9=0,(11分)

[43

—9

可得八=(一6m)2+36(3療+4)＞。，所以%+%=-一j，一7，

3w+43"+4

則[MN\=Jl+病|%-%|=&+蘇-，(力+乂)—?3M=-

11V5m+4

片M/N=(毛+1,%)，(%4+1，，4)=%3尤4+(尤3+%4)+1+%，4，

因為毛羽3y4一根(必+%)+i，毛+%=m(%+%)-2,

所以硒.耶F=(加2+1)%%=空浮，所以I麗=-。串彳?木,

▽國出?——12（m+1）4

又因為1=—^——^-=4-

?I3m2+43m2+4

所以當機=0時，|麗|最小，最小值為3,

綜上，存在幾=-：，使|旃|=彳厘?祁恒成立，止匕時|旃|的最小值為3.(17分)

19.（17分）

若函數(shù)y=〃x)和y=g(x)同時滿足下列條件：①對任意xeR,都有/a)Vg(x)成立；②存在％eR,使

得〃x())=g(xo)，則稱函數(shù)y=g(x)為y=〃x)的“卬函數(shù)"，其中不稱為“w點”.

⑴已知圖像為一條直線的函數(shù)y=g(x)是y=sinx的“W函數(shù)”，請求出所有的“w點”；

(2)設(shè)函數(shù)y=g(x)為y="X)的"W函數(shù)”，其"W點”組成集合M；函數(shù)y=h(x)為y=g(%)的“w函數(shù)”，

其“W點”組成集合N.試證明：“函數(shù)y=//(%)為y="X)的，W函數(shù)'”的一個充分必要條件是“McN乎0"；

⑶記〃x)=。(e為自然對數(shù)的底數(shù)),g(x)=kx+m(ksm&R),若y=g(x)為y=/⑺的