江西省上饒市沙溪中學(xué)2023?2024學(xué)年高二下學(xué)期6月測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，.若，則（

）A．的最大值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最小值是2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且單調(diào)遞增．若，則（

）A． B． C． D．3．在數(shù)列中，，，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的積為（

）A． B． C． D．4．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過(guò)程中，由遞推到時(shí)，不等式左邊（

）A．增加了一項(xiàng) B．增加了一項(xiàng)C．增加了，又減少了 D．增加了，又減少了5．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）

A．是函數(shù)的極小值點(diǎn) B．3是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)C．在處的切線的斜率大于0 D．的單減區(qū)間為6．已知，則（

）A． B． C．0 D．7．已知函數(shù)，若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．某質(zhì)點(diǎn)的位移y（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系式，則當(dāng)時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，在中依次選取若干項(xiàng)（至少3項(xiàng)），，，，，，使成為一個(gè)等比數(shù)列，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若取，，則B．滿足題意的也必是一個(gè)等比數(shù)列C．在的前100項(xiàng)中，的可能項(xiàng)數(shù)最多是6D．如果把中滿足等比數(shù)列的項(xiàng)一直取下去，總是無(wú)窮數(shù)列10．為了評(píng)估某種治療肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關(guān)部門(mén)對(duì)該藥物在人體血管中的藥物濃度進(jìn)行測(cè)量，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中的藥物濃度（單位：）隨時(shí)間（單位：）變化的關(guān)系如圖所示，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同B．在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度的瞬時(shí)變化率相同C．在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中的藥物濃度的平均變化率相同D．在，兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲血管中的藥物濃度的平均變化率不相同11．下列說(shuō)法中正確的有（

）A．B．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為C．一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為，則該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度是4m/sD．，則三、填空題（本大題共3小題）12．等差數(shù)列中，，，則的前和為.13．已知函數(shù)在處取得極小值，則的值為．14．已知函數(shù)，若在上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的最大值是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足求的前項(xiàng)和.16．已知等差數(shù)列的前9項(xiàng)和，且．若數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．17．定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“數(shù)列”.(1)已知等比數(shù)列滿足：．求證：數(shù)列為“數(shù)列”；(2)已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足：，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和.①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②設(shè)為正整數(shù)，若存在“-數(shù)列”（），對(duì)任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有成立，求的最大值.18．已知.(1)求曲線在處的切線方程；(2)若對(duì)任意的，且，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．已知.(1)求的極值；(2)畫(huà)出函數(shù)的大致圖象；（注意：需要說(shuō)明函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)）(3)若函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案1．【答案】D【分析】將所給條件式變形，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可證明數(shù)列的單調(diào)性，從而由可得和的符號(hào)，即可判斷的最小值.【詳解】由得：，整理可得：，等差數(shù)列為遞增數(shù)列，又，，，當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，；有最小值，最小值為.故選D.2．【答案】A【分析】因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以從第二項(xiàng)開(kāi)始，各項(xiàng)均為正數(shù)，由此可求得取值范圍.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且，所以，又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列，所以從第二項(xiàng)開(kāi)始，各項(xiàng)均為正數(shù).由.因?yàn)楹愠闪?，所以?shù)列為常數(shù)數(shù)列或遞增數(shù)列，所以.綜上，.故選A.3．【答案】C【分析】通過(guò)遞推關(guān)系得出數(shù)列周期，利用周期可求答案.【詳解】因?yàn)?，所以，，，，，所以?shù)列的周期為，且，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的積為，.故選C.【思路導(dǎo)引】由題目條件化簡(jiǎn)可得，分別計(jì)算數(shù)列前4項(xiàng)的值，可知數(shù)列的周期為，且，根據(jù)數(shù)列的周期性即可計(jì)算出結(jié)果.4．【答案】D【分析】根據(jù)題意，分別寫(xiě)出和時(shí)，不等式的左邊的表達(dá)式，結(jié)合表達(dá)式進(jìn)行分析，即可求解.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，所以由遞推到時(shí)，不等式左邊增加了，又減少了.故選D.【思路導(dǎo)引】分別將和代入不等式的左邊，對(duì)比兩個(gè)表達(dá)式，即可得出結(jié)果.5．【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，依次判斷導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào)，得出原函數(shù)的單調(diào)性，從而得出極值點(diǎn)情況和切線斜率的正負(fù)，一一判斷選項(xiàng)即得.【詳解】因，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，對(duì)于A，由上分析知，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由上分析知，3不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由上分析知，，即在處的切線的斜率小于0，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由上分析知，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故D正確.故選D.6．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算法則即可求出.【詳解】，，.故選B.【思路導(dǎo)引】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，將=1代入即可得出.7．【答案】B【分析】分析可知，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，其中，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以，解?故選B.8．【答案】C【分析】根據(jù)題意，求得，得出的值，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，則，所以當(dāng)時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為．故選C.9．【答案】AB【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)判斷ABD，利用反例說(shuō)明C.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式為，對(duì)于A：取，，則，，由于為等比數(shù)列，則，則有，即，故A正確；對(duì)于B：數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，若為等比數(shù)列，即，，，，，是等比數(shù)列，則，，，，，，是等比數(shù)列，故滿足題意的也必是一個(gè)等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于C：在的前項(xiàng)中，可以取，，，，，，，可以使成為一個(gè)等比數(shù)列，此時(shí)為項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：取，，則，則，而不是數(shù)列的項(xiàng)，所以把中滿足等比的項(xiàng)一直取下去，不總是無(wú)窮數(shù)列，故D錯(cuò)誤．故選AB．10．【答案】ACD【分析】根據(jù)已知血管中的藥物濃度隨時(shí)間變化圖象，結(jié)合瞬時(shí)變化率、平均變化率的概念判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】A：在時(shí)刻，兩圖象相交，即此時(shí)甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，正確；B：兩條曲線在時(shí)刻的切線的斜率不相等，所以甲、乙兩人血管中的藥物濃度的瞬時(shí)變化率不相同，錯(cuò)誤；C：根據(jù)平均變化率公式，可知在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中的藥物濃度的平均變化率都是，正確；D：在時(shí)間段內(nèi)，甲血管中的藥物濃度的平均變化率是，在時(shí)間段內(nèi)，甲血管中的藥物濃度的平均變化率是，顯然不相等，正確.故選ACD.11．【答案】CD【分析】由基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可判斷A；由函數(shù)定義域可判斷B；由導(dǎo)數(shù)的物理意義可判斷C；由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)定義域?yàn)檎龑?shí)數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，若，則.故選CD.12．【答案】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以.故答案為：.13．【答案】【分析】將函數(shù)求導(dǎo)，依題可得，求得或，代入函數(shù)式，進(jìn)行檢驗(yàn)，舍去，即得結(jié)論.【詳解】由求導(dǎo)，，依題意，，即，解得或.當(dāng)，時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，即時(shí)，函數(shù)取得極小值，符合題意，此時(shí)；當(dāng)，時(shí)，，，因，即函數(shù)在上為增函數(shù)，無(wú)極值，與題意不符，舍去.故答案為：.14．【答案】【分析】由在上存在零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為方程在上有解，求出在上的范圍即可得.【詳解】由，在存在零點(diǎn)，即在上有解，令，，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即，令，，則，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)時(shí)，，即有，故，即實(shí)數(shù)a的最大值是.故答案為：.15．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系由：求解即可；（2）根據(jù)通項(xiàng)分奇偶分別計(jì)算求和，結(jié)合裂項(xiàng)相消和等比數(shù)列求和公式即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也符合.綜上，.（2）由則，故的前項(xiàng)和.16．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式列出條件，解出即可求得，根據(jù)條件可得當(dāng)時(shí)，，作差可求得.（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為．由，得，化簡(jiǎn)得．又，即，解得，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，因?yàn)?，①所以?dāng)時(shí)，，②①②得，，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故．（2）由于，則，又，兩式相減，得故.17．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)①；②5.【分析】（1）根據(jù)題意列出方程求出首項(xiàng)和公比即可證明；（2）①根據(jù)可得，即可判斷數(shù)列為等差數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式；②根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得即可求解.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，由，得，解得，因此數(shù)列為“—數(shù)列”；（2）①由，得，當(dāng)時(shí)，由，得，整理得，所以數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；②由①知，，因?yàn)閿?shù)列為“—數(shù)列”，設(shè)公比為，所以，因?yàn)?，所以，其中，?dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有，設(shè)，則，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，取，?dāng)時(shí)，，即，令，則，令，則，故在上單調(diào)遞減，則，即在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，則，即，因此所求的最大值不小于5，若，分別取，得，且，從而，且，所以不存在，因此所求的最大值小于6，故的最大值為5.18．【答案】(1)；(2).【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)，再得出斜率，寫(xiě)出切線方程即可；（2）把恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解即得.【詳解】（1）由題意知，則曲線y=fx在處的切線方程為.（2）不妨設(shè)，則，則設(shè)，可知在上單調(diào)遞增，則恒成立，則，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值；(2)答案見(jiàn)解析；(3).【分析】（1）根據(jù)題意，求得，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)的變化趨勢(shì)，得出函數(shù)的圖象；（3）令，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為的圖象與直線至多有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】（1）由函數(shù)，可得其定義域?yàn)?，且，令，可得，列?/p>