湖南省衡陽縣第四中學2024?2025學年高二創(chuàng)新實驗班下學期期中考試數(shù)學試題一、單選題1．已知，，.則是（

）A． B． C． D．2．設(shè)，，若，則（

）A． B．0 C．6 D．3．已知復數(shù)，，且為純虛數(shù)，則（

）A． B．2 C． D．4．已知，則，，．今有一批數(shù)量龐大的零件．假設(shè)這批零件的某項質(zhì)量指標（單位：毫米）服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機抽取個，這個零件中恰有個的質(zhì)量指標位于區(qū)間．，試以使得最大的值作為的估計值，則為（

）A．50 B．55 C．59 D．645．已知數(shù)列的前項和為，且為等差數(shù)列，若，則（

）A．13 B．26 C．30 D．336．將5名學生分配到3個社區(qū)當志愿者，每個社區(qū)至少分配1名學生，則不同的分配方法種數(shù)是（

）A．24 B．50 C．72 D．1507．已知事件A與事件B相互獨立且，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，其中．若函數(shù)在上為增函數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．2二、多選題9．下列說法中，正確的命題是（

）A．由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線必經(jīng)過樣本點中心B．，C．若，，，則D．在2×2列聯(lián)表中，若每個數(shù)據(jù)a，b，c，d均變成原來的2倍，則也變成原來的2倍（，其中）10．現(xiàn)有4個編號為1，2，3，4的盒子和4個編號為1，2，3，4的小球，要求把4個小球全部放進盒子中，則（

）A．沒有空盒子的方法共有24種B．可以有空盒子的方法共有128種C．恰有1個盒子不放球的方法共有144種D．沒有空盒子且恰有一個小球放入自己編號的盒子的方法有8種11．已知拋物線的焦點為，準線過點，是拋物線上的動點，則（

）A．B．當時，的最小值為C．點到直線的距離的最小值為2D．當時，直線ON的斜率的最大值為三、填空題12．有8張卡片，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8.現(xiàn)從這8張卡片中隨機抽出3張，則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為______.13．的展開式中的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）14．點分別是曲線和直線上任意一點，則的最小值為．四、解答題15．在一個不透明的盒子中裝有除顏色外其余完全相同的若干個小球，其中有m個白球，m個黑球，2個黑白相間的球，且從盒子中隨機摸出1個球，摸到黑白相間的球的概率為．（1）從盒子中隨機摸出1個球，求在摸出的球上帶有黑色的條件下，摸出黑白相間的球的概率；（2）從盒子中1次隨機取出1個球，取出后不放回，共取2次，設(shè)取出的黑球數(shù)量為X，求X的分布列與期望．16．如圖，在直三棱柱中，是四邊形（不含邊界）內(nèi)的動點且．

（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值的取值范圍．17．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求a的取值范圍.18．2023年11月19日，以“激發(fā)創(chuàng)新活力，提升發(fā)展質(zhì)量”為主題的第二十五屆中國國際高新技術(shù)成果交易會（以下簡稱“高交會”）在深圳閉幕，作為“中國科技第一展”的高交會距今已有25年的歷史．福田展區(qū)的專業(yè)展設(shè)有新一代信息技術(shù)展、環(huán)保展、新型顯示展、智慧城市展、數(shù)字醫(yī)療展、高端裝備制造展等六類．現(xiàn)統(tǒng)計了每個展區(qū)的備受關(guān)注率﹝一個展區(qū)中受到所有相關(guān)人士（或企業(yè)）關(guān)注的企業(yè)數(shù)與該展區(qū)的參展企業(yè)數(shù)的比值﹞，如下表：展區(qū)類型新一代信息技術(shù)展環(huán)保展新型顯示展智慧城市展數(shù)字醫(yī)療展高端裝備制造展展區(qū)的企業(yè)數(shù)量/家6036065045070990備受關(guān)注率0.200.100.240.300.100.20（1）從參展的6個展區(qū)的企業(yè)中隨機選取一家企業(yè)，求這家企業(yè)是“新型顯示展”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)的概率．（2）若視備受關(guān)注率為概率，某電視臺現(xiàn)要從“環(huán)保展”“智慧城市展”“高端裝備制造展”3個展區(qū)中隨機抽取2個展區(qū)，再從抽出的2個展區(qū)中各抽取一家企業(yè)進行采訪，求采訪的兩家企業(yè)都是備受關(guān)注的企業(yè)的概率．（3）從“新一代信息技術(shù)展”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)和“數(shù)字醫(yī)療展”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)中，任選2家接受記者采訪．記為這2家企業(yè)中來自“新一代信息技術(shù)展”展區(qū)的企業(yè)數(shù)量，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．19．已知點在橢圓上，設(shè)分別為橢圓的上，下頂點和右焦點，且點到直線的距離為．(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線經(jīng)過點，且與橢圓交于兩點，求直線和的斜率之和．(3)過點的直線與橢圓交于兩點，分別過點作直線的垂線，垂足分別為，設(shè)的面積分別為，是否存在實數(shù)，使得總成等比數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

參考答案1．【答案】D【詳解】由，即，則，所以，又，.故選D.2．【答案】D【詳解】，，且，，解得，故D正確.故選D．3．【答案】C【詳解】復數(shù)，，則，依題意，，解得，即，所以.故選C4．【答案】C【詳解】由已知可得，.又，所以，則，設(shè)，則，所以，所以.，所以，所以.所以以使得最大的值作為的估計值，則為.故選C.5．【答案】D【詳解】因為，，所以，，因為為等差數(shù)列，所以數(shù)列的公差為，所以數(shù)列的通項公式為，所以，故，故選D.6．【答案】D【詳解】可以分組為1、1、3，或1、2、2兩種情況，若分組為1、1、3，則有；若分組為1、2、2，則有；則不同分法為60+90=150種.故選D7．【答案】B【詳解】因，則，因事件A與事件B相互獨立，故,于是.故選B.8．【答案】A【詳解】，當時，，若函數(shù)在上為增函數(shù)，則，由，解得，則的最大值為．故選A9．【答案】ACD【詳解】選項A，根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)可知，由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線必經(jīng)過樣本點中心，故選項A正確的；選項B，根據(jù)具有線性關(guān)系的期望和方差的性質(zhì)可知，是正確的，是錯誤的，應(yīng)該是，故選項B是錯誤的；選項C，由全概率公式可知：，代入，，，可得：，解得，故選項C是正確的；選項D，在2×2列聯(lián)表中，若每個數(shù)據(jù)a，b，c，d均變成原來的2倍，則，可得也變成原來的2倍，故選項D是正確的；故選ACD.10．【答案】ACD【詳解】對于A：4個球全放4個盒中，沒有空盒子的放法共種，A正確；對于B：可以有空盒子，有4個球，每個球有4種放法，共種，B錯誤；對于C：恰有1個空盒子，說明另外3個盒子都有球，而球共4個，必然有1個盒子中放了2個球，先將4個盒中選1個作為空盒，再將4個球中選出2個球綁在一起，再排列共種，C正確；對于D：恰有一個小球放入自己編號的盒中，從4個盒4個球中選定一組標號相同得球和盒子，另外3個球3個盒標號不能對應(yīng)，則共種，故D正確．故選ACD11．【答案】ABD.【詳解】根據(jù)拋物線的定義，的準線為，由題意準線過，可求出，拋物線的方程為，選項A正確；對于選項B，C，D，可設(shè)拋物線上的點的動點為，對于B選項，當時，；當時，當且僅當時，等號成立.選項B正確；對于C選項，直線與拋物線的位置關(guān)系如下圖所示：

到直線的距離，當時，.選項C錯誤；對于D選項，可根據(jù)向量共線作出示意圖：

根據(jù)定義求出拋物線的焦點，由，得，當時，；當時，，當且僅當時，等號成立.選項D正確.故選ABD.12．【答案】3【詳解】由題意知，從8張卡片中隨機抽出3張的基本事件總數(shù)為C83=【快解】由題意知，從8張卡片中隨機抽出3張的基本事件總數(shù)為C83=56.因為所有數(shù)字之和為36，所以要使3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等，則3張卡片上的數(shù)字之和為18.考慮抽出的3張卡片上的數(shù)字之和為18，則相當于從?5，?4，若中間數(shù)為0，則有2種情況；若中間數(shù)為1，則有1種情況.所以“抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等”的概率P=13．【答案】【詳解】的通項公式為，令得，，此時，令得，，此時，故的系數(shù)為14．【答案】【詳解】設(shè)直線是曲線的切線，切點為，則，解得，則，則的最小值即為兩平行線與間的距離，即．15．【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【詳解】（1）由從盒子中隨機摸出1個球，摸到黑白相間的球的概率為，得，解得，盒子中帶有黑色的球有6個，其中黑白相間的球有2個，所以在摸出的球上帶有黑色的條件下，摸出黑白相間的球的概率.（2）依題意，的可能值為，則，所以的分布列為：012數(shù)學期望.16．【答案】（1）證明見解析；（2）【詳解】（1）因為所以，所以，所以，由三棱柱是直三棱柱，得平面，又平面，所以，因為，平面，所以平面.（2）由于，且平面，以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，且是四邊形（不含邊界）內(nèi)的動點,．所以，即，設(shè)，所以．設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的法向量為．設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的法向量為．設(shè)平面與平面所成角為則，令，則，因為在上單調(diào)遞減，所以，所以.所以平面與平面所成角的余弦值的取值范圍.17．【答案】（1）答案見解析（2）【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，當時，在定義域上單調(diào)遞減；當時，，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增.綜上所述，時，在定義域上單調(diào)遞減；時，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）當時，函數(shù)，，符合題意，由（1）可知，當時，在定義域上單調(diào)遞減，所以，故不滿足.當時，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，要想滿足，滿足即可.∵，∴即，化簡得，即，綜以a的取值范圍是.18．【答案】（1）（2）（3），分布列見解析.【詳解】（1）根據(jù)統(tǒng)計表，所有展區(qū)的企業(yè)數(shù)量為，其中“新型顯示展”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)數(shù)量為．所以所求概率為．（2）用事件A，，分別表示從3個展區(qū)中隨機抽取2個展區(qū)為“環(huán)保展與智慧城市展”“環(huán)保展與高端裝備制造展”“智慧城市展與高端裝備制造展”，事件表示“采訪的兩家企業(yè)都是備受關(guān)注的企業(yè)”，則．（3）“新一代信息技術(shù)展”展區(qū)中備受關(guān)注的企業(yè)數(shù)量為，“數(shù)字醫(yī)療展”展區(qū)中備受關(guān)注的企業(yè)數(shù)量為．易知所有可能的取值為0，1，2．所以，，．故的分布列為012則．19．【答案】(1)；(2)2；(3)存在，.【詳解】（1）設(shè)橢圓半焦距為，而，直線，即，點到直線的距離為，解得，，橢圓過點，則，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）依題意，直線不垂直于軸，設(shè)直線方程為，由消去得，設(shè)，則，直線和的斜率之和.（3）設(shè)直線，