湖南省衡陽市祁東縣第一中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知的值是（

）A．2 B．1 C． D．2．國慶長假過后學(xué)生返校，某學(xué)校為了做好防疫工作組織了6個志愿服務(wù)小組，分配到4個大門進行行李搬運志愿服務(wù)，若每個大門至少分配1個志愿服務(wù)小組，每個志愿服務(wù)小組只能在1個大門進行服務(wù)，則不同的分配方法種數(shù)為（

）A．65 B．125 C．780 D．15603．已知上的可導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．4．現(xiàn)從男、女共8名學(xué)生中選出2名男生和1名女生分別參加學(xué)?！百Y源”“生態(tài)”和“環(huán)?！比齻€夏令營活動，已知共有90種不同的方案，那么男、女學(xué)生的人數(shù)分別是（

）A．2，6 B．3，5 C．5，3 D．6，25．在區(qū)間上的最大值是（

）A． B． C． D．6．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．7．已知，則下列結(jié)論正確的有（）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，有5個不相等的實數(shù)根，從小到大依次為，，，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件不合格品，從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件，則（

）A．恰好有1件是不合格品的抽法種數(shù)為B．恰好有2件是不合格品的抽法種數(shù)為C．至少有1件是不合格品的抽法種數(shù)為D．至少有1件是不合格品的抽法種數(shù)為10．已知函數(shù)f(x)=x3-3lnx-1，則（

）A．f(x)的極大值為0 B．曲線y=f(x)在（1，f（1）)處的切線為x軸C．f(x)的最小值為0 D．f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)11．已知函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減B．C．函數(shù)只有1個零點D．存在實數(shù)k，使得方程有4個實數(shù)解三、填空題12．曲線在點的切線方程為．13．中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四節(jié)氣的方式開始倒計時創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾.某中學(xué)為了弘揚我國二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”“驚蟄”“清明”“立夏”“芒種”“小暑”六張知識展板分別放置在六個并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“驚蟄”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有種（要求：用數(shù)字填空，用式子填空不給分）14．若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是四、解答題15．已知函數(shù)在處取得極小值.（1）求a，b的值;（2）當(dāng)時，求的最大值.16．在的展開式中，第4項的系數(shù)與倒數(shù)第4項的系數(shù)之比為.

（1）求的值；（2）求展開式中所有的有理項；（3）求展開式中系數(shù)最大的項.17．某城鎮(zhèn)在規(guī)劃的一工業(yè)園區(qū)內(nèi)架設(shè)一條16千米的高壓線，已知該段線路兩端的高壓線塔已經(jīng)搭建好，余下的工程只需要在已建好的兩高壓線塔之間等距離的再修建若干座高壓電線塔和架設(shè)電線．已知建造一座高壓線電塔需2萬元，搭建距離為x千米的相鄰兩高壓電線塔之間的電線和人工費用等為萬元，所有高壓電線塔都視為“點”，且不考慮其他因素，記余下的工程費用為y萬元．（1）試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．（2）問：需要建造多少座高壓線塔，才能使工程費y有最小值？最小值是多少？（參考數(shù)據(jù)：）18．已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）若在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．19．設(shè).（1）討論在上的單調(diào)性；（2）令，試證明在上有且僅有三個零點.

參考答案1．【答案】A【詳解】依題意，.故選A2．【答案】D【詳解】6人分成4組有兩種方案：“”、“”共有種方法，4組分配到4個大門有種方法；根據(jù)乘法原理不同的分配方法數(shù)為：.故選:D.3．【答案】C【詳解】由圖象知的解集為，的解集為，或，所以或，解集即為．故選C4．【答案】B【詳解】設(shè)男生有人，則女生有人，且．由題意可得，即，得，故，即男、女學(xué)生的人數(shù)分別是3，5.故選B．5．【答案】D【詳解】，，令，解得.所以，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，又因為，，所以函數(shù)在的最大值為.故選D6．【答案】B【詳解】令，則，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，令，解得，所以在上單調(diào)遞減.，，，因為，所以，即.故選B7．【答案】D【詳解】對于A，取，得，故A錯誤；對于B，的展開式中第7項為，所以，故B錯誤；對于C，取得，所以，故C錯誤；對于D，由，取得，取得，所以，故D正確.故選D8．【答案】D.【詳解】因為當(dāng)時，，所以，因此當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以，，當(dāng)時，有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由此可得，當(dāng)時，令，解得或，所以，又因為，所以，所以.由題意可得，，是方程的三個根，即是的三個根，所以，即，所以，即，所以．故選.9．【答案】ACD【詳解】由題意知，抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件不合格品，則包括1件不合格品和2件合格品，抽法種數(shù)為，故選項A正確；恰好有2件不合格品，則包括2件不合格品和1件合格品，抽法種數(shù)為，故選項B不正確；根據(jù)題意，至少有1件不合格品可分為有1件不合格品與有2件不合格品兩種情況，則抽法種數(shù)為，故選項C正確；至少有1件不合格品的對立事件是3件都是合格品，3件都是合格品的抽取方法有種，則至少有1件是不合格品的抽法種數(shù)為，故選項D正確.故選ACD.10．【答案】BC【詳解】f(x)=x3-3lnx-1的定義域為，令，得，列表得：x(0,1)1(1,+∞)-0+f(x)單減單增所以f(x)的極小值，也是最小值為f（1）=0，無極大值，在定義域內(nèi)不單調(diào)；故C正確，A、D錯誤；對于B:由f（1）=0及，所以y=f(x)在（1，f（1）)處的切線方程，即.故B正確.故選BC11．【答案】BCD【詳解】對于選項A：由題意可知：函數(shù)的定義域為，因為，當(dāng)，則；當(dāng)，則；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯誤；對于選項B：因為，且在上單調(diào)遞增，所以，故B正確；對于選項C：令，解得，所以函數(shù)只有1個零點，故C正確；對于選項D：令，則，若，，方程成立；若，則，構(gòu)建，則，當(dāng)時，；當(dāng)或時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，且，當(dāng)趨近于，趨近于0，可得的圖象如圖所示：當(dāng)時，則與有3個交點，即方程有3個根；綜上所述：存在實數(shù)k，使得方程有4個實數(shù)解，故D正確；故選BCD.12．【答案】【詳解】因為，所以，又過點，所以切線方程為，即.13．【答案】【詳解】由題意得，只考慮“立春”和“驚蟄”時，利用捆綁法得到，當(dāng)“立春”和“驚蟄”、“驚蟄”和“清明”均相鄰時，只有2種排法，即“驚蟄”在中間，“立春”“清明”分布兩側(cè)，此時再用捆綁法，將三者捆在一起即，所以最終滿足題意的排法為.14．【答案】【詳解】因為不等式在上恒成立，所以兩邊同除以得在上恒成立，令，定義域為，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.令，則，即在上恒成立，即在上恒成立，所以只需即可，令，則，令，則在上恒成立，單調(diào)遞增，又因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即.15．【答案】（1）（2）5【詳解】（1）因為，則，由題意可得：，解得，當(dāng)時，則，，當(dāng)或時，；當(dāng)時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則函數(shù)在處取得極小值，符合題意，所以.（2）因為，由（1）可知：在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，且，即，所以當(dāng)時，求的最大值為.16．【答案】（1）；（2），，，；（3）.【詳解】（1）由題意知：，則第4項的系數(shù)為，倒數(shù)第4項的系數(shù)為，則有即，.（2）由（1）可得，當(dāng)時所有的有理項為即，，，.（3）設(shè)展開式中第項的系數(shù)最大，則，，故系數(shù)最大項為.17．【答案】（1）（2）需建19座高壓線塔可使得余下的工程費用最低，且最小值為44.72萬元【詳解】（1）（1）由題意知，需要新建的高壓線塔為座．

所以，

即．（2）由（1），得，

令得或（舍去）．

由，得；由，得，所以函數(shù)y在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增．

所以當(dāng)時，函數(shù)y取得最小值，且，此時應(yīng)建高壓線塔為（座）．

故需建19座高壓線塔可使得余下的工程費用最低，且最小值為44.72萬元．18．【答案】（1）（2）增區(qū)間為；減區(qū)間為；極小值為，無極大值；（3）【詳解】（1）由題意知函數(shù)，故故，故曲線在點處的切線方程為；（2）由（1）可知：令，解得，故的單調(diào)遞減區(qū)間為；令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；則為函數(shù)的極小值點，則函數(shù)極小值為，無極大值；（3）在上恒成立，即，此時，即在上恒成立，令，則，故在上單調(diào)遞增；故，故.19．【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；（2）證明見解析.【詳解】（1）首先求導(dǎo)得到，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負性即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）首先根據(jù)，得到是的一個零點，再根據(jù)是偶函數(shù)得到在上的零點個數(shù)，只需確定時，的零點個數(shù)即可，再求出在時的單調(diào)性和最值，確定其零點個數(shù)即可.【詳解】，令，則