蘇科版2025年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺專題-數(shù)學(xué)思維及能力

一'單選題

1.歐幾里得的《原本》記載，形如x2+ax=b2的方程的圖，解法是：畫R3ABC,使NACB=

90°,BC=3，AC=b,再在斜邊AB上截取BD='則該方程的一個(gè)正根是（）

B.AD的長C.BC的長D.CD的長

2.以4B=2cm,BC=3cm,CD=2cm,DA=4cm為邊畫出四邊形ABCD,可以畫出的四邊

形個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.無限多

3.已知二次函數(shù)y=—%2+mx+m（m為常數(shù)），當(dāng)—2〈％44時(shí),y的最大值是15,則m

的值是（）

A.-10和6B.-19和C.6和,D.-19和6

4.按照如圖所示的流程，若輸出的M=-6,則輸入的m為（

A.3B.1C.0D.-1

5.《莊子》一書里有：“一尺之梗（木棍），日取其半，萬世不竭（盡，完）”這句話可以用數(shù)學(xué)符號(hào)

1111

表示：1=*+9+3+…+擊+...;也可以用圖形表示.上述研究問題的過程中體現(xiàn)的主要數(shù)學(xué)

222

思想是（）

A.函數(shù)思想B.數(shù)形結(jié)合思想

C.公理化思想D.分類討論思想

6.我們解一元二次方程3N-6x=0時(shí)，可以運(yùn)用因式分解法，將此方程化為3x（六2）=0,從而得到

兩個(gè)一元一次方程：3x=0或/2=0,進(jìn)而得到原方程的解為%1=0,%2=2,這種解法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想

是（）

A.轉(zhuǎn)化思想B.函數(shù)思想

C.數(shù)形結(jié)合思想D.公理化思想

7.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，OP與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,-

1）,AB=2g.將。P沿著與y軸平行的方向平移多少距離時(shí)OP與x軸相切（）

A.1B.2C.3D.1或3

8.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，作半徑為1的圓，若直線y^-x+b與。O相交，則b的取值范圍是

（）

A.0<b<1B.0<b<42C.-1<b<1D.-V2<b<42

9.探究課上，老師給出一個(gè)問題“利用二次函數(shù)y=2%2與一次函數(shù)>=.計(jì)2的圖象，求一元二次方程

2/=尤+2的近似根”小華利用計(jì)算機(jī)繪制出如圖所示的圖象，通過觀察可知該方程的兩近似根xi和尤2

滿足-1<初<2.小華的上述方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）

A.公理化B.分類討論

C.數(shù)形結(jié)合D.由特殊到一般

10.”已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，試判斷a+b+c與0的大小.”一同學(xué)是這樣回答

的：“由圖象可知：當(dāng)x=l時(shí)y<0,所以a+b+c<0.”他這種說明問題的方式體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法叫

做（）

B.配方法C.數(shù)形結(jié)合法D.分類討論法

11.我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)

數(shù)”.如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來記錄孩子自出生后的天

數(shù)，由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是（）

B.336C.510D.1326

12.在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，已知直線y=tx+2t+2

（t>0）與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域（不含邊界）中有且只有四個(gè)整點(diǎn)，貝"的取值范圍是

（）

11

A.<t<2B.<t<1

C.1<t<2D.且tAl

二'填空題

13.當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)y=-（k>—3且k^O）的最大值與最小值之差是1,貝U

JX

k的值是.

14.已知一個(gè)三角形的三邊都是方程%2-8%+12=0的根，則此三角形的周長

為.

15.在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E是邊CD的三等分點(diǎn)，BE與AC交于點(diǎn)F,

貝UCF=.

16.如圖，在等邊△ABC中，AB=4cm,點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為邊AB上的任意一點(diǎn)（不與

點(diǎn)A,B重合）.若點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)B，恰好落在等邊△ABC的邊上，則BN的長為

cm.

B~C

17.已知二次函數(shù)y=x2-2mx（m為常數(shù)），當(dāng)-lWx/2時(shí)，函數(shù)值y的最小值為-2,則m的值

是.

18.甲乙兩運(yùn)動(dòng)員乒乓球比賽正在進(jìn)行中，甲必須再勝2局才能最后獲勝；乙必須再勝3局才能最

后獲勝.若甲、乙兩人每局取勝的概率都是1,則甲最后獲勝的概率是.

19.將奇數(shù)1、3、5、…、2007、2009從小到大排成一個(gè)多位數(shù)4..20072009,從A

中截出能被5整除的五位數(shù)，則所有的這種五位數(shù)中，最小數(shù)是,最大數(shù)是。

20.如圖，O是等邊△A3C外接圓的圓心，連結(jié)04、OB、OC,以點(diǎn)A為圓心，以。。的直徑為半

徑畫弧分別交A3、AC的延長線于點(diǎn)。、E.若04=2,則圖中陰影部分圖形的面積和為

（結(jié)果保留根號(hào)和n）.

21.P為。。內(nèi)一點(diǎn)，OP=3cm,。。的半徑為5c加，則經(jīng)過尸點(diǎn)的最短弦長為cm,最長

弦長為cm.

22.數(shù)軸上0,A兩點(diǎn)的距離為4,一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到A0

的中點(diǎn)41處，第2次從41點(diǎn)跳動(dòng)到41。的中點(diǎn)A2處，第3次從人2點(diǎn)跳動(dòng)到A20的中點(diǎn)

心處.按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)44,人5,人6，…，An（n>3,n是整數(shù)）處，那么線

段AnA的長度為（n>3,n是整數(shù)）.

O出幺24/

23.已知△A3C是等腰直角三角形，AB=AC,。為平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，且滿足CQ=AG若△

是以4。為腰的等腰三角形，則NCDB的度數(shù)為

24.幻方是相當(dāng)古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方--九宮圖.將數(shù)字1~9分

別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行、每一豎行以及兩條斜對(duì)角線上的數(shù)字之和都是15,則m

的值為.

25.已知關(guān)于x的一元二次方程/+辦+泌=0(19W3,“為整數(shù))，其中a是從2、4、6三個(gè)數(shù)中任

取的一個(gè)數(shù)，b是從1、3、5三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，定義“方程有實(shí)數(shù)根”為事件4"=1,2,

3),當(dāng)4的概率最小時(shí)，”的所有可能值為.

26.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》一書中，給出了著名的秦九韶公式，也叫

三斜求積公式，即如果一個(gè)三角形的三邊長分別為a,b,c,則該三角形的面積為s=

1[也產(chǎn)產(chǎn)//_02)]?已知△ABC的三邊長分別為V5,2,2,則△ABC的面積為________,

q42

27.四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)為0，用四種顏色給AAOB、ABOC、ACOD、ADOA

染色，使得有公共邊的三角形不同色，那么有種染色方法.

28.已知y=|x—1|X+|X—2|(X—1),則不等式y(tǒng)<0的解集為.

29.如圖，圓心都在x軸正半軸上的半圓O1,半圓02,…，半圓On與直線1相切.設(shè)半圓O1,半

圓。2,…，半圓On的半徑分別是ri,r2,rn,則當(dāng)直線1與x軸所成銳角為30。，且n=l時(shí)，

30.小亮在勻速行駛的汽車?yán)?，注意到公路里程碑上的?shù)如下表所示:

時(shí)刻12：0013：0016：00

里程碑上是一個(gè)兩十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字與12：00時(shí)所看比12：00時(shí)看到的兩位數(shù)

的數(shù)位數(shù)到的正好顛倒了中間多了個(gè)0

12：00時(shí)看到的兩位數(shù)是

31.著名的斐波那契數(shù)列1、2、3、5、8、13、21、…，其中的第9個(gè)數(shù)是.

32.如圖，將一個(gè)8cmxl6cm智屏手機(jī)抽象成一個(gè)矩形A3CD,其中AB=8cm,AD=16cm,現(xiàn)將正

在豎屏看視頻的這個(gè)手機(jī)圍繞它的中心R順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后改為橫屏看視頻，其中，〃是CD的中

點(diǎn)，則圖中等于45。的角有個(gè).（按圖中所標(biāo)字母寫出符合條件的角）

三'解答題

33.“通過等價(jià)變換，化陌生為熟悉，化未知為已知”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中解決問題的基本思維方式，例

如：解方程%-依=0,就可以利用該思維方式，設(shè)近=y,將原方程轉(zhuǎn)化為：/一丫=o這

個(gè)熟悉的關(guān)于y的一元二次方程，解出y,再求x,這種方法又叫“換元法”.請(qǐng)你用這種思維方式和

’5比2y2+2久+2y=133

換元法解決下面的問題.已知實(shí)數(shù)X,y滿足y。22「，求/+y2的值.

x+=51

34.m是什么整數(shù)時(shí)，方程（m2-1）x2-6（3m-1）x+72=0有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根.

35.如圖

（1）如圖，矩形A8CD的對(duì)角線長為a,對(duì)角線與一邊的夾角為a（a*5。），則8=

（用a的三角函數(shù)和a來表示），5ABCD=（用a的三角函數(shù)和a來表示）=_

（用2a的三角函數(shù)和。來表示）；

（2）猜想并直接寫出sin2a,sina,cosa之間的數(shù)量關(guān)系.

36.我們學(xué)習(xí)過利用用尺規(guī)作圖平分一個(gè)任意角，而“利用尺規(guī)作圖三等分一個(gè)任意角”曾是數(shù)學(xué)史

上一大難題，之后被數(shù)學(xué)家證明是不可能完成的人們根據(jù)實(shí)際需愛，發(fā)明了一種簡易操作工具—

三分角器.圖1是它的示意圖，其中AB與半圓O的直徑BC在同一直線上，且AB的長度與半

圓的半徑相等；DB與AC重直F點(diǎn)B,DB足夠長.

使用方法如圖2所示，若要把乙MEN三等分，只需適當(dāng)放置三分角器，使DB經(jīng)過乙MEN的

頂點(diǎn)E,點(diǎn)4落在邊EM上，半圓。與另一邊EN恰好相切，切點(diǎn)為F,則EB,E0就把

乙MEN三等分了.

為了說明這一方法的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明.如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完

圖1

已知：如圖2,點(diǎn)在A,B,0,C同一直線上，EB1AC,垂足為點(diǎn)B,A

求證：

37.在“看圖說故事”活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組結(jié)合圖象設(shè)計(jì)了一個(gè)問題情境.

已知小亮所在學(xué)校的宿舍、食堂、圖書館依次在同一條直線上，食堂離宿舍0.7km,圖書館離

宿舍1km.周末，小亮從宿舍出發(fā)，勻速走了7min到食堂；在食堂停留16min吃早餐后，勻

速走了5min到圖書館；在圖書館停留30min借書后，勻速走了lOmin返回宿舍，給出的圖象

反映了這個(gè)過程中小亮離宿舍的距離ykm與離開宿舍的時(shí)間xmin之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題:

(1)填表:

離開宿舍的時(shí)間/min25202330

離宿舍的距離/km0.20.7

(2)填空:

①食堂到圖書館的距離為km.

②小亮從食堂到圖書館的速度為km/min.

③小亮從圖書館返回宿舍的速度為km/min.

④當(dāng)小亮離宿舍的距離為0.6km時(shí)，他離開宿舍的時(shí)間為min.

(3)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

38.如圖，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向點(diǎn)B以2cm/s的速度

移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以4cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出

發(fā)，經(jīng)幾秒鐘APBQ與△ABC相似？試說明理由.

39.如圖，△ABC的邊BC在直線1上，AD是AABC的高，ZABC=45°,BC=6cm,AB=2遮

cm.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以lcm/s速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)C時(shí)，停止運(yùn)

動(dòng).PQXBC,PQ交AB或AC于點(diǎn)Q,以PQ為一邊向右側(cè)作矩形PQRS,PS=2PQ.矩形PQRS

與△ABC的重疊部分的面積為S(cm2),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).回答下列問題：

oAA

力

DS

(備用圖)

(1)AD=cm；

(2)當(dāng)點(diǎn)R在邊AC上時(shí)，求t的值；

(3)求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

答案解析部分

L【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】C

11.【答案】C

12.【答案】D

13.【答案】±2

14.【答案】6或14或18

15.【答案】4或|

16.【答案】1或2

17.【答案】-1.5或直

18.【答案】||

19.【答案】10110；99920

20.【答案】|TT-2V3

21.【答案】8；10

1

22.【答案】4—*

23.【答案】45?；?35°

24.【答案】9

25.【答案】2或3

26.【答案】孽

4

27.【答案】84

28.【答案】x<l

29.【答案】320"

30.【答案】27

31.【答案】55

32.【答案】30

33.【答案】解：令xy=a,x+y-b，則原方程組可化為:

[5a2+2b=133

I*+2a2=5]，整理得:5a2+2b=133①

16a2+2b=408②'

②-①得：Ila2=275,

解得：a?=25,代入②可得：b=4,

...方程組的解為：￡=?或二5,

3=4(b=4

%2+y2=(%+y)2_2xy=ft2—2tt，

當(dāng)a=5時(shí)，x2+y2=6,

當(dāng)a=-5時(shí),x2+y2=26,

因此x2+y2的值為6或26.

34.【答案】解：-屏0,

*/△=36(m-3)2>0,

/.n#3，

612

用求根公式可得：xiX2=

m—1m+1

Vxi,X2是正整數(shù)

Am-1=1,2,3,6,m+l=l,2,3,4,6,12,

解得m=2.這時(shí)xi=6,X2=4.

11

35.【答案】(1)asincr；2a2sinacosa；^a4sin2a

(2)sin2a=2sinacosa

36.【答案】解：已知：如圖2,點(diǎn)在A,B,0,C同一直線上，EB1AC,垂足為點(diǎn)B,E在

BD上,ME過點(diǎn)A,AB=OB=OC,EN為半圓。的切線，切點(diǎn)為凡

求證：EB,EO為/MEN的三等分線.

證明：如圖，連接OF.貝！JNOFE=90。，

VEBXAC,EB與半圓相切于點(diǎn)B,

.\ZABE=ZOBE=90°,

VBA=BO.EB=EB,

??.△EAB=△EOB

.\ZAEB=ZBEO,

VEO=EO.OB=OF,ZOBE=ZOFE=90°,

△OBE=△OFE,

.\ZOEB=ZOEF,

JZAEB=ZBEO=ZOEF,

AEB,EO為NMEN的三等分線.

故答案為：E在BD上，ME過點(diǎn)4AB=OB=OC,EN為半圓。的切線，切點(diǎn)為F.

EB,EO為/MEN的三等分線.

37.【答案】(1)0.5；0.7；1

(2)0.3；0.06；0.1；6或62

(3)解：當(dāng)。〈久〈7時(shí)，y=0.1%；

當(dāng)7＜xW23時(shí)，y=0.7

當(dāng)23＜久＜28時(shí)，設(shè)y=/cc