福建省福州第四中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第一學(xué)段數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知函數(shù)，則（

）A．1 B．－1 C．－2 D．02．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，下列說(shuō)法正確的是（

）A．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2B．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為C．橢圓關(guān)于直線對(duì)稱D．當(dāng)點(diǎn)在橢圓上時(shí)，3．函數(shù)的定義域?yàn)椋膶?dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是的極小值點(diǎn)B．C．函數(shù)在上有極大值D．函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)4．我校舉辦2025年“班級(jí)閱讀杰，書(shū)香班級(jí)”讀書(shū)節(jié)活動(dòng)，設(shè)有“優(yōu)秀征文”、“好書(shū)推薦語(yǔ)展示”、“讀書(shū)筆記”和“演講”四個(gè)項(xiàng)目.某班級(jí)有5名同學(xué)報(bào)名參加，要求每人限報(bào)一項(xiàng)，每個(gè)項(xiàng)目至少1人參加，則報(bào)名的不同方案有（

）A．種 B．種 C．種 D．種5．已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C．13 D．6．質(zhì)數(shù)（primenumber）又稱素?cái)?shù)，一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)，數(shù)學(xué)上把相差為2的兩個(gè)素?cái)?shù)叫做“孿生素?cái)?shù)”.如：3和5，5和7……，在1900年的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上，著名數(shù)學(xué)家希爾伯特提出了23個(gè)問(wèn)題，其中第8個(gè)就是大名鼎鼎的孿生素?cái)?shù)猜想：即存在無(wú)窮多對(duì)孿生素?cái)?shù).我國(guó)著名數(shù)學(xué)家張益唐2013年在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表論文《素?cái)?shù)間的有界距離》，破解了困擾數(shù)學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的難題，證明了孿生素?cái)?shù)猜想的弱化形式.那么，如果我們?cè)诓怀^(guò)的自然數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，記事件，這兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)；事件：這兩個(gè)數(shù)不是孿生素?cái)?shù)，則（

）A． B． C． D．7．在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0．已知當(dāng)發(fā)送信號(hào)0時(shí)，被接收為0和1的概率分別為0.93和0.07；當(dāng)發(fā)送信號(hào)1時(shí)，被接收為1和0的概率分別為0.95和0.05．假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的，則接收的信號(hào)為1的概率為（

）A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.518．設(shè)函數(shù)，若恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．1二、多選題9．已知，則（

）A． B．C． D．10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為11．對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．在處取得極大值 B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C． D．若在上恒成立，則三、填空題12．已知隨機(jī)變量，且，則．13．甲、乙、丙、丁、戊5人站成兩排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙須左右相鄰，丙不站前排，則不同的站法共有種（用數(shù)字作答）．14．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線（為常數(shù)）與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)．若（為原點(diǎn)），則的離心率為．四、解答題15．設(shè)函數(shù)．（1）求在處的切線方程；（2）求在區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間和最值．16．已知數(shù)列滿足：，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求證：．17．某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，凡5月1日當(dāng)天消費(fèi)不低于1000元，均可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)箱里有6個(gè)形狀、大小、質(zhì)地完全相同的小球，其中紅球有4個(gè)，白球有2個(gè)，抽獎(jiǎng)方案設(shè)置兩種，顧客自行選擇其中的一種方案．方案一：從抽獎(jiǎng)箱中，一次性摸出3個(gè)球，每有1個(gè)紅球，可立減80元；方案二：從抽獎(jiǎng)箱中，有放回地每次摸出1個(gè)球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減80元．(1)設(shè)方案一摸出的紅球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列，數(shù)學(xué)期望和方差；(2)設(shè)方案二摸出的紅球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量Y，求Y的分布列，數(shù)學(xué)期望和方差；(3)如果你是顧客，如何在上述兩種抽獎(jiǎng)方式中進(jìn)行選擇？請(qǐng)寫(xiě)出你的選擇及簡(jiǎn)要理由．18．已知拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸上，其頂點(diǎn)是橢圓的中心，其焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于該橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng).（1）求拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交拋物線于兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，.①求的面積的最小值.②是否存在垂直于軸的定直線被以為直徑的圓所截得的線段長(zhǎng)為定值？如存在，求出的方程；如果不存在，說(shuō)明理由.19．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在區(qū)間內(nèi)有最小值，求的取值范圍；(3)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解，，求證：．

參考答案1．【答案】B【詳解】由導(dǎo)數(shù)定義可知，由得，所以.故選B．2．【答案】D【詳解】對(duì)于A、B，由得，∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦點(diǎn)為.故A、B不正確；對(duì)于C，將互換，得橢圓與原橢圓方程不相同，故橢圓不關(guān)于直線對(duì)稱.故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，∴，故D正確.故選D3．【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以有，因此選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在上沒(méi)有極大值，因此選項(xiàng)C不正確；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因此不是的極值點(diǎn)，只有當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值點(diǎn)，所以選項(xiàng)A不正確，選項(xiàng)D不正確，故選B4．【答案】D【詳解】由題5名同學(xué)分為4組，每組分別有，，，人，共有種，再排列，即報(bào)名的不同方案有種．故選D．5．【答案】C【詳解】因?yàn)楣畈粸榱愕牡炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，且，因?yàn)?，整理可得，故，所以?故選C.6．【答案】D【詳解】不超過(guò)的自然數(shù)有個(gè)，其中素?cái)?shù)有共個(gè)，孿生素?cái)?shù)有和，和，和，和，共組.所以，，所以.故選D7．【答案】D【詳解】設(shè)“發(fā)送的信號(hào)為0”，“接收的信號(hào)為1”，則P(A)=P(A因此．故選D8．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，，不滿足恒成立；當(dāng)時(shí)，令，可得或，函數(shù)的零點(diǎn)為和，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，所以，令，則，令，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，所以的最小值為1.故選D9．【答案】BC【分析】設(shè)令，利用賦值法可判斷ACD選項(xiàng)；利用二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)可判斷B選項(xiàng).【詳解】令.對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，可得，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，所以，，D錯(cuò).故選：BC.10．【答案】AC【詳解】由，①得，則；當(dāng)時(shí)，有，②①－②得：，即，，又，則，可得數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，故A正確；因?yàn)?，故B不正確；又，則為常數(shù)，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，故C正確；數(shù)列的前項(xiàng)和為，故D錯(cuò)誤．故選AC．11．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，由題知，，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，且為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，且?dāng)時(shí)，，且時(shí)，，所以可得草圖如下，有1個(gè)零點(diǎn)，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，假設(shè)，則，所以，則，又時(shí)，，單調(diào)遞減，，所以成立，故C正確；對(duì)于D，若在上恒成立，則，令，則，令，則，故在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，故，故D正確．故選ACD．12．【答案】2【詳解】因?yàn)?，，則，故．13．【答案】20【詳解】當(dāng)甲和乙站前排，丙站后排時(shí)，不同站法有（種）；當(dāng)甲和乙站后排，丙站后排時(shí)，不同站法有（種），所以不同的站法共有（種）．14．【答案】5．【詳解】取的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，取左焦點(diǎn)，連接，則，且，所以，雙曲線的右焦點(diǎn)在直線上，所以，即，所以直線的方程為，到直線的距離為，所以，，在中，由勾股定理可得，即：，整理可得：，即，，解得.15．【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【詳解】（1）函數(shù)．即切點(diǎn)為，由已知，則，即曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）令，即，得，令，則得或，即在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即的極大值點(diǎn)為，，的極小值點(diǎn)為，，又，，故在，單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上的最大值為97，最小值為．16．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【詳解】（1）數(shù)列滿足，，所以當(dāng)時(shí)，，…，，，上述各式相加得，又，所以，又滿足上式，故．（2）由（1）可知，所以．因?yàn)?，所以?7．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，，；(2)分布列見(jiàn)解析，，；(3)應(yīng)選擇方案一的抽獎(jiǎng)方式，理由見(jiàn)解析.【分析】(1)由條件確定的可能取值，求取各值得概率，可得分布列，結(jié)合公式求期望和方差；(2)由條件確定的可能取值，判斷，結(jié)合二項(xiàng)分布的分布列求法確定其分布列，再由公式求期望和方差，(3)通過(guò)比較隨機(jī)變量期望和方差的大小，確定選擇方案.【詳解】(1)設(shè)方案一摸出的紅球個(gè)數(shù)為X，則X的所有可能取值為，，，．X的分布列為：X123P所以，．(2)設(shè)方案二摸出的紅球個(gè)數(shù)為Y，則Y的所有可能取值為．則，所以，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：0123所以，．(3)因?yàn)椋?，即兩種方案抽取的紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望一樣，但方案一更穩(wěn)定，所以應(yīng)選擇方案一的抽獎(jiǎng)方式．18．【答案】（1）（2）①32；②存在，【詳解】（1）由題意，可設(shè)拋物線方程為.由題可知橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，故，則拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為.（2）①設(shè)，由題意可知直線的斜率不為，故設(shè)直線方程為.聯(lián)立，得，則，則，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）所以的面積的最小值為32.②設(shè)存在直線滿足題意，設(shè)圓心，過(guò)作直線的垂線，垂足為，圓與直線的一個(gè)交點(diǎn)為，，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值，因此存在直線滿足題意.19．【答案】(1)答案見(jiàn)詳解；(2)(3)證明見(jiàn)詳解.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)時(shí)，，隨的變化情況如下表所示，0所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為